精品解析：河北省邯郸市武安市伯延镇中学、冶陶镇中学联考2025-2026学年八年级上学期10月期中数学试题

八年级数学期中试卷 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   2. 等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（ ） A. B. C. D. 3. 绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，表示两根长度相同的木条，，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（） A. B. C. D. 5. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 6. 如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A. △CDF B. △CDK C. △CDE D. △DEF 7. 图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 8. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有（ ）个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A. △CDF B. △CDK C. △CDE D. △DEF 10. 图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有（ ）个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 12. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ） 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测．在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A. 甲的方案可行，乙的方案不可行 B. 甲的方案不可行，乙的方案可行 C. 甲、乙的方案均可行 D. 甲、乙的方案均不可行 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 14. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 15. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 16. 设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放___________根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是__________． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若A、B关于轴对称，求的值； （2）若A、B关于轴对称，求的值． 19. 如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且． （1）求证:; （2）求的度数． 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别是，． （1）在图中作出关于轴对称的; （2）求的面积; （3）在轴上有一动点，使的距离最小，直接写出点的坐标． 21. 如图，在中，是的垂直平分线，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 22. 如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． （1）求证：； （2）分别求出的度数． 23. 如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）______________；当点在边上运动时，_____________；（用含的式子表示） （2）当点在边上运动时，某时刻是等腰三角形，请计算运动时间; （3）当点在边上运动时，出发_____________秒后，是以或为底的等腰三角形． 24. 【数材呈现】 活动2用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点、、是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）嘉嘉得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明： （3）淇淇连接筝形ABCD的对角线，交于点，发现“筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线”请你帮他补全证明过程． 已知：如图3，在筝形中，，，分别连接筝形的对角线，交于点． 求证：垂直平分． 证明： 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期中试卷 一、单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 二十四节气是历法中表示自然节律变化以及确立“十二月建”的特定节令．下面四幅设计作品分别代表“立春”、“芒种”、“白露”、“大雪”，其中轴对称图形的是（　　） A. ）  B.    C.    D.   【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别．根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A、B、C选项中的图形都不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； D选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D． 2. 等腰三角形中，若顶角度数为，则底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查学生对等腰三角形的性质，三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理可直接求出其底角的度数． 【详解】解：等腰三角形的两个底角相等，顶角是， 其底角为． 故选：B． 3. 绝缘梯是电力工程的专用登高工具，如图，绝缘梯模型中的长度都为，则A，B两点之间的距离可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系的应用，三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，据此求出的范围即可得到答案． 【详解】解：由构成三角形的条件可知，， ∵， ∴，即， ∴四个选项中，只有A选项符合题意， 故选：A． 4. 如图，，表示两根长度相同的木条，，若是，的中点，经测量，则容器的内径为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由点是的中点，得，再结合，根据全等三角形的判定可证，再根据全等三角形的性质，可得出的长，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是的中点， ，， 在和中 ， ， ， 故选：B． 5. 若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A. 三角形 B. 四边形 C. 五边形 D. 六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，任意多边形的外角和为，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n， 根据题意得：， 解得：． 即这个多边形是四边形． 故选：B． 6. 如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A. △CDF B. △CDK C. △CDE D. △DEF 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可. 【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK 所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形. 故选：A 【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键. 7. 图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出、的长度即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ，， ， 同理可得：， ． 故选：C ． 8. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有（ ）个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质等知识，分三种情况，， ，，画出图形即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为四点，则是等腰三角形， 当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为两点，则是等腰三角形， 当时， 作的垂直平分线，交坐标轴为两点，则是等腰三角形， 综上，使得是等腰三角形的点共有个， 故选：D． 9. 如图，经过直线AB外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在AB的两旁． （2）以点C为圆心，CK长为半径作弧，交AB于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F． （4）作直线CF． 则直线CF就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为（） A. △CDF B. △CDK C. △CDE D. △DEF 【答案】A 【解析】 【分析】根据作图过程和等腰三角形的定义进行分析即可. 【详解】由作图过程可得：CD=CD,DF=EF,CD=CK 所以，是等腰三角形的有 △CDK， △CDE，△DEF；△CDF不一定是等腰三角形. 故选：A 【点睛】考核知识点：等腰三角形.理解等腰三角形的定义是关键. 10. 图是高铁站入口的智能闸机及其示意图，如图，当双翼展开时，双侧挡板边缘的端点与之间的距离为，双翼的边缘，且与闸机侧立面夹角，可以通过闸机的物体的最大宽度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，解决本题的关键是根据直角三角形中所对的直角边等于斜边的一半求出、的长度即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，过点作， ，， ， 同理可得：， ． 故选：C ． 11. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，已知点，在坐标轴上找一点，使得是等腰三角形，则这样的点共有（ ）个 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，垂直平分线的性质等知识，分三种情况，， ，，画出图形即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为四点，则是等腰三角形， 当时，以点为圆心，长为半径作圆，交坐标轴为两点，则是等腰三角形， 当时， 作的垂直平分线，交坐标轴为两点，则是等腰三角形， 综上，使得是等腰三角形的点共有个， 故选：D． 12. 某校八年级学生到野外活动，为测量一池塘两端A、B的距离，甲、乙两位同学分别设计出如下两种方案：下列说法正确的是（ ） 甲方案 乙方案 如图1，先在平地取一个可直接到达的点，再连接，并分别延长至至，使，，最后测出的长即为的距离． 如图2，过点作，再由点观测．在的延长线上取一点，使，这时只要测出的长即为的距离． A. 甲的方案可行，乙的方案不可行 B. 甲的方案不可行，乙的方案可行 C. 甲、乙的方案均可行 D. 甲、乙的方案均不可行 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质． 甲方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离；乙方案利用“”方法，证明，测出的长即为的距离． 【详解】解：甲方案：在和中， ， ， ； 乙方案：∵， ， 在和中， ， ， ， ∴甲、乙的方案均可行． 故选：C． 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于轴对称点的坐标特点，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据关于轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数即可得到答案． 【详解】解：点关于轴对称的点的坐标是 故答案为： 14. 如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成，在中，已知直角边，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成，得出，则，代入数值计算，即可作答． 【详解】解：∵“赵爽弦图”的示意图是由四个全等的直角三角形围成， ∴， ∴， 故答案为：2． 15. 如图，用一条宽度相等的足够长的纸条打一个结（如图1），然后轻轻拉紧、压平就可以得到如图2所示的正五边形.在图2中，的度数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出正五边形各个内角的度数，然后在等腰中计算角度，即可得到的度数． 【详解】解：由n边形内角和公式 可得五边形的内角和为540°， ∴， ∴在等腰中，， ∴， 故答案为． 【点睛】此题考查的是多边形的内角和及等腰三角形角度的计算，掌握计算公式是解题的关键． 16. 设，现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB、AC上，从点开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中为第一根小棒，且，若，则这样的小棒最多摆放___________根；若最多能摆放5根小棒，则的取值范围是__________． 【答案】 ①. 2 ②. 【解析】 【分析】当时，由等腰三角形的性质，三角形的外角性质得到°，得到最多摆放2根小棒；当最多能摆放5根小棒时，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，，因此，，于是得到． 本题考查等腰三角形的性质，关键是由等腰三角形的性质和题意得到，． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴当时，这样的小棒最多摆放2根； 如图，由等腰三角形的性质，三角形外角的性质得到，， ∵最多能摆放5根小棒， ∴，， ∴． 故答案为：2，． 三、解答题 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，求不等式组的解集，熟练掌握不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先算开方和乘方，再算加减； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ， 解①得， 解②得， ∴． 18. 在平面直角坐标系中，已知点，点． （1）若A、B关于轴对称，求的值； （2）若A、B关于轴对称，求的值． 【答案】（1）6 （2）1 【解析】 【分析】本题考查了关于轴、轴对称的点的坐标，代数式求值，解题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数． （1）根据“关于轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数”列方程组求出的值，然后代入代数式进行计算即可； （2）根据“关于轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数”列方程组求解即可； 【小问1详解】 由题意得 解得 【小问2详解】 由题意得 解得 19. 如图，在中，平分是线段上一点，交直线于点，且． （1）求证:; （2）求的度数． 【答案】（1）证明： 在和中 （2） 【解析】 【分析】（1）根据“AAS”判定和全等即可． （2）先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据，进一步求得的度数． 此题主要考查了全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解答的关键是结合图形分析清楚角与角之间的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 平分 20. 如图，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点的坐标分别是，． （1）在图中作出关于轴对称的; （2）求的面积; （3）在轴上有一动点，使的距离最小，直接写出点的坐标． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了作图-轴对称变换，轴对称-最短路线问题，熟记轴对称的性质是解题的关键． （1）根据轴对称的性质作出图形即可； （2）根据三角形的面积公式求解即可； （3）连接交y轴于点P，则点P即为所求． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：由图形可知，． 21. 如图，在中，是的垂直平分线，． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：， ， 是的垂直平分线， ， ； （2） 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边可证，根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可证，等量代换可证； （2）由（1）可知，根据含角的直角三角形的性质可得：． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ， ， ，， ． 22. 如图，在等边中，点D，E分别在边BC，AC上．且与相交于点于点于点． （1）求证：； （2）分别求出的度数． 【答案】（1） 证明:是等边三角形 在和中 （2）； 【解析】 【分析】（1）证明即可说明； （2）利用全等三角形的性质得到，再由垂直得到进而解答即可． 本题主要考查了全等三角形的判定和性质，以及等边三角形的性质，关键是根据证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： 23. 如图，在中，是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒1个单位长度，点从点B开始沿方向运动，且速度为每秒2个单位长度，它们同时出发，设出发的时间为秒． （1）______________；当点在边上运动时，_____________；（用含的式子表示） （2）当点在边上运动时，某时刻是等腰三角形，请计算运动时间; （3）当点在边上运动时，出发_____________秒后，是以或为底的等腰三角形． 【答案】（1）， （2） （3）11或12 【解析】 【分析】（1）可求得和，则可求得； （2）用t可分别表示出和，根据等腰三角形的性质可得到，可得到关于t的方程，可求得t； （3）用t分别表示出和，利用等腰三角形的性质和题目要求可分和两种情况，分别得到关于t的方程，可求得t的值． 【小问1详解】 解：由题意得，, ∴, 故答案为：，； 【小问2详解】 由题意可知，, 当为等腰三角形时，则有，即, 解得， ∴出发秒钟，能形成等腰三角形； 【小问3详解】 当点Q在上时，， ∴， ∵是以或为底的等腰三角形 ∴有和两种情况， 当时，则， 解得； 当时，则， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 解得； 综上可知，当点Q在边上运动时，出发12秒或11秒后，是以或为底的等腰三角形． 故答案为：11或12． 【点睛】本题为三角形的综合应用，涉及勾股定理、等腰三角形的性质、等积法、方程思想及分类讨论思想等知识，解答本题的关键是用时间t表示出相应线段的长，化“动”为“静”同时注意方程思想的应用． 24. 【数材呈现】 活动2用全等三角形研究：“筝形” 如图，四边形中，，．我们把这种两组邻边分别相等的四边形叫做“筝形”，请你自己画一个筝形，用测量、折纸等方法猜想筝形的角、对角线有什么性质、然后用全等三角形的知识证明你的猜想． 请结合教材内容，解决下面问题： 【概念理解】 （1）如图1，在正方形网格中，点、、是网格线交点，请在网格中画出筝形． 【性质探究】 （2）嘉嘉得到筝形角的性质是“筝形有一组对角相等”，请你帮他将证明过程补充完整． 已知：如图2，在筝形中，，． 求证：． 证明： （3）淇淇连接筝形ABCD的对角线，交于点，发现“筝形的一条对角线垂直平分另一条对角线”请你帮他补全证明过程． 已知：如图3，在筝形中，，，分别连接筝形的对角线，交于点． 求证：垂直平分． 证明： 【拓展应用】 （4）如图4，在中，，，点、分别是边，上的动点，当四边形为筝形时，请直接写出的度数． 【答案】 （1）四边形为所求： （2）证明：如图，连接， 在和中， ， ， ． （3）证明：由（2）得， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 垂直平分． （4）或 【解析】 【分析】（1）取格点的关于的对称点，连接、即可求解； （2）连接，利用证得即可求解； （3）利用（2）的证得，得、，再利用即可求解； （4）根据题意，分两种情况：①当筝形中，，时；②当筝形中，，时，分别求解即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 （4）根据题意，可分两种情况： ①如图，当筝形中，，， 由（2）得：， ； ②当筝形中，，， ， 在中，， ， 是的一个外角， ， ． 综上所述，当四边形为筝形时， 的度数为或． 【点睛】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，外角的性质，熟练掌握全等三角形的各种判定方法是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $