精品解析：河南省信阳高级中学新校（贤岭校区）2025-2026学年高三上学期10月月考数学试题

河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期10月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】解不等式求得集合，从而求得集合. 【详解】，解得，所以， 对于集合，，则， 由于，所以. 故选：D 2. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象，易得函数的定义域和对称性，奇偶性，再逐一判断各选项即得. 【详解】由图象可知，为奇函数且定义域为. 对于A,函数的定义域为关于原点对称，但，是偶函数，故A错误； 对于B，函数定义域为，与图象不符，故B错误； 对于C，函数定义域为关于原点对称，且，是奇函数，与图象符合，故C正确； 对于D，函数定义域为，与图象不符，故D错误； 故选：C. 3. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】结合题设，根据导数的定义可得，进而对函数求导列方程求解即可. 【详解】由，则， 而，则，即. 故选：B 4. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由等差数列前项和公式及下标和定理计算即可． 【详解】数列和都为等差数列，且， 则， 故选：B． 5. 已知函数 ，在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用函数是增函数，所以有二次函数的对称轴大于等于1，对数函数底数大于1，函数的最小值大于的最大值.列方程解不等式即可. 【详解】因为在上单调递增，所以 解得． 6. 新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（ ）（参考数据：，） A. 0.369 B. 0.415 C. 0.585 D. 0.631 【答案】C 【解析】 【分析】 由，得，由题意可得，从而可求出的值 【详解】解：因为， 所以， 由题意得时，，代入上式得 ，所以， ， ， 故选：C 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】由不等式的解集结合基本不等式得到，，从而利用基本不等式求出的最小值. 【详解】由题意可知，方程的两个根为m，，则，解得：，故，， 所以，当且仅当，即时取等号，则， 所以，当且仅当，即时取等号， 故的最小值为2. 故选：C. 8. 已知函数，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】记，易证为奇函数且在上单调递增，由此即可解不等式. 【详解】设，则， 因为， 所以函数为奇函数， 当时，易知单调递增，单调递增， 所以当时，函数单调递增， 又函数为奇函数，所以函数在上单调递增， 所以等价于 所以 所以不等式的解集为. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合且，则集合的真子集个数是7 【答案】ACD 【解析】 【分析】明确两命题之间的关系，可判断A的真假；确定集合，可判断B的真假；根据一元二次方程根的分布求的取值范围，判断C的真假；确定集合中的元素，求其真子集的个数，判断D的真假. 【详解】对A：由只能得到集合有公共元素，并不能得到； 反之，由，可能有，此时. 所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故A为假命题； 对B：因为是函数的值域，所以；是函数的定义域，所以， 所以，故B为真命题； 对C：假设方程有两个根，表示为，，则两根均为负数 . 即方程有两个负根的充要条件是，故C为假命题； 对D：因为且， 所以集合真子集的个数为个，故D为假命题. 故选：ACD 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列是等比数列 【答案】ABD 【解析】 【分析】联立方程，求出等差数列的首项和公差，结合等差数列的前项和公式以及等比数列的定义依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为d，则，解得，， 所以，， 当或时，有最小值，故A，B正确，C错误； 因为，所以数列是公比为4的等比数列，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 【答案】ABD 【解析】 【分析】选项A：根据极值点情况，分析的根的情况，得出的范围；选项B：对正负分类讨论的单调性，根据零点情况，即可得出的解；选项C：求导，设出切点，得到切线方程，把点代入切线方程得关于的方程，根据方程根的个数可判断C；选项D：转化为关于的一次函数的零点情况，即可判断D. 【详解】，令，解得，， 选项A：为的极小值点，，，故A正确； 选项B：， 当时，时，，则在上单调递增，此时在上没有零点； 当时，当时，，当时，， 则在上单调递减，在上单调递增， 当时，在上取得极小值，也是最小值， 即， 在上有且仅有一个零点，，解得，故B正确； 选项C：当时，，设切点， 则切线斜率，切线方程为， 切线过点，代入切线方程即，即，解得， 有且仅有一条直线与曲线相切，故C错误； 选项D：设，， 则， 设，由于，故为单调递增的一次函数， 存在使得符合题意，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】记，，，又， 曲线在处的切线方程为，即. 故答案为： 13. 已知正数满足，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】对条件等式利用基本不等式再结合一元二次不等式即可求解. 【详解】已知正数满足， 根据基本不等式，（取等号）， 即，即， 于是，得到， 当时，时，的最大值为. 故答案为： 14. 已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过换元法将方程变为，其中；利用导数可求得的大致图象，从而确定其与的交点个数，将所求式子化为，利用韦达定理可求得结果. 【详解】由，两边同时除以变形为， 有 设即，所以 令，则，所以在上单调递增，在上单调递减， 且，，当时，其大致图像如下． 要使关于x的方程有三个不相等的实数解，，，且． 结合图像可得关于t的方程一定有两个不等的实数根， 且，从而． ，，则，． 所以 . 故答案为： 【点睛】方法点睛：已知函数零点(方程根)个数求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； （3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，或. （1）求、； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求的取值范围. 【答案】（1），或 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数解析式有意义可求出集合，利用二次函数的基本性质求出集合，再利用补集和交集的定义可求得集合； （2）根据并集结果可得出关于实数的不等式组，即可解得实数的取值范围； （3）分析可得，可得出关于实数的不等式，即可解得实数的取值范围. 【小问1详解】 ， ， 所以或，故或. 【小问2详解】 因为，或，且， 所以，解得， 因此实数的取值范围是. 【小问3详解】 若，则，所以或，解得或， 因此实数的取值范围是. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数在的最小值. 【答案】（1） 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，讨论、研究导数的区间符号，即可得对应单调性； （2）应用导数研究函数的单调性，讨论与区间的位置关系求函数最小值. 【小问1详解】 由题意知的定义域为，， ①若，恒成立，所以在上单调递减. ②若，由，得， 所以当时，；当时，； 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）知，在单调递减，在单调递增. ①当，即时，在单调递减， 当时，有最小值； ②当，即时，在上单调递减，在上单调递增. 当时，有最小值； ③当，即时，在上单调递增， 当时，有最小值； 综上：. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最小值； （3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 【答案】（1）增区间为，减区间为 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据的单调性，结合函数图象即可求解； （2）根据对数的运算可得，即可利用基本不等式求解； （3）利用换元法，将问题转化为，有两个正的实数根，即可由一元二次方程根的分布求解. 【小问1详解】 ， 由于在上单调递增， 所以的增区间为，减区间为； 【小问2详解】 由（1）知在上单调递减，在上单调递增， ，即， ∴，∴，∴， ， 当且仅当，即时取等号， ∴的最小值为． 【小问3详解】 有四个不等实根，即有四个不等实根， 设，得， 只需方程有两个不等正实根， ，解得， ∴的取值范围为． 18. 已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和. （1）求数列和的通项公式； （2）设的前项和，求证：． （3）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2） 证明：由（1）知，， 可得， 则 ， 因为，所以，故. （3） 【解析】 【分析】（1）设等比数列的公比为，等差数列的公差为，根据题意，列出方程组，分别求得的值，即可求得数列和的通项公式； （2）由（1）求得，结合裂项法求和，求得数列的前项和，即可得证； （3）根据题意，求得数列的通项公式，结合等差数列的求和公式和乘公比错位法求和，即可求解. 【小问1详解】 解：由等比数列的各项均为正数，设公比为， 因为成等差数列，且满足， 可得，即，即， 解得，所以， 设等差数列的公差为， 因为，可得，解得， 所以，即数列的通项公式为. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：因为，可得， 则数列的前项和， 令， 令，则， 两式相减得 ， 所以， 所以数列的前项和. 19. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． （1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） （2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明； （3）已知，证明：． 【答案】（1） （2），证明如下： 令，则， 恒成立，在递增，在递增， 在递增，， 即. （3） 由题，，则，则， 令， 易得在上递增，在上递减，从而， 即当且仅当时取等号）， ， 即， ， ，得证． 【解析】 【分析】（1）根据泰勒公式求得，赋值即可求得近似值； （2）构造函数，利用导数判断其单调性和最值，即可证明； （3）根据（2）中所得结论，将目标式放缩为 ，再裂项求和即可证明. 【小问1详解】 记，则， ， 所以， 因为， 所以且， ，． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题第三问的处理关键是能够利用第二问结论，将原式放缩为，再利用裂项求和法证明，对学生已知条件的利用能力以及综合应用能力提出了较高的要求，属综合困难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省信阳高级中学新校（贤岭校区） 2025-2026学年高三上期10月测试（一） 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合且，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的大致图象如图所示，则可能是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，若，则实数a的值为（ ） A. 1 B. C. D. 4. 设数列和都为等差数列，记它们的前项和分别为和，满足，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知函数 ，在上单调递增，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 新冠疫情防控常态化，核酸检测应检尽检！核酸检测分析是用荧光定量法，通过化学物质的荧光信号，对在扩增进程中成指数级增加的靶标实时检测，在扩增的指数时期，荧光信号强度达到阈值时，的数量与扩增次数满足：，其中为扩增效率，为的初始数量.已知某被测标本扩增5次后，数量变为原来的10倍，那么该标本的扩增效率约为（ ）（参考数据：，） A. 0.369 B. 0.415 C. 0.585 D. 0.631 7. 已知关于x的不等式的解集为，其中，则的最小值为（ ） A. －2 B. 1 C. 2 D. 8 8. 已知函数，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对的得6分，部分选的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为假命题的是（ ） A. “”是“”的必要不充分条件 B. 若，，则 C. 方程有两个负根的充要条件是 D. 已知集合且，则集合的真子集个数是7 10. 已知等差数列的前n项和为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 取得最小值时 D. 数列是等比数列 11. 已知函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若为的极小值点，则的取值范围为 B. 存在，使得在上有且仅有一个零点 C. 当时，过点存在两条直线与曲线相切 D. 存在，使得 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 曲线在处的切线方程为______． 13. 已知正数满足，则的最大值为______. 14. 已知函数有三个零点，，，且，其中，为自然对数的底数，则的范围为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，或. （1）求、； （2）若，求实数的取值范围； （3）若，求的取值范围. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，求函数在的最小值. 17. 已知函数． （1）求的单调区间； （2）若，求的最小值； （3）若方程有四个不等实根，求实数的取值范围． 18. 已知等比数列的各项均为正数，成等差数列，且满足，等差数列数列的前项和. （1）求数列和的通项公式； （2）设的前项和，求证：． （3）设，求数列的前项和. 19. 18世纪早期英国牛顿学派最优秀代表人物之一的数学家泰勒（Brook Taylor）发现的泰勒公式（又称麦克劳林公式）有如下特殊形式：当在处的阶导数都存在时，．其中，表示的二阶导数，即为的导数，表示的阶导数． （1）根据公式估计的值；（结果保留两位有效数字） （2）由公式可得：，当时，请比较与的大小，并给出证明； （3）已知，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $