11.4.2 球的体积（题型专练）数学沪教版2020必修第三册

11.4.2 球的体积 题型一 球的体积有关计算 一、单选题 1．将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 2．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 3．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 4．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 5．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 6．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 7．已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 8．已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为 . 11．已知一个棱长为1的正方体，它的所有顶点均在一个球面上，则这个球的体积为 ． 12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ． 13．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 . 三、解答题 14．如图，已知两两垂直且侧棱长分别为的四面体，求外接球半径. 15．如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 16．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 题型一 球的截面与体积的交汇 一、单选题 1．南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的（    ） A． B． C． D． 2．已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 3．用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（    ） A． B． C． D． 4．已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 5．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一体积的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（    ） A． B． C． D． 6．若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知A，B，C，D是球O表面上四点，且任意两点之间距离相等，若作球O的截面截四面体ABCD所得的截面是边长为的正方形，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 8．用底面半径为的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（    ）． A． B． C． D． 9．两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上，若球O的体积为V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 10．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 . 11．已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ． 12．用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则与底面所成的角的大小为 ，圆锥的体积与球O的体积之比为 ．    三、解答题 13．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理． 如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，请你利用祖暅原理求球冠的体积． 题型二 球的体积的最值问题 一、单选题 1．一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“端”“午”“快”“乐”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“吉”“祥”“如”“意”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为 为使内部正四面体在外部正四棱锥内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（  ） A． B． C． D． 2．已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样问题：棱长为的正四面体盒子中，最多能放个半径为2小球，则为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 4．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 5．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为（    ）    A． B．3 C． D．9 6．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 8．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 . 9．某金属晶体的原子排列的正八面体最密堆积（表示金属晶体原子的六个等径球按如图1所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图2）依然存在空隙（最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方）．若等径球的半径为，空隙中能容纳的最大外来原子（图3中位于中间的小球）的半径为，则 ．    三、解答题 10．已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，当球的体积最小时，求正六棱柱底面边长． 11．如图，在三棱柱中，，，平面．    (1)求证：平面； (2)若点在棱上，当的面积最小时，求三棱锥外接球的体积． 一、单选题 1．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，D是的中点，将分别沿折起，使两点重合于G，下列说法错误的是（    ） A．若把沿着继续折起，与G恰好重合 B． C．四面体的外接球体积为 D．点G在面上的射影为的重心 2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图在堑堵中，，，D，E分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体不是鳖臑 B．DE与平面相交 C．若，则AB与DE所成角的正弦值为 D．三棱锥的外接球的体积为定值 3．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（   ）    A． B． C． D． 4．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法错误的是（ ） A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体表面上交线的长度为 D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 5．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 6．已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ） A．平面与平面的夹角为 B．球的体积为 C．的最小值为 D．与平面所成角度数的最大值为 二、填空题 7．如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .    8．空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为 （用含的式子表示）． 9．2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 ． 三、解答题 10．如图，在四棱锥中，.设，其中. (1)求证：平面平面ABCD； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 11．如图，三棱锥中，平面平面，，，.    (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 11.4.2 球的体积 题型一 球的体积有关计算 一、单选题 1．将一个底面直径与高相等的实心圆柱体挖去足够大的球，使得剩余部分最少，则球的体积与剩余部分体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据球及圆柱的体积公式求解即可. 【详解】设底面半径为，由题意挖去球的半径最大为， 所以，. 故选：B 2．已知正四棱台的上下底面的边长分别为和，体积为，则该正四棱台的外接球体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由棱台的体积公式可得棱台的高，再求棱台的外接球体积即可. 【详解】由题可知，，设棱台高为， 则，解得，    根据正四棱台的特性，正四棱台的外接球半径即为四边形外接圆半径， 又，，所以， 则，所以为直角三角形， 故为四边形外接圆直径， 正四棱台的外接球半径，体积. 故选：B. 3．在四面体中，已知，，，则四面体的外接球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可推出为等边三角形，设点是的中心．再设分别为的中点，则可得在上，计算相关线段长，可得，求出，即得N为四面体的外接球的球心，确定球的半径，即可求得答案. 【详解】由题意，， 可得为等边三角形，设点是的中心． 设为的中点，则在上，且， 则,则, 又， 则 ，故，同理, 连接，则，故， 在中，, 在中， ，即得， 故，即N为四面体的外接球的球心 球的半径，故． 故选：B． 4．如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为，如果不计容器的厚度，则球的体积为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径，再根据截面圆半径，球的半径以及球心距的关系，即可求出球的半径，再利用球的体积公式计算即可． 【详解】设球的半径为，如图所示，    根据已知条件知，正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为， 球心到截面圆的距离为， 所以由， 解得， 所以球的体积为， 故选：A. 5．已知圆柱存在内切球，则该球与圆柱的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由圆柱内切球的特性可知，然后求体积计算比值即可. 【详解】根据题意，设圆柱内切球半径为，底面半径为，高为， 又圆柱存在内切球，所以， ， 所以. 故选：C. 6．已知三棱锥，两两垂直，，，，则三棱锥外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题知根据墙角模型可把三棱锥补形成长方体，求长方体外接球即可． 【详解】因两两垂直， 故三棱锥的外接球即是以，，，为棱长的长方体的外接球， 故球的半径为，则球的表面积为. 故选：A. 7．已知直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，，，，若该直三棱柱的各顶点均在同一球面上，则该球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题设分别取的中点，连接，判断直三棱柱的外接球球心在的中点，借助于求得外接球半径，代入公式即得其体积. 【详解】 如图，，，分别取的中点，连接， 则点分别是的外心，故直三棱柱的外接球球心在的中点， 连接，则，， 故直三棱柱的外接球半径，则其体积为. 故选：B. 8．已知正三棱柱的底面边长为3，侧棱长为2，且该三棱柱的6个顶点都在同一个球面上，则该球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由对称性确定其外接球的球心位置求得外接球的半径，再根据球的体积计算即可. 【详解】设正三棱柱的外接球的球心为，三棱柱上、下底面的中心为，，， 由对称性可知为的中点，且到上、下底面的距离，即. 又、到所在面顶点的距离， 由勾股定理得该球的半径， 所以外接球的体积. 故选：C. 9．已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，且，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，把三棱锥可补成一个长方体，设三棱锥的外接球的半径为，利用长方体的对角线长等于外接球的直径，求得，结合球的体积公式，即可求解. 【详解】在三棱锥中，因为平面，且，，， 则三棱锥可补成如图所示的一个长方体， 其中三棱锥的外接球与该长方体的外接球为同一个球， 在直角中，可得， 设三棱锥的外接球的半径为， 可得，所以， 则球的体积为. 故选：B. 二、填空题 10．已知某圆柱的高为，且上､下底面均在以为球心的球面上，若该圆柱的底面半径为1，则球的体积为 . 【答案】/ 【分析】作圆柱的轴截面，求出球的半径，根据球的体积公式求球的体积. 【详解】作圆柱的轴截面，如图： 由题意可知：，， 则球的半径，且， 所以. 所以球的体积为：. 故答案为： 11．已知一个棱长为1的正方体，它的所有顶点均在一个球面上，则这个球的体积为 ． 【答案】 【分析】先求出正方体的对角线长度，再根据正方体的对角线是其外接球的直径求出外接球的半径，最后利用球的体积公式计算求解. 【详解】设正方体棱长为，对角线为，则，. 因为正方体的所有顶点均在一个球面上， 所以正方体的对角线是该球的直径，即，所以. 根据球的体积公式. 故答案为： 12．已知四棱锥的底面是边长为的正方形，底面，若，则该四棱锥的内切球的体积为 ． 【答案】 【分析】先求出四棱锥的表面积和体积，再利用等体积法求出内切球的半径，最后根据球的体积公式计算出内切球的体积. 【详解】如图所示，因为四边形为正方形，所以， 因为底面，底面，所以， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以，故为直角三角形， 同理为直角三角形． 因为，，所以， 所以四棱锥的表面积， 体积． 设内切球半径为，则，得， 故四棱锥内切球的体积为． 故答案为：. 13．已知正三棱柱的高为2，底面边长为，则该三棱柱的外接球的体积为 . 【答案】 【分析】利用正弦定理求底面等边三角形的外接圆半径，结合正三棱柱的结构特征求半径和体积. 【详解】由题意可知：底面等边三角形的外接圆半径， 则外接球的半径， 所以该三棱柱的外接球的体积为. 故答案为：. 三、解答题 14．如图，已知两两垂直且侧棱长分别为的四面体，求外接球半径. 【答案】 【分析】把四面体补成长方体，长方体体对角线即为外接球直径. 【详解】∵三棱锥的三条侧棱两两垂直， ∴可看作长方体的一角，其外接球直径即为长方体的体对角线长， 为，所以外接球的半径为. 15．如图所示，球的一个截面圆的面积是，球心到该截面圆圆心的距离是，求该球的表面积及体积． 【答案】，． 【分析】由题意求出球的半径，再求其表面积与体积即可． 【详解】由题意，球的一个截面圆的面积是． 则， 则， 在中，， 则， 解得， 所以球的表面积为， ． 16．如图，直三棱柱内接于一个圆柱，，为底面圆的直径，圆柱的体积是，底面直径与圆柱的高相等. (1)求圆柱的侧面积; (2)求三棱柱的体积. (3)求直三棱柱的外接球的体积. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据圆柱的体积和结构特点求圆柱的底面半径和高，再利用圆柱的侧面积公式求解. （2）根据柱体的体积公式求解. （3）先求三棱柱的外接球半径，再利用球体体积公式求解. 【详解】（1）设底面圆的直径为，则其高也为; 由题可知，圆柱的体积，解得， 因此圆柱的侧面积为. （2）因为是等腰直角三角形，底面圆的半径为，因此边长， 所以三棱柱的体积. （3）设三棱柱的外接球半径为， 则， 所以三棱柱的外接球体积为：. 题型一 球的截面与体积的交汇 一、单选题 1．南北朝时期，数学家祖冲之、祖暅父子在《缀术》提出祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”，用现代语言可以描述为：“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等．”例如可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为的圆柱与半径为的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为，高为的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用垂直于半径的平面去截半径为的半球，且球心到平面的距离为，则平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意可得所求球冠的体积等于圆柱体积的一半减去圆台的体积，计算求解即可. 【详解】∵，，， ∴， ∴，半球体积为， 所以平面所截得的较小部分（称之为“球冠”）的几何体的体积是半球体积的. 故选：A. 2．已知平面截球的截面面积为，点到平面的距离为3，则球的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出截面圆的半径，进而得到球的半径，得到球的体积. 【详解】平面截球的截面为圆，设圆的半径为，则，解得， 又点到平面的距离为3，则球的半径为， 所以球的体积为 故选：D 3．用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为，则球的体积（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题目条件求出球半径，再利用球的体积公式即可解答. 【详解】设截面圆半径为，球半径为，球心到截面的距离为. 根据题意可得：，， 则. 所以球的半径为， 所以球的体积为. 故选：C. 4．已知球O的体积为，点A到球心O的距离为3，则过点A的平面被球O所截的截面面积的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据球的体积公式，结合球的截面的性质进行求解即可. 【详解】设球O的半径为R，则，解得. 因为点A到球心O的距离为3， 所以过点A的平面被球O所截的截面圆的半径的最小值为， 则所求截面面积的最小值为. 故选：C 5．陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成.如图，已知一木制陀螺内接于一体积的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的底面直径为，则该陀螺的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意易得陀螺的外接球半径，球心为圆柱的中心，再利用球的几何性质，分别求出圆柱与圆锥的高，最后根据体积公式，即可求解． 【详解】根据题意易知，解得，球心为圆柱的中心，又圆柱的底面半径， ∴球心到圆柱底面距离， ∴圆柱的高为，圆锥的高为， ∴该陀螺的体积为， 故选：B. 6．若两球的体积之和是，经过两球球心的截面圆周长之和为 ，则两球的半径之差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】设两球的半径分别为，，根据题意得到方程，解出即可. 【详解】设两球的半径分别为，，则由题意得， 解得，故； 故选： A. 7．已知A，B，C，D是球O表面上四点，且任意两点之间距离相等，若作球O的截面截四面体ABCD所得的截面是边长为的正方形，则球O的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正四面体的截面的性质，结合球的性质和体积公式进行求解即可. 【详解】因为A，B，C，D是球O表面上四点，且任意两点之间距离相等， 所以四面体ABCD为正四面体， 截面截正四面体ABCD所得的截面是正方形时，截面过球心， 且正方形的边长为正四面体ABCD棱长的一半， ∵截面正方形的边长为， ∴正四面体ABCD的棱长为， 把这个正四面体放在正方体中，如图所示： ∴该正方体的棱长为， 所以外接球的半径为， 故球O的体积， 故选：B 8．用底面半径为的圆柱形木料车出7个球形木珠，木珠的直径与圆柱形木料的高相同．下料方法：相邻的木珠相切，与圆柱侧面接触的6个木珠与侧面相切，如图所示是平行于底面且过圆柱母线中点的截面．则7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意推出球形木珠和圆柱的半径之间的关系，确定圆柱的高，根据球和圆柱的体积公式即可求得答案. 【详解】设球形木珠的半径为r，圆柱形木料的底面半径为R, 由截面图可知，圆柱形木料的高为， 故7个木珠的体积之和与圆柱形木料体积之比为， 故选：D 9．两个不同的圆锥的底面是球O的同一截面，顶点均在球O表面上，若球O的体积为V，则这两个圆锥体积之和的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，由圆截面性质求得圆锥底面半径，再得两个圆锥体积和，记为，由二次函数性质得最大值． 【详解】设球半径为，两个圆锥中较小的高为，则另一个圆锥的高为， 圆锥底面半径为，则，， 两个圆锥的体积和为， 所以时，， ，因此． 故选：B． 二、填空题 10．已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，则球的体积是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用正弦定理求出的外接圆半径，再利用球面的截面小圆性质求出球半径即得答案. 【详解】在中，，则，， 由正弦定理得外接圆半径，设球半径为， 于是，解得，所以球的体积是. 故答案为：. 11．已知一平面截球所得截面圆的半径为2，且球心到截面圆所在平面的距离为1，则该球的体积为 ． 【答案】 【分析】利用球的截面圆性质求得球的半径，再利用球的体积公式即可得解. 【详解】由球的截面圆性质可知球的半径， 则该球的体积为. 故答案为：. 12．用一个平面截球O得到的曲面称为球冠，截面为球冠的底面，如图球冠的高大于球的半径，为底面圆心，是以为底，点S在球冠上的圆锥，若底面的半径是球的半径的倍，点A为底面圆周上一点，则与底面所成的角的大小为 ，圆锥的体积与球O的体积之比为 ．    【答案】 / /0.28125 【分析】假设球的半径为R，依题意，通过勾股定理可求出的长，进而可知的长，进而可求与底面所成的角的正切值，进而可求角；分别算出圆锥的体积与球O的体积即可计算其比值. 【详解】设球的半径为R，则，， ， ，所以. 故答案为：； 三、解答题 13．祖暅在求球体积时，使用一个原理：“幂势既同，则积不容异”．“幂”是截面积，“势”是立体的高．意思是两个同高的立体，如在等高处的截面积恒相等，则体积相等．更详细点说就是，界于两个平行平面之间的两个立体，被任一平行于这两个平面的平面所截，如果两个截面的面积恒相等，则这两个立体的体积相等．上述原理在中国被称为祖暅原理． 如图是一个半径为的球体，平面与球相交，截面为圆，延长，交球于点，则垂直于圆（垂直于圆内的所有直线）．若圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为． (1)求圆锥的表面积和体积； (2)如图平面上方与球体之间的部分叫球冠，请你利用祖暅原理求球冠的体积． 【答案】(1)表面积为，体积为 (2) 【分析】（1）根据图形得出圆锥底面半径和球半径的关系，从而得出表面积和体积即可. （2）根据祖暅原理构造图形，再进行体积计算即可. 【详解】（1）设，则， ，， 则侧面展开图扇形的圆心角， ∴，化简得， 即，所以. 满足，∴，，， . （2）如图构造一个与半球同底等高的圆柱，内部挖去一个倒装的等底等高的圆锥．取同一高度的截面．令球冠截面半径为，面积为圆锥截面半径为，面积为．，．，， 所以球冠的截面与上图（2）的截面面积相同，根据祖暅原理两者体积相等． ． 【点睛】关键点点睛：本题考查利用祖暅原理求解几何体的体积.本题关键点根据图形理解祖暅原理，并构造图形，结合球冠的定义再进行相关体积计算，即可求得球冠体积. 题型二 球的体积的最值问题 一、单选题 1．一正四棱锥形状的中空水晶，其侧面分别镌刻“端”“午”“快”“乐”四字，内部为一个正四面体形状的水晶，表面上分别镌刻“吉”“祥”“如”“意”四字，当其在四棱锥外壳内转动时，好似折射出可穿越时空的永恒光芒.已知外部正四棱锥的底面边长为3，侧棱长为 为使内部正四面体在外部正四棱锥内(不考虑四棱锥表面厚度)可绕四面体中心任意转动，则该正四面体体积最大为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四棱锥的内切球半径，由正四面体在正四棱锥内转动，则正四面体在正四棱锥的内切球内转动，要使正四面体体积最大，则该球即为正四面体的外接球，将正四面体体嵌套在正方体中，通过求正四面体的外接球半径可求得正方体的边长，进而可求解正四面体的体积. 【详解】对于正四棱锥，连接，交于点，则⊥平面， 因为，故，， 又，由勾股定理得， 设正四棱锥的内切球球心为，取的中点，连接，则⊥， ，， 过点作⊥于点，设内切球半径为，则， 则， 因为∽，所以， 即，解得. ∵正四面体在正四棱锥内转动，∴正四面体在正四棱锥的内切球内转动， 要使正四面体体积最大，则该球即为正四面体的外接球. 将正四面体嵌套在正方体中，则正四面体为正方体的面对角线组成的正四面体，如下图， 则该正四面体的外接球即为正方体的外接球， 设正方体的边长为，则，解得. ∴正四面体的边长为， 该正方体的体积， ∴正四面体的体积. 故选：D. 2．已知四面体ABCD的四个顶点都在同一球面上，，，平面平面当该球的体积最小时，四面体 ABCD体积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分析可知四面体ABCD的外接球的体积最小时，球心即为的外接圆的圆心，进而求三棱锥的高和体积. 【详解】因为平面平面BCD，所以点A在平面BCD的射影E落在BD上， 当点E为BD的中点时，AE最大，此时四面体ABCD的体积取最大， 如图所示： 在中，设其外接圆的圆心为O，取BC的中点F，连接DF，则点O在DF的直线上， 由余弦定理得，， 且，则， 设外接圆的半径为r，则，得， 当四面体ABCD的外接球的体积最小时，此时球心应为点O， 则，且， 得，， 此时四面体ABCD体积的最大值为： 故选：B. 【点睛】方法点睛：多面体与球切、接问题的求解方法 1.涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解； 2.若球面上四点P、A、B、C构成的三条线段PA、PB、PC两两垂直，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体求解； 3.正方体的内切球的直径为正方体的棱长； 4.球和正方体的棱相切时，球的直径为正方体的面对角线长； 5.利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 3．直观想象是数学六大核心素养之一，某位教师为了培养学生的直观想象能力，在课堂上提出了这样问题：棱长为的正四面体盒子中，最多能放个半径为2小球，则为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】 按照最大值原则，放置的小球必须紧密放置，即任意相邻的小球外切，因此我们放置根据四个选择支放置10个小球，它们紧密放置后，求出这10个小球安放在一个正四面体中时正四面体的棱长的最小值，然后再确定正确的选项． 【详解】设正四面体的棱长为，是四面体（三棱锥）的一条高，是中心，，所以， 正四面体外接球球心为在上，它也是内切球的球心， 如图，即是外接球半径，是内切球半径， 由及可得，，    棱长为的正四面体盒子中，放置个半径为2小球，要使放入的球最多，则必须相邻球之间外切， 我们可以先放置3层：最上层一个球，第二层三个球，第三层6个球， 它们成三棱锥形状，任意相邻球之间外切，这些球在一个正四面体中， 我们来求出这个正四面体的棱长的最小值，此时最上层的一个球与四面体的三个面外切， 最下层的球与正四面体的底面外切， 位于每层正三角状顶点的所有上下相邻小球的球心连线为一个正四面体， 棱长为，是正四面体的一条高，， 由上可知， 正四面体的高， 把平面平移到与最上方的一个小球相切的位置，此小球是新的正四面体的内切球，是球心，是此小正四面体外接球的半径，因此有， 所以正四面体的棱长为， 因此题中最多只能放置10个小球，再多一个或两个都不能安放． 所以的最大值是10， 故选：B．    【点睛】思路点睛：本题考查了球的切接问题，因此首先求出正四面体的棱长与其内切球、外接球半径之间的关系，正面放球不方便求解，解题时反过来考虑，把球放到正四面体中，选择选择支中球的个数，按照极限原则放置，所放置的球任意相邻两球外切，切合正四面体形状，小球放置成正四面体形状（球心连线构成正四面体），求出能放置这些小球的正四面体的棱长的最小值，然后可得结论． 4．棱长为的正四面体内切一球，然后在正四面体和该球形成的空隙处各放入一个小球，则这样一个小球的体积最大为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出正四面体的体积及表面积，利用求出内切球的半径，再通过求出空隙处球的最大半径，从而即可求最大体积. 【详解】如图，由题意知球和正四面体的三个侧面以及内切球都相切时半径最大， 设内切球球心为O，半径为，空隙处的最大球球心为，半径为， 由正四面体结构特征可知G为的中心，面， 设E为中点，球O和球分别与面相切于F和. 易得，，， 由可得， 又，， 故，，， 又由和相似，可得，即，解得， 即空隙处的最大球的半径为. 所以空隙处的最大球的体积为为. 故选：D 5．约翰·开普勒是近代著名的天文学家、数学家、物理学家和哲学家，有一次在上几何课时，突然想到，一个正三角形的外接圆与内切圆的半径之比恰好和土星与木星轨道的半径比很接近，于是他想，是否可以用正多面体的外接球和内切球的半径比来刻画太阳系各行星的距离呢？经过实践，他给出了以下的太阳系模型：最外面一个球面，设定为土星轨道所在的球面，先作一个正六面体内接于此球面，然后作此正六面体的内切球面，它就是木星轨道所在的球面.在此球面中再作一个内接的正四面体，接着作该正四面体的内切球面即得到火星轨道所在的球面，继续下去，他就得到了太阳系各个行星的模型.根据开普勒的猜想，土星轨道所在的球面与火星轨道所在球面半径的比值为（    ）    A． B．3 C． D．9 【答案】C 【分析】根据正方体的性质可得内接球的半径，再由正四面体的外接球半径求出正四面体棱长，再由等体积法求正四面体的内切球半径即可得解. 【详解】设土星轨道所在球面半径为R，内接正六面体边长为a， 则，∴， 所以正六面体内切球半径， 设正四面体边长b，外接球球心为，为底面中心，如图，     正四面体中，，， 在中，， 则，， 设正四面体内切球半径，利用等体积法可得 ， 解得， ∴， 故选：C. 6．金刚石的成分为纯碳，是自然界中天然存在的最坚硬物质，它的结构是由8个等边三角形组成的正八面体，如图，某金刚石的表面积为，现将它雕刻成一个球形装饰物，则可雕刻成的最大球体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先确定雕刻的体积最大的球为正八面题的内切球，并确定球心和切点的位置，再根据等面积公式求内切球的半径，即可求解球的体积. 【详解】如图，设底面中心为，，中点分别为，，连接，，，，，， 设金刚石的边长为，则由题知，，所以， 在等边中，边上的高， 在中，， 由题可知，最大球即为金刚石的内切球，由对称性易知球心在点，与面的切点在线段上， 球的半径即为截面内切圆的半径，设内切圆半径为， 由等面积法可知：，解得，所以内切球的半径为 则内切球体积为 故选：D． 二、填空题 7．如图某机器零件结构模型，中间最大球为正四面体的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体棱长为，则模型中九个球的体积和为 . 【答案】/ 【分析】先求出正四面体内切球半径与正四面体棱长和高的关系，再分析大、中、小内切于正四面体的高即可求解. 【详解】如图所示正四面体，设棱长为，高为，为正四面体内切球的球心， 延长交底面于，是等边三角形的中心，过作交于，连接， 则为正四面体内切球的半径， 因为，，， 所以， 所以，解得， 所以正四面体内切球的体积， 由图可知最大球内切于高的正四面体中，最大球半径， 故最大球体积为； 中等球内切于高的正四面体中，中等球半径， 故中等球的体积为； 最小求内切于高的正四面体中，最小球半径， 故最小求的体积为； 所以九个球的体积和， 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于求出大球、中球以及小球的半径，由此结合体积公式即可顺利得解. 8．已知四棱锥平面，底面是矩形，，点分别在上，当空间四边形的周长最小时，则三棱锥外接球的体积为 . 【答案】 【分析】把平面展开到与底面共面的的位置，根据图形可知当四点共线时，空间四边形的周长最小，进而求得各边长，由正弦定理可求得外接圆的半径，在三棱锥中确定球心位置根据勾股定理即可求得外接球半径，可得其体积. 【详解】把平面展开到与底面共面的的位置，延长到，使得，则（如下图所示）， 因为的长度为定值，故只需最小，即四点共线， 易知，，可得， 所以，， 由正弦定理可得外接圆的半径， 设外接圆圆心为，则三棱锥外接球的球心一定在过且与平面垂直的直线上，如下图所示： 因为到点的距离相等，所以， 即三棱锥外接球的半径为， 所以外接球的体积为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题关键在于将展开到与底面共面的的位置，确定出空间四边形的周长最小时点的具体位置，求得三棱锥的各边长进而求出外接球半径即可求出体积. 9．某金属晶体的原子排列的正八面体最密堆积（表示金属晶体原子的六个等径球按如图1所示的方式排列：相邻的两个等径球相切且六个球体中心的连线成正八面体形状，如图2）依然存在空隙（最密堆积中六个球所围成的中间空着的地方）．若等径球的半径为，空隙中能容纳的最大外来原子（图3中位于中间的小球）的半径为，则 ．    【答案】/ 【分析】结合某金属晶体的原子排列的正八面体最密堆积，设正八面体EABCDF的棱长为a，连接AC，BD，EF，则，由题意得，，即可求解. 【详解】由题意，最大外来原子一定与6个原子相切，则是正八面体的对角线长． 如图所示，    设正八面体EABCDF的棱长为a，连接AC，BD，EF，则， 由题意得，， 所以，， 故． 故答案为：. 三、解答题 10．已知正六棱柱的顶点都在同一个球面上，且该六棱柱的体积为，当球的体积最小时，求正六棱柱底面边长． 【答案】 【分析】设正六棱柱底面边长为x，表达出正六棱柱的高为，表达出其外接球的半径为，由三元基本不等式求出最小值，得到体积最小值和此时正六棱柱的底面边长.. 【详解】设正六棱柱底面边长为x，那么底面积为6， 因为该六棱柱的体积为，故正六棱柱的高为， 其外接球的半径为， 其中， 故，当且仅当，即时等号成立， 故球的体积最小时，正六棱柱底面边长为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：设出正六棱柱底面边长为x，表达出外接球半径后，利用三元基本不等式求最小值. 11．如图，在三棱柱中，，，平面．    (1)求证：平面； (2)若点在棱上，当的面积最小时，求三棱锥外接球的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）依题意可得、，即可得证； （2）依题意可得，则，所以当的面积最小时，最小，此时，即为的中点，再证明平面，从而得到三棱锥外接球的球心为的中点，求出外接球的半径，即可求出其体积. 【详解】（1）因为平面，平面，所以， 在三棱柱中，，所以平行四边形为菱形，所以， 又，平面， 所以平面. （2）因为平面，平面，所以， 所以，所以当的面积最小时，最小，此时， 又，，所以为等边三角形， 所以为的中点， 平面，平面，所以，， 又，，平面，所以平面， 平面，所以， 所以， 所以三棱锥外接球的球心为的中点， 所以三棱锥外接球的半径， 所以三棱锥外接球的体积.    一、单选题 1．如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，D是的中点，将分别沿折起，使两点重合于G，下列说法错误的是（    ） A．若把沿着继续折起，与G恰好重合 B． C．四面体的外接球体积为 D．点G在面上的射影为的重心 【答案】D 【分析】根据，可说明 与G恰好重合，判断A;根据线面垂直的性质定理可判断B;将四面体 补成长方体，可求得其外接球半径，进而求得外接球体积，判断C;根据线面垂直证明线线垂直，说明点G在面SEF上的射影为三角形的高的交点，判断D. 【详解】对于A，因为，故把沿着继续折起，与恰好重合，正确； 对于B,因为,D是EF的中点，故; 又，故平面GEF, 而平面GEF,故,又平面SGD, 所以平面，平面,所以正确； 对于，由翻折的性质可知，两两垂直， 将其补成相邻三条棱长为1,1,2的长方体，则长方体外接球和四面体外接球相同， 其体对角线长，所以长方体外接球的半径为， 故外接球的体积为，故正确； 对于D，因为两两互相垂直，故平面GEF,则, 设P为点G在平面SEF上的射影，连接EP,SP,则 , 而平面SGP,故平面SGP, 平面SGP, 故，同理可证,即点P为三角形高线的交点， 所以点在平面上的射影为的垂心，故D错误， 故选：D 2．《九章算术》是我国古代数学名著，它在几何学中的研究比西方早1000多年，在《九章算术》中，将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马，将四个面均为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图在堑堵中，，，D，E分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（    ） A．四面体不是鳖臑 B．DE与平面相交 C．若，则AB与DE所成角的正弦值为 D．三棱锥的外接球的体积为定值 【答案】D 【分析】由线面垂直的判定定理和性质定理可判断A；连接相交于点，可得四边形为平行四边形，，再由线面平行的判定定理可判断B；由B选项知与所成角即与所成角为或其补角，求出，在中由余弦定理得，再求出可得正切值可判断C；由、均为直角三角形可得点是三棱锥的外接球的球心，求出外接球的半径可判断D. 【详解】对于A，在堑堵中，平面，平面， 所以，，，所以、均为直角三角形， 因为，所以为直角三角形， 且，平面，所以平面，平面， 所以，所以为直角三角形，所以四面体为鳖臑，故A错误； 对于B， 如图，连接相交于点，所以点为的中点，连接， 所以，，因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故B错误； 对于C，，由B选项知，， 所以与所成角即与所成角或其补角， 因为，所以，连接，所以， 所以，所以， 在中，由余弦定理得， 所以为锐角，则， 则与所成角的正切值为，故C错误； 对于D，如下图，连接，由A选项可知，、均为直角三角形， 且，，且点为的中点， 所以， 所以点是三棱锥的外接球的球心，且外接球的半径为， 因为，所以为直角三角形， 所以三棱锥的外接球的体积为，与长度无关，故D正确. 故选：D. 3．如图，已知圆台形水杯盛有水（不计厚度），杯口的半径为，杯底的半径为，高为，当杯底水平放置时，水面的高度为水杯高度的一半，若放入一个半径为的球（球被完全浸没），水恰好充满水杯，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】求出圆台上面部分的体积，根据小球的体积恰好等于的体积求出球的半径. 【详解】如图，，又放入的球的半径为， 由于圆台的体积， 由题可知：，则，此时小球恰好与上下底面相切； 下面考虑当小球与侧棱相切时，设球心为，球的半径为，则， 由于，则， 则， 那么，则，那么在上方， 即该小球先与上下底面相切．    故选：D. 4．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能像球一样来回滚动．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体．如图所示，设正四面体的棱长为2，则下列说法错误的是（ ） A．勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 B．勒洛四面体被平面截得的截面面积是 C．勒洛四面体表面上交线的长度为 D．勒洛四面体表面上任意两点间的距离可能大于2 【答案】C 【分析】对于A选项,求出正四面体的外接球半径,进而得到勒洛四面体的内切球半径,得到答案,对于B选项,,作出截面图形,求出截面面积,,对于C选项,根据对称性得到交线所在圆的圆心与半径,求出长度,对于D选项,作出正四面题对棱中点连线,在C基础上求出长度. 【详解】A选项，先求解出正四面体的外接球，如图所示： 取的中点，连接，过点作于点，则为等边的重心， 外接球球心为，连接，则为外接球半径，设， 由正四面体的棱长为，则，， ， ，， 由勾股定理得：， 即，解得：， 此时再次完整的抽取部分勒洛四面体，如图所示： 图中取正四面体中心为，连接交平面于点，交于点， 其中与共面，其中即为正四面体外接球半径， 设勒洛四面体内切球半径为，则，故A正确； B选项，勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，如图所示： 面积为，B正确； C选项，由对称性可知：勒洛四面体表面上交线所在圆的圆心为的中点， 故，又， 由余弦定理得：， 故，且半径为，故交线的长度等于，C错误； D选项，将正四面体对棱所在的弧中点连接，此时连线长度最大，如图所示： 连接，交于中点，交于中点，连接，则， 则由C选项的分析知：， 所以， 故勒洛四面体表面上两点间的距离可能大于2，D正确. 故选：C. 【点睛】本题利用勒洛四面体为蓝本,进行求解内切球,截面问题,交线问题,注意题干条件的转化,进而求出结果. 5．已知三棱锥的每个顶点都在球的球面上，平面平面，，，，，则球的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O，则O为球心，然后结合题目数据可得答案. 【详解】因，则为直角三角形，取AB中点为，则为外心. 取BC中点为D，连接PD，则外心在PD上. 因，则，又平面平面，平面平面，平面，则平面. 连接，因平面，则， 现分别过外心，外心，做平面PBC，平面ABC垂线，交点为O， 因过三角形外心垂直于三角形所在平面上的垂线上的点到三角形顶点距离相同， 则两垂线交点O到三棱锥各顶点距离相同，即O为球心. 又注意到，则四边形为矩形. 因，，，则. 则，，得在外. 因为外心，则，设， 则，则. 又，，则，则球体半径为3， 故球体体积为：. 故选：B 【点睛】结论点睛：对于有两个侧面垂直的三棱锥，其外接球半径， 其中为两侧面外接圆半径，为两侧面公共棱长度. 6．已知高为的正四棱台的所有顶点都在球的球面上，，为内部（含边界）的动点，则（    ） A．平面与平面的夹角为 B．球的体积为 C．的最小值为 D．与平面所成角度数的最大值为 【答案】D 【分析】利用几何法求二面角可判断；根据外接球的性质，及球的体积公式计算可判断；利用面面垂直的判定定理及性质定理结合题意计算可判断；利用几何法求线面角可判断. 【详解】 对于：取中点为，连接，则， 所以平面与平面的夹角为， 因为，所以，， 又高为，所以， 所以，即平面与平面的夹角为.故错误； 对于：，所以点到各个顶点的距离都为， 所以点即为正四棱台的外接球的球心， 所以球的半径为，所以球的体积为，故错误； 对于：易得平面，且平面， 所以平面平面， 连接，交于点，连接，则四边形为菱形， 所以，，又平面， 平面平面， 所以平面，连接， 因为平面，所以， 所以，所以， 当且仅当点与重合时等号成立，故错误； 对于：因为平面，垂足为， 平面，所以为直线到平面的距离， 所以点到平面的距离为， 设直线与平面所成角为，则， 因为，所以， 当且仅当点与重合时等号成立， 所以与平面所成角度数的最大值为，故正确. 故选： 二、填空题 7．如图，装满水的圆台形容器内放进半径分别为2和4的两个铁球，小球与容器底和容器壁均相切，大球与小球、容器壁、水面均相切，此时容器中水的体积为 .    【答案】 【分析】通过轴截面来分析解决圆台的上下底面半径及高，求得圆台的体积，再求容器中水的体积. 【详解】作几何体的轴截面图如图，，分别是大球和小球的球心， 是圆台的轴截面等腰梯形两腰和的延长线的交点.   ，分别是球和球与圆台侧面的切点，，分别是与圆台上下底面的切点. 则，，，，且，，. 过点作交于，显然，所以四边形为矩形， 且，， 所以在直角三角形中，， 由同角三角函数关系式得，. 又由，所以，所以，. 在直角三角形中，，得，所以. 又在直角三角形中，. 同理在直角三角形中，，. 所以圆台的上底面半径，下底面半径，高. 所以圆台的体积. 而球的体积，球的体积. 所以容器中水的体积 故答案为：. 8．空间利用率是指构成晶体的原子在整个晶体空间中所占有的体积比，即空间利用率．如图1是六方最密堆积晶胞的示意图． 以上下层球心为顶点得平行六面体，如图2，其中是中间层球的球心，已知该示意图中原子的平均个数为2，则该晶胞的空间利用率为 （用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】首先根据球与球相切的几何性质，在正四面体中，求点到底面的距离，再代入柱体体积公式求晶胞的体积，再计算柱体中含有球的部分的体积，代入公式，即可求解. 【详解】     图3 由图2知，为正四面体（如图3）． 设，，如图4，在正四面体中，作平面于， 连，则为等边三角形的中心，， 在中，， ， 图4 ， 该晶胞的空间利用率． 故答案为： 9．2021年小米重新设计了自己的品牌形象．新旧图像如图所示，旧logo是一个正方形，新logo可看作一个直径为边长的一半的圆在原正方形内运动，保留它运动过程覆盖的区域就是新logo．类比推理，现有一个棱长为4的正方体，一个直径为2的球在正方体内部滚动，将该球可到达的区域保留，不可到达的区域割去，得到一个几何体，我们称之为“小米正方体”，则“小米正方体”的体积为 ． 【答案】 【分析】根据类比，即可根据圆柱的体积公式即可求解. 【详解】根据类比可知：小球在正方体内部运动，“小米正方体”的8个角合在一起刚好是一个直径为正方体棱长一半的球体， 12条棱除开小球部分，余下的刚好可以组成与球半径相同且高为正方体棱长一半的三个圆柱体. 剩余部分是个类似十字的几何体，可得该几何体的体积为32， 所以“小米正方体”的体积为 故答案为：. 三、解答题 10．如图，在四棱锥中，.设，其中. (1)求证：平面平面ABCD； (2)若，求二面角的余弦的取值范围； (3)当时，求三棱锥的外接球体积的最小值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据线线垂直证明线面垂直得到平面PCD，再由线在面内推出面面垂直即得； （2）易得二面角的平面角即为，利用余弦定理求得，结合的范围和二次函数的单调性即可求得答案； （3）设和的外接圆圆心分别和，则球心为过点和且分别垂直于平面PCD、平面BCD的两直线的交点为，球的半径设为，分别利用正余弦定理求得和的外接圆半径，结合图形得到，整理得，利用二次函数的值域可求的最小值，即得外接球体积的最小值. 【详解】（1）证明：因为，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. （2）如图，由，知二面角的平面角即为. 在中，，，则由余弦定理得 ， 在中，由且，结合，可得， 故， 所以，所以， 所以的范围是， 即二面角的余弦的取值范围是. （3） 如图，设和的外接圆圆心分别和， 则球心为过点和且分别垂直于平面、平面的两直线的交点为. 在中，因为，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 在中，由余弦定理得， 再由正弦定理得的外接圆半径. 过点作于，连接EH，设， 因为为外接圆的圆心，所以为的中点， 因为为外接圆的圆心，所以， 由（1）知平面平面， 因为平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以∥， 同理可证得∥，所以四边形为平行四边形， 因为平面，平面，所以， 所以四边形为矩形， 所以，则， 即， 整理得， 故当时，取得最小值为2，此时三棱锥外接球的体积最小值为. 11．如图，三棱锥中，平面平面，，，.    (1)已知为线段上一点，，求证：； (2)求三棱锥外接球体积； (3)若为线段的中点，与平面所成角为，求的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）由余弦定理求出，，，由勾股定理逆定理得到，由面面垂直得到线面垂直，进而证明出结论； （2）推出三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心，由正弦定理求出的外接圆半径，从而求出外接球半径，得到外接球体积； （3）作出辅助线，得到为与平面所成的角，分在线段上和在线段上，表达出，换元后，结合函数单调性和基本不等式求出最值，得到结论. 【详解】（1）连接，在中，因为，， 由余弦定理知 ， 故，所以. 在中，，由余弦定理知 ， 由勾股定理有，. 又平面平面，平面平面，平面， 平面. 平面， .    （2）为直角三角形，平面平面， 三棱锥外接球球心一定在平面内，且为的外心. 在中，由正弦定理得（为外接圆半径）， 所以，即三棱锥外接球半径为4. 外接球体积为. （3）取中点，作，连接，，.   ，平面平面， 平面平面，平面， 平面. 为与平面所成的角. ①在线段上，如图.设，则有， ，， ，，则， 在中，由余弦定理得. ， 令，，，， ∵，， 当且仅当，即时取“=”. 的最大值为. ②在线段上，如图2. 同①设，，. ，， ， 令，，， . 其中在上单调递增，理由如下： 任取， 则， 因为，所以，， 故，即， 所以在上单调递增，所以， 综上，的最大值为. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $