学易金卷：九年级数学上学期第一次月考（海南专用，人教版九上21～22章：一元二次方程+二次函数）

( ) ( ) 2025-2026学年上学期第一次月考卷 九年级数学·答题卡 ( 姓 名： __________________________ 准考证号： 贴条形码区 考生禁填 ： 缺考标记 违纪标记 以上标记由监考人员用 2B 铅笔 填涂 选择题填涂样例 ： 正确填 涂 错误填 涂 [ × ] [ √ ] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用 2B 铅笔填涂；填空题和解答题必须用 0.5 mm 黑 色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 ) ( 一、 单项 选择题（每小题 3 分，共 36 分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12 . [ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 二 、 填空 题（每小题 3 分，共 1 2 分） 1 3 ． ____ ________________ 1 4 ． ____________________ 1 5 ． ____________________ 1 6 ． ____________________ 三、（本大题共 6 个小题，共 72 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17 ．（ 1 0 分） (1) ； (2) ． ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 18. （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 19 . （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请 在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 0 . （ 12 分） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 1 ． （ 12 分 ） ) ( 请在各题目的答 题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 2 2 ． （ 1 4 分 ） ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) ( 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ ) 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级数学上册第21~22章（一元二次方程+二次函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 3．抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（   ） A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 5．为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 6．三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 9．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 10．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 11．如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线．分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（　） A．①⑤ B．①②⑤ C．③④ D．①④ 12．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）. 13．已知一元二次方程有两个实数根，点在第 象限． 14．m是方程的根，则式子的值为 ． 15．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ． 16．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    三、解答题（本大题共6小题，满分72分）. 17．（10分）解方程： (1)； (2)． 18．（12分）根据表中的素材，探索完成任务． 素材 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 任务 求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 19．（12分）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1．图是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，篮球飞行的水平距离（米）与篮球距离水平面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离米 竖直高度米 (1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式； (2)在研究中发现，投篮机支架的连接点恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度； (3)在篮球的飞行过程中，篮球到斜坡的竖直高度会时刻变化，请求出的最大值． 20．（12分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 21．（12分）已知抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． (1)求该抛物线的表达式和对称轴． (2)若抛物线与直线有两个不同交点，求m的取值范围． (3)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 22．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． (2)当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围． 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级数学上册第21~22章（一元二次方程+二次函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 3．抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（   ） A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 5．为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 6．三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（   ） A． B． C． D． 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 8．已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 9．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 10．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 11．如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线．分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（　） A．①⑤ B．①②⑤ C．③④ D．①④ 12．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）. 13．已知一元二次方程有两个实数根，点在第 象限． 14．m是方程的根，则式子的值为 ． 15．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ． 16．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    三、解答题（本大题共6小题，满分72分）. 17．（10分）解方程： (1)； (2)． 18．（12分）根据表中的素材，探索完成任务． 素材 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 任务 求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 19．（12分）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1．图是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，篮球飞行的水平距离（米）与篮球距离水平面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离米 竖直高度米 (1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式； (2)在研究中发现，投篮机支架的连接点恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度； (3)在篮球的飞行过程中，篮球到斜坡的竖直高度会时刻变化，请求出的最大值． 20．（12分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 21．（12分）已知抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． (1)求该抛物线的表达式和对称轴． (2)若抛物线与直线有两个不同交点，求m的取值范围． (3)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 22．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． (2)当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围． 试卷第18页，共20页 1 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $ 11 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 答题卡 贴条形码区 考生禁填： 缺考标记 违纪标记 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 选择题填涂样例： 正确填涂 错误填涂 [×] [√] [／] 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考证号，在规定位置贴好条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5 mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 注意事项 姓 名：__________________________ 准考证号： 第Ⅰ卷(请用2B铅笔填涂) 一、选择题（每小题3分，共30分） 1.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 2.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 3.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 4.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 11.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 12.[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 第Ⅱ卷二、填空题（每小题3分，共12分） 13．_________________ 14．___________________ 15．__________________ 16．__________________ 三、（本大题共6个小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分） (1)； (2)． 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18. （12分） 19. （12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 20．（12分） 21．（12分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 22.（14分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 学科网（北京）股份有限公司 $西学科网·学易金卷 www.zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 参考答案 (考试时间：100分钟试卷满分：120分) 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合 题目要求的) 2 3 5 6 8 9 10 11 12 D A A B B A C A B D A A 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分）· 13.四 14.2024 15.y=x2+4x 16.-2 三、解答题（本大题共6小题，满分72分）. 17.(10分)【答案】(1)x=2+V2,x=2-√2 (2)x1=-7,x2=1 【详解】(1)解：x2-4x+2=0, .x2-4x+4=2, .(x-22=2, .x-2=±V2, .x=2+V2,x,=2-√2；…(5分) (2)解：x2+6x-7=0, .x+7)(x-1=0, .x1=-7,x2=1.…(5分) 1/9 18.(12分) 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 【答案】任务1：20%；任务2：50元 【详解】解：任务1：设该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为x, 由题意得，100(1+x2=144, 解得x1=0.2=20%,x2=-2.2（不合，舍去)， 答：该车间4月份到6月份生产数量的平均增长率为20%；…(6分) 任务2：设该零件的实际售价应定为y元， 由题意得，(y-30)「600-10(y-40]=10000, 整理得，y2-130y+4000=0, 解得=50，y2=80, 要尽可能让车企得到实惠， .y=50, 答：该零件的实际售价应定为50元.…(6分) 19.(12分) 【答案】(1)y=- 2+3x+1 2 2 (2)1m 罗 a+b+1=2 【详解】(1)解： 4a+2b+1=2' 1 解得： 2 3 b2 篮球飞行路线的表达武为：)=+子+1：…(3分) (2)解：作DG⊥OB于点G,则L0GD=90°，四边形BGDC是矩形， 2/9 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 YA O(A) G B :CD=BG. 图3 由题意得：∠D0G=45°， :.0G=DG, 设点D的坐标为m,m), 1 3 .m=- m2+2m+1 2 2 解得：m1=2,m2=-1(不合题意，舍去)， 0G=2, 由题意得：OB=3, .BG=3-2=1, CD=1, 答：投篮机支架CD的长度为1米；…(7分) 2+3n+1, (3)解：设点M的坐标为-2 则点N的坐标为 2 MW=-n n2+2n+1=-1m 7 +49-10a-3}+ 121 n+1- +1 72 (n-)） 2 2 6 2 2 61 72’ :MN的最大值为2.12分) 72 20.(12分) 【答案】(1)1,4，（0,3)；(2)见解析；(3)y=-x2+7(4)-1≤x≤0或2≤x≤3； 【详解】(1)解：y=-x2+2x+3=-x2-2x+1-1+3=-(x-12+4 故P(1,4) ,点C在y轴上 .C0,3 3/9 故答案为：(1,4，(0,3)…(4分) 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 (2)如图： 3 …(6分) -3-21012 45x 二1 -=2 (3)二次函数y=-x2+2x+3的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则：y=-(x-1+1)2+4+3=-x2+7 故答案为：y=-x2+7;…(8分) (4),0≤y≤3，由图像可得：-1≤x≤0或2≤x≤3； 故答案为：-1≤x≤0或2≤x≤3.…(12分) 21.(12分)已知抛物线y=x2+bx+c交x轴于A(-1,0),B两点，交y轴于点C(0,-3). B (1)求该抛物线的表达式和对称轴 (②)若抛物线y=x2+bx+c与直线y=m有两个不同交点，求m的取值范围. (3)设点P是抛物线的顶点，求四边形BACP的面积. 【答案】(1)抛物线的表达式：y=x2-2x-3;对称轴为：x=1 (2)m>-4 (3)9 [0=1-b+c 【详解】(1)解：根据题意 -3=c 4/9 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 b=-2 解得： c=-3 ∴.抛物线的表达式：y=x2-2x-3; 地物线的西称轴为：2，(4分) (2)解：令x2-2x-3=m,即x2-2x-m-3=0, 根据题意：（-2)2-4×1×(-m-3)>0,即4m>-16, 解得：m>-4;…（7分) (3)解：令x2-2x-3=0, 解得：x1=-1x2=3, .B3,0, 将x=1代入y=x2-2x-3,则y=-4, .P1,-4), 过点P作PH⊥AB于H,则H(1,O), C(0,-3, .OA=1,OC=3,BH=2,PH=4,OH=1, ∴.四边形BACP的面积为SACo+S.PBH+S梯形ocPH 1 1 1 =。×1×3+二×4×2+二×3+4)×1 2 2 2 3 7 =二+4+ 2 2 =9,…（12分) 5/9 22.(14分)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=1,点C为抛物线与y 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 轴的交点. (1)如图，若该抛物线经过点A(-1,0)； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标： ②连接BC.若点E为直线BC上方抛物线上的动点，连接CE、BE,则四边形ABEC的面积是否存在最大 值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由。 (2)当a>0时，对于任意的正数t,若点(1-ty),(1+2t,y2)在该抛物线上，则y 2（填“>“<” 或“=”) (3)已知点M(0,3),N(4,3),若该抛物线与线段MN恰有一个公共点，求a的取值范围. 【管案I00y=+子+1，总B的坐标的坐标为刘30：您在在，引 (2)< (3)a≥}或a=-3 4 【详解】(1)①，抛物线y=ax2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=1,经过点A(-1,0) (b=1 ∴.2a a-b+1=0 1 解得 a=3 2 b= 3 ∴地物线的解析式为y=方产+号+1 ·A(-1,0),对称轴是直线x=1 ∴.抛物线与x轴的另一个交点B的坐标的坐标为3,0)；…(3分) ②.A(-1,0),B3,0 .AB=3--1=4 6/9 西学科网·学易金卷 www zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 当x=0时，y=1 .C(0,1,即0C=1 5c-4B-00 1 2*4x1=2 设BC所占直线解析式为y=x+1 .将B(3,0)代入y=c+1得，0=3k+1 解得k 3 8C所古直线所式为r=+1 如图所示，过点E作EF∥y轴交x轴于点G,交BC于点F B ,点E为直线BC上方抛物线上的动点 六+则 3 3 .S因泣形4BEC=S.ABc+S。BCE 2*小 1 3 x2+2x+2 2 2 0 3 .当x=- 2 时，S边彩c由最大值 此时3》 24月 …(8分) 7/9 (2)当a>0时， 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.抛物线开口向上 对于任意的正数t,若点(1-ty),(1+2t,y2)在该抛物线上， ∴.1-t-l=l=t,1+2t-1=2t=2t .t<2t ∴.点(1-t,y)到对称轴的距离小于点(1+2t,y2)到对称轴的距离 .乃<y2; (3):抛物线y=ar2+bx+1(a≠0)的对称轴是直线x=-力-l 2a .b=-2a ∴.抛物线y=ax2-2ax+1 如图所示，当a>0时，抛物线开口向上，当抛物线经过点N(4,3)时， M .3=16a-8a+1 解得日号 ∴.若该抛物线与线段MN恰有一个公共点 a24 1 如图所示，当a<0时，抛物线开口向下，当抛物线的顶点在线段MN上时，此时抛物线与线段MN只有一 个交点 8/9 ∴此时抛物线顶点坐标为1,4) 西学科网·学易金卷 www .zxxk.com 做好卷，就用学易金卷 ∴.4=a-2a+1 解得a=-3 综上所述，若该抛物线与线段Mv恰有一个公共点，a的取值范围为a≥号或a=-3。…(14分> 9/9 2025-2026学年九年级数学上学期第一次月考卷 全解全析 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．测试范围：人教版2024九年级数学上册第21~22章（一元二次方程+二次函数）。 第一部分（选择题 共36分） 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．把方程化成一般式，则，，的值分别是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【详解】解：由， 得， ∴，，的值分别是，，， 故选：D． 2．下列函数关系中，可以看作是二次函数模型的是(　　) A．两直角边的和为的直角三角形，面积与斜边的关系 B．周长为的长方形，长与宽的关系 C．面积为的长方形，周长与长的关系 D．面积为的长方形，长与宽的关系 【答案】A 【详解】解：A、两直角边的和为的直角三角形， 设两直角边分别为，则， ∴ ∴ ∴面积与斜边的关系是二次函数，故此选项符合题意； B、关系式为：，是一次函数，故此选项不符合题意； C、关系式为： ，不是二次函数，故此选项不符合题意； D、关系式为：，不是二次函数，故此选项不符合题意； 故选：A． 3．抛物线 可由抛物线 平移得到，那么平移的步骤是（   ） A．右移 个单位长度，再下移 个单位长度 B．右移 个单位长度，再上移 个单位长度 C．左移 个单位长度，再下移 个单位长度 D．左移 个单位长度，再上移 个单位长度 【答案】A 【详解】解：抛物线 可由抛物线 右移个单位长度，再下移个单位长度得到， 故选：A． 4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染的人数为（    ） A．8人 B．9人 C．10人 D．11人 【答案】B 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染的人数为x人， 第一轮过后有（1+x）个人感染，第二轮过后有（1+x）+x（1+x）个人感染， 那么由题意可知1+x+x（1+x）=100， 整理得，x2+2x-99=0， 解得x=9或-11， x=-11不符合题意，舍去． 那么每轮传染中平均一个人传染的人数为9人． 故选：B． 5．为了备战云南省第二届青少年运动会，小路对自己实心球训练的录像进行分析，发现实心球飞行高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系式为，由此可知小路此次实心球训练的成绩为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，即， 解得：（舍去），， 所以小宇此次实心球训练的成绩为． 故选：B． 6．三国时期的数学家赵爽，在其所著的《勾股圆方图注》中记载用图形的方法来解一元二次方程，四个相等的矩形（每一个矩形的面积都是35）拼成如图所示的一个大正方形，利用所给的数据，能得到的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：利用所给的数据，能得到的方程是， 故选：A． 7．在同一平面直角坐标系内，一次函数与二次函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A.观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； B、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； C、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，有可能，故本选项符合题意； D、观察一次函数的图象得：，由二次函数的图象得：，相矛盾，故本选项不符合题意； 故选：C 8．已知二次函数与轴只有唯一的一个交点，则一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 【答案】A 【详解】解： ∵二次函数与轴只有唯一的一个交点， ∴一元二次方程有两个相等的实数根， 故选：A． 9．如图，在中，，，，动点P、Q分别从点A、B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为，点Q的速度为，点Q移动到点C后停止，点P也随之停止运动，若使的面积为，则点P运动的时间是（　  　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设点的运动时间为，则，， ， ， 的面积为， ， 解得：或（舍）， 即使的面积为，则点P运动的时间是， 故选：B． 10．二次函数（为常数，且）的图象经过和两点，则该二次函数（   ） A．有最大值 B．有最小值 C．有最小值 D．有最大值 【答案】D 【详解】解：∵二次函数图象经过和两点， ∴对称轴是直线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴二次函数的图象开口向下，有最大值， ∴二次函数有最大值． 故选：D． 11．如图，抛物线与交于点，过点A作轴的平行线．分别交两条抛物线于点B、C，则以下结论：①无论取何值，的值总是正数；②；③当时，；④当时，；⑤，其中正确的是（　） A．①⑤ B．①②⑤ C．③④ D．①④ 【答案】A 【详解】解：， 无论取何值，的值总是正数，所以①正确； 抛物线过点， 则有， 解得， 所以②不正确； ，， 当时，，， ，所以③不正确； 观察图象可知当时，；时，；时，． 所以④不正确； 抛物线，其对称轴为直线， 抛物线，其对称轴为直线， 又两抛物线交于点， 结合抛物线对称性，可求得，， 则，，所以，所以⑤正确． 故选：A． 12．已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，满分12分） 13．已知一元二次方程有两个实数根，点在第 象限． 【答案】四 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴点的坐标为， ∴点在第四象限； 故答案为：四． 14．m是方程的根，则式子的值为 ． 【答案】2024 【详解】解：∵m是方程的根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2024． 15．如图，是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成，建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线的表达式为，则抛物线的表达式为 ． 【答案】 【详解】解：∵抛物线的表达式为， ∴抛物线的顶点坐标为， ∵图形是由长方形和抛物线构成的图案，由6个全等的基本图案组成， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴抛物线的表达式为． 故答案为：． 16．如图，抛物线经过正方形的三个顶点A，B，C，点B在y轴上，则的值为 ．    【答案】 【详解】解：连接AC，交y轴于点D，    当时，则，即， 四边形是正方形， ，， 点， ， 解得：， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，满分72分） 17．（10分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， ∴， ∴. 18．（12分）根据表中的素材，探索完成任务． 素材 智能化，对某款车型的零部件进行一体化加工，生产效率提升，该零件4月份生产个，月份生产个． 素材 该厂生产的零件成本为元/个，销售一段时间后发现，当零件售价为元时，月销售量为个，若在此基础上售价每上涨元，则月销售量将减少个． 问题解决 任务 求该车间月份到月份生产数量的平均增长率． 任务 为使月销售利润达到元，而且尽可能让车企得到实惠，则该零件的实际售价应定为多少元？ 【答案】任务：；任务：元 【详解】解：任务：设该车间月份到月份生产数量的平均增长率为， 由题意得，， 解得，（不合，舍去）， 答：该车间月份到月份生产数量的平均增长率为； 任务：设该零件的实际售价应定为元， 由题意得，， 整理得，， 解得，， ∵要尽可能让车企得到实惠， ∴， 答：该零件的实际售价应定为元． 19．（12分）投篮机是一种将篮球运动中的投篮动作独立出来设计而成的体育休闲设备，如图1．图是投篮过程中的截面图，为了研究投篮过程中篮球的运动路线，以所在的直线为轴，过点作的垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，篮球的飞行路线可以用二次函数刻画，斜坡可以用一次函数刻画，篮球飞行的水平距离（米）与篮球距离水平面的竖直高度（米）的变化规律如下表： 水平距离米 竖直高度米 (1)根据上表，请确定篮球飞行路线的表达式； (2)在研究中发现，投篮机支架的连接点恰好在篮球飞行路径的抛物线上，经过测量，投篮机支架的长度为米，支架与水平面的夹角为，请计算投篮机支架的长度； (3)在篮球的飞行过程中，篮球到斜坡的竖直高度会时刻变化，请求出的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：， 解得：， 篮球飞行路线的表达式为：； （2）解：作于点，则，四边形是矩形， ， 由题意得：， ， 设点的坐标为，      解得：，不合题意，舍去， ， 由题意得：， ， ， 答：投篮机支架的长度为米； （3）解：设点的坐标为，则点的坐标为， ， 的最大值为． 20．（12分）二次函数的顶点为P，与y轴的交点为C． (1)抛物线的顶点P的坐标是______；交点C的坐标是_____； (2)在所给的平面直角坐标系中，画出它的图象； (3)把二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，则平移后的图像对应的二次函数的关系式为______； (4)当时，的取值范围是______． 【答案】(1)，；(2)见解析；(3)(4)或； 【详解】（1）解： 故 ∵点C在y轴上 ∴ 故答案为：， （2）如图： （3）二次函数的图像向左平移1个单位，然后向上平移3个单位； 则： 故答案为：； （4）∵，由图像可得：或； 故答案为：或. 21．（12分）已知抛物线交x轴于，B两点，交y轴于点． (1)求该抛物线的表达式和对称轴． (2)若抛物线与直线有两个不同交点，求m的取值范围． (3)设点P是抛物线的顶点，求四边形的面积． 【答案】(1)抛物线的表达式：；对称轴为： (2) (3) 【详解】（1）解：根据题意， 解得：， ∴抛物线的表达式：； ∴抛物线的对称轴为：； （2）解：令，即， 根据题意：，即， 解得：； （3）解：令， 解得：， ∴， 将代入，则， ∴， 过点P作于H，则， ∵， ∴， ∴四边形的面积为 ． 22．（14分）在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线，点C为抛物线与y轴的交点． (1)如图，若该抛物线经过点； ①求抛物线的解析式，并直接写出抛物线与x轴的另一个交点B的坐标； ②连接．若点E为直线上方抛物线上的动点，连接、，则四边形的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点E的横坐标；若不存在，请说明理由． (2)当时，对于任意的正数t，若点，在该抛物线上，则________（填“”“”或“”）； (3)已知点，，若该抛物线与线段恰有一个公共点，求a的取值范围． 【答案】(1)①，点B的坐标的坐标为；②存在， (2) (3)或 【详解】（1）①∵抛物线的对称轴是直线，经过点 ∴ 解得 ∴抛物线的解析式为 ∵，对称轴是直线 ∴抛物线与x轴的另一个交点B的坐标的坐标为； ②∵， ∴ ∵ 当时， ∴，即 ∴ 设所占直线解析式为 ∴将代入得， 解得 ∴所占直线解析式为 如图所示，过点E作轴交x轴于点G，交于点F ∵点E为直线上方抛物线上的动点 ∴设，则 ∴ ∴ ∵ ∴当时，由最大值 ∴此时； （2）∵当时， ∴抛物线开口向上 ∵对于任意的正数t，若点，在该抛物线上， ∴， ∵ ∴点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离 ∴； （3）∵抛物线的对称轴是直线 ∴ ∴抛物线 如图所示，当时，抛物线开口向上，当抛物线经过点时， ∴ 解得 ∴若该抛物线与线段恰有一个公共点 ∴； 如图所示，当时，抛物线开口向下，当抛物线的顶点在线段上时，此时抛物线与线段只有一个交点 ∴此时抛物线顶点坐标为 ∴ 解得 综上所述，若该抛物线与线段恰有一个公共点，a的取值范围为或． 试卷第18页，共20页 18 / 18 学科网（北京）股份有限公司 $