第二十一章 一元二次方程六、可化为一元二次方程的分式方程2025-2026学年 人教版九年级数学上册章末培优专题训练

九年级数学（人教版）章末培优专题训练 第二十一章 一元二次方程 六、可化为一元二次方程的分式方程 重难点知识归纳： 一、分式方程的解法 1. 去分母法 步骤：找到方程中各分式的最简公分母，方程两边同乘最简公分母，将分式方程化为整式方程；解整式方程；把整式方程的解代入最简公分母进行检验，若最简公分母不为0，则是原分式方程的解，否则为增根。 关键：准确确定最简公分母，通常是各分母因式分解后所有因式的最高次幂的乘积。例如，对于方程，先将分母因式分解为和，最简公分母为。 2. 换元法 适用情况：当分式方程中含有相同的分式或分式呈现出一定的对称形式时，可采用换元法简化方程。例如，方程，可设，将方程转化为。 步骤：设合适的未知数代替原方程中的分式；将原方程转化为关于新未知数的整式方程；求解新整式方程，得到新未知数的值；将新未知数的值代回所设的关系式，求出原未知数的值；进行检验。 三、增根 1. 定义：在分式方程化为整式方程的过程中，由于两边同乘了一个可能使分母为0的整式，从而产生的使原分式方程的分母为0的根，叫做增根。 2. 性质：增根不是原分式方程的解，但它是由分式方程转化而来的整式方程的解。 3. 应用：已知分式方程有增根时，可先确定增根（即使最简公分母为0的未知数的值），再将增根代入转化后的整式方程，求出相关字母的值。例如，对于分式方程，其最简公分母为，增根为，将代入，可求出k的值。 四、分式方程无解的情况 1. 分式方程化为整式方程后，整式方程无解，则原分式方程无解。 2. 分式方程化为整式方程后，整式方程有解，但这个解是原分式方程的增根，则原分式方程无解。例如，分式方程，化为整式方程后若解为（增根），则原方程无解，可据此求出m的值。 五、解的取值范围相关问题 当要求分式方程的解为正数、非负数、整数等特定情况时，需先求出方程的解（用含字母的式子表示），再根据要求列出不等式或等式，同时要考虑解不能使最简公分母为0，进而求出字母的取值范围或值。例如，对于方程，求出解后，根据解为正数且，可得到m的取值范围。 七、易错点提示 1. 去分母时，方程两边各项都要乘最简公分母，切勿漏乘不含分母的项。例如解方程两边同乘时，“1” 也要乘，否则会导致方程变形错误。 2. 检验过程不可或缺，即使整式方程的解看起来合理，也必须代入最简公分母检验是否为增根。 3. 利用换元法时，设元后要明确新未知数与原未知数的关系，还原时需准确代入，避免计算错误。 4. 解决含字母参数的分式方程问题时，要全面考虑参数的取值对方程解的影响，包括是否产生增根、解是否符合特定条件等，防止遗漏限制条件。 1. 考点：分式方程的解法、去分母化为整式方程。 解方程：. 2. 考点：分式方程的求解、验根 解方程：. 3. 考点：分式方程的解法、平方差公式因式分解 解方程： 4. 考点：分式方程的增根、增根的性质 若关于x的分式方程有增根，求k的值. 5. 考点：分式方程的换元法求解 解方程： 6. 考点：分式方程无解的条件、增根。 若分式方程无解，求m的值. 7. 考点：分式方程的特殊解法、通分技巧。 解方程： 8. 考点：分式方程的解、解的取值范围。 已知关于x的方程的解为正数，求m的取值范围. 9. 考点：分式方程的解法、因式分解、验根。 解方程： 10. 考点：分式方程的整数解、解的性质。 若关于x的分式方程有整数解，求整数a的值. 11. 考点：换元法解分式方程。 解方程 12. 考点：分式方程的增根、增根的应用。 已知关于x的分式方程有增根，求m的值. 13. 考点：分式方程的解法、平方差公式的应用。 解方程： 14. 考点：分式方程解的非负性、解的限制条件。 若关于x的方程的解为非负数，求k的取值范围。 15. 考点：分式方程的综合解法、验根。 解方程： 答案与详解 1. 答案： 详解：方程两边同乘，得。展开并化简：， 移项可得，解得。检验：当时，，所以是原 方程的解。 2. 答案： 详解：方程两边同乘(，得。展开： ，化简得，解得。检验：当时， ，所以是原方程的解。 3. 答案： 详解：原方程可化为。方程两边同乘，得。展开：，化简得，解得。检验：当时，，所以是原方程的解。 4. 答案： 详解：方程两边同乘，得。因为原方程有增根，所以最简公分母，即增根为。把代入，得，解得。 5. 答案： 详解：设，则原方程可化为。方程两边同乘y，得，即。因式分解：，解得，。 当时，，即，，此方程无解。 当时，，即，解得。 检验：当时，原方程分母不为0，所以是原方程的解。 6. 答案： 详解：方程两边同乘，得。展开并化简：，即，解得。因为原方程无解，所以，即。把代入，得，解得。 7. 答案： 详解：移项得。两边分别通分，即。则，展开化简得，解得。检验：当时，各分母均不为0，所以是原方程的解。 8. 答案且 详解：方程两边同乘，展开并化简：，解得。因为方程的解为正数，所以，即。又因为，即，所以。综上，m的取值范围是且。 9. 答案： 详解：原方程可化为。方程两边同乘，得。展开化简得，解得。检验：当时，，所以是原方程的解。 10. 答案：a = 0、2、3、4 详解：方程两边同乘，得。化简：，即，解得。因为方程有整数解，且，即，所以为整数且。则a + 1是8的因数，，且即。所以时，；a + 1=1时，；时，；时，；时，；时，；时，。又因为需为整数，所以整数a的值为 11. 答案：、 、 详解：设，则原方程可化为。方程两边同乘y，得，即。因式分解：，解得，。 当时，，即，解得。 当y = 2时，，即，解得。 检验：以上解均使原方程分母不为0，所以都是原方程的解。 12. 答案：或 详解：方程两边同乘，得。因为原方程有增根，所以，即增根为x = 1或x = 2。 当 x = 1时，代入得，即，解得。 当x = 2时，代入得，即，解得。 所以或。 13. 答案： 详解：原方程可化为。方程两边同乘，得。展开：，化简得，解得。检验：当时，，所以是原方程的解。 14. 答案：且 详解：方程两边同乘，得，解得。因为方程的解为非负数，所以，即。又因为，即，所以。综上，k的取值范围是且。 15. 答案：无解 详解：原方程可化为。方程两边同乘，得。化简得，解得。检验：当时，，所以是增根，原方程无解。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$