第四章 5 相似三角形判定定理的证明-【支点·同步系列】2025-2026学年九年级上册数学（北师大版）

AB-AD-2AP-号AB-1, ∴.在Rt△ADP中，PD=√/AD+AP=√5 PF=PD,.'.AF=PF-AP=5-1. :四边形AMEF为正方形， .AM=AF=5-1, .DM=AD-AM=2-(W5-1)=3-W5. (2)M是AD的黄金分割点.理由如下： 4M-5-1,DM_3-5_5-1 AD 2'AM5-12 .AM DM ·ADAM M是AD的黄金分割点. 10,解：10①5-1 2 ⑦(105-10) (2)(答案不唯一)分割成的“黄金三角形“如图所示， 36/3636 610K22086 (3)证明：：AB=AC,∠A=36, .∠ABC=∠C=72° 又，BD平分∠ABC, ÷∠ABD-∠CBD-号∠ABC-36, .∠BDC=180°-∠C-∠CBD=72°， ∴.AD=BD,BC=BD. 即AD=BC=BD. 又：∠C=∠C,∠CBD=∠A,.△CBD△CAB, 小瓷肥品把D是4C的黄金分制点 *5相似三角形判定定理的证明 1.A2.B3.B4.90°5.(8,0) 6.证明：(1)，四边形ABCD是菱形， .BC=DC,∠D=∠B 又DF=BE,.△CDF≌△CBE(SAS), ∴·∠DCF=∠BCE. CD∥BH,∠H=∠DCF, .∠H=∠BCE. 又：∠B=∠B,.△BECn△BCH. (②：BE=AB:AE,0-是 :CB∥DG, .易得△AEG∽△BEC, 能-般， 肥器 BC-AB,:.AG=BE. 由(1)，得△CDF≌△CBE,,DF-BE,∴AG=DF. 7.C8.4 9.解：(1D:ED⊥AB,∴∠ADE=90°=∠C 又：∠A=∠A, △ADE△ACB,C- AB=10,AC=8,AE=5, ÷0-品解得AD=4 (2)在AC上截取CH=CB,连接BH,如图. ∠ACB=60°， ∴.△BCH为等边三角形， .CH=BH=BC=6,∠CHB=60°， .AH=AC-CH=8,∠AHB =120°. ∠EDB=60°， .∠ADE-120, .∠ADE=∠AHB. 又，∠A=∠A, △ADE0△AHB,器-铝即号=，解得 AD- 10.解：(1)AD+DE=AE (2)BD=20/174m. 6利用相似三角形测高 1.B2.2.33.B 4.解：根据题意，得∠BAC=∠NAM,∠ABC-∠MNA =90°， .△AMNc△ACB, 溶船即%-0 同理可得△MND∽△FED, 鉴-即x5生o 1.6 由0@，得-15tAN,都得AN=5, 1.6 ÷-空解得N=8,5 故该塔的高度MN为43.5m. 5.B 6.解：如图，过点F作FM∥EC,交AB于点N,交CD于 点M, 由题意，得MN=BC=30m,FN -BE-55.2 m.FM-CE-BE+E BC=85.2 m,NB-MC-EF=1.6 m,AN=20- 1.6=18.4(m) DM∥AN, ,易得△FDM∽△FAN, DM_FM AN FN' -是 .DM=28.4tm, .CD=CM+DM=1.6+28.4=30(m), .水塔的高度CD为30m. 7,解：如图，过点F作FM⊥EB交EB的延长线于点M, 交DC的延长线于点H,易得∠EMF=∠DHF=90°， 183 上册参考客案*5相似三角形判定定理的证明 要点提示 相似三角形的判定定理： 定理1：西角分耕相等的两个三角形相拟 定理2：两垃成比州且头角相馨的两个三角形相似。 定理3：三垃成比刚的两个三角形相似 ◆ O1因县础 。。。。。。 点.若∠APD=60°，则CD的长为() 知识点相似三角形判定定理的证明 A R号 c D 1.(2024一2025石家庄期中)已知图中有两组 三角形，其边长和角的度数已在图上标注 4如图，因边形ACD为矩形，铝-兴 对于各组中的两个三角形，下列说法正确的 BN,则∠MAN的度数为 D 是 359 第4超图 第5题图 5.如图，点P,P2,P,P4均在坐标轴上，且 第1题困 PP2⊥P2Pa,PzP⊥PP.若点P,P2的 A.①组和②组的两个三角形都相似 坐标分别为(0，一1)，（一2,0），则点P的坐 B.①组和②组的两个三角形都不相似 标为 C.只有①组的两个三角形相似 6.如下图，在菱形ABCD中，点E,F分别在边 D.只有②组的两个三角形相似 AB,AD上，BE=DF,CE的延长线交DA 2.下列说法中，两个三角形不相似的是( 的延长线于点G,CF的延长线交BA的延 A.一个三角形的两个角分别是40°，80°；另 长线于点H. 一个三角形的两个角分别是60°，80 (1)求证：△BEC∽△BCH. B.一个三角形的三边长分别是4cm,6cm, (2)如果BE=AB·AE,求证：AG=DF 8cm:另一个三角形的三边长分别是 12 cm,18 cm,21 cm C.一个三角形的两边长分别是2cm和5cm, 夹角是40°；另一个三角形的两边长分别 是3cm和7.5cm,夹角是40 D.各有一个角是120°的两个等腰三角形 3.(2024一2025抚州南城期中】 如图，等边三角形ABC的边 长为3，P为BC上一点，且 60 BP=1,D为AC边上的一 B 第3题图 数学九年级BS版 02提能力 O3拓思维◆ 7.如图，在△ABC中，CD⊥AB,且CD=AD· 10.【问题探究】 DB,AE平分∠CAB交CD于点F,交CB于点 (1)如图①，在四边形ABCD E,∠EAB=∠B,CN=BE,连接FN.有以下结 中，∠B与∠ADC互余.小明发 论：①CF=BN;②∠ACB=90°；③FN∥AB: 现四边形ABCD中这对互余的 ④AD=DF·DC.其中正确的是 ( 角可进行拼合：作∠CDF=∠B,在射线 A.①②@④ B.②③④ DF上任取一点E(不与点D重合)，连接 C.①②③④ D.①③ AE,发现AD,DE,AE之间的数量关系是 【问题解决】 (2)如图②，有一个四边形公园ABCD,B, 第7题 第8题周 D是公园的两个人口，AC和BD是公园的 8.如图，在菱形ABCD中，AB=5,S菱卷ABm 两条主干道，其中∠BAC=90°，∠ABC与 24,E为边AD上一点，且AE=1,连接BE, ∠ADC互余，AB=2AC,AD=100m,CD AC交于点F,过点F作FG⊥BC于点G,则 =70m.求BD的长， FG的长为 9.(2024一2025大连中山区期中)(1)如图①， 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10,AC 8,E是AC上一点，AE=5,ED⊥AB,垂足 图① 国② 为D.求AD的长， (2)如图②，在△ABC中，AC=14,BC=6, 点D,E分别在线段AB,AC上，∠EDB= ∠ACB=60°，DE=2.求AD的长， 图② 上册第四草 63