1.5三角函数的应用（题型专练）数学北师大版九年级下册

1.5三角函数的应用 题型一 利用同角三角函数关系求值 1．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 3．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 4．（2025九年级下·全国·学业考试）已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，则的值为 ． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 7．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 8．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 题型二 求证同角三角函数的关系 1．（18-19九年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 5．（2025·广东佛山·一模）（1）解方程：； （2）已知是锐角，求证：． 6．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 题型一 互余两角三角函数的关系 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是的三个内角，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知，则值为 ． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 题型二 方位角问题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 2．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 3．（2026九年级·河北·专题练习）如图，嘉嘉从A地出发向北偏东方向走到达B地，淇淇从A地出发向南偏东方向走到达C地，则A地在B地的 方向 m处，A地在C地的 方向 m处， °， m． 4．（16-17九年级下·湖南长沙·阶段练习）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，某景区在同一平面上有A，B，C，D四个打卡点，为方便顾客，部分打卡点之间修了小路，已知打卡点D在打卡点A的正东方向，，，打卡点D在打卡点C的北偏东方向，打卡点A在打卡点B的北偏西方向．求小路的长（结果保留整数）． 参考数据：，，，． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东． (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ （参考数据：，） 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P处）在北偏东方向上，继续往东走到了德思勤（B处）测得我家（P处）在北偏东方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：，结果精确到） 10．（19-20八年级上·湖南·期中）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼O的距离为．在A处测得望海楼O位于A的北偏东方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达B．在B处测得望海楼O位于B的北偏东方向．求此时游轮与望海楼之间的距离（结果保留根号）． 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 12．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 13．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 14．（18-19九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上． (1)求的度数； (2)求A与灯塔B相距多少海里？ 15．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 题型三 其他问题 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 2．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．（2024·湖南·模拟预测）洪江市深入贯彻落实习近平总书记关于“三农”工作重要论述，推进农村人居环境升级；按照湖南省委、省政府“千万工程”部署，积极促进农村人居环境整治与乡村旅游深度融合，推动“美丽乡村”向“美丽经济”转变．如图是某地对A地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图2，是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点转动．当分别转到，的位置时，测得，，的高度差，，的水平距离，，若该台灯底座高度，则点到桌面的距离为 ． 5．（2026九年级·河北·专题练习）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 6．（2025·安徽·模拟预测）如图是合肥某商场的扶梯示意图．已知为，为，，求长（结果精确到，参考数据：，，） 7．（2025·山东青岛·模拟预测）北京某校的地理探究小组测得，当地夏至日正午的太阳光线与水平面的夹角为，冬至日正午的太阳光线与水平面的夹角为．探究小组还测得学校内的旗杆冬至日正午的影子比夏至日正午的影子长．你能帮探究小组估算一下旗杆的高度吗？（保留2位小数）（提示：，，，，，） 8．（2024·广东·模拟预测）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 9．（2024·安徽·模拟预测）某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区与抢险工作．如图，某探测队在地面两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在的位置C的深度． （结果精确到1米，其中：） 10．（25-26九年级上·山东泰安·阶段练习）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 11．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 12．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，在住房墙的一侧有一块四边形空地，， (1)求此空地的面积（结果保留根号）； (2)为了丰富该空地附近市民的文化生活，政府投资对该地块进行改造，建成休闲广场，并建一个便民活动室，一边利用长的住房墙，另三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围成矩形活动房的长宽分别为多少时，活动房的面积为？ 13．（2024·广东·模拟预测）图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为多少？（结果精确到）（参考数据：，，，） 15．（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 16．（24-25九年级下·广东·阶段练习）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 17．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 题型一 三角函数综合 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：．若与互相垂直，且，，则．现有与互相垂直，且，，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）正方形、正方形如图放置，点在同一条直线上，点在边上，，且，连接交于，有下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数有 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 4．（2025·上海·模拟预测）如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 5．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，D为的中点，动点P从点B出发以每秒个单位向终点A匀速运动（点P不与A、D、B重合），过点P作的垂线交折线﹣于点Q．以、为邻边构造矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． (1)直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点M落在的边上时，求t的值． (3)当矩形与重叠部分图形不是矩形时，求S与t的函数关系式．并写出t的取值范围． (4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的t的值． 6．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图（请用2B铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接，若，且四边形的周长为40，求矩形的面积． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5三角函数的应用 题型一 利用同角三角函数关系求值 1．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）已知，则（　　） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查同角三角函数的关系，理解锐角三角函数的意义是解决问题的关键． 设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c，则， ， ，由，得到，设，则，由勾股定理得，可得，或，，由得到，，根据正切的定义即可求解． 【详解】解：设直角三角形中，锐角所对的边为a，邻边为b，斜边为c， 则， ， ， ∵，即， ∴， 设，则， 由勾股定理可得，， ∴， ∴，或，， ∵， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 2．（24-25九年级上·河南商丘·期末）若α是直角三角形的一个锐角，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把代入原式，转换为关于的式子，约分即可．本题考查了同角三角函数关系式，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解：把代入原式， 则原式． 故选：C． 3．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）已知，则（   ） A． B． C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了锐角三角函数的混合运算，掌握锐角三角函数的计算方法是解题的关键． 根据锐角三角函数的计算得到，将原式的分子、分母同时除以，再代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：B ． 4．（2025九年级下·全国·学业考试）已知m为实数，且是关于x的方程的两根，则的值为（   ） A． B． C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，锐角三角函数，根据是关于x的方程的两根，可得，结合，可得答案． 【详解】解：根据题意，得， 又， ． 故选C． 5．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）在中，，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握勾股定理和锐角三角函数是解题关键．利用正弦值设．，，再利用勾股定理求出，再利用余弦的定义求解即可． 【详解】解：在中，，， ， 设，， 由勾股定理得：， ， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·江苏扬州·期末）已知中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查同角三角函数的关系的应用，解题的关键是掌握：，据此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵为锐角， ∴， ∴． 故答案为：． 7．（24-25九年级上·上海·期中）已知，如果，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角函数的关系，掌握成为解题的关键． 利用列式计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，解得：． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）为锐角，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了锐角三角函数的计算，设，则根据完全平方公式变形即可求解． 【详解】解：设，则 ∵，即 ∴ ∴ ∴ ∴， 即 故答案为：． 题型二 求证同角三角函数的关系 1．（18-19九年级下·全国·单元测试）在Rt△ABC中，∠C＝90°，把∠A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA＝ .则下列关系式中不成立的是(　 　) A．tanA·cotA＝1 B．sinA＝tanA·cosA C．cosA＝cotA·sinA D．tan2A＋cot2A＝1 【答案】D 【分析】可根据同角三角函数的关系：平方关系；正余弦与正切之间的关系（积的关系）；正切之间的关系进行解答． 【详解】解：根据锐角三角函数的定义，得 A.tanA•cotA= =1，关系式成立； B.sinA=，tanA•cosA==，关系式成立； C.cosA=，cotA•sinA==，关系式成立； D.tan2A+cot2A=≠1，关系式不成立． 故选D． 【点睛】本题考查了同角三角函数的关系解题关键是明确三角函数的意义，准确进行推理证明． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，已知中，的对边分别为a、b、c． (1)根据锐角三角函数的定义，证明：； (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角函数，熟练掌握正弦和余弦的定义，是解题的关键： （1）根据正弦和余弦的定义，结合勾股定理进行证明即可； （2）利用（1）中关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵中，的对边分别为a、b、c． ∴，， ∴； （2）解：由（1）知：， ∵ ∴， ∴， ∴（负值已舍去）． 3．（24-25九年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在中，，，，分别是，，的对边． (1)求的值； (2)（填空）当为锐角时，____________； (3)利用上述规律，求式子的值． 【答案】(1)1 (2)1 (3)44.5 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及同角三角函数的关系，熟记定义是解题的关键． （1）由三角函数的定义及勾股定理即可证明； （2）由（1）得出的结论解答即可； （3）由（1）得出的结论进行化简并求值即可． 【详解】（1）解：在中，，，； 所以：； （2）解：当为锐角时，， 故答案为 1； （3）解： = =（44个1相加） =． 4．（24-25九年级上·河南周口·阶段练习）如图，在中，． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查锐角三角形函数的知识，解题的关键是掌握正弦，余弦的应用，勾股定理的应用，利用完全平方公式，对式子进行变形，进行解答，即可． （1）根据正弦，余弦，勾股定理，可得，，，通过变形可得，，，再进行计算即可； （2）根据题意，，变形可得，再根据，即可求出． 【详解】（1）解：证明如下： ∵中，， ∴，，， ∴，， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5．（2025·广东佛山·一模）（1）解方程：； （2）已知是锐角，求证：． 【答案】（1）或；（2）见解析 【分析】本题考查了解分式方程，证明同角三角函数关系式，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）利用换元法解分式方程即可； （2）利用平方差公式将 化简，再结合即可得证． 【详解】（1）解：设，则原方程化为， 方程两边同时乘得， 解得，． 经检验，，都是方程的解． 当时，，解得： 当时，，解得． 经检验，或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． （2）证明：∵； 又； ∴． 6．（2024·甘肃武威·模拟预测）如图，在中，，请验证的结论． 【答案】见解析 【分析】本题考查同角的三角函数之间的关系，勾股定理以及互余两角三角函数的关系，掌握直角三角形的边角关系是正确判断的前提．根据直角三角形的边角关系求解即可． 【详解】证明：在中，， ∴ 题型一 互余两角三角函数的关系 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）已知是的三个内角，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用三角形的内角和得到，从而得到． 【详解】解：，， ． 故选：A. 【点睛】本题考查了互余的两角三角函数的关系，解题的关键是了解互余的两角之间的关系． 2．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，，，垂足为．给出下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题主要考查锐角三角函数，解题的关键是熟练掌握互余两角的三角函数间的关系． 根据，，可得，，再利用锐角三角函数的定义可列式进行逐项判断． 【详解】解：，， ，，， ，， ，故①正确； ，故②正确； 在中，， ，故③正确； ，， ，故④正确； 故答案为①②③④． 3．（24-25九年级上·全国·阶段练习）已知，则值为 ． 【答案】/ 【分析】根据公式解答即可． 本题考查了锐角三角函数，熟练掌握三角函数的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，在直角三角形中， 由， 故， 故答案为：． 4．（25-26九年级上·全国·课后作业）(1)【归纳推理】填空： _______，_______； _______，_______； _______，_______； (2)【发现总结】（    ）=_______． (3)【灵活运用】求的值． 【答案】(1) ,,,,,； (2) ；； (3) . 【分析】本题考查了锐角三角函数，根据特殊角的锐角三角函数值进行求解. （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算； （2）根据（1）发现的规律进行填写； （3）利用前两问发现的一般规律，对该式子进行求解即可. 【详解】（1）； ； ； ； ； ； 故答案为：，，，，，. （2）; 故答案为：；. （3）原式 故答案为：. 5．（25-26九年级上·全国·课后作业）先完成填空，再按要求解答问题． (1)如图，在中，，a，b，c分别表示中的对边． 请补充下列求及的过程： 在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为_______．即_______． (2)已知，则_______． 【答案】（1）a，b，a，b，1，1；（2） 【分析】本题主要考查直角三角形中正切的定义（对边与邻边的比值），以及通过计算归纳出互余锐角的正切值关系（乘积为1），解决问题的关键是熟练掌握正切函数的定义. 【详解】（1）解：在中， ， ． 【归纳思想】互余的两个锐角的正切值的乘积为1．即1． 故答案为： （2）解：已知，则_______． 互余的两个锐角的正切值的乘积为1， 故答案为： 题型二 方位角问题 1．（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在处测得点在北偏东方向上，在处测得点在北偏东方向上，若千米，则点到直线距离为（    ） A．3千米 B．千米 C．2千米 D．1千米 【答案】A 【分析】本题主要利用方向角、三角形外角性质、等角对等边的性质以及正弦函数的定义来求解，准确计算是解题的关键． 根据题意可得到，，再根据三角形外角性质得到，利用等角对等边得到，再利用正弦值求解即可． 【详解】由题意得：，，， 是的一个外角， ， ， ， 在中，（千米）． 点到直线的距离为千米． 故选：． 2．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图，一艘轮船位于灯塔的南偏东方向，距离灯塔45海里的处，它沿北偏东方向航行一段时间后，到达位于灯塔的北偏东方向上的处，此时与灯塔的距离约为 海里．（参考数据：，， 【答案】75 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，根据题意得，，，海里，进而求出，根据三角形内角和定理进一步求出，最后根据正弦的定义即可求出答案． 【详解】解：如图所示标注字母， 根据题意得，，，海里， ，， ， 在中，， （海里）， 即：此时与灯塔的距离约为75海里． 故答案为：75． 3．（2026九年级·河北·专题练习）如图，嘉嘉从A地出发向北偏东方向走到达B地，淇淇从A地出发向南偏东方向走到达C地，则A地在B地的 方向 m处，A地在C地的 方向 m处， °， m． 【答案】 南偏西 40 北偏西 30 90 50 【分析】分析与两地的方向与距离：利用方位角的“相反性”，北偏 东的反方向为南偏西且两地距离不变即可；通过正北与正南方向夹角为平角，结合北偏东和南偏西的角度关键即可求解；求长度，利用勾股定理即可． 【详解】解：如图所示：嘉嘉从A地出发向北偏东方向走到达B地，淇淇从A地出发向南偏东方向走到达C地， ． 则A地在B地的南偏西方向40m处，A地在C地的北偏西方向30m处， ， 由勾股定理得：． 故答案为：①南偏西②40③北偏西④30⑤90⑥50． 【点睛】本题考查了方位角问题，掌握方位角的判断方法是解题的关键． 4．（16-17九年级下·湖南长沙·阶段练习）钓鱼岛自古以来是我国的固有领土，随着我们国家综合国力的强盛，国家对钓鱼岛的巡航已常态化．2017年9月11日，中国海警2401号船在地测得钓鱼岛在北偏东方向，现该海警船继续从地出发，以30海里/小时的速度向正北方向航行2小时后到达地． (1)若，求钓鱼岛在地的北偏东多少度方向上？ (2)在（1）的基础上，求海警船与钓鱼岛的距离的长．（结果保留根号） 【答案】(1)钓鱼岛在地的北偏东45度方向上 (2)海里 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，等腰三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）依据三角形外角性质，以及邻补角互补进行列式，计算化简，则，即可得到钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上； （2）过B作于D，设，则，运用解直角三角形即可得到海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 【详解】（1）解：∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 解得， ∴， 即钓鱼岛B在C地的北偏东45度方向上． （2）解：如图所示，过B作于D， 由（1）得， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 则． 在中，， 即， 解得：， 即， ∴中，， 则， ∴（海里）， 答：海警船与钓鱼岛的距离的长为海里． 5．（2024·安徽·模拟预测）如图，某景区在同一平面上有A，B，C，D四个打卡点，为方便顾客，部分打卡点之间修了小路，已知打卡点D在打卡点A的正东方向，，，打卡点D在打卡点C的北偏东方向，打卡点A在打卡点B的北偏西方向．求小路的长（结果保留整数）． 参考数据：，，，． 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，作垂线构造直角三角形是解题的关键．过点D作，垂足为E，过A点作，交的延长线于点F，易证四边形是矩形，得到，通过解得到，再解即可求出的长． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为E，过A点作，交的延长线于点F， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 在中，， ∴． 答：小路的长为． 6．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）如图，是某动物园入口，、、是入口附近的三个展区，小明和小华相约从入口一起去参观，但由于兴趣不同，两人决定先沿不同的路线参观，再到达展区汇合．如图是路线平面示意图，已知展区在起点的东北方向，小明从起点出发沿正北方向走了900米到展区，在展区参观10分钟，再沿北偏东的方向走一段路即可到达展区．小华从起点出发向正东方向走到展区，在展区参观14分钟，再沿北偏东方向走一段路即可到达展区．（参考数据：） (1)求的长度；（结果保留根号） (2)已知小明的平均速度为90米/分钟，小华的平均速度为100米/分钟，若两人同时出发，请通过计算说明谁会先到达展区？（结果精确到0.1） 【答案】(1)米 (2)小华先到 【分析】本题考查解直角三角形的应用——方位角问题，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （）过点作于点，则，故有为等腰直角三角形，，从而求出，又米，然后用线段和差即可求解； （）过点作延长线于点，求出，在中，，，则，在中，，，所以，，然后求出所花时间，再比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， 由题意得：，米， ∴， ∴为等腰直角三角形，， ∴，即， ∴米， ∴（米）， ∴（米）， 答：的长度约为米； （2）解：如图，过点作延长线于点， 在中，，米， ∴米， 在中，，（米）， ∴（米）， 在中，，（米）， ∴（米），（米）， ∴米， ∴小明所花时间：（分），小华所花时间：（分）， ∵， ∴小华先到达展区． 7．（25-26九年级上·重庆·阶段练习）中秋乐游，明月湖畔，月圆人团圆．中秋佳节将至，明月湖公园设置了如图所示A、B、C、D四个打卡点，四个打卡点位于同一平面内，B在A的正东方向，C在B的正北方向，D在A的北偏东方向且在C的北偏西方向，千米，千米． (1)求的长度；（结果保留根号） (2)小南和小开分别从D、A打卡点同时出发，小南以的速度从D打卡点沿方向步行至A打卡点，小开以的速度从A打卡点沿方向跑步至B打卡点，请通过计算说明，小南出发多少千米后恰好与小开相距千米？（结果保留小数点后两位，参考数据：，） 【答案】(1)千米 (2)千米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，作出辅助线并正确地进行计算是解题关键． （1）如图，过D作于H，过C作于E，证明四边形为矩形，分别求解，，，，可得答案； （2）如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米，连接，过点M作于点F，分别用含x的代数式表示出、、，再利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：过D作于H，过C作于E， ∵， ∴四边形是矩形， ∴千米，， 根据题意得，，，而千米， ∴（千米）， ∴千米，（千米）， ∵， ∴千米， ∴（千米）； （2）解：如图，设出发小时后，小南到达点，小开到达点，他们之间的距离千米，则千米，千米， 连接，过点M作于点F， 由（1）可得千米， ∴千米，在左边， ∵， ∴千米，千米， ∴千米， 在中，， ∴， 解得或（舍去）， ∴千米； 即小南出发千米后恰好与小开相距千米． 8．（2024·安徽·模拟预测）如图，三角形花园紧邻湖泊，四边形是沿湖泊修建的人行步道．经测量，点C在点A的正东方向，米．点E在点A的正北方向．点B，D在点C的正北方向，米．点B在点A的北偏东，点D在点E的北偏东． (1)求步道的长度（精确到个位）； (2)点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？ （参考数据：，） 【答案】(1)步道DE的长度约为283米 (2)经过点B到达点D较近，计算见解析 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，明确题意，准确构造直角三角形是解题的关键． （1）过D作于F，则四边形是矩形，从而得到米，再证得为等腰直角三角形，即可求解； （2）分别求出两种路径的总路程，即可求解． 【详解】（1）解：如图：过D作于F，则四边形是矩形， ∴米， ∵点D在点E的北偏东，即， ∴是等腰直角三角形， ∴（米）； （2）解：由（1）知是等腰直角三角形，米， ∴米， ∵点B在点A的北偏东，即， ∴， ∵米， ∴米， ∴米， ∵米， ∴经过点B到达点D路程为米， 米， ∴米， ∴米， ∴经过点E到达点D路程为米， ∵， ∴经过点B到达点D较近． 9．（2024·湖南长沙·模拟预测）如图所示，湘府中路是一段东西走向的公路，在省政府（A处）测得小明家（P处）在北偏东方向上，继续往东走到了德思勤（B处）测得我家（P处）在北偏东方向上，请问小明家到湘府路有多远？（参考数据：，结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 过点作，根据三角形的外角性质得到，得到，根据正弦的定义计算，得到答案． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点， 由题意得：， ， ， ， 在中，， ， ， 答：小明家到湘府路有． 10．（19-20八年级上·湖南·期中）某校兴趣小组坐游轮拍摄海河两岸美景．如图，游轮出发点A与望海楼O的距离为．在A处测得望海楼O位于A的北偏东方向．游轮沿正北方向行驶一段时间后到达B．在B处测得望海楼O位于B的北偏东方向．求此时游轮与望海楼之间的距离（结果保留根号）． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形在方位角问题中的应用，解题的关键是构造直角三角形，将已知与待求联系起来；过点作，交的延长线于点，则由方位角的知识可得，，此时出现、；先在中求出，再在中运用三角函数求出． 【详解】解：根据题意得：，，， 如图，过点作，交的延长线于点， 在中，∵， ∴， 在中，， 答：此时游轮与望海楼之间的距离为． 11．（2024·湖南长沙·模拟预测）某次海上搜救行动中，搜救船正以的速度向正东航行，在出发地测得小岛在它的北偏东方向，搜救船匀速行驶小时后到达处，又测得小岛在它的北偏西方向．已知小岛上有火山喷发，对周围的搜救行动均有干扰作用，试判断该搜救船在航行过程中是否会受到干扰（参考数据：，．结果精确到）． 【答案】该搜救船在航行过程中会受到干扰 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解一元一次方程，熟练掌握以上知识是解题的关键． 由题意得，，，，过作于，解直角三角形可得，，解方程即可求解． 【详解】解：由题意得，，，， 过作于， ， ，， ， ， 解得：， 该船在航行过程中与小岛的最近距离为， ∵， ∴该搜救船在航行过程中会受到干扰． 12．（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，灯塔A周围9海里内有暗礁．一渔船由东向西航行至B处，测得灯塔A在北偏西方向上，继续航行6海里后到达C处，测得灯塔A在西北方向上．如果渔船不改变航线继续向西航行，有没有触礁的危险？ 【答案】如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险 【分析】本题考查了三角函数的实际应用． 过点A作于D，设海里，则海里，根据可知，解方程求出的长度，与比较即可． 【详解】解：如图，过点A作于D， 设海里， 由题意得，，，海里， 在中，， ∴海里， 在中， ， ∴海里， 解得，， ∵， ∴， ∴如果船不改变航线继续向西航行，有触礁危险． 13．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）为了维护我国海洋权力，海监部门对我国领海实行了常态化巡航管理．如图，正在执行巡航任务的海监船以每小时60海里的速度向正东方向航行，在A处测得灯塔P在北偏东方向上，海监船继续向东航行1小时到达B处，此时测得灯塔P在北偏东方向上． (1)求B处到灯塔P的距离； (2)已知灯塔P的周围150海里内有暗礁，若海监船继续向正东方向航行是否安全？请说明理由． 【答案】(1)B处到灯塔P的距离为海里 (2)海监船继续向正东方向航行是不安全的，见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—方向角问题，正确根据题意画出图形、准确标注方向角、熟练掌握锐角三角函数的概念是解题的关键． （1）过点P作于点D，求出的度数，设海里，则海里，利用锐角三角函数进行列方程求解即可； （2）在中，解直角三角形求出的值即可判定． 【详解】（1）解：过点P作于点D， 由题意得，海里，，， 设海里，则海里， 在中， ， 在中，， ∴， 解得， 在中，． 答：B处到灯塔P的距离为海里． （2）解：不安全，理由如下： 由（1）可知 ， ∵， ∴海监船继续向正东方向航行是不安全的． 14．（18-19九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，一艘游轮在A处测得北偏东的方向上有一灯塔B，游轮以海里/时的速度向正东方向航行2小时到达C处，此时测得灯塔B在C处北偏东的方向上． (1)求的度数； (2)求A与灯塔B相距多少海里？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用锐角三角函数解直角三角形，三角形外角的性质定理，解题的关键是掌握锐角三角函数． （1）利用三角形的外角性质定理进行求解即可； （2）作于点M，利用锐角三角函数求出相关线段的长度即可． 【详解】（1）解：根据题意得， ，， ∴； （2）解：如图，作于点M， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 15．（2025·甘肃武威·模拟预测）如图，某公路局施工队要修建一条公路，已知点周围米范围内为古建筑保护群，在上的点处测得在的北偏东方向上，从A向东走米到达处，测得在点的北偏西方向上．（参考数据：，） (1)是否穿过古建筑保护群？为什么？ (2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高，则原计划每天完成修建多少米公路？ 【答案】(1)不能穿过，理由见解析 (2)米 【分析】本题考查了分式方程的工程问题，方位角问题(解直角三角形的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）设，先分别求得，，再利用解直角三角形求得 ，再根据列出关于的方程求解，通过比较，再得出结论； （2）设原计划每天完成修建a米公路，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：不能穿过，理由如下： 如图，过作于， 设， ，，，， ，， 在中，， 在中，， ， ， ， 解得：(米)(米)， 不会穿过古建筑保护群； （2）设原计划每天完成修建a米公路， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的根， 答：原计划每天完成修建米公路． 题型三 其他问题 1．（2024·安徽·模拟预测）如图，是一辆小汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧与墙平行且距离为a，一辆小汽车车门宽为b，当车门打开角度为α时，车门边缘的点A处与墙的距离为（  ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线是解题的关键． 如图：过点A作于点C，解三角形求出的长度，进而完成解答． 【详解】解：如图：过点A作于点C， 在中， ∴车门边缘的点A处与墙的距离为． 故选：A． 2．（2024九年级上·山东青岛·专题练习）如图所示是一个左右两侧不等长的跷跷板，跷板长为4米，支柱垂直地面．如图①，当的一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为；如图②，当的另一端接触地面时，与地面的夹角的正弦值为，则支柱的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了三角函数的应用． 根据正弦值得到，，进而根据跷跷板长为4米，计算即可． 【详解】解：在中，， ， 同理可得：， 米， ， 解得：米， 故选：C． 3．（2024·湖南·模拟预测）洪江市深入贯彻落实习近平总书记关于“三农”工作重要论述，推进农村人居环境升级；按照湖南省委、省政府“千万工程”部署，积极促进农村人居环境整治与乡村旅游深度融合，推动“美丽乡村”向“美丽经济”转变．如图是某地对A地和地之间的一处垃圾填埋场进行改造，把原来A地去往地需要绕行到地的路线，改造成可以直线通行的公路．如图，经勘测，千米，，，则改造后公路的长是 千米（精确到千米；参考数据：，，，）． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，过点C作于D，解可得的长度，解可得的长，据此可得的长度． 【详解】解：如图所示，过点C作于D， ∴， 在中，千米，， ∴千米，千米， 在中，千米， ∴千米， 故答案为：． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）如图2，是某款台灯（图1）的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点转动．当分别转到，的位置时，测得，，的高度差，，的水平距离，，若该台灯底座高度，则点到桌面的距离为 ． 【答案】27 【分析】本题考查了勾股定理的应用，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，矩形的性质，解一元二次方程，难度较大，综合性较强，正确地作出辅助线是解题的关键． 过点M作于P，过点N作于Q，由题意得四边形是矩形，四边形是矩形，，根据矩形的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，，设，则，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点M作于P，过点N作于Q， 由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 设 则 故， 在中，， ∴， 整理得 则 解得或（舍去）， ∴ ∴点O到桌面的距离为 故答案为：27． 5．（2026九年级·河北·专题练习）2025年3月是第10个全国近视防控宣传教育月，活动主题为“抓早抓小抓关键，更快降低近视率”．如图是一幅眼肌运动训练图，其中数字对应的点均匀分布在一个圆上，数字0对应圆心．图中以数字对应的点为端点的所有线段中，有一条线段的长与其他的都不相等．若该圆的半径为1，则这条线段的长为 ．（参考数据：） 眼肌运动训练图 使用方法：以0，1，2，3，…的顺序沿着箭头方向移动眼球．移动一圈后再回到原点，反复进行． 【答案】 【分析】设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点解直角三角形求出，然后利用三线合一求解即可． 【详解】如图所示，设数字记为圆心，数字记为，数字记为，过点作于点 ∵其中数字对应的点均匀分布在一个圆上， ∴相邻两个数字与圆心组成的圆心角为， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴，即， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了圆心角，解直角三角形，等角对等边，三线合一性质等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 6．（2025·安徽·模拟预测）如图是合肥某商场的扶梯示意图．已知为，为，，求长（结果精确到，参考数据：，，） 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，分别解和，求出的长，再利用线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：在中，， ， ， 在中，， ． 故的长为 7．（2025·山东青岛·模拟预测）北京某校的地理探究小组测得，当地夏至日正午的太阳光线与水平面的夹角为，冬至日正午的太阳光线与水平面的夹角为．探究小组还测得学校内的旗杆冬至日正午的影子比夏至日正午的影子长．你能帮探究小组估算一下旗杆的高度吗？（保留2位小数）（提示：，，，，，） 【答案】旗杆的高度为． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．设，在和中，利用正切函数的定义分别求得，，根据，列式计算即可求解． 【详解】解：设， 在中，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴， 答：旗杆的高度为． 8．（2024·广东·模拟预测）如图是某货站传送货物的平面示意图，为了提高传送过程的安全性，工人师傅欲减小传送带与地面的夹角，使其由改为．已知原传送带长为． (1)求新传送带的长度； (2)如果需要在货物着地点C的左侧留出的通道，试判断距离B点的货物是否需要挪走，并说明理由．（结果精确到，已知，，） 【答案】(1) (2)需要挪走，理由见解析 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）先根据三角函数的定义求出，然后在中，解直角三角形求即可； （2）先求出，的长，即可求得及的长，即可判断答案． 【详解】（1）解：（1）在中，（m）， 在中，， （m）， 答：新传送带的长度约为； （2）解:在中，（m）， 在中，（m）， （m）， ， 货物需要挪走． 9．（2024·安徽·模拟预测）某国发生8.1级地震，我国积极组织抢险队前往地震灾区与抢险工作．如图，某探测队在地面两处均探测出建筑物下方C处有生命迹象，已知探测线与地面的夹角分别是和，且米，求该生命迹象所在的位置C的深度． （结果精确到1米，其中：） 【答案】生命迹象所在位置C的深度约为3米 【分析】本题考查的是解直角三角形的应用，过C点作的垂线交的延长线于点D，通过解得到，在中利用锐角三角函数的定义即可求出的值． 【详解】解：作交延长线于D， 设米． 在中，， 所以， 所以， 在中，， 由， 解得：． 即生命迹象所在位置C的深度约为3米． 10．（25-26九年级上·山东泰安·阶段练习）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算求出未知的线段与角； （1）由得到，在中，，，然后根据勾股定理即可计算出； （2）过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点作，在中求出、，在中求出，然后求出，在中求出，最后利用求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ∴， ∴， 即车架档的长为. （2）解：过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点，如图所示， ∵在中，，， ∴， 又∵由（1）得：， ∴在中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ 故车座点到车架档的距离为． 11．（24-25九年级上·广东清远·阶段练习）图是某型号挖掘机，该挖掘机是由基座、主臂和伸展臂构成．图是某种工作状态下的侧面结构示意图（是基座的高，是主臂，是伸展臂，）．已知基座高度为，主臂长为，测得主臂伸展角．（参考数据：，，，） (1)求点到地面的高度； (2)若挖掘机能挖的最远处点到点的距离为，求的度数． 【答案】(1)点到地面的高度约为 (2)的度数约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． （1）过点作，垂足为，延长交于点，由题意得：，，，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系求得的长； （2）在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而可知的长，利用线段的和差关系求出的长， 在中，利用锐角三角函数的定义可求出的值，从而得到的度数． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，延长交于点， 由题意得：，，， 在中，，， ， ， 点到地面的高度约为； （2）解：由题意得：， 在中，，， ， ， ， 在中，，   ， 即的度数约为． 12．（2020·辽宁沈阳·二模）如图，在住房墙的一侧有一块四边形空地，， (1)求此空地的面积（结果保留根号）； (2)为了丰富该空地附近市民的文化生活，政府投资对该地块进行改造，建成休闲广场，并建一个便民活动室，一边利用长的住房墙，另三边用长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个宽的门，所围成矩形活动房的长宽分别为多少时，活动房的面积为？ 【答案】(1) (2)所围成矩形活动房的长为，宽为时活动房的面积为． 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，一元二次方程的实际应用： （1）过点A作，垂足为E，过点C作，垂足为F，连接，分别在和中，利用锐角三角函数可得和的长，从而得到和，即可求解； （2）设与墙垂直的一边为，则与墙平行的一边为，根据题意，列出方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点A作，垂足为E，过点C作，垂足为F，连接， 在中，∵， ∴， 在中，∵， ∴， ∴ ∴ 答：此空地的面积为． （2）解：设与墙垂直的一边为，则与墙平行的一边为，根据题意得： ， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去． 当时，，符合题意． 答：所围成矩形活动房的长为，宽为时活动房的面积为． 13．（2024·广东·模拟预测）图①是一种三角车位锁，其主体部分是由两条长度相等的钢条组成．当位于顶端的小挂锁打开时，钢条可放入底盒中(底盒固定在地面下)，此时汽车可以进入车位；当车位锁上锁后，钢条按图①的方式立在地面上，以阻止底盘高度低于车位锁高度的汽车进入车位．图②是其示意图，经测量，钢条，．求车位锁的底盒长(参考数据：，，)． 【答案】68cm 【分析】本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义． 过点作于点，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】过点作于点，如下图： ∵， ∴， 在中，，， ∴(cm)， ∴， 答：车位锁的底盒长为68cm． 14．（2025·安徽·模拟预测）如图1是三星堆遗址出土的陶盉（），图2是其示意图．已知管状短流，四边形是器身，，，，．器身底部距地面的高度为，则该陶盉管状短流口距地面的高度约为多少？（结果精确到）（参考数据：，，，） 【答案】该陶盉管状短流口距地面的高度约为 【分析】本题考查解直角三角形的知识，解题的关键是正确的做出辅助线． 过点作交于点，过点作交的延长线于点，根据，求出，根据，，求出进而求解即可． 【详解】解：过点作交于点，过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴该陶盉管状短流口距地面的高度为：， 答：该陶盉管状短流口距地面的高度约为． 15．（25-26九年级上·上海·阶段练习）四边形不具有稳定性，工程上可利用这一性质解决问题．如图是某篮球架的侧面示意图，为长度固定的支架，支架在处与立柱连接（，垂足为H），在B，C处与篮板连接（），是可以调节长度的伸缩臂（旋转点处的螺栓改变的长度，使得支架绕点旋转，从而改变四边形的形状，以此调节篮板的高度）． 已知，，，测得时，点C离地面的高度为.调节伸缩臂，将由调节到． 请判断点C离地面的高度升高还是降低了？升高（或降低）了多少？（参考数据：，．） 【答案】点离地面的高度升高了，升高了． 【分析】本题考查的是平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，解直角三角形的实际应用，理解题意，作出合适的辅助线是解本题的关键． 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形，可得，证明四边形是平行四边形，可得，当时，则，此时，，，当时，则，，从而可得答案． 【详解】解：，， 如图，延长与底面交于点，过作于，则四边形为矩形， ∴，    ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 当时，则， 此时，， ∴， 当时，则， ∴， 而，， ∴点离地面的高度升高了，升高了． 16．（24-25九年级下·广东·阶段练习）综合与实践：居家网课学习时，小华先将笔记本电脑放置在水平的桌面上，如图1所示，其侧面示意图如图2所示，，；使用时为了散热，他在底板下垫入散热架，并将显示屏旋转到的位置，如图3所示，其侧面示意图如图4所示．已知、、C三点在一条直线上，且，（参考数据：，，，）． (1)求散热架的高度； (2)垫入散热架后，显示屏顶部比原来升高了多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的应用，勾股定理，结合图形，熟练运用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）利用计算即可； （2）过点B作交的延长线于D，先计算，再解，计算，得到，再计算即可得解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， 答：的长约为； （2）解：过点B作交的延长线于D，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据旋转可知：， 根据解析（1）可知：， ∴， ， 答：显示屏顶部比原来升高了约． 17．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 题型一 三角函数综合 1．（24-25九年级上·湖南永州·期末）规定：在平面直角坐标系中，如果点的坐标为，那么线段在平面直角坐标系中的方向值表示为：．若与互相垂直，且，，则．现有与互相垂直，且，，则锐角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平面向量，坐标与图形性质以及同角三角函数的关系，解题的关键是正确运用两平面向量互相垂直的运算法则． 根据平面向量互相垂直的运算法则得到方程．通过解该方程求得，所以由特殊角的三角函数值求得答案． 【详解】解：∵与互相垂直，且，， ∴ ， ∵是锐角， ∴， 两边同除以得： 即． ∴． 故选：B． 2．（24-25九年级上·广东深圳·阶段练习）正方形、正方形如图放置，点在同一条直线上，点在边上，，且，连接交于，有下列结论：①；②；③；④；⑤．以上结论正确的个数有 【答案】①③⑤ 【分析】根据正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的应用解答即可． 本题考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，勾股定理，平行线的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数的应用，熟练掌握判定和性质，三角函数是解题的关键． 【详解】解：∵正方形、正方形 ∴，， ，， ∴， ∵，， ∴， 在和中 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故①正确； ∵正方形 ∴， ∴， ∵ ∴， 故③正确； ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故④错误； 根据题意，得， ∵，， ∴， 故， 故⑤正确； 若，则， 故，无法证明这个结论是成立的， 故②错误． 故答案为：①③⑤． 3．（25-26九年级上·山东聊城·阶段练习）阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 4．（2025·上海·模拟预测）如图，线段的中点是点，以点为圆心，为半径作，点是上一点（不在直线上），连接、、． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用角相等，角的两边对应成比例即可证明两三角形相似； （2）为求，则过点作，垂足为点，利用求解．为求，先求，故过点作，垂足为点，易求，设，根据几何关系依次计算即可． 本题考查了三角形相似的判定、等腰直角三角形的性质、三角函数的应用． 【详解】（1）证明：∵， ， 在与中， ， ∴． （2）解：过点作，垂足为点．过点作，垂足为点． ∴是等腰直角三角形， 根据勾股定理可知， 设， 则， 在中，∵， ． 5．（2022·吉林长春·模拟预测）如图，在中，，，，D为的中点，动点P从点B出发以每秒个单位向终点A匀速运动（点P不与A、D、B重合），过点P作的垂线交折线﹣于点Q．以、为邻边构造矩形．设矩形与重叠部分图形的面积为S，点P的运动时间为t秒． (1)直接写出的长（用含t的代数式表示）． (2)当点M落在的边上时，求t的值． (3)当矩形与重叠部分图形不是矩形时，求S与t的函数关系式．并写出t的取值范围． (4)沿直线将矩形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形，请直接写出所有符合条件的t的值． 【答案】(1)或 (2) (3) (4)或或 【分析】本题考查图形动点问题，解题关键是熟练掌握直角三角形与矩形的性质，掌握三角函数解题技巧．（1）分类讨论点P在与上两种情况．（2）数形结合，通过相似三角形的性质求解．（3）分类讨论点P在与上两种重叠部分图形不是矩形的情况，利用三角函数求解．（4）为矩形对角线或所在直线经过矩形一边中点满足题意，通过数形结合求解． 【详解】（1）解：∵，D为的中点， ∴，P到D运动时间为， ∴或． （2）如图， ∵， ∴， 又∵， ∴在中，， ， 解得． （3）如图，当时，交于点F， ∵， ∴， 又∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． 如图，当时，，分别交于点F，E， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵． ∴， ∵， ∴， 综上所述，． （4）如图，①Q与C重合时满足题意，． ②点Q落在上时，交于点N， ∵， ∴，， ∴，， ∴， 又∵D为中点，， ∴， 由（2）问可知． ③当经过中点K时， ∵为直角三角形的中线， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 综上所述，或或． 6．（24-25九年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，点E是矩形的边上的一点，且． (1)尺规作图（请用2B铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)在（1）的条件下，回答以下问题： ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接，若，且四边形的周长为40，求矩形的面积． 【答案】(1)答案见解析 (2)①平行四边形是菱形；证明见解析；② 【分析】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，勾股定理，等边三角形的性质，平行线的判定与性质，特殊角的三角函数值，以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． （1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）①根据角平分线性质得到，再根据矩形的性质和等角对等边得到：，即，然后即可求解； ②根据菱形的性质可得：，可证得是等边三角形，再根据特殊角的三角函数值可得，然后即可求解； 【详解】（1）解：作图如下： ，即为平分线； （2）解：①四边形是菱形，理由如下： ∵平分， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形； ②∵菱形的周长为， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 如图，过点作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴矩形的面积． 1 / 62 学科网（北京）股份有限公司 $