精品解析：甘肃省兰州交通大学附属中学2025-2026学年九年级上学期阶段性考查数学试卷

交大附中2025-2026学年第一学期总、分校九年级数学阶段测试卷 时间：120分钟；总分：120分 一．选择题（共11小题，共33分） 1. 2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道．地球到月球的距离约为384400000米，数据384400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 2. 将方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ） A. 3，5，1 B. 3，5，-1 C. 3，-5，-1 D. 3，-5，1 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知和的相似比是，且的面积是1，则四边形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 8. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 11. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共4小题，共16分） 12. 分解因式∶________． 13. 如图，直线交于点，，若，则的值为________． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 15. 做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中合理推断的序号是___． 三．解答题（共11小题，共71分） 16. 计算：； 17. 解分式方程：． 18. 先化简，再求值：，其中. 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 20. 如图1，直线，直线分别交直线于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． （1）直接写出与的数量关系，与的数量关系； （2）猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； 21. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点O出发，沿方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积为9； （2）当t为何值时，与相似． 23. 每年5月15日国际家庭日所在周为全国家庭教育宣传周．某校为发展家校教育合力，帮助家长掌握科学育子方法，利用周末时间邀请学生家长进行培训学习，并在培训结束后组织测试．现从七、八年级中各随机抽取名学生家长的测试成绩（单位：分．成绩分为4组：A． ；B． ：C． ：D． ）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． b．七、八年级学生家长测试成绩的条形统计图： c．七、八年级学生家长测试成绩的众数、中位数（单位：分）如下： 年级 众数 中位数 七 89 89 八 a b 根据以上信息，解决下列问题． （1）表格中， ， ． （2）请补全条形统计图． （3）为加大家庭教育宣传力度，学校计划将以下四张海报随机张贴在两个活动教室内，每个教室张贴两张海报，请用列表或画树状图的方法求①②两张海报张贴在同一个活动教室内的概率． 24. 利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： （1）利用方案测得旗杆的高度为________米； （2）请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 25. 中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想 如图1，当点D在线段上时， ①与的位置关系为：　　　； ②之间的数量关系为：　　　； （2）深入思考 如图2，当点D在线段的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段的延长线上时，正方形对角线交于点O．若已知， ，请直接写出的长． 26. 对于平面直角坐标系中的点和图形W，给出如下定义：若图形W中的任意一点满足且，则称点P为图形W的一个覆盖特征点． 例如：已知，，则点为线段的一个覆盖特征点． （1）已知点， ①在，，中，是三角形的覆盖特征点的为　　　； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形的覆盖特征点组成的图形． （2）点N是坐标轴上的动点．若点是三角形的覆盖特征点，且的最小值为6，请求出点N的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 交大附中2025-2026学年第一学期总、分校九年级数学阶段测试卷 时间：120分钟；总分：120分 一．选择题（共11小题，共33分） 1. 2024年5月3日17时27分，嫦娥六号探测器由长征五号遥八运载火箭在中国文昌航天发射场发射，之后准确进入地月转移轨道．地球到月球的距离约为384400000米，数据384400000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：数据用科学记数法表示为， 故选：B． 2. 将方程化成的形式，则a，b，c的值分别为（ ） A. 3，5，1 B. 3，5，-1 C. 3，-5，-1 D. 3，-5，1 【答案】D 【解析】 【分析】将一元二次方程化成一般式即可得出结论． 【详解】解：可化为， ∴a=3，b=-5，c=1． 故选：D． 【点睛】本题考查一元二次方程的一般式，熟练掌握其形式是解决问题的关键． 3. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，代数式求值，熟练掌握比例的性质是解题的关键．由，得到，代入计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C ． 4. 如图，已知和的相似比是，且的面积是1，则四边形的面积是（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积，进而可得答案． 【详解】∵和的相似比是，的面积是1， ∴， ∵的面积是1， ∴S△ABC=4， ∴S四边形DBCE=S△ABC-S△ADE=3， 故选：B 【点睛】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形面积比等于相似比的平方求出△ABC的面积是解题关键． 5. 若关于x 的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（　） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根；由题意可得且，求解即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵关于x 的一元二次方程有实数根， ∴且， 解得且， 故选：D． 6. 一次函数的图象不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，则的，得出经过的象限是第一、三、四象限，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的 ∴一次函数的图象经过第一、三、四象限 ∴不经过的象限是第二象限 故选：B 7. 如图，若添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似． 根据已知及相似三角形的判定方法对各个选项进行分析，从而得到最后答案． 【详解】解：， ， A，B，D都可判定；选项C中，不是夹这两个角的边，所以不相似， 故选：C． 8. 年暑假期间，我市科技馆举行了“筑梦启航，探索科学”活动．活动结束以后，所有同学们互赠礼物，共送出份礼物，则参加此次活动的同学人数为（ ） A. 人 B. 人 C. 人 D. 人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 设参加此次活动的同学人数为人，依题意得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】解：设参加此次活动的同学人数为人， 依题意得，， 解得，或（舍去）， 故选：C． 9. 小琦在复习几种特殊四边形的关系时整理如图，（1）（2）（3）（4）处需要添加条件，则下列条件添加错误的是（ ） A. （1）处可填 B. （2）处可填 C. （3）处可填 D. （4）处可填 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定，熟知菱形的判定，矩形的判定，正方形的判定条件是解题的关键． 【详解】解：A、有一个角是直角的平行四边形是矩形，则（1）处可填，原说法正确，不符合题意； B、有一组邻边相等的矩形是正方形，则（2）处可填，原说法正确，不符合题意； C、有一组邻边相同的平行四边形是菱形，则（3）处可填，原说法正确，不符合题意； D、菱形的对角本身相等，（4）处填不能得到四边形是正方形，原说法错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，，垂足为，，，则的长为（ ） A. 6 B. 5 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质．由在矩形中，于E，，易证得是等边三角形，继而求得的度数，由是等边三角形，求出的度数，又由，求得的长即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即是等边三角形， ∴，， ∵，，，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 11. 如图，在中，是上一点，交于点，的延长线交的延长线于点，，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据得到，得到；根据得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断；根据，可以判断；根据题意，得可以判断；根据，得，进而得，从而得，可判断．本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故正确； ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∵ ∴， ∴正确； ∵ ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 故错误． 故选：． 二．填空题（共4小题，共16分） 12. 分解因式∶________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． ，用平方差公式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 13. 如图，直线交于点，，若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例的知识点，根据平行线分线段成比例找出线段之间的关系是解决本题的关键． 由平行线分线段成比例可得，，从而可得答案． 【详解】解：∵，， ， 故答案为：． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点C作，交于点E，连接，若，则的长为___． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、直角三角形斜边上的中线性质以及勾股定理等知识，由菱形的性质得，进而由直角三角形斜边上的中线性质得，则，再由勾股定理得，然后由菱形面积求出的长即可． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 做随机抛掷一枚质地不均匀的纪念币试验，得到的结果如下表所示： 抛掷次数m 1000 2000 3000 4000 5000 “正面向上”的次数n 512 1034 1558 2083 2598 “正面向上”的频率（） 0.512 0.517 0.519 0.521 0.520 ①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，所以“正面向上”的概率是0.512； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520； ③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次． 其中合理推断的序号是___． 【答案】②③ 【解析】 【分析】本题考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率，但是并不是频率值就一定等于概率值，据此求解即可． 【详解】解：当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是0.512，“正面向上”的概率不一定是0.512，故①错误； 随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在0.520附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是0.520，故②正确； 若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．故③正确； 所以，其中合理推断的是②③， 故答案为：②③． 三．解答题（共11小题，共71分） 16. 计算：； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先计算二次根式的乘法和除法，再合并即可． 【详解】解： ． 17. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，先将分式方程转化为整式方程求解，最后再检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以得：， 整理得：， 解得：， 检验：当时，， ∴原方程的解为． 18. 先化简，再求值：，其中. 【答案】，3. 【解析】 【分析】根据分式的运算法则即可求出答案． 【详解】原式====， ∵|x|=2时， ∴x=±2， 由分式有意义的条件可知：x=2， ∴原式=3． 【点睛】本题考查分式的运算法则，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中建立平面直角坐标系，的顶点和均为格点（网格线的交点）．已知点A和的坐标分别为和． （1）在所给的网格图中描出边的中点D，并写出点D的坐标； （2）以点O为位似中心，将放大得到，使得点A的对应点为，请在所给的网格图中画出． 【答案】（1） 如图所示，点D即为边的中点， 点D的坐标为． （2） 如图所示，即为所求作的三角形． 【解析】 【分析】本题主要考查了中点坐标公式，坐标系中画位似图形，熟知中点坐标公式，位似图形的性质是解题的关键． （1）根据两点中点坐标公式可确定点D的坐标，进而描出点D即可； （2）根据点A和点的坐标可知，把B、C的横纵坐标都乘以即可得到的坐标，描出，并顺次连接即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 如图1，直线，直线分别交直线于点A，B．嘉淇在图1的基础上进行尺规作图，得到如图2． （1）直接写出与的数量关系，与的数量关系； （2）猜想四边形的形状，并证明自己的猜想； 【答案】（1）， （2）菱形，证明见解析 【解析】 【分析】本题考查角平分线的尺规作图，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合作图过程得是的角平分线，即可作答． （2）先得出，再整理得，根据一组对边平行且相等得四边形是平行四边形，运用一组邻边相等的平行四边形是菱形，即可作答． 【小问1详解】 解：根据作图可知，是的角平分线， ∴； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； 21. 如图，在中，，点D在上，于点E． （1）求证：； （2）且，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）由得到，于是得到； （2）利用相似三角形的性质求得的长． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知，点P从点O出发，沿方向以2个单位长度/秒的速度运动，点Q从点B出发，沿方向以1个单位长度/秒的速度运动，当点P到点A的位置时，两点停止运动．设运动时间为t秒． （1）当t为何值时，的面积为9； （2）当t为何值时，与相似． 【答案】（1）当时，的面积为9 （2）或时，与相似 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程、相似三角形的性质在动态几何中的应用．抓住动点的运动起点、运动方向和运动速度是解题关键． （1）根据题意分别表示出，即可建立一元二次方程求解； （2）根据，分类讨论和两种情况即可求解． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 由题意知：， ∵的面积为9， ∴， 解得：， 即当时，的面积为9 【小问2详解】 解：∵， ∴与相似时，有和两种情况， ①当时，，解得： ②当时，时，解得： 当或时，与相似． 23. 每年5月15日国际家庭日所在周为全国家庭教育宣传周．某校为发展家校教育合力，帮助家长掌握科学育子方法，利用周末时间邀请学生家长进行培训学习，并在培训结束后组织测试．现从七、八年级中各随机抽取名学生家长的测试成绩（单位：分．成绩分为4组：A． ；B． ：C． ：D． ）进行整理、描述和分析，部分信息如下： a．七年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． 八年级学生家长的测试成绩： ，，，，，，，，，，，，，，． b．七、八年级学生家长测试成绩的条形统计图： c．七、八年级学生家长测试成绩的众数、中位数（单位：分）如下： 年级 众数 中位数 七 89 89 八 a b 根据以上信息，解决下列问题． （1）表格中， ， ． （2）请补全条形统计图． （3）为加大家庭教育宣传力度，学校计划将以下四张海报随机张贴在两个活动教室内，每个教室张贴两张海报，请用列表或画树状图的方法求①②两张海报张贴在同一个活动教室内的概率． 【答案】（1）， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数的概念及求解方法，条形统计图，运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率．熟练掌握众数、中位数的概念及求解方法，条形统计图，运用列表法或树状图法计算特定事件发生的概率是解题的关键． （1）根据众数、中位数的概念进行求解即可； （2）先根据八年级成绩，统计出各分数段的人数，再依据已有统计图的刻度和七年级的条形图，在相应的八年级分数段上画出对应高度的直条； （3）运用列表法或树状图法列出所有可能的结果，统计出①②两张海报张贴在同一个活动教室的情况，用满足条件的情况除以总情况数即可． 【小问1详解】 解：八年级学生家长测试成绩中，出现的次数最多，所以； 八年级名学生家长的测试成绩从小到大排列：，，，，，，，，，，，，，，，中位数是，所以． 故答案为：，． 【小问2详解】 解：补全条形统计图如图所示． 【小问3详解】 根据题意，列表如下： ① ② ③ ④ ① （① ，②） （① ，③） （①，③） ② （② ，①） （③ ，③） （②，④） ③ （③ ，①） （④ ，②） （④，④） ④ （⑤，①） （⑤ ，②） （④，③） 由表格可知共有种可能的结果，其中①②两张海报张贴在同一个活动教室内的结果有2种， 故所求概率为． 24. 利用相似三角形可以计算某些不能直接测量的物体的高度，某校“综合与实践”小组的同学把“测量学校旗杆的高度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实践调查，并形成了如下活动报告． 19． 活动课题 测量学校旗杆的高度 活动目的 利用相似三角形知识解决实际问题 活动工具 皮尺、镜子、标杆等 测量方案 方案：利用影子 方案：利用镜子 方案：利用标杆 测量示意图 测量过程 在同一时刻，小组同学测得身高为米的小乐的影长为米，同时测得旗杆的影长为米． 小慧在她脚下放置镜子，然后向后退，直到她刚好在镜子中看到旗杆顶部．小组同学测得小慧的眼睛距离地面的高度为米，小慧到镜子的距离为米，旗杆到镜子的距离为21米． 小智在他前面立一根标杆，当小智的眼睛、标杆顶部、旗杆顶部在同一直线上时，小组同学测得标杆高为2米，小智的眼睛距离地面的高度为米，小智与旗杆之间的距离为米． 计算结果 … 活动反思 … 根据上面活动报告，解答下列问题： （1）利用方案测得旗杆的高度为________米； （2）请将方案的测量示意图补充完整，并求出旗杆的高度； （3）小智在利用方案计算旗杆的高度时，发现还缺少数据，你认为还需要测出哪个数据，就能计算旗杆的高度．（不需写出计算过程） 【答案】（1）15 （2）米，图见解析 （3）还需要测出线段（或线段）的长度． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用举例，灵活运用相似三角形解决实际问题是解题的关键 （1）同一时刻下，物长与影子的长对应成比例，即，据此列出比例式求解即可； （2）先根据题意补全示意图，再证明，根据相似三角形的性质列出比例式求解即可； （3）根据题意可知的长，则只需要求出的长即可，再可证明，得到，则只需要知道的长即可． 【小问1详解】 解：由题意得， ∴，即，解得：米． ∴利用方案A测得旗杆的高度为15米； 【小问2详解】 解：补全测量示意图如下所示，过点C作， ， 又， ， ， ，， ， ∴， ，即，解得：米， ∴旗杆的高度为15米． 【小问3详解】 解：如图所示，根据题意可知的长， ∵ ∴， ∴，则只需要知道的长即可求出的长，进而求出的长， ∴还需要测出线段（或线段）的长度． 25. 中，，，点D为直线上一动点（点D不与B，C重合），以为边在右侧作正方形，连接． （1）探究猜想 如图1，当点D在线段上时， ①与的位置关系为：　　　； ②之间的数量关系为：　　　； （2）深入思考 如图2，当点D在线段的延长线上时，结论①、②是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明． （3）拓展延伸 如图3，当点D在线段的延长线上时，正方形对角线交于点O．若已知， ，请直接写出的长． 【答案】（1）①垂直；② （2）成立；不成立，，证明见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）①根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质即可得到结论；②由得出，即可得出结论； （2）根据正方形的性质得到，推出，根据全等三角形的性质以及等腰直角三角形的角的性质可得到结论． （3）求出，由（2）同理可证得，得出，由勾股定理求出，即可得出答案． 【小问1详解】 解：①正方形中，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 故答案为：垂直； ②∵， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 【小问2详解】 解：成立；不成立，．理由如下： ∵正方形中，， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， 由（2）同理可证得， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 对于平面直角坐标系中的点和图形W，给出如下定义：若图形W中的任意一点满足且，则称点P为图形W的一个覆盖特征点． 例如：已知，，则点为线段的一个覆盖特征点． （1）已知点， ①在，，中，是三角形的覆盖特征点的为　　　； ②请在平面直角坐标系中用阴影表示三角形的覆盖特征点组成的图形． （2）点N是坐标轴上的动点．若点是三角形的覆盖特征点，且的最小值为6，请求出点N的坐标． 【答案】（1）①，；②见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查新定义，掌握新定义内涵，认真阅读定义，从中找出关键点是图形中的横坐标最小值与纵坐标的最小值是覆盖特征点，抓住特征点即可解决问题是解题关键． （1）①根据覆盖特征点的定义得到，然后逐一判断解答即可②根据画出阴影区域即可； （2）分为点N在y轴上和点N在x轴上两种情况，根据覆盖特征点的定义解答即可． 【小问1详解】 解：（1）①根据覆盖特征点的定义可得：， ∴符合的点的坐标可以为，， 故答案为：； ②根据，则覆盖特征点的图形如图中阴影部分； 【小问2详解】 解：当点N在y轴上时，设点N的坐标为， 则，根据最小是6，x最小为3，解得， ∴点N的坐标为； 当点N在x轴上时， 设点N的坐标为，则， 根据最小是6，y最小为2解得， ∴点N的坐标为； 故答案为：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $