21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

￥21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识储备+*++++一 (1)1+1 (2)x1+x. 一 元二次方程a.x2十bx+c=0(a≠0，b2-4ac ≥0)的两根x1,x2和系数a,b,c有如下关系： x1十x2= x1·x2= 01基础练 细必备知识梳理一 知识点一 一元二次方程的根与系数的关系 知识点三利用根与系数的关系求方程中的待 1.(2025·十堰模拟)设方程x2一4x+3=0的 定系数的值或取值范围 两根分别是x1,x2,则x1十2的值为( 6.(2024·乐山)若关于x的一元二次方程x2十 A.-3B.3 C.4 D.-4 2.(1)已知x1,x2是方程x2一5x十6=0的两 2x十p=0的两根是1，x,且1十1=3，则 根，则x1·x2的值是 p的值是 () (2)【T2(1)变式】若关于x的一元二次方程 B号 C.-6 D.6 x2一mx+2=0的一个根是一1，则另一个根 7.若关于x的一元二次方程x2十2x-2m十1=0 是 的两实数根之积为负数，则实数m的取值范 3.【教材P16例4变式】不解方程，求下列方程 围是 的两根之和与积： 8.(2025·汕头模拟)关于x的一元二次方程x2 (1)x2-2x=5; 一4x一2m+5=0有两个不相等的实数根x1 和x2: (1)求m的取值范围； (2)3.x2+2x=2(x+1). (2)若x1x2十x1十x2=3,求m的值. 知识点二 利用根与系数的关系求相关的代数 式的值 4.(1)一元二次方程x2一x一6=0的两根分别 是x1和x2,则x1十x2一无1x2的值是（ A.5 B.-7 C.7 D.-5 (2)【T4(1)变式·逆向思维】若x1,x2是方程 x2十mx一n=0的两根，且x1十x2=2,x1x2= 易错点 在利用根与系数的关系时，因忽略 一3，则m= ,n= “△≥0”致错 5.【教材P17习题T7变式】已知x1,x2是一元 9.若关于x的一元二次方程x2一(2m十3)x+ 二次方程x2一5x一2=0的两根，不解方程求 m2=0的两个实数根为x1,x2,且x1十x2= 下列各式的值： x1x2,则m的值是 15九年级数学·上册 【点拨】先利用根与系数的关系，结合已知条件求m +n)=-1×1=-1. 的值，注意检验“△”的值 根据上述材料，结合你所学的知识，完成下 02综合练 关键能力提升一 列问题， 10.在解一元二次方程x2十px十q=0时，小红 (1)材料理解：一元二次方程2x2一3x一1=0 看错了常数项q,得到方程的两个根是一3， 的两个根为x,x2,则x十x2=一， 1;小明看错了一次项系数p,得到方程的两 x1x2= 个根是5，一4，则原来的方程是 (2)类比应用：已知一元二次方程2x2一3x 一1=0的两根分别为mn则%+的 11.已知矩形ABCD的周长是12，面积是5，且 值是 AB,BC的长恰好是方程x2+mx十n=0的 (3)思维拓展：实数m,n满足2n2一3m一1 两根，则mn= 03素养练 》李科老来格方一 =0,2m2-3n-1=0,且m≠m,求-1 12.【新中考·解题方法型阅读理解题】 的值. 材料1：若关于x的一元二次方程ax2十bx 十c=0(a≠0)的两个根为x1,x2,则x1十x2 b 材料2：已知一元二次方程x2一x一1=0的 两个实数根分别为m,n,求m2n十mn2的值. 解：一元二次方程x2一x一1=0的两个实数 根分别为m,n, .∴.m十n=1,mm=-1,则m2n十mn2=mm(m 微专题目 一元二次方程的根及根与系数的关系的应用 【例】【整体思想】已知a,b是方程x2一3x一5 【针对练习】 =0的两根，求代数式2a3-6a2+b+7b+1 1.(2024·德州)若a,b是一元二次方程x2+ 的值，请补全解答过程： 2024x-4=0的两个根，则a2+2023a一b 解：a,b是方程x2-3x-5=0的两根， 的值为 ( .a2-3a-5=0,b2-3b-5=0,a+b=3. A.2020 B.2024 ∴.a2-3a= ,b2= C.2028 D.-2024 ∴.2a3-6a2+b+7b+1 2.已知m,n是一元二次方程x2+2x-5=0 =2a(a2-3a)+ +7b+1 的两个根，则m2十mn十2m的值是 a+ b+6 3.【针对练习T1变式·逆向思维】a,3是关于 (a+b)+6 x的方程x2一x十k一1=0的两个实数根， ×3+6 且a2-2a-B=4,则k的值为 助学助款优质高数16=-2,c=-1,∴b-4如c=(-2)-4X1X(-1）=8.x=2±8=2±2E=1士 2 2 /2.∴.x1=1十/2，x2=1-√2.③解：原方程变形，得x(x-7)+8(x一7)=0..(a -7)(x+8)=0..x-7=0或x+8=0.∴.x1=7,x=-8.7.B8.2.59.-1或 1.510.(1)解：(3x+2+2x)(3x+2-2x)=0.(5x+2)(x+2)=0.∴.x1=-0.4,x2 =-2.(2)解：2(x-3)2-(x+3)(x-3)=0.(x-3)(2x-6-x-3)=0.(x-3)(7 -9)=0.∴.x1=3,x2=9 微专题二用十字相乘法分解因式解一元二次方程 【例】(2)00解：(x-2)(x-3)=0.∴.x1=2,x2=3. 1.C2.0,±6，±15 分类强化专题 一元二次方程的解法（计算强化专练） 1.(1)解：(3x+2)2=25.3.x+2=士5.∴.x1=1,x2= 3· (2)解：x2-3=1.x2=4. x1=2,x2=-2.(3)解：2x十3=±(3x十2).2x+3=3.x+2,2x+3=-(3.x十2). x1=1,x2=-1.2.(1)解：x+2x=1.x2+2x+1=2.(x+1)=2.∴.x+1=士√2. x1=-1十√2，x2=-1-√2.(2)解：x2-6x+9=10000.(x-3)2=10000,x-3 =士100.∴.x1=103,x2=-97.3.(1)解：.a=2,b=-1,c=-6,.△=(-1)2-4 3 <2X(-6)=49,“x=Y里=..x三2，x2= (2)解：x2-2√5x+6 4 =0..a=1,b=一23，c=6.∴.△=（一2√/3）2一4×1×6=一12<0.∴.此方程无实数 根.4.(1)解：(2x-1)2=0.2x-1=0.x1=x,=2.(2)解：(x-2)(x-2-3) =0..x1=2,x2=5.(3)解：3(x+2)2-(x+2)(x-2)=0.(x+2)(3x+6-x+2) =0.x1=-2,x2=-4.5.(1)-4(x-5)(x+1)5-1(2)①解：(x+2)(x十 3)=0..x1=-2,x2=-3.②解：(x-9)(x+8)=0.∴x1=9,x2=-8.③解：(x -1)(x-6)=0.∴.x1=1,x2=6.④解：(x+9)(x-8)=0.x1=-9,x2=8. 6.解：设2y-1=a,则原方程可变形为a-a-2=0.解得a1=2,a2=一1.当a1=2 时，2y-1=2,解得y=1.5；当a2=-1时，2y-1= -1,解得y=0.y1=0,y2= 1.5.7.解：①当x-2≥0，即x≥2时，原方程化为：x2-2(x-2)-4=0.解得x1= 0,x2=2.:x≥2，∴.x=2.②当x-2<0,即x<2时，原方程化为：x2+2(x一2)-4= 0.解得x=一4，x2=2.:x<2,∴x=一4.综上所述，原方程的解是x1=2,x,=一4. *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 知识储备 -b c aa 基础练 1.C2.(1)6(2)一23.(1)解：原方程变形为x2-2x一5=0.x1十x2=2,x1x2=一 5.(2)解：原方程变形为3x2-2=0..x十=0，x4x=一气 .4.(1)C(2)-2 35解：由题意，得x+x5,x2.0上1十22 ℃T2℃℃2 +x=(x十x)-2xx=5-2X(-2)=29.6.A7.m>7 8.解：(1)由题 意，得(-4)-4(-2m十5)>0.解得m>2;(2)由题意，得1十x,=4,x1x=5- 2m.:,十十xx。=34+5-2m=3.解得m=3,“m>号，m的值是3.9.3 10.2+2x-20=011.-3012.1)号 -2 (3)解：由题意，得m, 3 1 n是一元二次方程2x-3x-1=0的两根心m十n=之mm=-2:(n一m)2=（n +m)-mm=(受)广-4X(-合）=子∴-m=士平∴2-”mm=士 2· m n mn √/17 微专题三 一元二次方程的根及根与系数的关系的应用 【例】55+3b3b+51010101036 1.C2.03.-4 21.3实际间题与一元二次方程 第1课时传播问题与数字问题 基础练 1.(1)97281(2)(1+x)=1442.(1)C(2)A3.解：设每轮传染中平均一 个人传染了x个人，则第一轮传染后有(1十x)人被传染，第二轮传染后有[1十x十x (1十x)]人被传染，根据题意，得(1十x)2=49.解得x1=6,x2=一8（不符合题意，舍 去).答：每轮传染中平均一个人传染了6个人.4.(1)B(2)75.C6.解：设这个 两位数十位上的数为x,则个位上的数为x十3.由题意，得10x十x十3=(x+3).解 得x1=2,x2=3.当x=2时，x+3=5;当x=3时，x+3=6.∴.这个两位数是25或 36.7.58.39.解：设这个最小数为x,则最大数为(x十8).由题意，得x(x十8)= 65.整理，得x2+8.x-65=0.解得x1=5,x2=-13(不合题意，舍去).答：这个最小数 15