11.4.2&11.4.3球的体积、表面积（教学课件）数学沪教版2020必修第三册

该高中数学课件聚焦球的体积与表面积公式，以足球、篮球等生活实例导入提问，通过祖暅原理推导半球体积（对比圆柱切圆锥的体积），再类比割圆术用体积推导表面积，构建从具体到抽象的知识脉络，搭建学习支架。 其亮点在于以生活情境激发兴趣，通过探究操作（圆柱切圆锥对比半球）和类比推理（割圆术类比表面积推导）培养数学思维，典例分析（空心钢球内直径计算）与分层练习结合提升应用能力。体现数学眼光、数学思维和数学语言，帮助学生发展空间观念和推理能力，教师可高效实施教学。

11.4 2&3.球的体积、表面积 第11章 简单几何体 沪教版2020必修第三册·高二 情境引入 足球、篮球、地球仪都是我们生活中比较常见的球类。我们应该如何测得这些大小不一的球的体积和表面积？球的体积和表面积可以用什么公式表示？ 新知初探 设有一个半径为的球。和柱体、锥体一样，在先只考虑半球的前提下， 我们应该如何应用祖暅原理推导球的体积公式？ 拿出底面半径为,高为的圆柱 从中切去一个倒置的底面半径为、高为的圆锥 用平行与底面高度为的平面截这两个几何体 R 探究操作 半球在大圆截口上方高度处的截面是半径为的圆， ； 容易看出右边几何体中被切掉的圆锥在高度上的截面的半径是， 右边几何体在高度上的截面面积. 这两个截面面积相等，根据祖暅原理，这两个几何体的体积相等，即半球的体积为,图(2)中圆柱体积减去圆锥体积: 由此可见，球的体积是： = 古人在计算圆周率时,一般是用割圆术,即用圆的内接或外切正多边形来逼近圆的周长.你还记得是如何求得的吗? 思考：类比这种方法你能推导出球的表面积公式吗？ 同时对比球的表面积的计算和圆柱、圆锥有什么不同，球面与圆柱面、圆锥面又有什么区别？ 球的表面积就是球面的面积．由球的定义可以看出，球面是由一条半圆弧绕其直径旋转一周而成的曲面，它不能像圆柱面、圆锥面那样展开为平面图，求它的面积就不能化为平面的问题． 新知探究 类比利用圆周长求圆面积方法,我们可利用球的体积求球的表面积.如图所示，把球面剖分成许多小区域．取其中一个区域，把它近似地看成平面的三角形或多边形，从而它与球心组成了一个侧棱是的棱锥。 O A B C D 当这个区域足够小时，棱锥的高也近似于，棱锥的体积为： 当取遍剖分中的所有小区域时，的总和近似于球面的面积，而的总和近似于球的体积 当剖分做得越来越精细时，推导过程中的“近似”越来越趋向于“精确”，于是上述近似关系最终成为相等关系。即： = 10 以为半径的球面面积是： ＝ 11 例1.有一种空心钢球，质量为142，测得球的外直径等于求它的内直径.（钢的密度是c，结果精确到） 典例分析 解析： 已知条件：空心钢球，给定了总质量、外直径、材料密度，求内直径。 核心关系： 用质量与密度求出钢的实际体积（即外壳的体积）。 外壳体积=外球体积-内球体积 解：设空心钢球的内直径为，那么钢球的质量是： 7.9142 解得． 答：空心钢球的内直径约为 例2.如图所示已知圆柱的底面直径与高都等于球的直径． 求证： （１）球的表面积等于圆柱的侧面积； （２）球的表面积等于圆柱表面积的 14 （1）设球的半径为，则圆柱的底面半径为，高为2． 得＝4，＝22，＝， ＝ （2）因为＝4＋2＝＝. = 课堂检测 练习1.一个底面半径为的圆柱形容器中装有一定量的水，两直径为的玻璃球都浸没在水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为_ ______. [解析]设容器内水面下降的高度为， 由题意可得，解得 ， 因此，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为. <m></m></m> 又球心到平面的距离 ， 所以， 所以该球的表面积. [解析] 因为 , 所以为平面截球所得截面圆的直径, 如图,设截面圆的半径为，球的半径为则 解得 练习2.已知是球面上三点，且，若球心到平面的距离为，求该球的表面积. 练习3.如图，底面半径为，母线长为的圆锥中挖掉一个高为的内接圆柱， （1）求圆柱的表面积； （2）求圆柱的体积与圆锥的体积之比. 解析： 1.用相似三角形求圆柱半径； 2.圆柱表面积=侧面积+两底面积； 3.体积比直接计算即可，注意圆锥体积公式系数。 解：（1）设圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，表面积为. 则， 如图所示，易知，所以，即，所以， . 所以. 所以圆柱的表面积为. 解：(2)由(1)知，圆柱的底面半径为，高， 所以圆柱的体积. 圆锥的体积. 所以圆柱与圆锥的体积比为. 练习4.(1)球的半径变为原来的2倍，则体积变为原来的 倍. (2)球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的 倍. (3)两球的体积之比是8︰27，则其表面积之比是 . 8 4:9 (4)一平面截一球得到直径为的圆面，球心到这个平面的距离是，则该球的体积是多少？ 解：因为，即，所以 解：因为，所以 课堂小结 • O R 感谢聆听! $