4.4探索三角形相似的条件（第4课时）（导学案）数学北师大版九年级上册

4.4 探索三角形相似的条件（第4课时） 导学案 1. 理解黄金分割的概念，掌握黄金分割点的性质，能运用黄金分割解决实际问题. 2. 经历观察— 猜想— 证明— 归纳的探究过程，发现黄金分割的存在，培养发现问题和解决问题的能力. 3. 了解黄金分割在艺术和自然中的广泛应用，学生体会数学的和谐与美，增强学习数学的兴趣. 学习重点：理解黄金分割点的作图方法，掌握黄金分割的定义黄金比的值. 学习难点：严谨理解黄金分割定义中“线段的黄金分割点”的唯一性，以及黄金比推导的过程. 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 相似三角形有哪些判定定理： （1）__________________________________________ （2）________________________________________________________ （3）________________________________________ 2. 相似三角形的性质：相似三角形对应边________，对应角________ 3. 比例线段的定义：________________________________________________ 新知自研：自研课本第95-96页的内容． 【学法指导】 情景引入 在古希腊，数学家兼天文学家欧多克索斯（约前400—前347）曾提出一个奇妙的问题：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这个问题就是“黄金分割”的起源，而这个相等的比就是(√5-1)/2。 后来，天文学家开普勒（1571—1630）将这种线段分割称为“神圣分割”，还盛赞它与勾股定理是“几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。历史上最早正式使用 “黄金分割” 名称的是欧姆。更有趣的是，古希腊许多矩形建筑的宽长比都等于这个黄金比；我国数学家华罗庚还将其推广到优选法中，也就是 “0.618 法”，在生产实践中取得了显著成果。 那么，这个耐人寻味的 0.618，背后藏着怎样的数学逻辑？今天，我们就一起走进 “黄金分割” 的世界，揭开它的神秘面纱？ 自研课本P95-96页的内容，思考： ●探究一：从五角星探究黄金分割的定义 ◆1.观察图中的五角星，回答以下问题： （1）相等的角：∠A＝________________________________ 由对顶角、三角形内角和等性质，还可得∠ADL＝________________________________________________， ∠ALD＝________________________________________________等 （2）相等的线段：AC＝________________________________ AL________________________________________________________ ◆2. 在五角星中可以发现以下三角形相似但不相等 ①第一对：△ADL∽________________ ②第二对：△EFD∽________________ ◆3. 小亮认为=，我________（同意/不同意）小亮的看法.由五角星的相似三角形关系，根据相似三角形________________，可推导出 ◆4. 结合小亮的观点=，可以发现：对于任意线段，若存在点将分成（较长段）和（较短线段），使得________与________的比等于________________与________的比，即： ◆5. 知识归纳 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果________________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做________。 练一练 即时训练 （1）已知线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），若AB＝10 cm，求AC的长度（结果保留根号）. （2）判断下列说法是否正确（对的打“√”，错的打“×”）： ①若点C是线段AB的黄金分割点，则一定有（ ） ②线段的黄金分割点有且只有一个（ ） 例题导析 例1 计算黄金比． 【分析】黄金分割的核心定义是“较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比”（，其中），通过比例性质将其转化为线段的平方关系，从而解得相关的比值. 即时训练： 1.已知线段MN = 5，点P是MN的黄金分割点MP > PN，求MP的长度（结果保留根号）. 2.判断方程- 3x + 1 = 0的正根是否与黄金比有关，并说明理由. ●探究二 建筑中的黄金分割——帕特农神庙 问题展示：帕特农神庙的立面矩形被称为‘完美矩形’，传说其宽与长的比符合‘黄金分割’。在图中，矩形内部作正方形后，出现比例。 ◆1. 点E是否为黄金分割点，试着证明： 【分析】矩形的长（）为，宽（）为，正方形的边长等于矩形的宽，故，因此 由题可知，，代入变量得： 交叉相乘得：________________ 展开整理：________________ 两边除以（设，即长与宽的比）：________________ 得一元二次方程：________________ 求解：________________________ ◆2. 小组讨论：去掉正方形后，剩余矩形的宽与长的比是多少？是不是黄金比？ 剩余矩形的长为，宽为； 宽长比为________________ 由1可知，________________（黄金比）； 结论：剩余矩形仍是________________ ◆6. 知识归纳 黄金矩形的定义 宽与长的比为________________的矩形，称为黄金矩形. 练一练 1.黄金矩形的宽与长的比为________（精确值），约等于________（近似值）。若一个黄金矩形的长为，则其宽为（用精确值表示），约等于________（保留两位小数）。 2. 下列矩形中，属于黄金矩形的是（ ） A. 长，宽 B. 长，宽 C. 长，宽 D. 长，宽 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 以小组为单位，交流以下问题： （1）证明探究二中的点E是否为黄金分割点？ （2）讨论去掉正方形后，剩余的矩形是否为黄金矩形？ B.讨论例题的解决方案. 1.关于线段的黄金分割，下列说法正确的是（ ） A. 一条线段只有一个黄金分割点 B. 黄金比是较短线段与较长线段的比 C. 若点是线段的黄金分割点（），则 D. 黄金比约为0.816 2.已知线段，点是的黄金分割点（），则的长为（ ） A. B. C. D. 3.某书籍封面为黄金矩形，已知其宽为，则长约为（ ）（） A. B. C. D. 4.线段，点从出发以向移动，当为的黄金分割点时，移动时间不可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2大小关系为( ) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．不能确定 6.线段，点是的黄金分割点（），则的长约为________（精确到0.01，）。 7.黄金矩形的长为，则宽为________。 8.线段，点从出发向移动，当为的黄金分割点时，的长为________________（结果保留根号）. 9.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度？(结果精确到0.001) 题型一：黄金分割点的双向计算 1. (2023·湖北黄冈中考模拟) 若线段，点是的黄金分割点，且，则的长为（ ） A. B. C. D. 2.(2024·浙江宁波中考) 已知点是线段的黄金分割点，且（），则线段的长为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 3.(2023·四川绵阳中考模拟) 线段，点为的黄金分割点（），则的长约为（ ）（参考数据：） A. 5.64 cm B. 9.36 cm C. 6.18 cm D. 8.82 cm 4.(2024·山东青岛中考) 若线段的黄金分割点为（），且，则的长为（ ）  A. 2  B. 4  C. 6  D. 2 题型二： 黄金分割在动态几何中的应用 5.(2023·河南洛阳中考模拟) 如图，线段，点从点出发，沿向点匀速移动，速度为，设移动时间为，当时，点为的黄金分割点（ ） A. 或 B. C. D. 6.(2024·安徽芜湖中考) 如图，在矩形中，，，点在上沿移动，点在上沿移动，且，当四边形为黄金矩形时，的长为（ ） A. 或 B. C. D. 7.(2023·陕西宝鸡中考模拟) 如图，将线段平移至，使点对应点，点对应点，若，点是的黄金分割点（），则的长不可能是（ ） A. B. C. D. 8.(2022·福建厦门中考) 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点落在上，则的长为（ ）  A.   B.   C.   D.  题型三 黄金分割与三角形的综合证明与计算 9.（2024·辽宁大连中考模拟）如图，在中，，，平分交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. 是的黄金分割点 C. D. 10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝________ 11. 如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数． 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由． 4.4探究三角形相似的条件（第4课时） 1.黄金比例：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果________，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的________________，AC与AB的比叫做________。 2.黄金矩形：宽与长的比为________________的矩形，称为________________ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.4 探索三角形相似的条件（第4课时） 导学案 1. 理解黄金分割的概念，掌握黄金分割点的性质，能运用黄金分割解决实际问题. 2. 经历观察— 猜想— 证明— 归纳的探究过程，发现黄金分割的存在，培养发现问题和解决问题的能力. 3. 了解黄金分割在艺术和自然中的广泛应用，学生体会数学的和谐与美，增强学习数学的兴趣. 学习重点：理解黄金分割点的作图方法，掌握黄金分割的定义黄金比的值. 学习难点：严谨理解黄金分割定义中“线段的黄金分割点”的唯一性，以及黄金比推导的过程. 第一环节 自主学习 温故知新： 1. 相似三角形有哪些判定定理： （1）两角分别相等的两个三角形相似 （2）两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 （3）三边成比例的两个三角形相似 2. 相似三角形的性质：相似三角形对应边成比例，对应角相等. 3. 比例线段的定义：若四条线段a,b,c,d满足=，则称它们成比例 新知自研：自研课本第95-96页的内容． 【学法指导】 情景引入 在古希腊，数学家兼天文学家欧多克索斯（约前400—前347）曾提出一个奇妙的问题：能否将一条线段分成不相等的两部分，使较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比？这个问题就是“黄金分割”的起源，而这个相等的比就是(√5-1)/2。 后来，天文学家开普勒（1571—1630）将这种线段分割称为“神圣分割”，还盛赞它与勾股定理是“几何中的双宝，前者好比黄金，后者堪称珠玉”。历史上最早正式使用 “黄金分割” 名称的是欧姆。更有趣的是，古希腊许多矩形建筑的宽长比都等于这个黄金比；我国数学家华罗庚还将其推广到优选法中，也就是 “0.618 法”，在生产实践中取得了显著成果。 那么，这个耐人寻味的 0.618，背后藏着怎样的数学逻辑？今天，我们就一起走进 “黄金分割” 的世界，揭开它的神秘面纱？ 自研课本P95-96页的内容，思考： ●探究一：从五角星探究黄金分割的定义 ◆1.观察图中的五角星，回答以下问题： （1）相等的角：∠A＝∠B＝∠E＝∠G＝∠K 由对顶角、三角形内角和等性质，还可得∠ADL＝∠BCH＝∠CFK＝∠EFD＝∠GLH， ∠ALD＝∠BHC＝∠CKF＝∠EDF＝∠LGH等 （2）相等的线段：AC＝BD＝CE＝DG＝AH AL＝LC＝CH＝HB＝DF＝FK＝KE＝ED＝GL＝LH ◆2. 在五角星中可以发现以下三角形相似但不相等 第一对：△GFH∽△GDC 第二对：△GDC∽△BCH ◆3. 小亮认为=，我同意（同意/不同意）小亮的看法.由五角星的相似三角形关系，根据相似三角形对应边成比例，可推导出 ◆4. 结合小亮的观点=，可以发现：对于任意线段，若存在点将分成（较长段）和（较短线段），使得较长段与全段的比等于较短线段与较长段的比，即： ◆5. 知识归纳 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 练一练 即时训练 （1）已知线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），若AB＝10 cm，求AC的长度（结果保留根号）. 解：已知线段AB被点C黄金分割（AC＞BC），AB=10cm。 根据黄金分割的定义： 设AC=x cm，则BC=AB-AC=10-x cm，代入比例式得： 交叉相乘得： 因为长度为正，所以取正根： （2）判断下列说法是否正确（对的打“√”，错的打“×”）： ①若点C是线段AB的黄金分割点，则一定有（ × ） ②线段的黄金分割点有且只有一个（ × ） 例题导析 例1 计算黄金比． 【分析】黄金分割的核心定义是“较短线段与较长线段的比等于较长线段与原线段的比”（，其中），通过比例性质将其转化为线段的平方关系，从而解得相关的比值. 【解答】解：由，得． 设，，则． ∴ ， 即 ． 解这个方程，得 ，（不合题意，舍去）． 所以，黄金比． 【点评】本题不仅推导了黄金比的精确值，还渗透了重要的数学思想（数形结合、单位化），培养了学生的逻辑推理与应用意识. 即时训练： 1.已知线段MN = 5，点P是MN的黄金分割点MP > PN，求MP的长度（结果保留根号）. 解：根据黄金分割的定义，当时， 已知， 则： 2.判断方程- 3x + 1 = 0的正根是否与黄金比有关，并说明理由. 解：无关。理由如下： 对于方程 用求根公式求解： 其正根为，而黄金比为 两者表达式不同，因此该方程的解与黄金比无关 ●探究二 建筑中的黄金分割——帕特农神庙 问题展示：帕特农神庙的立面矩形被称为‘完美矩形’，传说其宽与长的比符合‘黄金分割’。在图中，矩形内部作正方形后，出现比例。 ◆1. 点E是否为黄金分割点，试着证明： 【分析】矩形的长（）为，宽（）为，正方形的边长等于矩形的宽，故，因此 由题可知，，代入变量得： 交叉相乘得：； 展开整理：； 两边除以（设，即长与宽的比）：； 得一元二次方程：； 求解：（舍去负根）； ◆2. 小组讨论：去掉正方形后，剩余矩形的宽与长的比是多少？是不是黄金比？ 剩余矩形的长为，宽为； 宽长比为； 由1可知，（黄金比）； 结论：剩余矩形仍是黄金矩形 ◆6. 知识归纳 黄金矩形的定义 宽与长的比为黄金比（）的矩形，称为黄金矩形. 练一练 1.黄金矩形的宽与长的比为（精确值），约等于0.618（近似值）。若一个黄金矩形的长为，则其宽为（用精确值表示），约等于6.18（保留两位小数）。 2. 下列矩形中，属于黄金矩形的是（ C ） A. 长，宽 B. 长，宽 C. 长，宽 D. 长，宽 第二环节 合作探究 小组群学 在小组长的带领下： A. 以小组为单位，交流以下问题： （1）证明探究二中的点E是否为黄金分割点？ （2）讨论去掉正方形后，剩余的矩形是否为黄金矩形？ B.讨论例题的解决方案. 1.关于线段的黄金分割，下列说法正确的是（ C ） A. 一条线段只有一个黄金分割点 B. 黄金比是较短线段与较长线段的比 C. 若点是线段的黄金分割点（），则 D. 黄金比约为0.816 2.已知线段，点是的黄金分割点（），则的长为（ C ） A. B. C. D. 3.某书籍封面为黄金矩形，已知其宽为，则长约为（ B ）（） A. B. C. D. 4.线段，点从出发以向移动，当为的黄金分割点时，移动时间不可能是（ A ） A. B. C. D. 5. 如图，点P是线段AB的黄金分割点，PA>PB，若S1表示以AP为边的正方形的面积，S2表示以AB为长，PB为宽的矩形的面积，则S1，S2大小关系为( B ) A．S1>S2 B．S1＝S2 C．S1<S2 D．不能确定 6.线段，点是的黄金分割点（），则的长约为3.06（精确到0.01，）。 7.黄金矩形的长为，则宽为2。 8.线段，点从出发向移动，当为的黄金分割点时，的长为6（结果保留根号）. 9.要设计一座2m高的维纳斯女神雕像(如图)，使雕像的上部AC(肚脐以上)与下部BC(肚脐以下)的高度比，等于下部与全部的高度比，即点C(肚脐)就叫做线段AB的黄金分割点，试求出雕像下部设计的高度？(结果精确到0.001) 解：设雕像下部的高度为，总高度。 根据黄金分割的定义，点是线段的黄金分割点（），因此满足： 将代入上式，得： 代入，计算得： 题型一：黄金分割点的双向计算 1. (2023·湖北黄冈中考模拟) 若线段，点是的黄金分割点，且，则的长为（ C ） A. B. C. D. 【分析】本题考查黄金分割的定义。若点是线段的黄金分割点（），则。已知且，需先求，再通过求解. 【解答】由黄金分割定义， 则 答案：C 【点评】本题是黄金分割概念的直接应用，关键在于明确较长线段与原线段的比例关系，通过代数运算即可求出较短线段长度，难度较低，适合巩固黄金分割的基础定义 2.(2024·浙江宁波中考) 已知点是线段的黄金分割点，且（），则线段的长为（ B ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【分析】本题考查黄金分割的比例应用。点是线段的黄金分割点且，则。设的长为，代入建立方程求解． 【解答】设，由黄金分割比例得： 交叉相乘化简： 两边同时除以（），解得： 答案：B． 【点评】本题将黄金分割与方程结合，考查代数运算能力（尤其是分式有理化）。解题关键是根据比例关系建立方程，属于黄金分割的中等难度应用，能有效锻炼方程思想与分式化简能力. 3.(2023·四川绵阳中考模拟) 线段，点为的黄金分割点（），则的长约为（ A ）（参考数据：） A. 5.64 cm B. 9.36 cm C. 6.18 cm D. 8.82 cm 【分析】先简化△A'B'C'的三边比，看是否与△ABC的三边比一致；再根据相似三角形的性质（对应角相等）判断选项. 【解答】△ABC的三边之比为：； △A'B'C'的三边之比为：，简化后为（除以2）； 两边三角形的三边比完全一致，故相似。 相似三角形的对应角相等（相似的基本性质），因此“相似且对应角相等”。 答案：A 【点评】本题考查相似三角形的判定（三边比一致）及性质（对应角相等）。 易错点：误认为“相似但对应角不相等”，这是错误的——相似三角形的对应角一定相等（通过平行线或全等三角形可证明） 4.(2024·山东青岛中考) 若线段的黄金分割点为（），且，则的长为（ A ）  A. 2  B. 4  C. 6  D. 2 【分析】本题考查黄金分割的定义。若点是线段的黄金分割点（），则较长线段与原线段的比值为黄金比，即。已知，需通过该比例关系求解的长度。 【解答】设的长为，根据黄金分割比例： 交叉相乘得： 对分母有理化求解： 答案：A 【点评】本题核心考查黄金分割的比例关系，解题关键是明确 “较长线段与原线段的比值为黄金比”。题目虽在数值设置上可能存在疏漏，但仍体现了中考对几何比例概念（黄金分割定义）和代数运算（分母有理化）的典型考查方向，旨在锻炼学生对概念的理解与运算能力 题型二： 黄金分割在动态几何中的应用 5.(2023·河南洛阳中考模拟) 如图，线段，点从点出发，沿向点匀速移动，速度为，设移动时间为，当时，点为的黄金分割点（ A ） A. 或 B. C. D. 【分析】要解决点为线段黄金分割点的时间问题，需明确黄金分割点的定义（两种情况），并结合速度公式计算时间． 【解答】设线段，点的速度为，时间（等于的长度）。 情况1：较长线段为 此时，代入得： ， 时间。 情况2：较长线段为 此时， 因此， 时间 故选：A． 【点评】忽略黄金分割点的两种情况（仅考虑为较长线段，漏掉为较长线段的情况）； 关键：明确黄金分割点的双向性（较长线段可在左或右） 6.(2024·安徽芜湖中考) 如图，在矩形中，，，点在上沿移动，点在上沿移动，且，当四边形为黄金矩形时，的长为（ A ） A. 或 B. C. D. 【分析】本题考查黄金矩形的定义，需结合矩形ABCD的边长AB = 5、AD = 3，分两种情况分析AE的长度. 【解答】情况一：以为长，为宽 此时黄金矩形的宽与长的比为黄金分割比，即： 设，，代入得： 解得： 情况二：以为长，为宽 此时黄金矩形的宽与长的比为黄金分割比，即： 设，，代入得： 解得： 分母有理化（乘以）： 舍去理由 由于点在上，，故。计算的近似值： 因此情况二的解不符合实际，舍去。 故选A 【点评】本题核心是对黄金矩形定义的灵活应用，需注意分 “AB为长” 和 “AE为长” 两种情况讨论，同时结合AD = 3的长度限制筛选结果。解题过程中需熟练掌握黄金比的计算，并通过代数变形（分母有理化）求解线段长度，考查了逻辑推理与代数运算能力 7.(2023·陕西宝鸡中考模拟) 如图，将线段平移至，使点对应点，点对应点，若，点是的黄金分割点（），则的长不可能是（ D ） A. B. C. D. 【分析】本部分需结合平移性质与黄金分割概念，分析线段AE的可能长度． 【详解】解答 由平移的性质可知，平移后对应线段相等且平行，故，且 因是的黄金分割点（），黄金分割比为， 因此：  较短线段的长度为：  选项A： 若、、共线且在远离的一侧，则，故该长度可能。 选项B： 若、、共线且在、之间，则，故该长度可能。 选项C： （由平移性质知），结合平移的平行性与线段构成，该长度可能。 选项D： 的数值小于（推导：因，故，而）。 根据三角形三边关系： 不共线时，； 共线时，或。 因此的长度不可能是。 故选D 【点评】本题综合考查平移性质与黄金分割的应用，解题关键在于： 利用平移性质明确线段的相等与平行关系，确定CD = AB = 6； 结合黄金分割公式求出CE和DE的长度 8.(2022·福建厦门中考) 如图，在中，，，将绕点顺时针旋转得到，点落在上，则的长为（ B ）  A.   B.   C.   D.  【分析】首先，在等腰直角三角形中，利用勾股定理求出斜边AB的长度； 再根据旋转的性质，确定AB' = AB，结合点B'落在AB上的条件，分析B'C的长度与AB、AC的关系 【详解】在中，，，由勾股定理得： 根据旋转的性质，绕点顺时针旋转后，，且点落在上。 因此，。 综上，答案为 【点评】此题考查了相似三角形的判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质和判定等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 题型三 黄金分割与三角形的综合证明与计算 9.（2024·辽宁大连中考模拟）如图，在中，，，平分交于点，则下列结论错误的是（ AD ） A. B. 是的黄金分割点 C. D. 【分析】本题以顶角为108°的等腰三角形为载体，综合考查等腰三角形性质、黄金分割定义、相似三角形判定等知识点。解题关键是通过角度计算、线段比例推导，逐一分析选项的正确性。 【解答】由，，得。 平分，则。 选项A: 若，需满足且。但，，故，A错误。 选项B: 设，，则。通过线段比例推导 (结合正弦定理或方程)，可证，故是的黄金分割点，B正确。 选项C: 由黄金分割定义，，C正确。 选项D: 中，中，角不相等，故不相似，D错误 【点评】本题融合等腰三角形、黄金分割、相似三角形等知识，考查几何推理与综合应用能力。解题需准确分析角度关系，通过设元、方程或定理推导线段比例 10．如图，△ABC是顶角为36°的等腰三角形，若△ABC，△BDC，△DEC都是黄金三角形(底与腰的比为的三角形是黄金三角形)．已知AB＝4，则DE＝ 【分析】本题围绕“黄金三角形（底与腰的比为）”展开，需依次分析、、的边长比例关系，利用黄金三角形的定义推导的长度. 【解答】已知，由黄金三角形定义（底与腰的比为），得： 同理，是黄金三角形（底与腰的比为），故： 是黄金三角形（底与腰的比为），则： 【点评】本题考查黄金三角形的性质应用，需逐步推导各三角形的边长关系，核心是掌握“底与腰的比为”的定义，体现了黄金分割在三角形中的延伸应用。 11. 如图，在△ABC中，AC＝BC，在边AB上截取AD＝AC，连接CD，若点D恰好是线段AB的一个黄金分割点，且有AD＞BD，求∠A的度数． 【分析】结合 “AC = BC（等腰三角形）”“AD = AC”“点D是AB的黄金分割点 (AD > BD”，通过设元表示线段长度，再利用等腰三角形角的关系和三角形内角和求解∠A 【解答】设，因点是的黄金分割点且，故， 即： 则。 由得，由得。 ，又， 且，故。 在中，，解得： 【分析】本题综合黄金分割点、等腰三角形性质和三角形内角和，需通过设元建立线段与角的关系，体现了几何与代数的结合，以及黄金分割在三角形角度计算中的应用。. 12.如图，在△ABC中，AB＝AC，AC的垂直平分线交AC于点D，交AB于点E.若AE＝BC，则点E是线段AB的黄金分割点吗？说明你的理由． 【分析】判断点E是否为AB的黄金分割点，需验证 连接EC，利用垂直平分线性质（）和等腰三角形性质，推导 进而得到线段比例． 【解答】连接EC，因DE是AC的垂直平分线， 故： 又AB = AC，故△ABC为等腰三角形，底角相等： 故△BEC为等腰三角形 ∠BEC是△AEC的外角， 结合∠A = ∠ACE， 再结合∠B = ∠BEC，得： 解得： 故： 因此△BEC为等腰三角形， 故： 结合AE = EC，得： 设AE = EC = BC = x，AB = AC = y，则BE = AB - AE，即： 因∠B = ∠B，∠BEC = ∠ACB = 72°，故△BCE ∽ △BAC 相似三角形对应边成比例： 故即： 同时，BE = y - x，故： 点E将AB分成AE（较长线段）和BE（较短线段），满足： 故点E是AB的黄金分割点。 【点评】本题通过垂直平分线、等腰三角形、相似三角形的综合应用验证黄金分割点，步骤需层层推导，关键是利用相似三角形得到黄金分割的比例关系，体现了黄金分割在复杂几何图形中的判定方法。 4.4探究三角形相似的条件（第4课时） 1.黄金比例：一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC（如图），如果，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 2.黄金矩形：宽与长的比为黄金比（）的矩形，称为黄金矩形 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $