4.4 探索三角形相似的条件 导学案 2025-2026学年北师大版 数学九年级上册

4.4 探索三角形相似的条件 第1课时 素养目标 1.知道相似三角形的定义. 2.知道两角对应相等的两个三角形相似,并且会判定三角形相似. 3.知道两边成比例且夹角相等的两个三角形相似,并且会判定三角形相似. ◎重点::三角形相似条件的探索,并会用相似的条件进行简单的推理和计算. 【预习导学】 知识点一：相似三角形的概念 三个角分别　　　　、三条边　　　　的两个三角形叫作相似三角形.  知识点二：两角对应相等的两个三角形相似 阅读教材本课时相关内容,回答下列问题. 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等,那么第三个对应角一定　　　　,这两个三角形一定　　　　.  知识点三：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 两边成比例且　　　　相等的两个三角形相似.  　如图,D,E分别是△ABC的边AB,AC上的点,AB=9,BD=7,AC=6,CE=3.求证:△ADE∽△ACB. 　　　　 　　 　　　　 【合作探究】 任务驱动一：图1、图2中各有两个三角形,其边长和角的度数已在图上标注,图2中AB、CD交于O点,对于各图中的两个三角形而言,下列说法正确的是 (　　) A.都相似 B.都不相似 C.只有图1相似 D.只有图2相似 任务驱动二：如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,它们相交于点G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有 (　　) A.2对 B.3对 C.4对 D.5对 任务驱动三：如图,已知AB⊥BD,ED⊥BD,C是线段BD的中点,且AC⊥CE,ED=1,BD=4,那么AB=　　　　.  任务驱动四：如图,在△ABC中,∠C=90°,D、E分别是AB、AC上的点,且AD·AB=AE·AC.问DE与AB垂直吗?为什么? 方法归纳交流　判定相似三角形的基本思路:条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边成比例. 1.如图,在△ABC中,∠A=78°,AB=4,AC=6,下列阴影部分的三角形与原△ABC不相似的是 (　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D 2.如图,=,请添加一个条件,使△ADE∽△ABC,这个条件可以是　　　　.  3.如图,网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫作格点.△ACB和△DCE的顶点都在格点上,ED的延长线交AB于点F. (1)求证:△ACB∽△DCE.(2)求证:EF⊥AB. 参考答案 【预习导学】 知识点一 相等　成比例 知识点二 相等　相似 知识点三 夹角 对点自测 证明:∵AD=AB-BD=2,AE=AC-CE=3, ∴==,==, ∴=. 又∵∠A=∠A, ∴△ADE∽△ACB. 【合作探究】 任务驱动一 A 任务驱动二 C 任务驱动三 4 任务驱动四 解:DE⊥AB.∵AD·AB=AE·AC,∴=. 又∵∠A=∠A ,∴△ABC∽△AED,∴∠ADE=∠C =90°,∴DE与AB垂直. 素养小测 1.C 2.∠D=∠B 3.证明:(1)∵=,==,∴=. 又 ∠ACB=∠DCE=90°,∴△ACB∽△DCE. (2)∵△ACB∽△DCE,∴ ∠ABC=∠DEC. 又 ∠ABC+∠A=90°,∴ ∠DEC+∠A=90°, ∴∠EFA=90°, ∴EF⊥AB. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 4.4 探索三角形相似的条件 第2课时 素养目标 1.掌握三角形相似的条件“三边对应成比例的两个三角形相似”. 2.知道黄金分割的定义,会找一条线段的黄金分割点. 3.会判断某一点是否为一条线段的黄金分割点,认识黄金分割与人类生活的密切联系与作用. ◎重点::灵活运用三角形相似的条件进行相关计算、证明. 【预习导学】 知识点一：三边对应成比例的两个三角形相似 阅读教材本课时相关内容,回答下面的问题. 1.如图,DE平行于BC,写出相似三角形及性质(比例线段). 2.若==,结合(1)中的结论,你能得到什么? 　　　　 3.判断△ADE和△A'B'C'是否全等,△ABC与△A'B'C'是否相似,为什么? 　　　　 归纳总结　三边成比例的两个三角形　　　　.  知识点二：黄金分割 阅读教材本课时“习题4.8”之前的内容,回答下列问题. 1.什么是黄金分割?黄金比是什么? 　　　　 2.黄金比是一个定值,一个常数,为　　　　,约等于　　　　.  3.一条线段有几个黄金分割点? 　　　　 1.已知△ABC的三边长分别为7.5,9和10.5,△DEF的一边长为5,当△DEF的另两边长是下列哪一组时,这两个三角形相似 (　　) A.4,5 B.5,6 C.6,7 D.7,8 2.如图,C为线段AB的黄金分割点(AC<BC),且BC=4,则AB的长为 (　　) A.2+2 B.2-2 C.+3 D.-3 3.如图,AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点.求证:△DEF∽△ABC. 　　　　 　　 　　　　 【合作探究】 任务驱动一：根据下列条件,判断△ABC与△DEF是否相似,并说明理由. (1)AB=6 cm,BC=8 cm,AC=10 cm,DE=18 cm,EF=24 cm,DF=30 cm; (2)AB=4 cm,BC=6 cm,AC=8 cm,DE=12 cm,EF=18 cm,DF=21 cm. 　　　　 任务驱动二：如图,在正方形方格上有△A1B1C1和△A2B2C2,求证:△A1B1C1∽△A2B2C2. 　　　　 方法归纳交流　判定相似三角形的基本思路:一是条件中若有一对等角,可再找一对等角或再找夹这对等角的两组对应边成比例;二是条件中若有两组对应边成比例,可找夹角相等或计算第三组对应边的比,考虑三组对应边成比例. 任务驱动三：C是线段AB上一点,且AC2=AB·BC,则C是线段AB的 (　　) A.中点 B.三等分点 C.黄金分割点 D.以上都不对 任务驱动四：如图,这是一种贝壳的俯视图,点C分线段AB近似于黄金分割.已知AB=10 cm,则AC的长约为　　　　cm.(结果精确到0.1 cm)  任务驱动五：宽与长之比为∶1的矩形叫黄金矩形,黄金矩形令人赏心悦目,它给我们以协调,匀称的美感.如图,如果在一个黄金矩形里画一个正方形,那么留下的小矩形还是黄金矩形吗?请证明你的结论. 　　　　 　　　　 　如图,在△ABC和△ADE中,==,点B、D、E在一条直线上,求证:△ABD∽△ACE. 参考答案 【预习导学】 知识点一 1.△ADE∽△ABC,==. 2.AD=A'B',AE=B'C',DE=A'C'. 3.△ADE和△A'B'C'全等,理由:边边边定理.△ABC与△A'B'C'相似,理由:△ADE∽△ABC,△ADE和△A'B'C'全等,所以△ABC与△A'B'C'相似. 归纳总结　相似 知识点二 1.把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),且=,叫作把线段AB黄金分割,点C叫作黄金分割点,AC与AB的比叫作黄金比. 2.　0.618 3.两个. 对点自测 1.C　2.A 3.证明:∵AD是△ABC的高,E、F分别是AB、AC的中点, ∴DE=AB,DF=AC,EF是△ABC的中位线, ∴EF=BC, ∴===, ∴△DEF∽△ABC. 【合作探究】 任务驱动一 解:(1)∵=,=,=, ∴ ==,∴△ABC ∽△DEF. (2)∵=,=,=, ∴ =≠, ∴△ABC 与△DEF三组对应边的比不相等,∴它们不相似. 任务驱动二 证明:设单位网格正方形的边长为1,由勾股定理可知, A1B1==,A2B2==, A1C1==,B2C2==. 又B1C1=5,A2C2=2, 所以===, 所以△A1B1C1∽△A2B2C2. 任务驱动三 C 任务驱动四 6.2 任务驱动五 解:留下的矩形CDFE是黄金矩形. 证明:∵四边形ABEF是正方形, ∴AB=DC=AF.又∵=,∴=,即点F是线段AD的黄金分割点, ∴==,即=, ∴矩形CDFE是黄金矩形. 素养小测 证明:∵在△ABC和△ADE中, ==, ∴△ABC∽△ADE, ∴∠BAC=∠DAE, ∴∠BAD=∠CAE. ∵=, ∴=, ∴△ABD∽△ACE. 学科网（北京）股份有限公司 $$