专题09 球（6个知识点6种题型1种高考考法）-【倍速学习法】2023-2024学年高二数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版2020必修第三册）

专题09 球（6个知识点6种题型1种高考考法） 【目录】 倍速学习四种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1.球的定义 知识点2球的对称性 知识点3.平面截球 知识点4.地球的经纬度 知识点5.球的体积公式 知识点6.球的表面积 【方法二】 实例探索法 题型1.平行大圆、小圆间距离与大圆半径、小圆半径间关系 题型2.利用小圆内接三角形的边角关系解决球的问题 题型3.经度与纬度 题型4.球的体积公式应用 题型5.球的表面积公式应用 题型6.几何体体积与表面积公式综合 【方法三】 仿真实战法 考法. 球的体积和表面积 【方法五】 成果评定法 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1.球的定义 球的定 名称 定义 图形表示 相关概念 球 半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周形成的曲面叫做球面，球面所围成的旋转体叫做球体，简称球 如图可记作：球O 球心：半圆的圆心 半径：连接球心和球面上任意一点的线段 直径：连接球面上两点并经过球心的线段； 知识点2球的对称性 球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径； 知识点3.平面截球 球的截面均是圆面，球面被经过球心的平面截得的圆叫做大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆． 知识点4.地球的经纬度 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆（如图）的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬；过球心的大圆的半圆周（如图）称为经线；按照约定，通过英国伦敦格林尼治天文台原址的那条经线称为０度经线； 知识点5.球的体积公式 球的体积：设球的半径为R，则球的体积V＝πR3. 知识点6.球的表面积 球的表面积 设球的半径为R，则球的表面积S＝4πR2，即球的表面积等于它的大圆面积的4倍； 【方法二】实例探索法 题型1.平行大圆、小圆间距离与大圆半径、小圆半径间关系 1、求解多面体的外接球时，经常用到截面图.如图所示，设球O的半径为R，截面圆O′的半径为r，M为截面圆上任意一点，球心O到截面圆O′的距离为d，则R、r、d满足的关系式是 2、已知球的两个平行截面的面积分别为5π和8π，它们位于球心的同侧，且距离等于1，求这个球的半径． 3、已知球的半径为10 cm，若它的一个截面圆的面积为36π cm2，求球心与截面圆圆心的距离（cm） 题型2.利用小圆内接三角形的边角关系解决球的问题 4.已知A，B，C为球O的球面上的三个点，⊙O1为△ABC的外接圆.若⊙O1的面积为4π，AB＝BC＝AC＝OO1，求球O的体积； 题型3.经度与纬度 5、某地球仪上北纬30°纬线圈的长度为12π cm，如图所示，则该地球仪的半径是________cm. 题型4.球的体积公式应用 6、（1）若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的（ ） A．8倍 B．4倍 C．2倍 D．2倍 （2）若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 7、圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后， 水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm. 8、平面α截球O的球面所得圆的半径为1.球心O到平面α的距离为，则此球的体积为(　　) A．π B．4π C．4π D．6π 9、轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积． 题型5.球的表面积公式应用 10、若球的过球心的圆面圆周长是C，则这个球的表面积是 11、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为 12、已知一个表面积为120 cm2的正方体的四个顶点在半球的球面上，四个顶点在半球的底面上，求半球的表面积． 13、如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周得到一几何体，求该几何体的表面积；(其中∠BAC＝30°)； 题型6.几何体体积与表面积公式综合 14、某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r＝1，l＝3，试求该组合体的表面积和体积； 15、（1）已知球的直径为2，求它的表面积和体积； （2）已知球的体积为，求它的表面积； （3）若三个球的表面积之比为1∶4∶9，求这三个球的体积之比； 16、已知过球面上三点A，B，C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且AC＝BC＝6，AB＝4，求球面面积与球的体积．； 【方法三】