第24章 圆-【名师学案】2025-2026学年九年级上册数学分层进阶学习法（人教版）

第二十四章 圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 名师讲坛 堂清练习 1.以点A为圆心作圆，可以作 01要点领悟 A.1个 B.2个 C.3个 D.无数个 (1)圆是一条封闭的曲线，不是 2.已知AB是半径为5的⊙O的一条弦，则AB的 “圆面”，“圆上的点”指的是 长不可能是 () “圆周上的点”； A.4 B.5 C.8 D.12 (2)确定一个圆必需的两个条件 3.如图，AB是⊙0的弦，∠A=42°， 则∠B= ( 是圆心和半径，圆心确定圆的 A.42° B.84° 位置，半径确定圆的大小； C.96° D.100° (3)同一个圆中的所有半径都相 4.下列说法：①圆的大小是由半径确定的；②直径 等，以圆上任意两点与圆心 是弦；③半圆是弧，弧也是半圆；④半径相等的两 (三点不共线)为顶点的三角 个圆是等圆.其中正确的说法有 () 形是等腰三角形. A.①②④B.①③④C.②③④D.③④ 02注意事项 5.⊙O中最长的弦长是10cm,则此圆的面积 1.直径是弦，但弦不一定是直径. 是 2.半圆是弧，但弧不一定是半圆， 6.如图，AB,AC为⊙O的弦，连接CO,BO并延长 弧有优弧、劣弧与半圆之分. 分别交弦AB,AC于点E,F,∠B=∠C 3.在同圆或等圆中才存在等弧， 求证：CE=BF. 长度相等的弧不一定是等弧： 判断两弧是等弧，首先看是否 在同圆或等圆中，再看弧的长 度是否相等. 24 24.1.2垂直于弦的直径 名师讲坛 堂请练习 1.如图，在⊙O中，弦AB的长为4，圆心到弦AB的 01解题策略 距离OC为2，则⊙O的半径长是 () 判断货船能否从圆形拱桥下 A.1 B.√2 C.2√2 D.4 通过，一般有两种方法： (1)固定货船的宽，看圆形拱桥是 否足够高： (2)固定货船的高，看圆形拱桥下 第1题图 第2题图 第3题图 的空间是否足够宽. 2.如图，AB是弦，∠AOB=120°，⊙O的半径是2， 02方法技巧 则弦AB的长是 1.“垂径定理”的几种基本图形 A.2 B.2 C.√3 D.2√3 3.如图，点M是⊙O的弦AB的中点，OM=2, AB=6,则⊙O的半径是 D D ① ② ③ 4.如图，AB是半圆O的直径，CD∥ 定理中，“垂直于弦的直径”可 AB,CD=8,AB=10,则CD与 以是直径（图①），也可以是半 AB之间的距离是 径（图②），还可以是过圆心垂 5.如图，AE是⊙O的直径，半径OD⊥弦AB,垂足 直于弦的线段（图③）. 为C,AB=8cm,CD=2cm,求⊙O的半径的长. 2.垂径定理的推论中“平分弦”的 “弦”一定是非直径的弦，否则 命题不一定成立 3.利用垂径定理及其推论可证明 线段相等、弧相等、一条弦垂直 于另一条弦. 4.解决与弦长有关的计算，常构 造关于“弦长一半、圆心到弦的 垂线段与半径”为边的直角三 角形 25— 24.1.3弧、弦、圆心角 名师讲坛 堂请练习 1.如图，下列各角中，不是圆心角的是 01要点领悟 A.∠AOB B.∠AOC (1)在同圆中，一条弧所对的圆心 C.∠BOC D.∠B 角只有一个，反之，一个圆心 角所对的弧也只有一条； (2)在同圆中，一条弦所对的圆心 角只有一个，但所对的弧有两 条，故不能说“在同圆或等圆 第1题图 第3题图 第4题图 中，相等的弦所对的弧相等”； 2.下列说法正确的是 (3)当出现弧的等分点时，可将其 A.相等的圆心角所对的弧相等 转化为弦相等、圆心角相等， B.相等的圆心角所对的弦相等 进而得到线段或角度的等量 C.相等的弦所对的圆心角相等 关系 D.等弧所对的圆心角相等 02方法技巧 3.如图，若AB=AC,那么AB与AC 在同圆或等圆中，证圆心角相等， A.一定相等 B.一定不相等 可证圆心角所对的弧（或弦）相 C.不一定相等 D.以上都不对 等；证弧相等，可证弧所对的弦 (或圆心角)相等；证弦相等，可证 4.如图，AB是半圆O的直径，点C,D是AE的三 弦所对的弧（或圆心角）相等. 等分点，若∠COD=50°，则∠BOE的度数 是 5.如图，OA,OB,OC是⊙O的三条半径，AC=BC, ∠CMO=∠CNO.求证：CM=CN. 26 24.1.4圆周角 第1,2课时 圆周角定理及其推论、圆内接四边形 名师讲坛 堂清练习 1.如图，点A,B,C在⊙O上，若∠ABC=60°，则 01要点领悟 ∠AOC的度数是 () (1)圆周角必须满足两个条件：① A.30° B.60° C.120° D.150° 顶点在圆上；②两边都与圆 相交； (2)“同弧或等弧所对的圆周角相 等”中的“同弧或等弧”改为 “同弦或等弦”，则结论不一定 第1题图 第2题图 第3题图 成立，因为一条弦所对的圆周 角有两种情况； 2.如图，在⊙O中，点C在AD上.若AB=BD, (3)每个圆有无数个内接四边形， ∠AOB=110°，则∠BCD的度数为 ( 但只有对角互补的四边形才 A.55° B.70° C.110 D.250 有外接圆； 3.如图，BD是⊙O的直径，A,C在圆上，∠A=50°， (4)圆内接四边形的外角等于与 则∠DBC的度数是 ( 它相邻内角的对角. A.50° B.45° C.40 D.35° 02方法技巧 4.如图，⊙O是四边形ABCD的外接 1.常利用直径所对的圆周角是直 圆，若∠ABC=110°，则∠ADC= 角构造直角三角形，从而把问 题转化到直角三角形中解决； 此外，有90°的圆周角，常连该 5.如图，四边形ABCD是⊙O的内接 圆周角所对的弦，构造直径· 四边形，点D是AC的中点，点E是BC上的一点， 2.可构造圆内接四边形，利用圆 已知∠CED=40°，求∠AED和∠ADC的度数 内接四边形性质求角度， 03易错警示 【例】⊙O中弦AB所对的圆心角 是80°，则弦AB所对的圆周角度 数是 【点拨】分圆周角的顶点在劣孤和 优弧上两种情况讨论 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 名师讲坛 堂请练习 1.⊙O的半径是4cm,点A到圆心的距离是6cm, 01要点领悟 则点A和⊙O的位置关系是 () (1)点和圆的位置关系与点到圆 A.点A在⊙O上 B.点A在⊙O外 心的距离和半径之间的数量 C.点A在⊙O内 D.不能确定 关系互相对应；由位置关系可 2.⊙O的半径是3cm,点A在⊙O内，则OA的长 以确定数量关系，同样由数量 不可能是 () 关系可以判断位置关系； A.1 cm B.0 cm C.2.5 cm D.4 cm (2)由点和圆的位置关系求参数 3.△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=4,点D是AB 的取值范围时，关键是将条件 的中点，以点C为圆心，CA为半径作⊙C,点D 转化为点到圆心的距离与半 与⊙C的位置关系是 () 径之间的大小关系. A.点D在⊙C上 B.点D在⊙C外 02方法技巧 C.点D在⊙C内 D.无法确定 1.判断点和圆的位置关系，关键 4.用反证法证明“同位角相等，两直线平行”第一步 是比较点到圆心的距离与半径 的大小关系. 应假设为 2.作三角形的外接圆的关键是确 5.如图，在5×5的正方形网格中，一条圆 定圆心，分别作任意两边的垂 弧经过A,B,C三点，那么这条圆弧所 直平分线，它们的交点即为圆 在圆的圆心是点 心O,以O为圆心，O到任意一 6.如图，已知矩形ABCD的边AB=3cm,BC= 顶点的距离为半径作圆即可. 4cm,以点A为圆心，4cm为半径作⊙A,则点 03易错警示 B,C,D与⊙A有怎样的位置关系？ 【例】△ABC内接于⊙O,若 ∠BOC=50°，则∠BAC= 【点拔】由于△ABC的形状不确定， 需分类讨论，外心可能在△ABC内 部，也可能在△ABC外部. 28 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时 直线和圆的位置关系 名师讲坛 堂清练习 1.如图，若⊙O的半径为6，圆心O到一条直线的距 01要点领悟 离为3，则这条直线可能是 () 直线与圆的位置关系 A.1 B.l2 C.ls D.l 图形 名称 d与r 公共点 关系 个数 d 相交 个 第1题图 第2题图 相切 个 2.如图，OC是∠AOB的平分线，点P是OC上一 点，以点P为圆心的⊙P与OB相切，则OA与 相离 ⊙P的位置关系是 ( 02典例导学 A.相交 B.相离 【例】如图，在Rt△ABC中，∠C= C.相切 D.无法确定 90°，AC=3cm,BC=4cm,以C 为圆心，r为半径的圆与AB是怎 3.直线AB与⊙O相切，⊙O的半径是3cm,则点O 样的位置关系？ B (1)r=2cm; 到直线AB的距离是 (2)r=2.4cm: 4.【新中考·结论开放】已知圆O的半径为3cm,直 (3)r=4cm. 解：过点C作CD D 线1与⊙O没有公共点，ODL1于D,请写出一个 AB于D, ∠ACB=90°， OD的长： ∴AB=√AC+ 5.如图，已知∠AOB=30°，M为OB上的一点，且 AC BC-TAB CD. OM=5cm,以M为圆心，r为半径的圆与直线 ∴CD=AC·BC OA有怎样的位置关系？为什么？ AB (1)d=2.4,r=2, (1)r=2cm; (2)r=2.5cm. ..d r,.⊙C与AB (2).d=2.4,r=2.4, d r,∴.⊙C与AB ； (3)d=2.4,r=4, d r,∴.⊙C与AB 【点津】判断直线与圆的位置关 系，关键是求圆心到直线的距离 d,再与半径r比较大小. 29 第2课时 切线的判定与性质 名师讲坛 堂清练习 1.下列直线中，一定是圆的切线的是 01要点领悟 A.与圆有公共点的直线 圆的切线垂直于过切点的半 B.垂直于圆的半径的直线 径，因此遇到圆的切线时，常连接 C.圆心到直线的距离等于半径的直线 圆心与切点，得到垂直关系或直 D.经过直径一端的直线 角三角形，再结合圆周角定理、三 2.如图，AB切⊙O于A,BO交⊙O于C,若BC=1, 角形内角和等知识求角的度数， ⊙O的半径是4，则AB的长是 () 或结合勾股定理等求线段的 A.1 B.2 C.3 D.4 长度 02方法技巧 证明圆的切线的两种方法： 1.当直线与圆有公共点时，连接 公共点和圆心，然后证明连线 第2题图 第3题图 与直线垂直. 3.如图，AB切⊙O于点B,AO的延长线交⊙O于 2.当直线与圆没有公共点时，作 点C,连接BC.若∠A=40°，则∠C的度数为 圆心到直线的垂线段，然后证 明垂线段的长等于半径. 4.如图，AB是⊙O的直径，点C是⊙O上异于A,B 03易错警示 的点，连接AC,BC,点D在BA的延长线上，且 已知⊙O的半径是2，直线1上有 ∠DCA=∠ABC. 一点P,且PO=2,则直线1与 求证：DC是⊙O的切线. ⊙O的位置关系是 ( A.相交 B.相切 C.相离 D.相交或相切 【点拨】根据PO的长等于半径知 点P在⊙O上，过圆上一点的直 线与⊙O有两种位置关系，相交 或相切. 30 第3课时 切线长定理和三角形的内切圆 名师讲坛 堂请练习 1.如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点， 01解题策略 若PA=5cm,则PB等于 (1)切线长定理既提供了线段的 A.3 cm B.3.5 cm 相等关系、垂直关系，又提供 C.4 cm D.5 cm 了角平分线.如图，PA,PB切 ⊙O于A,B.PO交⊙O于C, 交AB于D,则有下列结论： ●0 D 第1题图 第2题图 第3题图 ①PA=PB;②PO平分 2.如图，PA,PB是⊙O的两条切线，A,B为切点， 若∠APB=56°，则∠APO等于 () ∠APB:③PO⊥AB:④AC= A.18 B.20 C.28 D.30° BC;⑤AD=BD. 3.如图，AB,AC,BD是⊙O的切线，P,C,D为切点， (2)三角形的内心是三角形内角 若AB=8,AC=6,则AP= BD= 平分线的交点，它到三边的距 4.如图，点O是△ABC的内心， 离相等.内心一定在三角形内 部，内心与三角形两顶点连线 ∠ABC=50°，∠ACB=70°，则 的夹角度数=90°+第三个角 ∠BOC的度数是 R 度数的一半. 5.如图，在△ABC中，∠ACB= 02方法技巧 90°，AC=6,BC=8,O为BC上一点，以点O为 1.直角三角形外接圆的半径等于 圆心，OC为半径作圆，与AB相切于点D. 斜边的一半，内切圆的半径等 求BD的长. 于两条直角边的和与斜边之差 的一半.（用于填空或选择题） 2.切线长定理常与等腰三角形的 三线合一的性质相结合运用， 可证明这点与圆心连线垂直平 分两切点的连线： 31 24.3正多边形和圆 名师讲坛 堂请练习 1.下列图形是正多边形的是 01要点领悟 A.矩形 B.菱形 (1)所有的正多边形都是轴对称 C.等边三角形 D等腰三角形 图形，边数是偶数的正多边形 2.一个正多边形的中心角是60°，则它的边数是 是中心对称图形； () (2)各边都相等的圆内接多边形 A.3 B.4 C.5 D.6 是正多边形；各角相等的圆内 3.正六边形的边长是2cm,则它的半径是 ( 接多边形不一定是正多边形， A.2 cm B.1 cm C.√2cm D.√5cm 比如矩形.证明一个多边形是 4.⊙O是等边△ABC的外接圆，若AB=3,则⊙O 正多边形，可证明这个多边形 的半径是 的各边相等、各角相等；也可 A含 C.5 证明圆周被这个多边形的顶 点n等分. 5.如图，在正六边形ABCDEF 02方法技巧 中，连接AC,CF,则∠ACF= 1.正多边形的计算： 度 (1)连接正多边形的一条半径， 6.如图，正△ABC的边长为6， 作边心距，构造直角三 点O是△ABC的中心，求它的中心角、半径和边 角形； 心距. (2)计算半径与边心距的夹角 (公武， (3)在此直角三角形中求解. 2.正三角形的半径与边心距的比 等于2：1，正六边形的半径等 于它的边长 3.正多边形的面积= 号×周长× 边心距 32 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 名师讲坛 堂清练习 1.已知扇形的半径为2，圆心角为60°，则它的弧长 01解题策略 是 () 图中阴影部分称为形.求弓形 的面积时，一般将其转化为扇形 A. D.元 和三角形的面积差或和来求.如 图所示（阴影部分表示弓形）. 2.扇形的半径是16，面积是64π，则扇形的弧长是 3.一个扇形的面积为7πcm,半径为6cm,则此扇 弓形的弧小于半圆： 形的圆心角是 度 S号形=S扇形0AB一S△OAB D 4.某学校运动场跑道的一段弯道如图所示，现需对 其进行改造，经施工队测得弯道的内外边缘均为 弓形的弧大于半圆： 圆弧，点O是AB,CD所在圆的圆心，点C,D分别 S号形=S扇形OADB十S△OAB 在OA,OB上，测得圆弧跑道半径OC=28m,跑 02典例导学 道宽AC=8m,∠AOB=150°，则这段圆弧跑道 【例】如图，⊙O的半径是4，PQ 切⊙O于A,点B是⊙O上一点， 的面积为 m.(结果保留π) ∠PAB=45°，求AB的长及由AB 与AB所围成的阴影部分 的面积 5.如图，矩形ABCD中，AB=2√2，BC=4,以点B 为圆心，BC长为半径画弧，交AD于点E. (1)则AE= ,∠ABE的 度数是 (2)求图中阴影部分的面积. 33-1要点领悟（②ar+r+c(a≠0）(3)取值范用（④性质一名如。 .02 易错警示1050 堂清练习 1142.S=-+10x5253.S=-d+8a164.1)解：S=7x(60-到 =合+30z.2解：5=-7r+30,a=名<0.当z=- =30时，S 最大，最大值是450cm2. 第2课时二次函数与商品利润 名师讲坛 【例】(35-x)(100+4x) (35-x)(100+4x)=-4x2+40x+3500-4下5 堂清练习 1.202322.C3.解：(1)由题意，得y=29-25-x.∴.y=-x+4(0≤x4):(2) 设这种汽车平均每周的销售利润为s万元，则s=(8x+8)(一x+4)=一8x十24x十 32=-8(x-1.5)+50..-8<0,开口向下，∴.x=1.5时，s最大为50.29-1.5= 27.5(万元)，∴.每辆汽车的定价为27.5万元，平均每周的利润最大，最大利润为50 万元. 第3课时实物抛物线 名师讲坛 【例1水8，-16)- -子7-9士612 堂清练习 1.C2.B3.4.94.455.解：由题意知，点(0,1.6)在抛物线y=-0.1(x-k)2+ 2.5上，…1.6=-0.1(0-k)十2.5.解得k=3或k=-3(舍去).该抛物线的解析 式为y=-0.1(x-3)2+2.5.当y=0时，有-0.1(x-3)+2.5=0.解得x1=8,x= 2(舍去).∴.丁丁推铅球的成绩是8m. 第二十三章旋转 23.1图形的旋转 第1,2课时旋转的概念和性质、旋转作图 堂清练习 1.B2.A3.60°4.45. 解：(1)如图，△ABC即为所 求：(2)点A1,C的坐标分别是(4,0)，(3，一2) 23.2中心对称 23.2.1一23.2.2中心对称与中心对称图形 堂清练习 1.B2.D3.B4.A5.轴对称一、口、王、田6.3157.解：作图略. 23.2.3关于原点对称的点的坐标 名师讲坛 1.相反 (-x,-y)2.三四【例】0 堂清练习 1.A2.C3.C4.1-35.56.(-3,-2) 1 解：如图，△ABC和△A'B'C'即为所求. 2 54-3-2 -3引 第二十四章圆 24.1圆的有关性质 24.1.1圆 堂清练习 1.D2.D3.A4.A5.25πcm26.证明：在△BOE和△COF中， ∠B=∠C, BO=CO, ∴.△BOE≌△COF(ASA),∴.EO=FO,又.CO=BO,∴.EO+CO ∠BOE=∠COF, =FO+BO,即BF=CE. 24.1.2垂直于弦的直径 堂清练习 28 1.C2.D3.√54.35.解：：半径0C⊥弦AB,AC=AB=BC=4(cm). 在Rt△AC0中，AO=OC2+AC,∴.(OC+2)2=OC+4.解得OC=3.∴.AO=3+2 =5cm.答：⊙O的半径的长是5cm. 24.1.3弧、弦、圆心角 堂清练习 1.D2.D3.A4.30°5.证明：AC=BC,∴∠AOC=∠BOC,又∠CM0= ∠CNO,OC=OC,.△COM≌△CON(AAS),.∴.CM=CN 24.1.4圆周角 第1,2课时圆周角定理及其推论、圆内接四边形 名师讲坛 【例】40或140 堂清练习 1.C2.A3.C4.705.解：D是AC的中点，∴.AD=CD..∠AED=∠CED= 40°.：四边形AECD是⊙O的内接四边形，∠ADC=180°-∠AEC=18040°X2 =100°. 24.2点和圆、直线和圆的位置关系 24.2.1点和圆的位置关系 名师讲坛 【例】25或155 堂清练习 1.B2.D3.C4.同位角相等，两直线不平行5.Q6.解：r=4cm,AB=3cm, .AB<r,∴.点B在⊙A内；.矩形ABCD,∴.∠B=90°，AD=BC=4cm.又.r=4 cm,'.AD=r,∴.点D在⊙A上；又AC=√AB+BC=5cm,r=4cm,.AC>r, .点C在⊙A外. 24.2.2直线和圆的位置关系 第1课时直线和圆的位置关系 名师讲坛 01要点领悟2=1>002典例导学【例】BC252.4(1)>相 离(2)=相切(3)<相交 堂清练习 1.B2.C3.3cm4.4cm(答案不唯一)5. 解：过点M作MN⊥ 05 M B OA于V,则∠MN0=90.∠AOB=30°，.MN=7OM=2.5cm.(1)当r=2cm 时，：2.5>2，.以M为圆心，2cm为半径的圆与OA相离：(2)当r=2.5cm时， 2.5=2.5,∴.以M为圆心，2.5cm为半径的圆与OA相切. 第2课时切线的判定与性质 名师讲坛 03易错警示D 堂清练习 1.C2.C3.25° 证明：连接O℃，.OC=OB,.∠ABC= ∠OCB.又.∠DCA=∠ABC,∴.∠OCB=∠DCA.又.'AB是⊙O的直径，∴.∠ACB =90.∠ACO+∠OCB=90°..∠DCA干∠ACO=90°.即∠DCO=90°，∴.DC⊥ OC.,OC是半径，.DC是⊙O的切线. 第3课时切线长定理和三角形的内切圆 堂清练习 1.D2.C3.624.120°5.解：.∠ACB=90°，.OC⊥AC.又.OC是半径，. AC切⊙O于C.又：AD切⊙O于D,∴AC=AD=6.在Rt△ABC中，AB= √AC+BC=V√62+8=10.∴.BD=AB-AD=10-6=4. 24.3正多边形和圆 堂清练习 1.C2.D3.A4.C5.306 解：连接OB,OC,过点O作OD⊥ BC于点D.则BD=2BC=3,∠0DB=90.:∠B0C=360=120,OB=0C,: ∠OBC=∠OCB=30°，.BO=2DO.在Rt△BDO中，BO=OD+BD,∴.(2OD)2= OD+3.解得OD=√5，.OB=2OD=2√3.答：中心角是120°，半径是2√5，边心距 是5. 24.4弧长和扇形面积 第1课时孤长和扇形面积 名师讲坛 【例】解：连接AO,BO,:PQ切⊙O于A,∴∠OAP=90.:∠PAB 45,.∠OAB=45°.OA=OB,∠OAB=∠OBA=45°.∴∠AOB =90.m=9004=2元.Sms=Sm0B-SAm=90x4- 180 360 24 ×4=4π-8. 堂清练习 1.B2.8x37040x5.1)2E45解：2)：∠EBC=∠ABC-∠ABE =45,Sa能=Ss0mSac-Sae=2EX4-2×2亿X2E-04=8v2 360 -4-2π. 第2课时圆锥的侧面积和全面积 名师讲坛 【例】C2πr2π·2120 堂清练习 1.B2.B3.96xcm4.号5.至6.9cm7.解：设圆锥的底面半径是r,则2xr =16π.r=8.圆锥的母线长=√62+82=10.∴这个扇形铁片的面积是x·8·10 =80π(cm). 第二十五章概率初步 25.1随机事件与概率 25.1.1随机事件 堂清练习 1.B2.C3.(1)不可能事件(2)随机事件(3)必然事件4.B5.解：①不可能 事件：②随机事件：③必然事件.按事件发生的可能性由大到小排列为：③>②>①. 25.1.2概率 名师讲坛 【例】414 堂清练习 1.B2.D3.D4.A5.解：1)P(转得正数)=；(2)P(转得负整数)=高：(3)P 3 (转得绝对值不大于5的数)= 25.2用列举法求概率 第1课时用列表法求概率 堂清练习 1c2.6 3.1 解：(2)根据题意，列表如下： 第一 2 3 第二次 (1,1) (2,1) (3,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (1,3) (2,3) (3,3) 由表知共有9种等可能的结果，其中两次摸到标有奇数的结果有4种，.P(两次摸到 奇数)=号 第2课时 用树状图法求概率 堂清练习 1.C 2. 3. 1 4.10 5.解：选择转盘A.理由如下： 转盘A 5 共有9种等可能的结果，其中A大于B的有5种 转批B子个子个了个 结果，A小于B约有4种结果，PA大于B)=号，PA小于B)=台：号>号 选择转盘A。 25.3用频率估计概率 名师讲坛 2.多【例1D客 日5513(2)号33 堂清练习 1.B2.A3.144.(1)0.680.740.680.690.7050.701(2)0.7解： (3)获得橡皮的概率约是0：