专题09 全等三角形的判定与性质综合（压轴题专项训练）数学沪科版2024八年级上册

专题09 全等三角形的判定与性质的综合 目录 2 类型一、利用全等三角形的性质求解 2 类型二、添加条件使三角形全等 2 类型三、灵活选用判定方法证明全等 2 类型四、全等三角形与尺规作图 2 类型五、多次证全等求解或证明结论 2 类型六、由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 2 类型七、全等三角形的动态问题 3 类型八、全等三角形的应用 3 3 类型一、利用全等三角形的性质求解 利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 2．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．    （1）若，则的长为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 4．（19-20八年级上·天津·阶段练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 5．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 类型二、添加条件使三角形全等 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）根据下列条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在和中，，，再添加一个条件就能使，下列条件：①；②；③；④，则可以添加的条件是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 8．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 9．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 10．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 类型三、灵活选用判定方法证明全等 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 14．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且， (1)当时，求证：． 证明的思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格： (2)当时，求证：． 类型四、全等三角形与尺规作图 16．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 17．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是 (1)在图中作出，关于y轴对称的． (2)在y轴上画出点 P，使 最小（保留作图痕迹）． (3)如果要使以为顶点的三角形与全等（A与D不重合），写出所有符合条件的点 D 坐标． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 19．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知，，平分交于D，于E，于F，交于G． (1)尺规作图，在上求点M，使得（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：点M、G，C三点共线． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）作图题： (1)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图． ①利用网格线在直线 l上求作一点 Q，使得的和最短，请在直线 l上标出点 Q 位置； ②在网格中，找一格点 E，使与全等（不重合），这样的格点有 个． (2)尺规作图：如图，求作点 P 使得点 P 到、边的距离相等，且同时到A、C两点的距离相等，保留作图痕迹． 类型五、多次证全等求解或证明结论 这类问题题目条件和待求问题一般不是指向于同一对三角形，即由条件较容易得出的全等三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于是证两次全等便可解决问题. 21．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在中，． (1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点． （i）填空：___________．（填“”“”或“”） （ii）求证：． (2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且 ，连接，交于点，求与之间的数量关系． (3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，．    (1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点． （ⅰ）填空： ．（填“”“”或“”） （ⅱ）求证：． (2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且，连接，交于点，求与之间的数量关系． (3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值． 23．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，都是的角平分线且相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求的度数． (2)求证：． (3)猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 24．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 类型六、由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 全等三角形在几何题目中的应用，除了证明线段和角的相等关系外，还会涉及证明线段的位置关系一类的题目，这类题目常见的描述方式是;利用全等得到角或边的关系，通过等量代换找到平行或垂直的条件. 27．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 28．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）点分别在等边的两边、所在的直线上，点为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、上移动时，的周长与等边的周长的关系． (1)如图，当点在边、上，且时，_________； (2)如图，当点在边、上，且时，（）中的结论仍然成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究与的关系； (3)如图，当分别在边、的延长线上，且时，请探究此时与的关系，并说明理由． 29．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． [问题思考] （1）在图1中，求证：； [问题再探] （2）若，如图2，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 30．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 31．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点． (1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时． ①请写出，，之间的数量关系并证明； ②若，，求的长． 32．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在和中，，，． (1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； (2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由． 33．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接． 【探究发现】（1）图中与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　． 【初步应用】（2）若，，求的取值范围． 34．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 类型七、全等三角形的动态问题 全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题，通过动点在运动过程中引起的角度变化、线段长度变化，探究其中不变的量(角度、长度、形状等)，在解题过程中，要善于抓住图形中的变与不变，以不变解决变. 35．（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 37．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且． ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 38．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 39．（24-25八年级上·安徽六安·期末）（1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 类型八、全等三角形的应用 根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. 40．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 41．（24-25八年级上·山东临沂·期中）在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度． 42．（20-21七年级下·陕西·期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．    43．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小明设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得______，标记此时梯子的底端点D；③此时______的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小明设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子底端向后滑动的距离． 44．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 45．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小雅来到大明湖畔与美丽的花灯合影，她利用所学知识设计了一个方案测量花灯的边缘点A与围栏旁的点B的距离，小雅从点B处先沿方向走3米至点C，又沿着与垂直的方向走了4米至点D，并放置了一个标记物，接着往前继续走4米至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F，此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小雅求出的长． 46．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的每一个顶点叫做格点．的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)请在图画出的中线和高． (2)要求在图中在轴上找点，使平分． 47．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 48．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图1，点、分别在射线，上，且为钝角，现以线段、为底边向的外侧作等腰三角形，分别是，．    (1)如图2，连接、，交于点，连接，若． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图3，若点，分别是，的中点，连接、并延长交于点，连接、、，当 °时，为等边三角形． 49．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 50．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，．      (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； (3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 全等三角形的判定与性质的综合 目录 2 类型一、利用全等三角形的性质求解 2 类型二、添加条件使三角形全等 2 类型三、灵活选用判定方法证明全等 2 类型四、全等三角形与尺规作图 2 类型五、多次证全等求解或证明结论 2 类型六、由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 2 类型七、全等三角形的动态问题 3 类型八、全等三角形的应用 3 3 类型一、利用全等三角形的性质求解 利用全等三角形的性质求线段的长和角的度数关键是找出对应边和对应角，根据全等三角形的对应边、对应角相等来求解，同时常常结合三角形的内角和或外角的性质进行计算. 1．（23-24八年级上·河北石家庄·期中）如图，点C在线段上，于点B，于点D，，且，，点P从点A开始以速度沿向终点C运动，同时点Q以的速度从点E开始，在线段上往返运动（即沿运动），当点P到达终点时，P、Q同时停止运动．过P、Q分别作的垂线，垂足分别为M、N．设运动的时间为，当以P、C、M三点为顶点的三角形与全等时，t的值为（　　）s． A．1 B．1或3 C．2或4 D．1或4 【答案】B 【分析】本题考查三角形上的动点问题，注意分情况讨论是解题的关键．分两种情况：点P在上，点Q在上时；点P在上，点Q第一次从点C返回时，根据全等三角形对应边相等，列出方程即可求解． 【详解】解：当点P在上，点Q在上时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 当点P在上，点Q第一次从点C返回时， ∵以P，C，M为顶点的三角形与全等， ∴， ∴， ∴， 综上所述：t的值为1或3． 故选B． 2．（22-23七年级下·河北保定·阶段练习）如图，，点在上，与交于点，．    （1）若，则的长为 ； （2）连接，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】（1）根据全等三角形的性质分析求解； （2）结合三角形中线的性质求得的面积，从而利用全等三角形的性质分析求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， （2）又（1）可得， ∴， ∵， ∴    故答案为：；． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，三角形中线的性质，理解全等三角形的性质及三角形中线的概念是解题关键． 3．（24-25七年级下·山西晋城·期末）如图，在中，于点D，点E在边上，连接交于点F，． (1)若，，求的面积； (2)试判断与之间的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)96 (2)，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形面积计算，垂线定义理解，熟练掌握全等三角形的性质，是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据三角形面积公式求出结果即可； （2）根据垂线定义得出，根据，得出，求出即可得出答案． 【详解】（1）解：：， ． 又， ． 又， ． ； （2）解：． 理由：， ， ， ， ， ． ． ． 4．（19-20八年级上·天津·阶段练习）如图，点O是等边内一点，D是外的一点，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是等腰三角形． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)当或或时，是等腰三角形 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质与判定等知识． （1）根据全等三角形的性质得到，，再证明，即可证明是等边三角形； （2）先求出，根据全等的性质得到，即可求出，从而得到是直角三角形； （3）分别表示出，，，分①，②，③三种情况讨论即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）解：是直角三角形．理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）解：∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ， ∴． ①当时，则，即， ∴； ②当时，则，即， ∴； ③当时，则，即， ∴． 综上所述：当或或时，是等腰三角形． 5．（23-24八年级上·吉林·期中）在中，，，点D为边的中点，动点P以2个单位的速度从点B出发在射线上运动，点Q在边上，设点P运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示线段的长． (2)当，点P在线段上．若和全等，求t的值； (3)当，为等腰三角形时，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)或； (3)或或或． 【分析】本题考查了三角形全等的性质，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想是解题关键． （1）由图可知，求出线段即可； （2）由和全等，可得或两种情况，列出关于t的方程即可求解； （3）由为等腰三角形，利用等腰三角形性质分点P在点A左右两边讨论即可求解． 【详解】（1）解：设点运动时间为秒， ， 当时，； 当时，； （2）∵， 由题意得， 当时，， 可得∶， 解得∶， 当时，， 可得∶， 解得∶ 综上所述，若和全等，则的值为或； （3） ，为等腰三角形时， 当时，点P在点A左侧时， ， 当，点P在点A右侧时， ， 当时， ， 当时， 的度数为或或或． 类型二、添加条件使三角形全等 从判定两个三角形全等的方法可知，要判定两个三角形全等，需要知道这两个三角形分别有三个元素(其中至少一个元素是边)对应相等，这样就可以利用题目中的已知边角迅速、准确地确定要补充的边角有目的地完善三角形全等的条件，从而得到判定两个三角形全等的思路. 6．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）根据下列条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定条件，根据全等三角形的判定条件可确定三角形的形状和大小，从而可得答案． 【详解】解：A、，的大小不能确定，不符合题意； B、， 根据可得的形状和大小能确定，符合题意； C、，的形状和大小不能确定，不符合题意； D、，的形状和大小不能确定，不符合题意． 故选：B． 7．（24-25八年级上·安徽六安·阶段练习）如图，在和中，，，再添加一个条件就能使，下列条件：①；②；③；④，则可以添加的条件是（   ） A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②④ 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 利用全等三角形的判定方法对四个选项分别证明即可． 【详解】解：∵， ∴， ①，，，∴， ②，，，利用不能证得三角形全等， ③，可得到，，，∴， ④，，，∴ 故能证明的条件可以为：①③④ 故选：B． 8．（24-25八年级上·河南洛阳·期中）如图，与相交于点O，，有以下四个条件；①；②；③；④．从这四个条件中任选一个，能使的选法种数共有（    ） A．2种 B．3种 C．4种 D．1种 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理证明三角形全等即可． 【详解】解：由题意得，又， 若选择①， 在与中， ， ； 若选择②， 由不能判定和全等； 若选择③， 在与中， ， ； 若选择④， 在与中 ； 综上，①③④符合题意， 故选：B． 9．（22-23八年级上·福建福州·开学考试）如图，已知，添加下列条件之一：①；②；③；④．其中能使成立的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，结合已知条件及补充条件，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解： ， ，即， 又 ， 添加①时，根据能证； 添加②时，不能证明； 添加③时，根据能证； 添加④时，根据能证； 综上可知，能使成立的有3个， 故选C． 10．（23-24八年级上·福建龙岩·阶段练习）在和中，其中，则下列条件：①，；②，；③，；④，；⑤，．其中能够判定这两个三角形全等的条件有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据全等三角形的判定方法：，，，，结合选项进行判定． 【详解】解：在和中，其中， ① ，，，可根据判定； ② ，，，可根据判定； ③，，，不能判定； ④，，，可根据判定； ⑤ ，，，不能判定； 综上，能判定的有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：，，，，．注意：、不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角． 类型三、灵活选用判定方法证明全等 11．（23-24八年级上·安徽阜阳·期末）如图，在和中，，，，在同一条直线上．下面四个条件：①；②；③；④． (1)请选择其中的三个作为条件，另一个作为结论，组成一个真命题（写出两种情况即可，填序号）． ①已知：_____________；求证：__________； ②已知：_____________；求证：_____________； (2)在（1）的条件下，选择一种情况进行证明． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，熟知全等三角形的判定条件是解题的关键． （1）根据两三角形全等的判定条件，选择合适的条件即可； （2）根据（1）中所选的条件，进行证明即可． 【详解】（1）解：①根据题意可得已知：，，，求证； ②根据题意可得已知：，，，求证； （2）解：选择①②③，证明④ ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， ∴； 选择①②④，证明③ ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即。 12．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在四边形中，，．求图中有几对全等三角形？并选其中一对加以证明． 【答案】此图中有对全等三角形，分别是、、，证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．根据全等三角形的判定方法求解即可． 【详解】解：此图中有对全等三角形，分别是、、，证明如下： ，， 在和中， ， ， ，， 在和中， ， ； 在和中， ， ． 13．（24-25八年级上·安徽亳州·期末）如图，在中，，点D是边上一点，，点E在边上． (1)若，求证：； (2)若，求的度数； (3)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等边对等角，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键： （1）根据等边对等角，先得出，再证明，进而可得出答案； （2）先证明，再证明，得出，进而可得出答案； （3）先证明，，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 在和中，， ， （2）解：， ， 在和中，， ， ， ． （3）证明：， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 14．（24-25八年级上·安徽·期末）如图，在中，，延长至点E，过点E作，使，连接交于点D． (1)求证：； (2)若G是上一点，满足，连接，证明：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握三角形的性质是解答的关键． （1）根据题意判定即可得到本题答案； （2）由（1）可得，再结合已知即可判定，即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴． 15．（25-26八年级上·江苏南京·阶段练习）已知：和，、分别为、中点，且， (1)当时，求证：． 证明的思路可以用下面的框图表示，请填写其中的空格： (2)当时，求证：． 【答案】(1)①；②；③；④ (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）根据全等三角形的性质与判定，再结合框图的思路证明即可； （2）延长至点使得，延长至点使得，连接、，则，通过证明得到，同理可得，进而证明，得到，再证明，得到，再结合（1）中的结论即可得证． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∵、分别为、中点， ∴， 在和中， ， ∴． 故答案为：①；②；③；④； （2）证明：如图，延长至点使得，延长至点使得，连接、， 则，， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可得，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 由（1）中的结论可得，． 类型四、全等三角形与尺规作图 16．（25-26八年级上·福建龙岩·阶段练习）如图，为外部一点，连接，已知，． (1)尺规作图：在内求作一点，使； （尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） (2)①通过作图可以得到：___________，___________； ②判定的依据是___________（从、、或中选填）； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接，故，所以证明，即可作答． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】（1）解：如图，点M即为所求． （2）解：①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②结合作图得， ∵ ∴判定的依据是． 故答案为：． （3）解：在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴ ． 17．（24-25八年级下·广西南宁·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别是 (1)在图中作出，关于y轴对称的． (2)在y轴上画出点 P，使 最小（保留作图痕迹）． (3)如果要使以为顶点的三角形与全等（A与D不重合），写出所有符合条件的点 D 坐标． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)点D坐标为：或或 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法，掌握平面直角坐标系的特点，轴对称图形的性质，全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）根据轴对称图形的性质作图即可； （2）根据轴对称最短路径的方法作图即可； （3）根据全等三角形的判定方法作图即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，由（1）可得点A关于y轴的对称点，连接交y轴于点，则点即为所求点的位置； （3）解：如图所示， ∴， ∴， ∴所有符合条件的点D坐标为：或或． 18．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图，在等腰中，于D点． (1)尺规作图：过点B作的平分线交于E；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若，则线段与的关系如何？说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】(1)根据尺规作图的要求，作一个角平分线的是先以角的顶点为圆心适当长度为半径画弧，分别交两边于两点，再分别以两点为圆心，适当长度（大于这两点之间线段长度的一半）为半径画弧交于一点，作出射线，即为角平分线； (2)先要根据经验和题意判断线段与的关系，关系有两种一是数量关系，二是位置关系，根据题意不难判断相等且垂直，根据题意易证，易得，再根据角度的换算易得，即可解决此题． 【详解】（1）如图所示，即为所求 （2）（2）， 理由如下：延长交于点 平分， ∴， ， ∴， 又， ∴， 在和中， ， ∴． 【点睛】本题考查了尺规作图、全等三角形的判定，熟练掌握角平分线的作图步骤是解答本题的关键． 19．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，已知，，平分交于D，于E，于F，交于G． (1)尺规作图，在上求点M，使得（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的条件下，求证：点M、G，C三点共线． 【答案】(1)见解析 (2)证明见解析 【分析】本题主要考查尺规作图，三角形全等的判定与性质，熟悉相关知识的运用是解题的关键． （1）根据题意，要使，即保证，再利用尺规作图即可； （2）由题可证得，继而证得，再通过证明即可求解． 【详解】（1）解：如图，由平分，要使，即保证即可， （2）解：连接， 平分， ， ∵，， ， ， ， ， ， 又，， ， ， 又三点共线， ， ， 即点M、G，C三点共线． 20．（25-26八年级上·江苏泰州·阶段练习）作图题： (1)如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求作图． ①利用网格线在直线 l上求作一点 Q，使得的和最短，请在直线 l上标出点 Q 位置； ②在网格中，找一格点 E，使与全等（不重合），这样的格点有 个． (2)尺规作图：如图，求作点 P 使得点 P 到、边的距离相等，且同时到A、C两点的距离相等，保留作图痕迹． 【答案】(1)①见解析；②3； (2)见解析． 【分析】本题考查了轴对称－最短路径问题、全等三角形的判定、角平分线和线段垂直平分线的尺规作图，熟知相关知识是解题的关键． （1）①作点B关于l的对称点，连接交l于点Q，则点Q即为所求； ②根据全等三角形的判定找出所有符合题意的点E即可； （2）作的角平分线与线段的垂直平分线，它们的交点就是所求的点P． 【详解】（1）①如图所示：点Q即为所求； ②如图所示，，，与全等， 故这样的格点有3个； 故答案为：3； （2）如图所示：点P即为所求． 类型五、多次证全等求解或证明结论 这类问题题目条件和待求问题一般不是指向于同一对三角形，即由条件较容易得出的全等三角形，并不能直接得出要证明的边角相等，但是可以得出待求边角所在的三角形全等所缺少的条件，于是证两次全等便可解决问题. 21．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）在中，． (1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点． （i）填空：___________．（填“”“”或“”） （ii）求证：． (2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且 ，连接，交于点，求与之间的数量关系． (3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值． 【答案】(1)（i）；（ii）证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了对顶角相等，三角形内角和定理，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）（i）根据对顶角相等，三角形内角和定理进行分析求解，即可解题； （ii）证明，再结合全等三角形性质即可推出； （2）过点作于点．证明，推出，进而证明，推出，再进行等量代换，即可得到与之间的数量关系； （3）过点作交的延长线于点．由（2）同理可证，设，则，进而即可求得的值． 【详解】（1）解：（i） ，，， ， ， 故答案为：． （ii） ， ， ， ， ； （2）解：如图，过点作于点． ， ， ． ， ， ， . ， ， ， ． （3）解：过点作交的延长线于点． ， ． ， ， ， . ， ， ， ． ，设，则， ． 22．（25-26八年级上·安徽合肥·阶段练习）在中，，．    (1)如图1，点在的延长线上，连接，过点作，交于点，交于点． （ⅰ）填空： ．（填“”“”或“”） （ⅱ）求证：． (2)如图2，点在线段上，连接，过点作，点在点左侧，且，连接，交于点，求与之间的数量关系． (3)如图3，点在的延长线上，连接，且，连接，的延长线交于点．若，直接写出的值． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的综合应用，利用全等三角形的性质准确分析是解题的关键． （1）根据已知条件证明，再根据等量代换得出，即可证出，即可得解； （2）过点作，证出，得到，，即可得出，可得出，即可得解． （3）过点作，根据（2）同理得到，，即可得到，，根据已知条件表示出，即可得解． 【详解】（1），， ， ， ， ， ， ． （2）如图，过点作，   ， ，， ， ， ， ，， ，即， ，，， ， ， ． （3）过点作，    由（2）同理可得：，， ，， ， ， ， ， ． 23．（25-26八年级上·安徽芜湖·阶段练习）如图，在中，，，都是的角平分线且相交于点，过点作交的延长线于点，交于点． (1)求的度数． (2)求证：． (3)猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、角平分线的定义、三角形内角和定理． （1）根据直角三角形的性质得到，根据角平分线的定义、三角形内角和定理求出，可知的度数； （2）根据（1）中结论得到，利用定理证明≌，即可得到； （3）延长交于，分别证明、，根据全等三角形的性质证明结论． 【详解】（1）解：， ， 、是的角平分线， ，， ， ， ∴； （2）证明： 理由：由（1）可知：， ， ， ， ， 平分， ， 在和中， ， ， ∴； （3）解：， 理由：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ． 24．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）在中，，点D在延长线上，以为边，在上方作任意，连接交于点G． (1)如图1，若G为中点，，求的长； (2)如图2，点F在的延长线上，连接，若，试猜想线段和之间存在的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)8 (2)；理由见解析 【分析】该题考查了全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）证明，根据全等三角形的性质即可求解． （2）在上截取，如图，证明，再证明，得出，即可证明． 【详解】（1）解：， ， ， ∵G为中点， ， ， ． 在和中， ， ， ． （2）解：线段和之间存在的数量关系为． 理由如下： 在上截取，如图， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ． 在和中，， ， ， ． 25．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图1，在中，为上一点，且和的平分线、交于点与交于点． (1)求的度数； (2)连接，交于点，若，如图2．求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义得出，根据 ，得出，根据 求出结果即可； （2）先证明 ，得出，再根据证明即可． 【详解】（1）解： 分别是 和 的平分线， ， 又 ， ， ． （2）证明： ， ， 由 （1）知 ， ， 平分 ， 在 和 中， ∴ ， ∴， 又 平分， ， 在 和中， ． 【点睛】本题主要考查三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 26．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）构造全等三角形常见的辅助线：倍长法与作平行线． (1)如图1，在中，，其中，，计算线段的取值范围； 方法一：延长至点，使，连接；方法二：过点作，交的延长线于点，请你从以上两种方法中选一种方法证明，并求出的取值范围； (2)如图2，在中，点，在上，，，若平分，求证：； (3)如图3，是的中线，交于点，交于点，且，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的综合问题，等腰三角形的判定与性质，三角形的三边关系等知识，正确构造全等三角形是解题的关键． （1）选方法一来证明，利用证明，选择方法二来证明，利用来证明，再利用三角形的三边关系求解； （2）延长到点使，连接，先证明，再证明，即可求证； （3）延长至点，使，连接，先证明，再根据等腰三角形的判定与性质证明． 【详解】（1）解：选方法一来证明： 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； 选择方法二来证明： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中，∵， ∴， 即， ∴； （2）证明：如图，延长到点使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）证明：延长至点，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 类型六、由全等三角形的判定与性质确定线段之间的关系 全等三角形在几何题目中的应用，除了证明线段和角的相等关系外，还会涉及证明线段的位置关系一类的题目，这类题目常见的描述方式是;利用全等得到角或边的关系，通过等量代换找到平行或垂直的条件. 27．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图1，在四边形中，已知，，连接．    (1)求证：平分； (2)点M，N分别是，上的动点，，． ①如图2，若，求的度数； ②如图3，线段，，之间有什么数量关系，请加以证明． 【答案】(1)见详解 (2)①②，理由见详解 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质等；掌握角平分线的判定定理，直角三角形的特征，全等三角形的判定及性质，添加恰当的辅助线，构建全等三角形是解题的关键． （1）由角平分线的判定定理，即可得证； （2）①由直角三角形的特征得，，由角的和差得，即可求解； ②延长到E，使，连接，由判定，（），结合全等三角形的性质，即可求解． 【详解】（1）证明： ， ， 是的平分线， 平分； （2）解：① ，， ， ， ， ， ， 解得：， ； ②， 理由如下： 延长到，使，连接， ， ，， （）， ，， ，， ， ， 即， ， （）， ， ， ． 28．（24-25八年级上·安徽蚌埠·期末）点分别在等边的两边、所在的直线上，点为外一点，且，，．探究：当点分别在直线、上移动时，的周长与等边的周长的关系． (1)如图，当点在边、上，且时，_________； (2)如图，当点在边、上，且时，（）中的结论仍然成立吗？若成立，请给予证明；若不成立，请探究与的关系； (3)如图，当分别在边、的延长线上，且时，请探究此时与的关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)（）中的结论仍然成立，证明见解析 (3)，理由见解析 【分析】（）先证是等边三角形，再证，然后根据特殊直角三角形的性质求出之间的数量关系即可求解； （）在的延长线上截取，连接，可证，可得，再证，由全等三角形的性质可得结论仍成立； （）在上截取，连接，可证，可得，，然后证得，可证，得到，进而根据得到，，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：（ ）中的结论仍然成立． 证明：如图，在的延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的周长， ∵的周长， ∴； （3）解：，理由如下： 如图，在上截取，连接， 同理（）可证， ∴，， ∵，， ∴， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，含度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 29．（24-25八年级上·安徽宣城·期末）如图，等腰中，，点D是上一动点，点E、P分别在延长线上，且，． [问题思考] （1）在图1中，求证：； [问题再探] （2）若，如图2，探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析；（2），见解析 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质和判定． （1）由题意易证，得出，即得出，从而得出； （2）在上取点G，使，连接，易证和为等边三角形，从而可证，得出，进而得出． 【详解】解：（1）证明：，， ，， 又，， ， ， ． ， ∴， ； （2），理由如下， 如图，在上取点G，使，连接， ， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形， ， ， ，即， 又，， ， ， ， ， ． 30．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，点B在第一象限，，． (1)如图1，判断的形状，并说明理由； (2)如图1，若点M为y轴正半轴上一动点，以为边作等边三角形，连接并延长交x轴于点P，求证：； (3)如图2，，若，，点为的中点，连接、交于点E，请问、与之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)为等边三角形；理由见解析 (2)见解析 (3)；证明见解析 【分析】（1）根据有一个角是的等腰三角形是等边三角形可得结论； （2）根据证明，得，由8字形可得，最后由含角的直角三角形的性质可得结论； （3）如图2，在上截取，先证，方法是根据题意得到三角形为等边三角形，三角形为等腰直角三角形，确定出度数，根据，且，得到度数，进而确定出为，再由，得到，再由，且夹角，利用得到三角形与三角形全等，利用全等三角形的对应边相等得到，得到三角形为等边三角形，得到，由，等量代换即可得证． 【详解】（1）证明：，， ， ， 是等边三角形； （2）证明：由（1）知：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ； （3）解：，证明如下： 如图，在上截取，连接， ∴，即， ， ， 为的中点，， 平分，即， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 为等边三角形， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了等腰直角三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，坐标与图形，以及含角的直角三角形的性质，正确添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． 31．（24-25八年级上·安徽滁州·期末）在等腰直角三角形中，，，点在射线上，点在直线上，垂直平分线段交直线于点． (1)如图1，若点在线段的延长线上，点在线段上．求证：； (2)如图2，当点在线段的延长线上，点在线段的延长线上时． ①请写出，，之间的数量关系并证明； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①，证明见解析；② 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，全等三角形的综合问题，掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键． （1）根据垂直平分线得到，再由即可证明全等； （2）①同理可证明：，那么，由可得；②先证明，则，故，那么，而，因此得到． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵垂直平分 ， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：①，理由如下： 证明：∵垂直平分，   ∴， 同理可证明：， ∴ ， ∵ ， ∴； ②∵垂直平分 ， ∴， ， 又， ∴ ， ∴  ， ∴， ∴ ， 又∵ ∴． 32．（24-25八年级上·安徽合肥·阶段练习）在和中，，，． (1)当点在上时，如图①所示，线段，有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想的结论； (2)当点在如图②所示的位置时，请问（1）中的数是关系和位置关系是否还成立？请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的内角和，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． （1），．延长交于点，证明，得到，，结合，可得，推出，即可证明； （2），．延长交于点、交于点，证明，得到，，在和中，根据，，可得，即可证明． 【详解】（1）结论：，， 理由：如图，延长交于点， ，，， ， ，， ， ， ， 在中，， ； （2）结论：，， 理由：如图，延长交于点、交于点， ， ，即， 在和中， ， ， ，， 在和中， ，， ， ． 33．（23-24八年级上·安徽滁州·阶段练习）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图，在中，是边上的中线，延长到点，使，连接． 【探究发现】 （1）图中与的数量关系是　　　　，位置关系是　　　　． 【初步应用】 （2）若，，求的取值范围． 【答案】（1），；（2）的取值范围为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、平行线的判定，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质． （1）根据题意可证≌，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）由（1）可知，≌，得，，再由三角形的三边关系即可得出结论． 【详解】（1） 是边上的中线， ， 又 ， ， 在和中， ， ≌， ，， ， 故答案为：，； （2）由（1）可知≌， ，， 在中，， ， 即， ， 的取值范围为． 34．（22-23七年级下·山东青岛·期末）为了进一步探究三角形中线的作用，数学兴趣小组合作交流时，小丽在组内做了如下尝试：如图1，在中，是边上的中线，延长到，使，连接． (1)【探究发现】图1中中与的数量关系是 ，位置关系是 ； (2)【初步应用】如图2，在中，若，，求边上的中线的取值范围； (3)【探究提升】如图3，是的中线，过点分别向外作、，使得，，延长交于点，判断线段与的数量关系和位置关系，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)，，理由见解析 【分析】（1）证，得，，再由平行线的判定即可得出； （2）延长到，使，连接，由（1）可知，，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长到，使得，连接，由（1）可知，，得，再证，得，，则，然后由三角形的外角性质证出，即可得出结论． 【详解】（1）解：是的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， 故答案为：，； （2）如图2，延长到，使，连接， 由（1）可知，， ， 在中，， ， 即， ， 即边上的中线的取值范围为； （3），，理由如下： 如图3，延长到，使得，连接， 由（1）可知，， ， ， ， 由（2）可知，， ， 、， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、倍长中线法、三角形的三边关系、平行线的判定与性质以及三角形的外角性质，添加辅助线． 类型七、全等三角形的动态问题 全等三角形的动态问题有单动点、双动点等类型问题，通过动点在运动过程中引起的角度变化、线段长度变化，探究其中不变的量(角度、长度、形状等)，在解题过程中，要善于抓住图形中的变与不变，以不变解决变. 35．（19-20八年级上·广东广州·期末）如图①，在中，，现有一动点P，从点A出发，沿着三角形的边运动，回到点A停止，速度为，设运动时间为． (1)如图①，当________时，的面积等于面积的一半； (2)如图②，在中，，．在的边上，若另外有一个动点Q，与点P同时从点A出发，沿着边运动，回到点A停止．在两点运动过程中的某一时刻，恰好，求点Q的运动速度． 【答案】(1)或 (2)点Q的运动速度为或 【分析】本题考查三角形面积的求法，三角形中线的性质，全等三角形的性质，一元一次方程的应用．理解题意，利用分类讨论和数形结合的思想是解题关键． （1）根据题意可求出，分类讨论：①当点P在上时；②当点P在上时；③当点P在上时，分别列方程求解即可； （2）分类讨论：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时，结合全等三角形的性质分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴， ∴． 分类讨论：①当点P在上时，不存在； ②当点P在上时，此时，如图， ∴， ∴； ③当点P在上时，此时，如图， ∵的面积等于面积的一半， ∴， ∴， ∴． 综上可知当或时，的面积等于面积的一半； （2）解：∵， ∴只存在两种情况：①当点P位于，点Q位于上时；②当点Q位于，点P位于上时． 设点Q的运动速度为， ①当点P位于，点Q位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为； ②当点Q位于，点P位于上时，此时，，如图， ∵， ∴，， ∴，， 解得：，， ∴此时点Q的运动速度为． 综上可知点Q的运动速度为或． 36．（24-25八年级上·江苏南京·期中）在中，，点D是射线上一动点（不与点B、C重合），以为边在其右侧作，使得、，连接． (1)如图①，点D在线段上，求证：． (2)设．当点D在射线上移动时，探究α与β之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)当点D在线段上移动时，，当点D在的延长线上时，；理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理等知识．熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理是解题的关键． （1）由，可证； （2）①当点D在线段上移动时，由（1）可知：，则，由，，可得，进而可得；②当点D在的延长线上时，同理求解作答即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）解：当点D在射线上移动时，或，理由如下： ①当点D在线段上移动时， 由（1）可知：， ∴， ∴， ∵， ∴，即； ②当点D在的延长线上时， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴，即． 37．（23-24八年级上·湖北宜昌·期末）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，，，且满足． (1)求点的坐标． (2)为轴上一动点，连接，过点在线段上方作，且． ①如图1，若点在轴正半轴上，点在第一象限，连接，过点作的平行线交轴于点，求点的坐标（用含的式子表示）． ②如图2，连接，探究当取最小值时，线段与的关系． 【答案】(1) (2)① ②且 【分析】（1）直接根据绝对值的非负性求出的值即可； （2）①先根据平行线的性质求出，再根据全等三角形的判定和性质求出，最后根据点在轴正半轴上作答即可； ②过点作 轴于，先根据全等三角形的判定和性质等量代换得到，求出，再根据等腰三角形的性质计算角的加减即可. 【详解】（1）∵满足， ∴； （2）①∵ ∴ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在和中，， ∴， ∴； ∵且点在轴正半轴上， ∴ ②如图3，过点作轴于， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点在过点且与轴正半轴成夹角的直线上运动， 如图4，设直线与轴交于点，当时，最小． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴是等腰直角三角形，且， 又∵， ∴、均是等腰直角三角形， ∴， ∴且； 【点睛】此题考查的是坐标与图形，绝对值的非负性，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握角的有关计算． 38．（23-24八年级上·云南红河·期末）如图，在中，，D为直线上一动点（不与点B，C重合），在的右侧作，使得，连接． (1)当D在线段上时，求证：． (2)请判断点D在何处时，，并说明理由． (3)当时，若中最小角为，直接写出的度数． 【答案】(1)见详解 (2)当点D在中点时，，理由见详解． (3)或或 【分析】（1）根据即可证明； （2）D运动到中点时，；利用等腰三角形的三线合一即可证明； （3）分D在线段上、当点D在的延长线上、点D在的延长线上，画出四种图形，根据等边三角形的性质、三角形内角和定理计算即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：若， 又∵， ∴平分， ∴， ∴平分， 又∵， ∴， ∴当点D在中点时，； （3）解：由（1）可知， ∴， 当时，则，， ∵， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ①如图1：D在线段上时，若， 则． ②如图2，点D在的延长线上，， ③如图3，点D在的延长线上，此时，． ④如图4，． 综上所述，满足条件的的度数为或或． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质、三角形外角的性质、等边三角形的判定和性质，解题的关键是准确寻找全等三角形解决问题，学会运用分类讨论思想． 39．（24-25八年级上·安徽六安·期末）（1）【K图横型建立】 如图1，在等腰直角三角形中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E．求证：； （2）【模型应用】 ①如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕着点A逆时针旋转45°至直线，求直线的函数表达式； ②如图3，在平面直角坐标系中，点，作轴于点A，作轴于点C，P是线段上的一个动点，点Q是直线上的动点且在第一象限内．问点A，P，Q能否构成以点Q为直角顶点的等腰直角三角形，若能，请求出此时点Q的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）①；②或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，待定系数法求一次函数解析式等知识点，灵活运用全等三角形的性质是解题的关键． （1）利用角的数量关系可求得，，因此可证出，再通过全等三角形对应边相等转化即可； （2）①：过点B作交于C，过C作轴于D，同理可得，利用全等三角形的性质求出C的坐标，再利用待定系数法求的解析式即可； ②设点，同理可得：，利用全等三角形的性质建立方程求解即可． 【详解】（1）证明：∵为等腰直角三角形， ∴，． 又∵，， ∴， 又∵， ∴． 在和中， ，，， ∴； ∴，， ∴； （2）解：①过点B作交于C，过C作轴于D， ∵， ∴为等腰直角三角形， 同理， ∴，， ∵， 令，则， ∴， 令，则， ∴， ∴，， ∴． ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入中， 得 解得，，， 则的解析式：； ②：如图，设点，过作于，交轴于， 则， 当时， 同理可得：， ∴，即， 解得：或， 故：或． 类型八、全等三角形的应用 根据实际问题的特点，建立全等三角形模型，将问题转化为全等三角形的边或角之间的关系，利用全等三角形的性质解决问题. 40．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）某中学几名同学想利用所学知识测量某段渭河的宽度（宽度一定），测量方案：寻找对岸河边一棵树的位置记作点A，在该岸边寻找点，使垂直于河岸，因河边不安全，几名同学在该岸同侧平地上取点，使三点在同一直线上，且，测得，再在的延长线上取一点，使，这时测得的长就是该段渭河的宽度．你认为这几名同学的测量方案可行吗？请说明理由． 【答案】可行，见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理、线段的和差等知识点，掌握三角形的判定与性质成为解题的关键． 由三角形内角和定理可得，即，再证明可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：可行．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴．即测得的长就是该段渭河的宽度． ∴这几名同学的测量方案可行． 41．（24-25八年级上·山东临沂·期中）在学习了全等三角形和角平分线的知识后，王老师组织全班同学开展了测量学校餐厅楼顶和教学楼顶之间距离的实践活动．如下图所示，已知餐厅高度，教学楼高度为的中点，分别为和的角平分线，请根据两位学生的对话任意选择一种方法，并求出的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，线段的垂直平分线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键．延长交于点，证明，得出，再进一步结合线段的垂直平分线的性质，即可证明结论． 【详解】解：延长交于点， 的中点为， ， 由题意可得：， ， 在和中， ， ， 由题意分析得，， ， 分别为和的角平分线， ， ， ， ， ， ， ， ． 42．（20-21七年级下·陕西·期末）为了解学生对所学知识的应用能力，某校老师在八年级数学兴趣小组活动中，设置了这样的问题：因为池塘两端的距离无法直接测量，请同学们设计方案测量的距离．甲、乙两位同学分别设计出了如下两种方案： 甲：如图1，先在平地上取一个可以直接到达点的点O，连接并延长到点C，连接并延长到点D，使，，连接，测出的长即可； 乙：如图2，先确定直线，过点B作直线，在直线上找可以直接到达点A的一点D，连接，作，交直线于点C，最后测量的长即可． 甲、乙两个同学的方案是否可行？请说明理由．    【答案】甲、乙两同学的方案都可行 【分析】甲同学利用的是边角边证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所以是可行的；乙同学利用的是在直角三角形的证出三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等测量的，所有方案可行． 本题主要考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形判定的定理是解决问题的关键． 【详解】甲、乙两同学的方案都可行． 甲同学方案：在和中，， ∴， ∴； 乙同学方案：∵于点B， ∴，均为直角三角形． 在和中，， ∴， ∴． ∴甲、乙两同学的方案都可行． 43．（25-26八年级上·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，为一面墙，梯子斜靠在墙面上，为了方便测量梯子顶部A距离地面的高度小明设计的方案如下： ①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得______，标记此时梯子的底端点D；③此时______的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． (1)补全设计方案，并说明小明设计方案的正确性； (2)测得，，求梯子底端向后滑动的距离． 【答案】(1)，，证明见解析 (2)梯子底端向后滑动的距离为． 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定， （1）先补全方案，再根据证明，再根据全等三角形的性质得出答案． （2）根据全等三角形的对应边相等可得答案． 【详解】（1）解：补全方案：①测量的角度；②使梯子缓慢下滑，使得，标记此时梯子的底端点D；③此时的长度即为梯子顶部A距离地面的高度． 由题意可知，，， 在和中，， ∴ ， ∴． （2）解：∵， ∴，． ∵，， ∴， ∴． ∴梯子底端向后滑动的距离为． 44．（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，某数学小组的同学为了测量湖宽，先在的延长线上选定点；再在的下方选一适当的点，分别连接，，延长至点，使得，延长至点，使得，连接；最后在的延长线上找一点，使得点在同一直线上，这时，只要测出线段的长度就可知湖宽，你能说明其中的道理吗？ 【答案】见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键．先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据平行线的判定与性质可得，然后证出，根据全等三角形的性质即可得． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即只要测出线段的长度就可知湖宽． 45．（25-26八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，小雅来到大明湖畔与美丽的花灯合影，她利用所学知识设计了一个方案测量花灯的边缘点A与围栏旁的点B的距离，小雅从点B处先沿方向走3米至点C，又沿着与垂直的方向走了4米至点D，并放置了一个标记物，接着往前继续走4米至点E，最后从点E处向左沿着与垂直的方向走了一定距离至点F，此时，她看到标记物正好遮住了花灯边缘的点A处，经过测量，米，请你帮小雅求出的长． 【答案】的长为2米． 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键．依题意得：米，米，米，，点A、D、F在同一条直线上，由此可依据“”判定和全等，进而得米，然后根据即可得出答案． 【详解】解：依题意得：米，米，米，，点A、D、F在同一条直线上， 在和中， ， ∴， ∴米， ∴（米）． 答：的长是2米． 46．（24-25八年级上·安徽合肥·期末）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为，小正方形的每一个顶点叫做格点．的顶点都在格点上．请仅用无刻度直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹． (1)请在图画出的中线和高． (2)要求在图中在轴上找点，使平分． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】（1）取格点、，连接交于点，连接；取格点，连接，交于点即可； （2）取格点、、，连接、且交于点，连接并延长交轴于点，连接即可； 【详解】（1）解：取格点、，连接交于点，连接；取格点，连接，交于点；取格点，连接、、、、、，交于点， ∵在正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴是的中线， 则即为所作； ∵，，， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是的高， 则即为所作； （2）取格点、、，连接、且交于点，连接并延长交轴于点，连接、、、、、， ∵在正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵在正方形网格中，每个小正方形的边长为， ∴，，， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴平分， 则点即为所作． 【点睛】本题考查作图一应用与设计作图，考查了正方形的性质，平行四边形及矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形三线合一的性质，垂直平分线的判定和性质，直角三角形两锐角互余等知识．解题的关键是理解题意，学会利用数形结合的思想解决问题． 47．（23-24八年级上·安徽淮南·期末）如图，用一副三角板摆放三种不同图形．在中，，；中，，． (1)如图，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，请在图中找出一对全等三角形，并说明理由； (2)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为点，猜想线段、、的数量关系，并说明理由； (3)如图，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，连接，则的面积为 ． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）利用、互余，、互余可推得，再根据“角角边”即可证明； （2）由、互余，、互余推得，再根据“角角边”即可证明，再根据全等三角形的性质即可推得、、的数量关系； （3）作延长线交于点，同理证明后，求得垂线的长度，根据即可得解． 【详解】（1）解：，， ， ， 又， ， ， 在和中， ， ． （2）解：猜想，证明如下： ， ， ， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ． （3）解：作延长线交于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， 中，， ， ， ， ． 故答案为． 【点睛】本题考查的知识点是全等三角形的性质与判定、勾股定理，解题关键是熟练掌握一线三等角模型的全等判定方法． 48．（23-24八年级上·安徽合肥·期末）如图1，点、分别在射线，上，且为钝角，现以线段、为底边向的外侧作等腰三角形，分别是，．    (1)如图2，连接、，交于点，连接，若． ①求证：； ②求证：平分； (2)如图3，若点，分别是，的中点，连接、并延长交于点，连接、、，当 °时，为等边三角形． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）①由，是等腰三角形，且，可得，再通过边角边即可求证；②三角形全等则有两三角形对应边所对的高线相等，由角平分线的性质即可求证； （2）连接根据垂直平分线的性质及判定得到，由为等边三角形即可得，由四边形的内角和为即可求证． 【详解】（1）解：① ，是等腰三角形，且， ，是等边三角形， ，， ， ， ， ； ②过点A作如图：   ， ， 平分； （2）连接如图所示：    ，是等腰三角形，点，分别是，的中点， 分别是线段的垂直平分线， ，， 为等边三角形， ， ， ， 在四边形中， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的性质，等边三角形的性质及判定，垂直平分线的性质，角平分线的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质是解题关键． 49．（23-24八年级上·云南昆明·期中）数学是一门充满乐趣、奥妙、又极具探索的学科，对一个人的思维也是一种“挑战”几何图形更是变幻无穷，但只要我们借助图形的直观、特殊情形出发，逐步“从特殊到一般”进行探索，思路和方法自然就会显现出来．下面是一道探索几何图形中线段与数量关系的例子： 已知，在等边三角形中，点E在上，点D在的延长线上，且． 小星的思路是： (1)【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为的中点时，确定线段与的大小关系，请你直接写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）； (2)【特例启发，解答题目】如图2，当点E为边上任意一点时，确定线段与的大小关系，请你写出结论：________（填“>”，“<”或“=”）；理由如下：（请你将理由补充完整） 证明：过点E作，交于点F． (3)【拓展结论，设计新题】如图3，在等边三角形中，点E在直线上，点D在线段的延长线上，且，若的边长为1，，求的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】此题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． （1）由E为等边三角形边的中点，利用三线合一得到垂直于，且为角平分线，由，利用等边对等角及等腰三角形的性质得到一对角相等，利用等角对等边即可得证； （2）过点E作，交于点F，由为等边三角形，得到三角形为等边三角形，进而得到，，再由，以及等式的性质得到夹角相等，利用得到与全等，利用全等三角形对应边相等得到，等量代换即可得证； （3）如图所示，同理可得，由求出的长即可． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 过点E作，交于点F， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 则； （3）如图3所示，作，交的延长线于点F，则， 同理可得：是等边三角形， ∴，，， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，而， ∴． 50．（23-24八年级上·湖北黄石·阶段练习）如图1，点A、D在y轴正半轴上，点B、C在x轴上，平分与y轴交于D点，．      (1)求证：； (2)如图2，点C的坐标为，点E为AC上一点，且，求的长； (3)在（1）中，过D作于F点，点H为上一动点，点G为上一动点．（如图（3），当H在上移动，点G点在上移动时，始终满足，试判断这三者之间的数量关系，写出你的结论并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 (3)，证明见解析 【分析】（1）根据角平分线的对应点得出，进而证明，进一步证明，即可得出结论； （2）过点作于，根据角平分线的性质得出，进而证明，得出，进一步证明，得出，再判断出，即可得出结论； （3）在的延长线上取一点，使，再判断出，进而判断出，得出，，进而判断出，进而判断出，得出，即可得出结论． 【详解】（1）证明：平分， ， ∵，， ∴， 在和中， ， ， ； （2）解：如图2，过点作于，   平分，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：，证明如下： 如图3，在的延长线上取一点，使，   平分，，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的定理，等腰三角形的性质，坐标与图形，构造出全等三角形是解本题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $