3.2 勾股定理的逆定理（同步课件）-2025-2026学年八年级数学上册新苏科版同步教学课件

第3章 勾股定理 3.2 勾股定理的逆定理 苏科版 八年级上册 教学目标 01 探索勾股定理的逆定理，会用逆定理判断一个三角形是否为直角三角形 02 认识常见的勾股数，会判断一组数是否为勾股数 03 探究勾股数的规律 01 课前预习 我们知道直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方。 反过来，如果三角形的两条边的平方和等于第三边的平方， 那么这个三角形是直角三角形吗？ 02 课堂导入 问 题 如图，△ABC的三边a，b，c满足a2 + b2 = c2，能否证明△ABC为直角三角形？ A c b a B C 02 课堂导入 A c b a B C A' b a B' C' 我们先作一个Rt△A'B'C'，使∠C' = 90°，B'C' = a，A'C' = b， 再设法证明△A'B'C'与△ABC全等。 根据勾股定理可得：A'B'2 = a2 + b2。 ∵AB2 = a2 + b2，∴A'B' = AB。 根据“SSS”，可知△ABC≌△A'B'C'。 ∴∠C = ∠C' = 90°，即△ABC是直角三角形。 03 知识精讲 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2 + b2 = c2， 那么这个三角形是直角三角形。 符号语言：如图，在△ABC中，a2 + b2 = c2， ∴△ABC是直角三角形，∠C = 90°。 A c b a B C 四千多年前，古埃及人在建造金字塔时就已经知道如何构造一个直角三角形。他们在一根绳子上打上距离相等的结，然后由三人拉成一个三角形，使得每条边被结点分成3段、4段、5段。这样得到的三角形一定是直角三角形。 03 知识精讲 勾股数： 如果三个正整数a，b，c满足关系a2 + b2 = c2， 则称a，b，c为勾股数。 eg：3，4，5；5，12，13。 03 知识精讲 辨 析 1.5、2、2.5是勾股数吗？ 解：∵1.5、2.5不是正整数， ∴1.5、2、2.5不是勾股数。 03 知识精讲 勾股数： 如果三个正整数a，b，c满足关系a2 + b2 = c2， 则称a，b，c为勾股数。 eg：3，4，5；5，12，13。 注意：若a2 + b2 = c2，但a，b，c不都是正整数， 则a、b、c不是勾股数。 03 知识精讲 讨 论 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 解：( 1 ) ① 3，4，5； ② 6，8，10； ③ 9，12，15； ④ 12，16，20； …… → 3 × 1，4 × 1，5 × 1； → 3 × 2，4 × 2，5 × 2； → 3 × 3，4 × 3，5 × 3； → 3 × 4，4 × 4，5 × 4； …… 【猜想1】 若a，b，c为勾股数，k为正整数，则ka，kb，kc构成勾股数。 03 知识精讲 讨 论 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 ( 2 ) ① 3，4，5； ② 5，12，13； ③ 7，24，25； ④ 9，40，41； …… → 3，，； → 5，，； →7，，； → 9，，； …… 【猜想2】 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数。 03 知识精讲 讨 论 写出几组勾股数，说说勾股数有哪些规律。 ( 3 ) ① 4，3，5； ② 6，8，10； ③ 8，15，17； ④ 10，24，26； …… 【猜想3】 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 → 2 × 2，22 - 1，22 + 1； → 3 × 2，32 - 1，32 + 1； → 4 × 2，42 - 1，42 + 1； → 5 × 2，52 - 1，52 + 1； …… 03 知识精讲 ( 1 ) 证明：∵a2 + b2 = c2， ∴( ka )2 + ( kb )2 = k2a2 + k2b2 = k2( a2 + b2 ) = k2c2 = ( kc )2。 ∵a，b，c，k为正整数， ∴ka，kb，kc为正整数。 ∴ka，kb，kc构成勾股数。 例1 ( 1 ) 已知：a，b，c为正整数，且a2 + b2 = c2。 求证：对于任意的正整数k，正整数ka，kb，kc构成勾股数。 03 知识精讲 ( 2 ) 证明：∵n2 + = = = 。 ∵n表示比1大的奇数，∴n，，为正整数。 ∴n，，构成勾股数。 ( 2 ) 若n表示比1大的奇数，求证：n，，构成勾股数。 03 知识精讲 ( 3 ) 证明：∵( 2n )2 + ( n2 - 1 )2 = 4n2 + n4 - 2n2 + 1 = n4 + 2n2 + 1 = ( n2 + 1 )2 。 ∵n表示比1大的整数，∴2n，n2 - 1，n2 + 1为正整数。 ∴2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 ( 3 ) 若n表示比1大的整数，求证：2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 03 知识精讲 勾股数的规律： ( 1 ) 若a，b，c为勾股数，k为正整数，则ka，kb，kc构成勾股数。 ( 2 ) 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数。 ( 3 ) 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 03 知识精讲 辨 析 5a、12a、13a是勾股数吗？ 解：当a = 0.1时，5a、12a、13a都不是正整数， ∴5a、12a、13a不是勾股数。 03 知识精讲 解：∵AD是△ABC的中线，BC = 20， ∴BD = DC = BC = 10。 ∵AD = 24，AB = 26， ∴AD2 + BD2 = 242 + 102 = 676，AB2 = 262 = 676。 ∴AD2 + BD2 = AB2。 ∴∠ADB = 90° ( 勾股定理的逆定理 )。 ∴AD垂直平分BC。 ∴AC = AB = 26。 例2 如图，AD是△ABC的中线，AD = 24，AB = 26，BC = 20。 求AC的长。 A C D B 03 知识精讲 04 典例精析 题型一 根据逆定理判断直角三角形： 例1、下列条件中，不能判断△ABC为直角三角形的是（　　） A．a = 1.5，b = 2，c = 2.5 B．a：b：c = 5：12：13 C．∠A + ∠B = ∠C D．∠A：∠B：∠C = 3：4：5 解：A、∵1.52 + 22 = 2.52，∴△ABC是直角三角形； B、设a = 5x，则b = 12x，c = 13x， ∵( 5x )2 + ( 12x )2 = ( 13x )2，∴△ABC是直角三角形； C、∵∠A + ∠B = ∠C，∠A + ∠B + ∠C = 180°， ∴∠C = 90°，∴△ABC是直角三角形； D、设∠A = 3x，则∠B = 4x，∠C = 5x，∴3x + 4x + 5x = 180°， 解得：x = 15°，则3x = 45°，4x = 60°，5x = 75°，∴△ABC是锐角三角形。 D 题型一 根据逆定理判断直角三角形： 例2、在单位长度为1的正方形网格中，下面的三角形是直角三角形的是 （　　） A． B． C． D． 解：A、∵三边的平方分别为5，8，9，5 + 8 ≠ 9，∴不是直角三角形； B、∵三边的平方分别为5，10，17，5 + 10 ≠ 17，∴不是直角三角形； C、∵三边的平方分别为10，10，20，10 + 10 = 20，∴是直角三角形； D、∵三边的平方分别为8，10，10，8 + 10 ≠ 10，∴不是直角三角形。 C 04 典例精析 题型二 勾股数的辨析： 例3、下列各组数为勾股数的是（　　） A．0.3，0.4，0.5 B．，， C．8，15，17 D．4，5，6 解：A、0.3，0.4，0.5均不是正整数，∴不是勾股数； B、 = 2是整数，但和为无理数，∴不是勾股数； C、8，15，17均为正整数，且 82 + 152 = 172，是勾股数； D、4，5，6均为正整数，但 42 + 52 ≠ 62，∴不是勾股数。 C 04 典例精析 课后总结 勾股定理的逆定理： 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且a2 + b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形。 勾股数： 如果三个正整数a，b，c满足关系a2 + b2 = c2，则称a，b，c为勾股数。 注意：若a2 + b2 = c2，但a，b，c不都是正整数，则a、b、c不是勾股数。 勾股数的规律： ( 1 ) 若a，b，c为勾股数，k为正整数，则ka，kb，kc构成勾股数。 ( 2 ) 若n表示比1大的奇数，则n，，构成勾股数。 ( 3 ) 若n表示比1大的整数，则2n，n2 - 1，n2 + 1构成勾股数。 3.2 勾股定理的逆定理 苏科版 八年级上册 谢谢观看 $