难点强化专题(1) 根的判别式及根与系数的关系的综合运用&数学活动(1) 探究三角点阵中前n行的点数计算-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

难点强化专题（一）根的判别式及根与系数的关系的综合运用 解题技巧 2.(2025·鸟鲁木齐模拟)已知x1,x2是关于x 2022版课标要求中新增“了解根与系数的关 系.”根的判别式及根与系数的关系的综合应用是部 的一元二次方程x2十3x十k一3=0的两个实 分地区中考命题的热点，常以选择题或解答题的形式 数根. 呈现.解题时一定要注意隐含条件b一4ac≥0.在利 (1)则k的取值范围是 用根与系数的关系求得待定系数的值后，须代入b (2)若x十2x1十x2十k=4,试求k的值. 4ac中验证. 【例】(2025·兰州模拟)已知关于x的一元二次 方程x2+(2m-1)x十m=0有两个实数根. (1)求实数m的取值范围； (2)若x1,x2是该方程的两个根，且满足x1x2十 x1十x2一1=0，求m的值. 3.(2024·遂宁)已知关于x的一元二次方程x2 -(m+2)x十m-1=0. (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不相 等的实数根； (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且x十 【针对练习】 x2一x1x2=9,求m的值. 1.已知关于x的一元二次方程(m-2)x2-4x 十1=0有两个实数根x1,x2. (1)求m的取值范围： (2)若x1=一1，求m的值及x2. 23九年极数学·上册 数学活动（一） 探究三角点阵中前n行的点数计算 【背景】相传古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经 问题3：如果将图中的三角点阵中各行的点数 常在沙滩上研究数学问题.他们在沙滩上画点 依次换为2,4,6,8…2n,这个三角点阵前n行的 或用小石子来表示数，比如，他们研究过1,3,6， 点数和能是200吗？如果能，求出n的值；如果 10…,由于这些数可以用图中所示的三角点阵 不能，说明理由. 表示，他们就将每个三角点阵中所有的点数和 称为三角数 【素材】如图是一个三角点阵，从上向下数有无 数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个 点，…，第n行有n个点. ●● ●●●● ●●●●● ●●●●●● ●●●●●●● 问题1：第一行有1个点，前两行点数和是 问题4：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中 前三行点数和是，前四行的点数和是 一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一 前8行的点数之和为 ,前15行的点数之 排2盆，第二排4盆，第三排6盆，…，第n排2 和为 盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？ 问题2：(1)前n行的点数之和为 (2)若该三角点阵前n行的点数和为325，求n 的值； (3)三角点阵图中，前n行的点数和能是900 吗？如果能，求出；如果不能，说明理由， 问题5：如果把三角点阵中各行的点数依次换 为3,6,9，…，3，前n行的点数和能是900吗？ 如果能，求出n;如果不能，说明理由. 助学助觳优质高数24为5.10.(1)(x十1)(x-3)解：(2)由题意，得100(x+1)十10(x-3)+x=20x (x+1)+25.整理，得20x2-91x-45=0.解得x=5(负值已舍去)，则x+1=6,x一3 =2,.该三位数是625.11.(1)1015(2)y=2x(x-1)1128(3)20 第2课时平均变化率问题与销售问题 知识储备 2.总成本 总销量 基础练 1.60(1-x)60(1-x)260(1-x)=48.62.D3.解：设该电商平台3,4月份销 售额的月平均增长率为x.由题意，得10(1十x)=12.1.解得x1=0.1,x2=一2.1（不 符合题意，舍去).∴.x=0.1=10%.答：该电商平台3,4月份销售额的月平均增长率 为106.4.D5.(1)①(20-x)20x(100+20x)②(20-x)(100+20.x)=2 880(2)解：设售价涨价x元时，每天的利润为140元，由题意，得(9+x一5)(32 4x)=140.解得x1=3,x2=1.答：该纪念品的售价涨价3元或1元时，每天的利润为 140元.6.807.(1)10%解：(2)方案一：6075×100×0.98=595350（元），方案 二：6075×100-100×1.5×24=603900（元）..595350<603900，.∴.方案一更优 惠，小颖选择方案一：打9.8折购买；(3)不会跌破4800元/平方米.因为由(1)知：平 均每月下调的百分率是10%，，∴.6075(1一10%)2=4920.75（元/平方米）..4920. 75>4800,∴.6月份该楼盘商品房成交均价不会跌破4800元/平方米.8.解：任务 1:[80一(90一80)×1]×90+(400一90)×30=15600（元）.答：学校补进镇流器和灯 管共花费15600元；任务2：160-x,12000-30x;任务3：由题意，得(160一x)x+12 000-30x=15000.解得x1=30,x2=100..80x110,∴.x=100.答：补进镇流器 100件. 第3课时几何图形的面积问题 知识储备 1.高2.宽 基础练 1.A2.63.(8+2x)(6+2x)=804.(1)(35-2x)(20-x)=600(2)15.解： 设车道的宽为xm,由题意，得(20一x)(33-x)=510.解得x=3,x2=50(舍去).答： 车道的宽是3m.6.(1)15(2)解：设AB为xm,由题意，得(24-3.x)x=45.解得： x=5,x2=3.当x1=5时，BC=9,当x2=3时，BC=15.墙可利用的最大长度为 10m,BC=15舍去.答：BC的长为9m.7.(1)1解：(2)设xs后，△PBQ的面积 是7cm.由题意，得2·2z(5-x)=1,即x2-5x+7=0.4=(-5)2-4×7<0,此 方程无实数根.∴△PBQ的面积不能等于7cm.8,解：由题意知，横彩条宽度为 xcm,列方程，得(20-2x)12-号x)=20×12×(1-号).解得x=2=16(舍 3 去).1=2，号x=3.答：竖彩条宽2cm,横彩条宽3cm.9.解：1)设与墙垂直的边 长xm,则与墙平行的边长(33-3x十3)m,由题意，得(33-3x+3)·x=48×2.解得 x1=4,x2=8.x6,∴.x=4.当x=4时，36-3x=24,24÷2=12.答：每个生态园与 墙平行的一边的长是12m.(2)不能，理由如下：与设墙垂直的边长为ym,由题意，得 (33-3y+3)·y=108×2.化简整理，得y2-12y+72=0.△=(-12)-4×72<0. ∴此方程无实数根，不能围成。 难点强化专题（一）根的判别式及根与系数的关系的综合运用 【例】解：(1).x2+(2m-1)x+m2=0有两个实数根，∴.△=b-4ac≥0.∴.(2m-1)2 一4m≥0.六m≤(2)：是该方程的两个根x十=-(2m-1),xx= m2.:x1x2十x1+x2-1=0,.m2-(2m-1)-1=0.m=0或2.m≤4m=0. 1.解：(1)由题意，得△=(-4)2-4(m-2)≥0且m-2≠0，解得m6且m≠2；(2) 把x1=-1代入方程(m-2)x2-4x+1=0,得m-2+4+1=0.解得m=-3.∴.方程 21 为-5x2-4x+1=0..∴.x1·x2=- 行.”x=-1…x=52.(D≤ 解：(2) x1是关于x的一元二次方程x2+3x+k-3=0的根，∴.x+3x1十k一3=0，即x =-3x1-k+3.x+2x1十x2十k=4,.-3.x1-k+3+2x1十x2十k=4,即x2-x =1①.x1十x2= -占=一3②.联立①②解得=一2·即(-2)+2×(-2)+(-1） x2=-1. +k=4.解得k=5.3.解：(1)x2-(m十2)x+m-1=0,a=1,b=-(m十2)，c=m 1,△=b-4ac=[-(m+2)]-4×1×(m-1)=m2+4m+4-4m+4=m2+8..m ≥0，∴.m十8>0，即△>0.∴.无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；(2)方程 x2一(m十2)x十m-1=0的两个实数根为x1,x2,则x,+x2=m十2，xx2=m一1.： x+x-x1x2=9,即(x1十x)2-3x1x=9..(m+2)2-3(m-1)=9.解得m1= -2,m2=1...m的值为一2或1. 数学活动（一）探究三角点阵中前n行的点数计算 问题1：361036120问题2：(1)u1)解：(2)由题意，得m,1)=325. 即n+-650=0.解得1=25,22=一26（舍去）.∴.n的值为25：(3)不能，理由如下： 16 由题意，得+D=900.得r十n-1800=0.n=1±)7201.：n为正整数， 2 /7201是无理数，∴.不存在n值，使前n行的点数和是900.即在三角点阵图中，前n 行的点数和不能是900.问题3：解：这个三角点阵前n行的点数和不能是200.由题 意，得2+4十6+…+2m=2×(1十2+3+…十n)=200.即2×m十D=200.解得n 2 =二1±/8丽.又n为正整数，∴不存在n值，使前n行的点数和是200.答：这个三 角点阵前n行的点数和不能是200.问题4：解：前排盆景的总数可表示为2十4十 6+8+…+2n=2(1+2+3+…十0)=420.即2×0m+1D=420.r+n=420.解得 2 1=一21,2=20.n为正整数，∴.n=20.答：共能摆20排.问题5：解：能，理由如 下：由3+6+9+…+3n=900得3(1+2+3+ ,+n)=900.即1+2+3+…+n= 300.n1D=300.解得m=24,=-25(负值舍去).当n=24时，前n行的点数 2 和是900. 情境串联专题（一）旅行中的一元二次方程的应用问题 1.解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为x,根据题意，得1.6(1十x) =2.5.解得x1=0.25=25%,x2=一2.25..'x>0,.x=25%.答：这两个月中该景 区游客人数的月平均增长率为25%.2.解：设这个旅行团共y人，·1000×25 25000(元)，2500027000，∴.y>25.根据题意，得[1000-20(y-25)]y=27000. 整理，得y2-75y+1350=0.解得y=30,y2=45.当y=30时，1000-20(y-25)=1 000-20×(30-25)=900>700,符合题意：当y=45时，1000-20(y一25)=1000 20×(45-25)=600<700,不符合题意，舍去.答：这个旅行团共30人.3.解：设每 份刀削面提高x元，每天的销量为(160一10x)元，每份的利润为(12一7十x)元，由题 意，得(12-7+x)(160-10x)-280=800.解得x1=4,x2=7.所以12+x=16或19. 答：每份刀削面的价格是16元或19元时，该面馆才能实现每天800元的净利润， ·解：设镶上的木质框架的宽为y米，由题意，得(6+3y)(2+2y)=6×2X,解得 y1=0.2,y2=一3.2（不合题意，舍去）.答：镶上的木质框架的宽为0.2米.5.(1)① 2030②100解：(2)设小路的宽度为y米，根据题意，得(20一2y)(30一3y) 486.整理，得(10-y)2=81.∴.10-y=士9.解得y1=1,y2=19(不合题意，舍去) 答：小路的宽度为1米.6.解：设该商品每件降价x元，每个月的销售量为(100十 10x)件，每件利润为(60-42-x)元，由题意，得(60-42-x)(10x+100)=1920.解 得x1=2(不符合题意，舍去)，x2=6..60一6=54（元）.答：这款汾酒每件的售价应定 为54元 综合与实践（一）探索果园土地规划和销售利润问题 解：(1)·纵向道路宽度x不超过12m,且不小于5m,纵向道路宽度x的取值范围 为5≤x≤12：(2)根据题意，得(300一2x)(200-4x)=44800.解得x1=10,x2=190. 5≤x12,∴.x=10符合题意.∴.路面设置的宽度符合要求：(3)经过1年后，农户 可以达到预期净利润400万元，理由如下：假设经过1年后，农户可以达到预期净利 润400万元，根据题意，得100(300-2.x)(200一4x)一50×L2×300×2x+2(200 4x)x-250000-330000-250000=4000000.解得x1=5,x2=195.又.5x 12,.x=5符合题意.∴.假设成立，即经过1年后，农户可以达到预期净利润400万元. 第二十一章核心素养与跨学科融合专练 1.162.B3.10%4.(1)y=-10x+400解：(2)根据题意，得(-10x+400)(x -10)=2160.解得x1=28(不符合题意，舍去)，x2=22.答：应将销售单价定为22元 5.B 第二十一章大单元整合与素养提升 【例1】1)1解：(2)当k=-1时，原方程为x2-x-2=0.a=1,b=-1,c=-2,.4 二（》-1X1X-2)=9.=1=1学=2，=-1,3证明：在 2 -(k+2)x+2k=0中，.a=1,b=一(k+2),c=2k,.∴.△=[-(k+2)]2-4×1×2k= k2一4k十4=(k一2)≥0..方程总有两个实数根；(4)解：：x十x2=k+2,x1x2=2k, xi+x5=13,∴.(x1十x2)2-2x1x2=13..(k十2)2-4k=13.解得k=士3.【例2】 (1)25%解：(2)设购买的这种健身器材的套数为m套，由题意，得m1600 m二100×40）=240000.解得m1=200,m=300(不符合题意，舍去).答：购买的这种 10 健身器材的套数为200套. 1.3、一5、一72.20243.B4.15.(1)解：原方程移项，得(2.x+1)2=9.∴.2x+1 =士3.x1=-2,x2=1.(2)解：方程化简，得x2+4.x=12.x2+4x+4=12+4.(x+ 2)2=16.x+2=±4..x1=-6,x2=2.(3)解：x(x+2)-3(x+2)=0.(x十2)(x -3)=0.x+2=0或x一3=0..x1=-2,x2=3.6.D7.B8.69.2(答案不唯 一)10.(1)m<2解：(2)：m为满足条件的最大整数，m<2,∴m=1,∴.原方程 为：x2+2x=0,x(x+2)=0,∴.=0，x=-2.11.0.64(1十x)=0.6912.5 13.1014.3615.(1)①②解：(2)x2-(a+3)x+3a=0是“同步方程”，∴.x1+ x=a+3,rx=3a,la十3=3a当a+3=3a时，a=号.当a十3=-3a时，