拓展05 圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题（期中复习讲义核心7大题型）高二数学上学期人教A版

专题05 圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 定值问题 掌握常见斜率、线段等定值问题. 重难必考点，常出现在大题 定点问题 掌握直线过定点问题的一般处理办法. 重难必考点，常出现在小题 定直线问题 注意两类特别的定直线、. 高频易错点，无法消参得到所求直线 知识点01 定值问题 1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 知识点02 数轴、相反数、绝对值定点问题 1、定点问题 （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 知识点03 定直线问题 1、定值问题 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 题型一 面积定值 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知，分别为椭圆的右顶点和上顶点，设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．    2．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆离心率等于，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由. 4．如图，已知四边形的四个顶点都在抛物线上，且A，B在第一象限，轴，抛物线在点A处的切线为，且． (1)设直线，的斜率分别为k和，求的值； (2)若，证明：的面积为定值． 题型二 斜率的和差积商定值 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)记过点的两条不同的直线的斜率分别为，直线与交于两点，直线与交于两点，且，求的值. 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的离心率分别为其左右焦点，为椭圆上一动点，面积最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的左顶点为，过作直线，若直线与椭圆交于两点，均不与重合，求证：直线与直线斜率之积为定值. 3．设抛物线的焦点为，点，过的直线交抛物线于两点，当直线轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)设直线，与抛物线的另一个交点分别为点，，记直线，的斜率分别为，，求的值． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 5．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 题型三 线段定值 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 3．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 4．已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 5．已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 题型四 角度定值 1．已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 2．（24-25高二上·广西河池·月考）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 3．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 4．（25-26高二上·全国·单元测试）三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线的左支交于点（射线在内部），则．在上述过程中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)若，求双曲线的方程以及其渐近线方程； (2)若，点在轴的上方，过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为．证明 ①为定值； ②． 5．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若三角形的面积为，求直线的方程； (3)证明：存在实数，使得恒成立. 题型五 定点问题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 2．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 4．已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F． (1)求的标准方程； (2)过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求； (3)在第（2）问的基础上证明：直线过定点． 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为）． (1)求C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． (3)不经过点A的直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且以为直径的圆过点A，试证明直线l过一定点，并求出此定点； 6．已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 题型六 定点中的探索性问题 1．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 2．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由. 3．（23-24高二上·浙江温州·月考）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，线段长度的最小值为. (1)求的方程； (2)过点作一条直线，交于，两点，试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 4．动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 5．如图，已知双曲线的离心率为，一个焦点到其一条渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)如图，已知，分别为的左、右顶点，为上的动点，过作的切线分别与直线和相交于，两点，记直线与相交于点． ①求四边形面积的取值范围； ②是否存在两个定点，，使得为定值?若存在，求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 题型七 定直线问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 2．在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 3．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 4．已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. (1)求抛物线的标准方程； (2)求四边形面积的最小值； (3)证明：直线与直线的交点在定直线上. 5．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 6．（24-25高二下·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知椭圆经过点和点 (1)求椭圆的方程与焦距． (2)直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点． 3．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 4．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 5．已知椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，B，直线AD与直线BC交于点Q．证明：点Q在定直线上． 6．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值. 7．（23-24高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，动圆过点且与直线相切．记圆心的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，．证明： 8．（23-24高二上·河北邢台·月考）已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点． (1)若直线AB的斜率为，求． (2)试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由． 9．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 10．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标：若不存在.说明理由. 11．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 12．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 13．已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 14．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 15．动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； (3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 16．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 期中重难突破练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 3．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. (1)求的方程； (2)已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 4．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 5．（23-24高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 6．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 7．已知椭圆E:+=1的离心率为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点，的面积为2. (1)求椭圆E的方程； (2)如图1，设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线PA与y轴交于点M，直线PC与x轴交于点N，求证:四边形的面积为定值； (3)如图2，若Q是直线上一动点，连接AQ交椭圆E于点G，连接BQ交椭圆E于点H，连接GH.试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上． (1)求的方程． (2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 9．已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由. 10．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知椭圆：的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求弦长； (3)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 11．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且． (1)求的值； (2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值． 12．设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 13．（25-26高二上·湖北武汉·月考）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 14．设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 15．（25-26高二上·江西宜春·月考）在直角坐标平面内，已知，动点满足直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线上任意一点作直线与，分别交于两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由． 16．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 17．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 18．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值． 19．（24-25高二上·河南·月考）设为抛物线的焦点，为上三个不同的点，且，． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点． ①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求的最小值； ②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点． 20．（24-25高二上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于M，N两点. (1)若，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 ①求p的取值范围； ②证明：以为直径的圆过P，Q两点. 21．如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上. (1)求线段的长； (2)若线段的中点在轴上，求的面积； (3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 圆锥曲线中的定值、定点、定直线问题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 定值问题 掌握常见斜率、线段等定值问题. 重难必考点，常出现在大题 定点问题 掌握直线过定点问题的一般处理办法. 重难必考点，常出现在小题 定直线问题 注意两类特别的定直线、. 高频易错点，无法消参得到所求直线 知识点01 定值问题 1、定值问题 解析几何中定值问题的证明可运用函数的思想方法来解决．证明过程可总结为“变量—函数—定值”，具体操作程序如下： （1）变量----选择适当的量为变量． （2）函数----把要证明为定值的量表示成变量的函数． （3）定值----化简得到的函数解析式，消去变量得到定值． 2、求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊情况入手，求出定值，再证明该定值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理过程中消去变量，从而得到定值． 常用消参方法： ①等式带用消参：找到两个参数之间的等式关系，用一个参数表示另外一个参数，即可带用其他式子，消去参数． ②分式相除消参：两个含参数的式子相除，消掉分子和分母所含参数，从而得到定值． ③因式相减消参：两个含参数的因式相减，把两个因式所含参数消掉． ④参数无关消参：当与参数相关的因式为时，此时与参数的取值没什么关系，比如： ，只要因式，就和参数没什么关系了，或者说参数不起作用． 知识点02 数轴、相反数、绝对值定点问题 1、定点问题 （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明． 知识点03 定直线问题 1、定值问题 一般解题步骤： ①斜截式设直线方程：，此时引入了两个参数，需要消掉一个． ②找关系：找到和的关系：，等式带入消参，消掉． ③参数无关找定点：找到和没有关系的点． 定直线问题是指因图形变化或点的移动而产生的动点在定直线上的问题，解决这类问题，一般可以套用求轨迹方程的通用方法，也可以根据其本身特点的独特性采用一些特殊方法. 【一般策略】 ①联立方程消去参； ②挖掘图形的对称性，解出动点横坐标或纵坐标； ③将横纵坐标分别用参数表示，再消参； ④设点，对方程变形解得定直线. 解题技巧：动点在定直线上：题设为某动点在某定直线． 目标：需要消掉关于动点横坐标或者纵坐标的所有参数，从而建立一个无参的直线方程，此时会分为三种情况： （1），即动点恒过直线． （2），即动点恒过直线． （3），即动点恒过直线． 题型一 面积定值 1．（2025高二·全国·专题练习）如图，已知，分别为椭圆的右顶点和上顶点，设为第三象限内一点且在椭圆上，直线与轴交于点，直线与轴交于点，求证：四边形的面积为定值．    【答案】证明见解析 【分析】设，用，表示四边形的面积，化简即可. 【详解】设，则，易知，． 直线的方程为，令得，故， 直线的方程为，令得，故． 四边形的面积 . 所以四边形的面积为定值． 2．（23-24高二下·甘肃·期末）已知双曲线的实轴长是虚轴长的倍，且焦点到渐近线的距离为． (1)求双曲线的方程； (2)若动直线与双曲线恰有1个公共点，且与双曲线的两条渐近线交于，两点，为坐标原点，证明：的面积为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，结合双曲线渐近线求出即可得双曲线的方程. （2）按直线的斜率是否存在进行分类讨论，与双曲线渐近线方程联立求出，并求出原点O到直线l的距离，再计算推理即得. 【详解】（1）设双曲线的一个焦点为，一条渐近线方程为， 焦点F到渐近线的距离为， 由实轴长是虚轴长的倍，得， 所以双曲线的标准方程为. （2）由（1）知，双曲线的渐近线方程为， 当直线的斜率不存在时，的方程为，，， 当直线的斜率存在时，不妨设直线：，且， 由消去y得， 由，得， 由，得，不妨设与的交点为，则点的横坐标， 同理得点的横坐标，则， 而原点到直线的距离，因此， 所以的面积为定值，且定值为. 【点睛】易错点点睛：第二问中注意讨论直线l的斜率存在与不存在两种情况，以及由动直线l与双曲线C恰有1个公共点，直曲联立后由得到参数的关系. 3．（23-24高二上·浙江宁波·期末）已知椭圆离心率等于，长轴长为4. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线与轨迹交于两点，为坐标原点，直线的斜率之积等于，试探究的面积是否为定值，并说明理由. 【答案】(1) (2)是定值1，理由见解析 【分析】（1）列出关于的方程组求解后可得标准方程； （2）设，直线方程代入椭圆方程整理后应用韦达定理得， 代入斜率乘积化简得出的关系，然后由弦长公式计算弦长，再由点到直线距离公式求得三角形的高，从而计算三角形面积可得结论． 【详解】（1）由题意得，解得，        所以椭圆的方程为. （2）设，联立直线和椭圆方程可得：， 消去可得：， 所以，即， 则，       ， ， 把韦达定理代入可得：， 整理得，                                    又， 而点到直线的距离， 所以，         把代入，则，可得是定值1． 【点睛】方法点睛：本题考查椭圆中三角形面积为定值问题，一般设出交点坐标，直线方程与椭圆方程联立方程组消元后应用韦达定理，并把此结论代入题设条件得出参数关系，由弦长公式求得弦长，由点到直线距离公式求高，计算三角形面积，并根据参数关系化简得结论． 4．如图，已知四边形的四个顶点都在抛物线上，且A，B在第一象限，轴，抛物线在点A处的切线为，且． (1)设直线，的斜率分别为k和，求的值； (2)若，证明：的面积为定值． 【答案】(1)0 (2)证明见解析 【分析】（1）由轴得：点的坐标为，由抛物线在点处的切线斜率为，再由坐标表示出，最后由两直线平行，斜率相等得到； （2）首先由点斜式分别写出直线的方程，直曲联立解出，再得到直线的方程.方法一先求出点到直线的距离，再由弦长公式求出，最后得到三角形的面积为定值；方法二解出点坐标和，再由的面积等于得到定值；方法三由中点坐标公式解出坐标，再由的面积为解出面积为定值；方法四先证明下面三角形的面积公式，再求出，最后代入面积公式求出定值. 【详解】（1）设点的坐标分别为． 由轴得：点的坐标为． 由得，． 所以抛物线在点处的切线斜率为． 又 由得：， ． . （2）根据题意： 直线的方程为，即 由，得： 得 又直线得方程为，即 由，得： ，得 直线的方程为 即 方法1：点到直线的距离为 又 的面积为 故的面积为定值128． 方法2：的坐标为 的面积等于 故的面积为定值128． 方法3：设的中点为，则，即， 又 轴，且． 的面积为 ． 故的面积为定值128． 解法4：先证明下面三角形的面积公式． 设中，． 则的面积为 ． ． 的面积为． 的面积为定值128． 【点睛】关键点点睛： （1）求二次曲线的切线时可求导得出斜率； （2）证明三角形面积为定值时，可尝试用最基础的底乘高除以或拼接三角形面积. 题型二 斜率的和差积商定值 1．（24-25高二下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，点是圆上的动点，过点作轴的垂线，垂足为，点满足，记点的轨迹为曲线. (1)求的方程； (2)记过点的两条不同的直线的斜率分别为，直线与交于两点，直线与交于两点，且，求的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相关点法直接求轨迹方程； （2）设，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理可得，同理可得，化简可得的值. 【详解】（1）设M的坐标为，P的坐标为，则， 又点在圆O上，即， 亦即，化简得：． （2） 设，所在的直线方程为：，联立得：，消去得： 则 同理： 由可得：， 化简：，又，故：，即：． 2．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·月考）已知椭圆的离心率分别为其左右焦点，为椭圆上一动点，面积最大值为. (1)求椭圆的标准方程； (2)记椭圆的左顶点为，过作直线，若直线与椭圆交于两点，均不与重合，求证：直线与直线斜率之积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由在短轴端点时面积最大得到，再结合离心率即可求解； （2）设，联立椭圆方程，通过韦达定理及斜率公式即可求证. 【详解】（1）面积最大值为，又定值， 所以当在短轴端点时面积最大， 解得，椭圆方程为 （2） 由于均不与重合，则直线斜率不为0，设 联立直线与椭圆得， 判别式，则有： 则， 则 3．设抛物线的焦点为，点，过的直线交抛物线于两点，当直线轴时，． (1)求抛物线的方程； (2)设直线，与抛物线的另一个交点分别为点，，记直线，的斜率分别为，，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）首先求出点坐标，再根据抛物线的定义得到方程，求出的值，即可得解； （2）设，，，，设的方程为，联立直线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，即可求出，从而得解. 【详解】（1）解：当直线轴时，令，则，解得， 不妨取， 因为，所以，解得， 所以的方程为； （2）解：设，，，，由题可知直线斜率存在且不为， 故设的方程为联立得， 则有，， 直线方程为， 联立得，则，所以， 同理可得， 因为， 又因为， 所以． 4．在平面直角坐标系中，已知抛物线和点.点在上，且. (1)求的方程； (2)若过点作两条直线与，与相交于，两点，与相交于，两点，线段和中点的连线的斜率为，直线，，，的斜率分别为，，，，证明：，且为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由已知，根据点坐标，借助可表示出点坐标，然后带入抛物线方程，即可完成方程的求解； （2）由已知，分别设出四点坐标，然后利用坐标分别表示出直线，，，的斜率,即可证得，设和的中点分别为，，分别联立与抛物线方程，求得，的坐标，利用斜率公式表示，化简计算即可得出结果. 【详解】（1）设点，则，因为，， 所以，，所以点， 代入方程中，得，所以的方程为. （2）设点，，，， 则直线的斜率， 同理得直线的斜率， 直线的斜率， 直线的斜率， 所以， ， 从而得. 由消去得， 所以， 由，得或. 设和的中点分别为，， 则，， 同理，， 所以，即， 所以得. 5．（23-24高二下·上海·期末）已知双曲线：的离心率为，点在双曲线上．过的左焦点F作直线交的左支于A、B两点． (1)求双曲线的方程． (2)若，试问：是否存在直线l，使得点M在以AB为直径的圆上？若存在求出直线l的方程；若不存在，说明理由． (3)点，直线交直线于点．设直线、的斜率分别、，求证：为定值． 【答案】(1)； (2)不存在，理由见解析； (3)证明见解析 【分析】（1）根据题意列式求，进而可得双曲线方程； （2）设，联立方程，利用韦达定理判断是否为零即可； （3）用两点坐标表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值． 【详解】（1）由双曲线的离心率为，且在双曲线上， 可得，解得，所以双曲线的方程为． （2）双曲线的左焦点为， 当直线的斜率为0时，此时直线为，与双曲线左支只有一个交点，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设， 由，消去得， 显然，， 设，则，得， 于是， ， 即，因此与不垂直， 所以不存在直线，使得点在以为直径的圆上． （3）由直线，得， 则，又， 于是 ， 而，即有，且， 所以，即为定值． 【点睛】方法点睛：①引出变量法，解题步骤为先选择适当的量为变量，再把要证明为定值的量用上述变量表示，最后把得到的式子化简，得到定值；②特例法，从特殊情况入手，求出定值，再证明这个值与变量无关． 题型三 线段定值 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）已知抛物线C：的焦点F关于直线l：对称的点为． (1)求C的方程； (2)设原点为O，点P，Q均在C上若直线PQ经过点，直线OP与直线：相交于点M，点Q在上的投影为R，设与x轴的交点为S，问：是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)为定值2． 【分析】（1）由对称的点为，可得抛物线焦点，据此可得抛物线方程； （2）设直线PQ的方程为，且，.将直线方程与抛物线方程联立，由韦达定理可得.又由题可得M的纵坐标，然后由，经整理后可得定值. 【详解】（1）由已知得，则线段的中点为， 由题意得该中点在直线l：上， 所以，解得， 所以C的方程为． （2）设直线PQ的方程为，且，. 联立方程组，整理得. 可得，且，，则． 又直线OP的方程为，令，得点M的纵坐标， 又点Q在上的射影为R，所以点R的纵坐标.则由图可得： ， 所以为定值2． 2．（24-25高二下·上海崇明·期末）如图，已知椭圆的左焦点为，点P是椭圆C上位于第一象限的点，M， N是y轴上的两个动点（点M位于x轴上方），满足且，线段PN交x轴于点Q． (1)求椭圆的离心率； (2)若点M的坐标为，求点P的坐标； (3)求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据椭圆方程，直接求离心率； （2）首先利用垂直关系，先求点的坐标，再求点的坐标； （3）首先设，设，，首先根据，得到，再根据，得到坐标的关系，最后根据，即可求解. 【详解】（1）由条件可知，，，则， 所以椭圆的离心率； （2），，设，，， 因为，所以，即，即 设，，， 由题意可知，，得，， 则； （3）设，，设，，，， 由，所以，得， ，，， 由，所以，且， 化简得，又， 所以，即 所以，得， . 3．已知抛物线的焦点为，准线为，双曲线的左焦点为T． (1)求的方程和双曲线的渐近线方程； (2)设为抛物线和双曲线的一个公共点，求证：直线与抛物线相切； (3)设为上的动点，且直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，直线与抛物线交于不同的两点，判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)准线的方程为，双曲线的渐近线方程为 (2)证明见解析 (3)是，． 【分析】（1）根据抛物线的准线方程及双曲线的渐近线方程即可求解； （2）结合题意联立方程组和，化简即可求解； （3）由题意得，设，联立方程组和，利用韦达定理表示和，化简即可证明. 【详解】（1）准线的方程为，双曲线的渐近线方程为． （2）联立方程组， 消去得，解得（舍负），由对称性，不妨取， 又由，求得直线的方程为， 联立方程组，消去得， 因为，所以直线与抛物线相切． （3）因为，得准线为线段的中垂线， 则直线与直线的倾斜角互补，即， 设，由条件知， 联立方程组，消去得， 则， 联立方程组，消去得， 则， 所以， 故为定值． 【点睛】方法点睛：直线与圆锥曲线的位置关系中的定点、定值、最值问题，一般可通过联立方程组并消元得到关于或的一元二次方程，再把要求解的目标代数式化为关于两个的交点横坐标或纵坐标的关系式，该关系中含有，或，最后利用韦达定理把关系式转化为若干变量的方程（或函数），从而可求定点、定值、最值问题. 4．已知双曲线的上下焦点分别为、，离心率为，点到渐近线的距离为，过点且斜率为的直线在第一象限交双曲线于点，过点且斜率为的直线在第四象限交双曲线于点，与交于点. (1)求双曲线的方程； (2)若，求的值； (3)证明：是定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由焦点到渐近线的距离可求得，再结合离心率以及可得出的值，即可得出双曲线的方程； （2）设、，关于原点的对称点记为，将直线的方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，结合弦长公式以及，可得出的等式，结合可求得的值； （3）分析可知，可得出，同理可得，化简得出，结合弦长公式计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意得双曲线的一条渐近线方程为，即， 则焦点到渐近线的距离为， 又因为双曲线的离心率，，所以，， 则双曲线的方程为. （2）设、，关于原点的对称点记为，则，. 因为，，，所以， 又因为，即，故、、三点共线， 又因为与互相平分，所以四边形为平行四边形，故， 所以， 设的直线方程为， 代入双曲线方程整理得：， 所以，可得， 故，， 直线与双曲线只有两个交点，所以，解得. 由弦长公式得：， 则，即， 且由题意可知，可得，解得. （3）因为直线与直线斜率相等，所以，则， 所以，故，同理可得， 所以 因为. 所以，故为定值. 5．已知椭圆的长轴长为，离心率为，直线与轴交于点，与相交于、两点． (1)求的标准方程； (2)若的斜率为1，且，求的值； (3)是否存在，使恒为定值？若存在，求出与的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，，． 【分析】（1）利用椭圆长轴长和离心率概念，即可列式求解； （2）利用联立方程组，结合韦达定理和向量，即可求值； （3）利用联立方程组，结合韦达定理来表达，通过定值思想可求得参数. 【详解】（1）由题意知，，解得，， 所以的标准方程为． （2）由的斜率为1，则直线的方程为． 设，， 联立，消去得，， 其中，解得， 所以，， 所以， 因为，所以，解得． （3）①当直线的斜率不为0时，设其方程为， 联立，消去得，， 其中， 所以，， 所以 ． 当，即时，，即； ②当直线的斜率为0时，不妨取，， 若，则， 此时 ，即． 综上，存在，使得恒为定值，即，． 题型四 角度定值 1．已知，分别是椭圆：的左右焦点，点在椭圆上，且的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线与线段相交与，与椭圆交于两点，证明：. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式计算推理得证. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，由的面积为，得，解得， 由点在椭圆上，得，而，解得， 所以椭圆C的标准方程为. （2）依题意，直线不垂直于轴，设直线的方程为，，， 由，消去并整理得， ，又直线与线段交于点，则， ，，于是， 直线的斜率分别为， ，则，而， 所以. 2．（24-25高二上·广西河池·月考）设抛物线的焦点为，已知点到圆上一点的距离的最大值为2． (1)求抛物线的方程； (2)已知是双曲线左右焦点，过右焦点的直线与交于两点．证明：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用点到圆上点的最大距离为2，求出，可得答案； （2）设设的方程为，，与抛物线方程联立，由结合韦达定理可得答案． 【详解】（1）点到圆上点的最大距离为， 即，得， 故抛物线C的方程为． （2）由题意可知， 设的方程为，， 联立方程，得， 易得，由根与系数的关系得， ， 所以 ， 所以， 侧直线与直线的倾斜角互补，所以． 【点睛】关键点点睛：第二问解题的关键点是由韦达定理判断. 3．已知抛物线的焦点F到准线的距离为2，O为坐标原点． (1)求E的方程； (2)已知点，若E上存在一点P，使得，求t的取值范围； (3)过的直线交E于A，B两点，过的直线交E于A，C两点，B，C位于x轴的同侧，证明：为定值. 【答案】(1) (2) (3)证明见详解 【分析】（1）根据题意可知焦点F到准线的距离为，即可得方程； （2）设，利用平面向量数量积可得，结合基本不等式运算求解； （3）设，求直线的方程，结合题意可得，结合夹角公式分析求解. 【详解】（1）由题意可知：焦点F到准线的距离为， 所以抛物线E的方程为. （2）设，可知，则， 可得， 显然不满足上式， 则，可得， 又因为，当且仅当，即时，等号成立， 则，即， 所以t的取值范围为. （3）设， 则直线的斜率， 可得直线的方程，整理得， 同理可得：直线的方程， 由题意可得：，整理得， 又因为直线的斜率分别为， 显然为锐角，则， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：求解定值问题的三个步骤 （1）由特例得出一个值，此值一般就是定值； （2）证明定值，有时可直接证明定值，有时将问题转化为代数式，可证明该代数式与参数（某些变量）无关；也可令系数等于零，得出定值； （3）得出结论． 4．（25-26高二上·全国·单元测试）三等分角是古希腊几何尺规作图的三大问题之一，如今数学上已经证明三等分任意角是尺规作图不可能问题，如果不局限于尺规，三等分任意角是可能的．下面是数学家帕普斯给出的一种三等分角的方法：已知角的顶点为，在的两边上截取，连接，在线段上取一点，使得，记的中点为，以为中心，C，D为顶点作离心率为2的双曲线，以为圆心，为半径作圆，与双曲线的左支交于点（射线在内部），则．在上述过程中，以为原点，直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系． (1)若，求双曲线的方程以及其渐近线方程； (2)若，点在轴的上方，过点且与轴垂直的直线交轴于点，点到直线的距离为．证明 ①为定值； ②． 【答案】(1)双曲线的方程为，渐近线方程为． (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）根据题设直接求出，即可求出结果； （2）①根据条件得到直线的方程为，设，则，利用两点间的距离公式及，即可证明结果；②根据条件得到，从而得到，再利用几何关系，即可证明结果. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由及，可得，所以， 因为双曲线的离心率为2，所以，解得， 所以双曲线的方程为，渐近线方程为． （2）①设双曲线的方程为， 由题可得，，所以， 由双曲线的离心率为2，可得，所以双曲线的方程为． 因为，所以直线的方程为， 设，则，， 所以， ， 所以，为定值． ②因为，所以， 又，由①得， 所以， 又，都是锐角，所以， 所以，所以． 5．（24-25高二上·重庆渝中·期中）已知双曲线的左顶点为，左､右焦点分别为，过的直线与双曲线的右支交于两点.当时，. (1)求双曲线的标准方程； (2)若三角形的面积为，求直线的方程； (3)证明：存在实数，使得恒成立. 【答案】(1) (2)或. (3)证明见解析 【分析】（1）由左顶点为得，由当时，得，再结合，联立方程组求解，得到双曲线方程； （2）设直线方程为，其中，联立直线方程和双曲线方程得，由韦达定理及弦长公式得，从而，解得，从而可得结论； （3）取直线与轴垂直的特殊情况得到，再验证，恒成立. 【详解】（1） 由题意得，解得； 故双曲线的标准方程为. （2） 由（1）知；设直线的方程为， 由直线与双曲线的右支交于两点知； 联立，整理得：， 由韦达定理：； 故， 点到直线距离， 故，即， ， ， ， 解得或（舍去）， 故； 故直线的方程为，即或. （3）由题意， 当时：，解得， 不妨取，则， ，所以，满足； 故如果存在实数，使得恒成立，则； 当时，证明恒成立： 设，则； 所以， 则， 所以， 又，故， 所以； 综上所述：存在实数，使得恒成立. 题型五 定点问题 1．（24-25高二上·云南曲靖·期末）已知为抛物线：上一点，，为上异于点的两动点，且以线段为直径的圆恰好经过点． (1)求点到的焦点之间的距离； (2)证明：直线过定点． 【答案】(1)2 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意可得，即可得焦点坐标，进而可得结果； （2）设直线，，联立方程，根据垂直关系结合韦达定理可得，即可知直线过定点. 【详解】（1）因为为抛物线：上一点， 则，即， 可知抛物线：的焦点为，准线为， 所以点到的焦点之间的距离. （2）由题意可知：直线的斜率可能不存在，但不为0， 设直线，， 联立方程，消去x可得， 则，可得， 由题意可知：，则， 则，整理可得， 则，即， 所以直线过定点. 【点睛】方法点睛：过定点问题的两大类型及解法 1.动直线l过定点问题．解法：设动直线方程(斜率存在)为，由题设条件将t用k表示为，得，故动直线过定点； 2.动曲线C过定点问题．解法：引入参变量建立曲线 C的方程，再根据其对参变量恒成立，令其系数等于零，得出定点． 2．（23-24高二下·贵州黔南·期末）已知抛物线经过点． (1)求抛物线C的方程及其准线方程； (2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 【答案】(1)抛物线方程为，准线方程为 (2)证明见解析 【分析】（1）由题意结合点的坐标可得抛物线方程，进一步可得准线方程； （2）联立准线方程和抛物线方程，结合韦达定理可得圆心坐标和圆的半径，从而确定圆的方程，最后令即可证得题中的结论. 【详解】（1）将点代入抛物线方程得，解得， 故抛物线方程为． 其准线方程为 （2）证明：因为直线l的斜率不为0，焦点坐标为，设直线l的方程为. 与抛物线方程联立可得． 故． 设，则， 直线OM的方程为，与联立，可得，同理可得． 易知以AB为直径的圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的方程为． 令，整理可得，解得， 即以AB为直径的圆经过x轴上的两个定点． 3．（24-25高二上·贵州毕节·期末）已知双曲线：的一条渐近线为l：，且右焦点到直线的距离为2． (1)求双曲线的方程； (2)已知是的右顶点，、是上与不重合的两点，且，证明：直线过定点，并求出定点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离可求，再根据的关系及可求的值，得双曲线标准方程. （2）先讨论直线无斜率时，求出直线过点，当直线有斜率时，设直线：，与双曲线方程联立，消去，得到关于的一元二次方程，根据韦达定理可得，，，再根据，可求的关系，进而可得直线经过的定点，排除不合题意的即可得问题答案. 【详解】（1）双曲线的右焦点，到直线的距离为2， 所以，又. 所以双曲线：. （2）如图： 易知. 当直线的斜率不存在时，设直线：. 不防取，， 由，所以. 所以或（舍去）. 所以直线过点. 当直线的斜率存在时，设直线：. 由，消去得：（）. 由. 设，， 则，， 所以, 由，所以， 即， 所以， 所以或. 由得，所以直线过定点，舍去； 由得，所以直线过定点. 综上可得：直线过定点. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）； （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式； （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“（为常数）”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 4．已知椭圆的离心率为，长轴长为，上顶点为C，右焦点为F． (1)求的标准方程； (2)过C作直线，分别交于A，B两点，交x轴于D，E两点，其中，在的两侧，且．设直线，斜率分别为，，求； (3)在第（2）问的基础上证明：直线过定点． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）根据离心率及长轴长列式计算求参得出标准方程； （2） 先应用正弦定理结合点到直线距离得出斜率积为定值； （3）设直线联立方程组应用根与系数关系计算斜率积为1计算求参. 【详解】（1）设焦距为2c， 则，，且， 解得，， 因此的标准方程为． （2）在，中分别由正弦定理， 得，， 又由，及， 得， 故．     又直线，的斜率分别为，， 则两直线的方程分别为， 则到这两条直线的距离相等， 即，平方得， 化简得，又， 则． （3）证明：设直线，，， 与椭圆方程联立得， 消去y，得， 即，， 则，，     因此 ， 化简得，由，解得．     因此直线过定点． 5．（25-26高二上·黑龙江绥化·月考）已知椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为）． (1)求C的方程； (2)直线l：与椭圆C交于不同两点P、Q，求弦长． (3)不经过点A的直线l与椭圆C分别相交于M，N两点，且以为直径的圆过点A，试证明直线l过一定点，并求出此定点； 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析，定点． 【分析】（1）根据椭圆的几何性质可得方程； （2）根据韦达定理和弦长公式可得； （3）根据条件找到直线的斜率和截距之间的关系，进而确定直线过定点. 【详解】（1）椭圆C：的离心率为，长轴的右端点为， 可得，解得，，， 所以椭圆的标准方程为． （2）设，，联立，消去， 得，，由韦达定理得，， 由弦长公式得. 故弦长. （3）①当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，，， 设，，所以，， 由题意得，即， 可得 ， 所以，解得或， 当时，直线方程为此时过，不符合题意（舍去）； 当时，直线方程为，此时过定点，符合题意， ②当直线l的斜率不存在时，设直线l：，根据对称性， 不妨设M，N的坐标分别为，， 所以，解得，直线l过点， 综上可得，直线l过定点． 6．已知点，分别为双曲线E：的左、右焦点，点到双曲线E的渐近线的距离为，点A为双曲线E的右顶点，且． (1)求双曲线E的标准方程； (2)若四边形为矩形，其中点B，D在双曲线E上，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先根据点到直线距离计算得出，再应用得出，计算得出进而得出标准方程； （2）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况，联立方程组结合向量的数量积计算得出或，结合题意即可证明定点. 【详解】（1）设焦距为2c，则， 故点到双曲线E的渐近线的距离为． 由，知，得． 又因为，所以，解得． 所以双曲线E的标准方程为． （2）①当直线的斜率不存在时， 由，设直线的方程为， 当时，则在双曲线，可得,所以， 当时，则在双曲线，可得,所以不合题意舍， 可得直线的方程为， ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，，， 联立得， 当时，，， 因为四边形为矩形，所以， 所以， 所以， 所以 所以， 所以，所以或， 当时，直线的方程为，恒过定点，不合题意，舍去． 当时，直线的方程为，恒过定点． 综上①②，直线恒过定点． 题型六 定点中的探索性问题 1．（24-25高二上·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，已知直线过抛物线的焦点，与交于两点. (1)若线段中点的横坐标为2，线段的长为6，求抛物线的方程； (2)在轴上是否存在一定点，使得直线和直线的斜率之积为定值？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)存在定点 【分析】（1）设的方程为，联立抛物线方程，结合韦达定理及弦长公式即可求解； （2）设，直线和直线的斜率分别为，结合韦达定理得到由其为定值即可求解. 【详解】（1）抛物线的焦点为，直线的方程可设为， 代入整理得， 设，则， 所以，， 因为线段中点的横坐标为2，所以①， 因为线段的长为6，所以②， 由①②解得， 所以抛物线的方程为. （2） 设，直线和直线的斜率分别为， 则 若为定值，由的任意性知，即，此时为原点， 所以存在定点，使得直线和直线的斜率之积为定值. 2．（24-25高二下·河北石家庄·开学考试）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点且斜率不为0的直线与曲线交于两点、，请问：在轴上是否存在一点，使得，如果存在，求出点的坐标，如果不存在请说明理由. 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）根据椭圆的定义判断点C的轨迹为椭圆，进而求出椭圆方程； （2）由 可得么.设直线，联立方程利用韦达定理求出，，再利用可得出，从而得解. 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意， ， 又，故的轨迹为以、为焦点，长轴长为6的椭圆.又因为圆和圆内切，所以左顶点不满足， ，，， 故的方程为； （2）假设存在点，使得， 当直线的斜率不存在时，恒成立 当直线的斜率存在时， 设，点， ，得 ，， 因为，所以 ， 所以， 化简得， 代入解得， 即存在点，使得. 3．（23-24高二上·浙江温州·月考）已知为抛物线的焦点，为坐标原点，为的准线上的一点，线段长度的最小值为. (1)求的方程； (2)过点作一条直线，交于，两点，试问在准线上是否存在定点，使得直线与的斜率之和等于直线斜率的平方?若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在符合题意的定点，的坐标是或 【分析】（1）根据已知条件求得，从而求得抛物线的方程. （2）设，设直线的方程为并与抛物线方程联立，化简写出根与系数关系，根据“直线与的斜率之和等于直线斜率的平方”列方程，求得，也即求得点的坐标. 【详解】（1）依题意，为的准线上的一点，线段长度的最小值为， 所以，所以抛物线的方程为. （2）抛物线的焦点，准线. 设，由于直线与抛物线有两个交点，所以直线与轴不重合， 设直线的方程为，由消去并化简得： ，设， 则 ，， ， 若“直线与的斜率之和等于直线斜率的平方”， 则， ， ， ， ， ， ，，解得或， 所以存在符合题意的定点，的坐标是或.    4．动点到直线与直线的距离之积等于，且．记点M的轨迹方程为． (1)求的方程； (2)过上的点P作圆的切线PT，T为切点，求的最小值； (3)已知点，直线交于点A，B，上是否存在点C满足？若存在，求出点C的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）根据点到直线距离公式，即可代入化简求解， （2）由相切，利用勾股定理，结合点到点的距离公式可得，即可由二次函数的性质求解， （3）联立直线与双曲线方程得到韦达定理，进而根据向量的坐标关系可得，将其代入双曲线方程即可求解. 【详解】（1）根据到直线与直线的距离之积等于，可得，化简得， 由于，故，即. （2）设，， 故当时，最小值为2 （3）联立与可得， 设， 则， 故 设存在点C满足，则， 故， 由于在，故， 化简得，即，解得或（舍去）， 由于，解得且， 故符合题意，由于，故， 故,故， 故存在，使得 5．如图，已知双曲线的离心率为，一个焦点到其一条渐近线的距离为1． (1)求双曲线的标准方程； (2)如图，已知，分别为的左、右顶点，为上的动点，过作的切线分别与直线和相交于，两点，记直线与相交于点． ①求四边形面积的取值范围； ②是否存在两个定点，，使得为定值?若存在，求出，的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，②存在，、或、 【分析】（1）根据离心率和焦点到渐近线的距离列方程，求解即可； （2）①设切线方程为，联立切线和双曲线的方程，由得，结合双曲线的方程得切线方程，得，的坐标，进而表示出四边形的面积，结合坐标的取值范围得面积的取值范围；②求出直线和的方程，进而得交点的轨迹方程，根据双曲线的定义可判断是定值，并求定点坐标. 【详解】（1）设双曲线的半焦距为，则离心率， 其一个焦点到渐近线的距离为， 则，得到，故双曲线的方程为． （2） ①双曲线的左右顶点为， 设，显然，设过点的切线方程为， 联立，消去得， 由与相切可知， 化简得，将点代入得， 则，结合化简得， 故的方程为，化简得， 令得，则， 令得，则， 点C，D必在轴的两侧， 故四边形面积 故四边形面积的取值范围是． ②因为直线，① 因为直线，② 由①②知：， 得点的轨迹方程为，故点的轨迹为以、为焦点，实轴长为4的双曲线（不含顶点）， 故存在定点、或、，使得为定值4． 题型七 定直线问题 1．（23-24高二上·河北邯郸·期末）已知抛物线的焦点为，准线与轴的交点为，过点的直线与抛物线交于不同的两点，且当为的中点时，. (1)求抛物线的方程. (2)记抛物线在两点处的切线的交点为，是否存在直线使与的面积相等？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）由为的中点，分别表示出，，的坐标，再利用抛物线的定义表示出即可求出的值，从而得到抛物线的方程； （2）设直线，将直线与抛物线的方程联立方程，由韦达定理得到，再分别设出过和两点的切线方程，分别与抛物线联立方程，利用，化简得到：，，再联立两条切线方程，化简可得轴，分别表示出与的面积，利用面积相等，化简即可得到答案. 【详解】（1）由题意知，当为的中点时，设，则，则，所以， 所以，解得，所以抛物线的方程为. （2）由（1）知，设直线， 将直线与抛物线的方程联立消得， 则. 设抛物线在点处的切线方程为， 与抛物线的方程联立消得，则，得. 设抛物线在点处的切线方程为，同理可得. 联立，消得，所以轴. 故，，假设存在直线使与的面积相等，则，得. 又，解得或，此时重合，与题意矛盾， 故不存在直线使与的面积相等. 2．在平面直角坐标系中，已知，直线与相交于点，且两直线的斜率之积为． (1)设点的轨迹为，求曲线的方程； (2)设一组斜率为的平行直线与均有两个交点，证明这些直线被截得的线段的中点在同一条直线上． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）利用斜率之积即可求动点轨迹方程； （2）利用直线与椭圆联立方程组，即可求中点坐标，从而可证明在直线上. 【详解】（1）设交点，则根据直线与两直线的斜率之积为可得， ，整理得：， 由于直线与两直线的斜率一定存在，则， 所以点的轨迹为的方程为：. （2）    设斜率为的直线与曲线相交于两个交点， 则由直线方程与椭圆方程联立方程组可得： ， 由韦达定理可得：， 而， 设中点，则， 从而有，即可证明这些平行直线的中点一定在直线上. 3．（24-25高二下·重庆渝中·期中）已知双曲线的离心率和焦距分别为和，设点的坐标分别为. (1)求双曲线的方程； (2)已知是双曲线的左支上异于点的一个动点，直线交的右支于点是坐标原点. （i）记和的面积分别为，且，求直线的方程； （ii）设直线与直线的交点为，证明：点在一条定直线上. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）由双曲线的离心率、焦距以及的关系式，建立方程组，可得答案； （2）（i）设出直线方程，联立写出韦达定理，根据三角形面积公式，结合题意可知三角形等底，面积之差等于纵坐标之差，根据整式化简，可得答案；（ii）由（i）所得韦达定理，整理等量关系，设出直线方程求得交点建立方程，化简整理，可得答案. 【详解】（1）由题意：，解得， 所以双曲线的方程为：. （2） （i）因为与A不重合，所以直线的斜率不为0，故可设直线的方程为， 联立得，设， 因为点在双曲线的左支上，所以，解得， 又，则， 即有，则，解得， 满足，所以，于是直线的方程为. （ii）由（i），则，故. ，则，所以直线的方程为， 同理，所以直线的方程为：， 故点的横坐标满足：， 显然，由题意得：， 则， 则，故点在定直线上. 4．已知抛物线的焦点为，过作互相垂直的两条直线，这两条直线与抛物线分别交于和两点，其中点在第一象限. (1)求抛物线的标准方程； (2)求四边形面积的最小值； (3)证明：直线与直线的交点在定直线上. 【答案】(1)； (2)32； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据焦点可得，即可求得抛物线方程； （2）由题意可设，联立抛物线应用韦达定理及弦长公式得、，再由及基本不等式求最值； （3）设，结合（2）韦达公式，写出直线、的方程，再求出交点横坐标，即可证. 【详解】（1）由焦点为，即，所以抛物线的标准方程； （2）当直线的斜率为0时，不符合题意， 当直线的斜率不为0时，设直线， 联立，可得，恒成立， 设，， 所以，同理， 则四边形的面积为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以四边形面积的最小值为32； （3）设， 由（2）知，同理， 直线的方程为，化简得直线的方程为①， 同理直线的方程为②， 联立①②得， ， ， ， ， ，故直线与直线的交点在定直线上. 5．（24-25高二下·上海宝山·月考）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为．记的左、右顶点分别为、. (1)求双曲线的方程； (2)双曲线上任意一点（不与、重合），求证：为定值； (3)过点的直线与的左支交于、两点，直线与交于点．证明：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）由题意可得出关于、、的方程组，解出这三个量的值，即可得出双曲线的方程； （2）设，可得出，利用直线的斜率公式可证得为定值； （3）分析可知，直线与轴不重合，设直线的方程为，设点、，将该直线方程与双曲线的方程联立，列出韦达定理，求出直线、的方程，联立这两直线的方程，求出点的横坐标，即可证得结论成立. 【详解】（1）设双曲线的方程为， 由题意可得，解得，所以，双曲线的方程为． （2）由（1）可得、，设，则，可得， 因为，，所以，为定值. （3）设点、， 若直线与轴重合，此时，直线与双曲线的交点为双曲线的左、右顶点，不合乎题意， 设直线的方程为， 联立可得， 由于直线与双曲线的左支有两个不同的交点， 则，解得， 由韦达定理可得，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即，据此可得点在定直线上运动． 6．（24-25高二下·福建福州·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，且椭圆上一点M到的距离的最大值为3，已知直线l过且与椭圆交于A，B两点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)若，求直线l的方程； (3)设直线AB与y轴交于点D，过D作直线与椭圆C交于P，Q两点，且，直线AP与BQ交于点N，探究：点N是否在某条定直线上，若存在，求出该直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)椭圆C的标准方程为； (2)直线l的方程为； (3)点N不在定直线上 【分析】（1）根据椭圆的性质确定a、c的值，即可求出椭圆方程. （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，，结合韦达定理和共线向量坐标关系求解. （3）首先利用点差法求得直线的方程，然后分别取个不同的值，求解相应个点坐标，由向量不共线即可说明点N不在某条定直线上. 【详解】（1）根据椭圆的性质，椭圆，离心率（c为半焦距）， 且椭圆上一点到左焦点距离的最大值为． 由离心率，可得， 因为椭圆上一点M到的距离的最大值为3，即， 将代入，可得，解得，那么， 根据，可得． 所以椭圆C的标准方程为． （2）设，，，因为直线l过， 当直线l斜率不存在时，与方向相反，不满足， 所以直线l斜率存在，设直线l的方程为． 联立直线与椭圆方程，消去y可得： ， 由韦达定理得，． 因为，所以， 即，也就是． 将代入，可得，即，． 再代入，可得， 解得， 所以直线l的方程为． （3）由（2）知直线AB过，由题意其斜率存在， 设直线AB方程，令，得，所以． 由过点，且，则是PQ中点； 当时，直线即为轴，与轴交于原点即，与椭圆交于长轴两点， 此时不妨取， 则过原点的直线与椭圆交于两点，恒有， 由对称性可知，即两直线无交点，不符合题意， 故， 结合椭圆对称性可知，设，， 则，． 由，两式相减得： 将，代入上式，可得， 因为，所以，即PQ垂直于y轴，直线方程为． 联立，可得，，， 不妨设，,其中， 由（2）知，设，，不妨设， 由，． 故当时，则，又由， 可解得， 则，且， 此时交点； 故当时，则，又由， 可解得， ， 且， 此时交点； 当时，，则，， ，， 此时交点； ，， 因为， 所以不共线，故动点不在定直线上； 同理由对称性可知，当时，也不在定直线上， 综上可得，动点不在定直线上. 期中基础通关练（测试时间：120分钟） 1．已知抛物线和圆，倾斜角为45°的直线过的焦点且与相切． (1)求p的值： (2)点M在的准线上，动点A在上，在A点处的切线l2交y轴于点B，设，求证：点N在定直线上，并求该定直线的方程． 【答案】(1)； (2)证明见解析，定直线方程为. 【分析】（1）设直线l1的方程为，再根据直线和圆相切求出的值得解； （2）依题意设，求出切线l2的方程和B点坐标，求出， ，即得证. 【详解】（1）由题得抛物线的焦点坐标为， 设直线l1的方程为， 由已知得圆的圆心，半径， 因为直线l1与圆相切， 所以圆心到直线的距离， 即，解得或（舍去）． 所以. （2）依题意设，由（1）知抛物线方程为， 所以，所以，设A，），则以A为切点的切线l2的斜率为 所以切线l2的方程为． 令，即l2交y轴于B点坐标为， 所以， ∴， ∴． 设N点坐标为（x，y），则， 所以点N在定直线上．    2．（24-25高二下·江苏盐城·期中）已知椭圆经过点和点 (1)求椭圆的方程与焦距． (2)直线与椭圆N的交点为两点，若，求证：直线过定点． 【答案】(1)，焦距为4 (2)证明见解析 【分析】（1）由已知条件求得，，，从而求得椭圆的方程与焦距； （2）设点，，联立直线与椭圆N的方程得，根据韦达定理求得与，由，，化简代入韦达定理式，解得t的值，从而求出定点即可得证. 【详解】（1）由题意可得，解得，，， 故椭圆方程为，焦距为. （2）设点， 联立得． 所以， 因为 所以即： 化简得： ， 方程左边通分后对分子提取公因式可得： ， 进而化简得， 因为，所以得： 所以直线过定点. 3．（23-24高二下·湖南岳阳·开学考试）已知抛物线：的焦点为，过点且与轴垂直的直线交于，两点，且. (1)求抛物线的方程，并写出焦点坐标； (2)过焦点的直线与抛物线交于，两点（异于，两点），且，位于轴同一侧，直线与直线相交于点，证明：点在定直线上. 【答案】(1)，焦点； (2)证明见解析. 【分析】（1）求出焦点的坐标，再联立直线与抛物线方程求出值即可得解. （2）设出直线的方程，与抛物线方程联立，再求出直线的方程，并联立求出交点的横坐标即可. 【详解】（1）抛物线：的焦点，则直线，由得， 依题意，，解得， 所以抛物线的方程为，焦点. （2）由抛物线对称性，不妨令点在上方，由（1）知，, 显然直线不垂直于坐标轴，设其方程为，，， 由消去得：，显然，， 直线的斜率为，方程为， 直线的斜率为，方程为， 由消去得：， 整理得， 因此点的横坐标恒为，所以点在定直线上.    4．已知双曲线的焦距为4，一条渐近线的倾斜角为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作直线，与的左支相交于两点，点与点关于轴对称，问：直线是否过定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1)； (2)直线过定点． 【分析】（1）由直线倾斜角可得其斜率，根据焦距以及渐近线的斜率，建立方程，可得答案； （2）设出直线方程，联立方程组，写出韦达定理，由题意猜想定点的位置，设出坐标，建立等式检验，可得答案. 【详解】（1）由已知，，则． 因为，则，所以，从而． 所以双曲线的方程是． （2） 设直线，代入，得， 即． 设点，则． 如果直线过定点，因为点与及的左支关于轴对称， 猜想：定点在轴上． 设点，由题设，点，则． 因为向量与共线，则， 即， 即．所以，即． 因为为可变量，则，所以直线过定点． 5．已知椭圆经过点． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点的直线l交该椭圆于C，D两点（点C在点D的上方），椭圆的上、下顶点分别为A，B，直线AD与直线BC交于点Q．证明：点Q在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）将点坐标代入椭圆方程即可求出，得到椭圆方程； （2）设直线的方程并与椭圆方程联立，利用点坐标求出直线方程，联立计算得出为定值，即可求得为定值. 【详解】（1）将点坐标代入椭圆方程中得，即， 因，所以，故椭圆的标准方程为． （2）由题易知的斜率存在，设直线的方程为， 设， 由，得， 则，，， 又， 则直线AD的方程为，直线BC的方程为， 联立，方程可得， 得，故点在定直线上． 6．（24-25高二上·广东·期中）已知椭圆的右焦点为，点在椭圆C上. (1)求椭圆的方程； (2)过坐标原点的两条直线分别与椭圆C交于四点，且直线斜率之积为，求证：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据，再根据点是椭圆上一点，求得，即得答案； （2）考虑直线斜率是否存在情况，然后设直线方程，和椭圆方程联立，得到根与系数的关系式，结合可得到，进而表示出四边形的面积，化简可得结论. 【详解】（1）由题意 又∵点是椭圆上一点，∴，又 解得 因此，椭圆的方程为 （2）证明：当直线的斜率不存在时，由对称性不妨设 ， 则 ，又 ，解得 ， 根据椭圆的对称性，不妨取 ,则， 则 , 所以 ; 当直线斜率存在时，设直线的方程为，设点 联立，得， 则 因为，得，即， 所以，，解得， ， 原点到直线的距离为， 因为 且 所以（定值）， 综上述四边形的面积为定值． 7．（23-24高二上·福建莆田·期末）在平面直角坐标系中，动圆过点且与直线相切．记圆心的轨迹为曲线 (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与曲线交于两点，．证明： 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）先由抛物线定义确定轨迹类型，后求出标准方程即可. （2）将角度问题转化为倾斜角问题，再转化为斜率问题证明即可. 【详解】（1）因动点到点的距离等于点到直线的距离， 故可知动点的轨迹是抛物线， 设其方程为，由题意得， 故动点的轨迹方程为：． （2）如图，因直线的斜率不能为0（否则直线与抛物线只有一个公共点），又过点， 可设，由消去并整理得： 显然，设，则由韦达定理， 则 将代入得：， 故 8．（23-24高二上·河北邢台·月考）已知双曲线C：，A，B是C上关于坐标原点O对称的两点． (1)若直线AB的斜率为，求． (2)试问在直线上是否存在点P，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值？若存在，求出该定值及P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在点或，使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值 【分析】（1）设直线AB的方程为，与双曲线方程联立，求出交点坐标，利用两点间的距离公式计算可得答案； （2）设，，求出，若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则，可得答案. 【详解】（1）设直线AB的方程为， 由，得或， 所以； （2）因为A，B是C上关于坐标原点O对称的两点，且直线AP与直线BP的斜率存在， 所以直线AP与直线BP的斜率均不为0， 设，，则，， 所以， 由，得，则 ， 若直线AP与直线BP的斜率之积为定值，则， 化简得，得或， 此时， 故在直线上存在点或， 使得直线AP与直线BP的斜率之积为定值. 9．（24-25高二下·上海青浦·期末）已知椭圆分别是椭圆短轴的上下两个端点，是椭圆左焦点，是椭圆上异于点的点，是边长为的等边三角形. (1)写出椭圆的标准方程和离心率； (2)当直线的一个法向量是时，求以为直径的圆的标准方程； (3)设点满足:，求证:为定值. 【答案】(1)，； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据已知求出椭圆参数，即可得椭圆方程； （2）根据已知有，联立椭圆得，进而求圆心和半径，即可得圆的方程； （3）设点，直线为:，直线为，联立求的横坐标，再应用三角形面积公式求比值. 【详解】（1）因为是边长为的等边三角形，所以，， 又，所以，， 故椭圆的标准方程为，离心率为； （2）因为的一个法向量是且直线过点， 所以直线方程为， 联立直线方程与椭圆方程，得，解得， 所以线段中点为，线段长度为， 故以为直径的圆的标准方程为； （3）由题意，点为直线过点的垂线与直线过点的垂线的交点， 设点，所以直线为:，直线为， 则直线为，直线为， 联立直线方程与直线方程，消去，得， 整理得，即，解得， 因为， 所以，得证. 10．（24-25高二上·北京朝阳·期末）已知椭圆的右顶点为，离心率为. (1)求椭圆的方程； (2)过点作斜率为的直线与椭圆交于不同的两点.在轴上是否存在点使得直线与直线的斜率之和为0？若存在，求出点的坐标：若不存在.说明理由. 【答案】(1) (2)存在，. 【分析】（1）由右顶点及离心率可得a，c，然后可得椭圆方程. （2）设直线l，，，将直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可化简直线与直线的斜率之和的表达式，即可得答案. 【详解】（1）因椭圆右顶点为，离心率为， 则，故椭圆方程为：； （2）由题，设直线方程为，将直线方程与椭圆方程联立， 可得. 因直线与椭圆交于不同的两点，则. 设，由韦达定理. 又设，则，又， 则 . 则. 故轴上存在点使得直线与直线的斜率之和为0. 11．（24-25高二上·黑龙江·期末）已知，分别是双曲线：的左、右顶点，，分别为其左、右焦点，实轴长为4，M，N为双曲线上异于顶点的任意两点，当经过原点时，直线与直线斜率之积为定值4. (1)求双曲线C的方程； (2)已知直线：，交双曲线的左、右两支于D，E两点. ①求m的取值范围； ②设直线与直线交于点Q，求证：点Q在定直线上. 【答案】(1) (2)①或；②证明见解析 【分析】（1）由实轴长可得参数的值，根据双曲线的对称性与斜率公式建立方程，可得答案； （2）①由双曲线方程可得渐近线方程，结合题意建立不等式，可得答案； ②联立直线与双曲线方程并写出韦达定理，利用两点式表示直线与直线的方程，联立化简，可得答案. 【详解】（1）由题意可得，则， 设，则，且， 由直线的斜率，直线的斜率， 则，可得， 由，则，解得， 所以. （2） ①由，则渐近线方程为，显然直线，斜率存在，为， 易得，解得或； ②设，， 联立可得，消去可得， 由①可得，， 则，，两式相除可得，即， 由，，则直线的方程为，则， 直线的方程为，则， 联立可得，则，即， 所以，解得. 综上可得直线与直线的交点在定直线上. 12．（24-25高二上·安徽·期末）已知双曲线与椭圆的焦点相同，且过点 (1)求C的标准方程； (2)若点是轴上关于原点对称的两点，直线与交于另外一点，直线与交于另外一点，试判断直线是否过定点？若是，则求出该定点的坐标；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)直线恒过定点，坐标为 【分析】（1）根据的关系以及双曲线过的顶点列方程组，求出的值即可； （2）由题意设设直线的方程为，联立双曲线方程，由韦达定理得，用含的式子表示点的坐标，同理用含的式子表示点的坐标，结合以及韦达定理可得出的关系，由此即可得解. 【详解】（1）由题意知， 解得， 所以的标准方程为； （2） 由题意知，直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，得，则， 且， 所以直线的方程为， 令，可得，即，同理， 因为原点为的中点，所以， 即， 所以.所以， 所以或， 若，则直线方程为， 即， 此时直线过点，不合题意； 若时，则直线方程为，恒过定点. 13．已知，，平面上有动点，且直线的斜率与直线的斜率之积为1. (1)求动点的轨迹的方程. (2)过点的直线与交于点（在第一象限），过点的直线与交于点（在第三象限），记直线，的斜率分别为，，且. ①求证：直线过定点； ②试判断与的面积之比是否为定值，若为定值，请求出该定值；若不为定值，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)①证明见解析；②存在，. 【分析】（1）设点，结合斜率的两点式及斜率乘积为1列方程求轨迹； （2）①设直线的方程为，联立曲线，应用韦达定理及求参数t，即可证定点；②应用面积公式即可判断面积比是否为定值. 【详解】（1）设点，，故动点的轨迹方程为，. （2）由题意，而，即， ①设直线的方程为，，，，， 联立，得，，， 且， ∴， 整理得， 韦达公式代入并整理得，得或（直线过B点，舍）， ∴直线方程为，即直线过定点，得证； ②此时，，故． 14．（24-25高二上·辽宁大连·期中）已知双曲线：的虚轴长为4，直线为双曲线的一条渐近线. (1)求双曲线的标准方程； (2)记双曲线的左、右顶点分别为，，过点的直线交双曲线于点，（点在第一象限），记直线MA斜率为，直线NB斜率为，求证：为定值. 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）由虚轴长和渐近线方程求得和的值即可. （2）设直线的方程为，将其与双曲线的方程联立，得到关于的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算的值即可得证. 【详解】（1）由双曲线：虚轴长为4，得， 双曲线的渐近线方程为，由直线为双曲线C的一条渐近线，得，则， 所以双曲线C的标准方程为. （2）由（1）知，，， 显然直线不垂直于轴，设直线的方程为，设， 由消去得， ，，， 直线的斜率，直线的斜率， 所以，为定值． 15．动点与定点的距离和到定直线的距离之比是常数，记动点的轨迹为曲线． (1)求曲线的方程； (2)设点，过点直线与交于，两点，若弦中点的纵坐标为，求直线的斜率； (3)设是曲线上的一动点，由原点向圆引两条切线，分别交曲线于点，，若直线，的斜率均存在，并分别记为，，试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)是定值，定值为 【分析】（1）根据题意列式化简方程即可； （2）设直线的方程为，直线与曲线联立方程，利用韦达定理列式求解即可； （3）直线的方程分别为，设，根据直线与圆相切可得是方程的两个根，结合韦达定理与椭圆的方程可得，进而求得关于的表达式，代入求解即可. 【详解】（1）由题意，点与定点的距离， 点到直线的距离，所以， 即，化简得， 故曲线的方程为； （2）设直线的方程为， 则， ，解得或， 所以， 因为弦中点的纵坐标为，所以，解得（不符合舍去）或， 所以直线的斜率为； （3）由题意可得，直线的方程分别为，设. 由直线与圆相切可得. ，同理， 所以是方程的两个根，所以， 所以，， 因为是曲线上的一动点，所以， 则有， 联立方程，所以， 所以，同理 所以， 因为，所以， 所以. 16．（25-26高二上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，抛物线的焦点为，过的直线交于两点，，直线与的另一个交点分别为． (1)判断直线的斜率与直线的斜率之比是否为定值．若为定值，求出该定值；若不为定值，说明理由． (2)证明：直线经过定点． 【答案】(1)是，2 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线，斜率分别为，然后根据题意利用韦达定理把表示出来作比值即可； （2）结合（1）设直线，利用已知条件求出设直线即可. 【详解】（1）设直线，斜率分别为，则为定值． 理由如下：如图， 易知，设，直线， 联立得， ．① ， 因为，所以， 所以点为线段OD的中点， 因为，所以， 故直线， 代入抛物线方程可得：， 则．② 联立①②得，同理可得， 所以， 所以，为定值． （2）由（1）知． ， 因为N，B，D三点共线，所以， 化简得， 所以，即， 所以． 设直线， 由得， ， 解得，所以直线方程为：， 当， 所以直线过定点． 期中重难突破练（测试时间：120分钟） 1．（24-25高二上·河北石家庄·期中）已知为椭圆的右焦点，分别为椭圆C的左、右顶点，且椭圆C过点． (1)求椭圆C的标准方程； (2)过点F作直线l与椭圆C交于两点（不同于），设直线与直线交于点D，证明：点D在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由椭圆定义得到，求出，结合焦点坐标，得到，得到椭圆方程； （2）设直线l的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，表达出直线和直线的方程，联立求出，解得，故点D在定直线上. 【详解】（1），由椭圆定义知 ， 所以，又， 所以椭圆C的标准方程为 （2）若直线l的斜率为0，此时两点与重合，不合题意，舍去， ，设直线l的方程为， 由，得．    显然恒成立，设， 所以有① 直线的方程为，直线的方程为， 联立两方程可得，所以， ， 由①式可得， 代入上式可得， 即，解得，故点D在定直线上. 【点睛】圆锥曲线中，针对非对称韦达，一般思路为设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，并两者相除，得到两者的关系，再代入后续的计算中，达到化简的目的. 2．（23-24高二上·湖南衡阳·期末）已知曲线上的动点满足，且. (1)求的方程； (2)已知直线与交于两点，过分别作的切线，若两切线交于点，且点在直线上，证明：经过定点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解， （2）联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据相切得判别式为0，可得，进而可得坐标，根据两点坐标可得直线的方程，即可根据交点在直线化简求解. 【详解】（1）因为， 所以曲线是以为焦点，以2为实轴长的双曲线， 所以实半轴长，半焦距，虚半轴长， 所以曲线的方程为. （2）由题知切线斜率均存在，所以设过点所作的切线分别为， 由题意知且，由得， 因为与相切， 所以，且，整理得. 此时可得，即. 同理. 由得. 直线的斜率为， 所以的方程为， 令，得， 即经过定点. 【点睛】圆锥曲线中定点问题的两种解法 （1）引进参数法：先引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点. （2）特殊到一般法：先根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 技巧：若直线方程为,则直线过定点; 若直线方程为 (为定值),则直线过定点 3．（24-25高二上·山东临沂·期末）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，上顶点为，的面积为，直线与的斜率之积为. (1)求的方程； (2)已知点. （ⅰ）若直线过点且与交于、两点，求的最大值； （ⅱ）若直线过点且与交于，两点，求证：. 【答案】(1) (2)（ⅰ），（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）根据椭圆的性质，结合面积公式以及斜率公式联立方程求解即可， （2）对讨论，联立直线与椭圆方程得韦达定理，即可根据模长公式代入求解（ⅰ），根据韦达定理以及两点斜率公式，代入化简即可求解（ⅱ）. 【详解】（1）由题意可得，解得， 故椭圆方程为 （2）（ⅰ）当直线与轴重合时，点则， 所以， 当直线与轴不重合时，设， 联立，则， 由得， 设，则 所以 由于，故同号，因此， 故 ， 此时， 综上可得的最大值为 （ⅱ）由于,设， 当直线与轴重合时，，符合题意， 当直线与轴不重合时，设 联立，则， 则 而 ， 即，故， 综上可得, 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值与范围问题的常见求法：（1）几何法，若题目的条件能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；（2）代数法，若题目的条件能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值. 4．（24-25高二上·陕西汉中·期中）已知抛物线的焦点为，直线与交于A，B两点． (1)若，求实数的值； (2)设直线，分别过点A，B，且均与相切，记直线，的斜率分别为，． ①过点作的垂线AM，点为直线AM与轴的交点，证明：； ②求的值． 【答案】(1)； (2)①证明见解析；②. 【分析】（1）利用韦达定理和弦长公式列方程可得； （2）①联立直线和抛物线方程消元，利用判别式求得，求出坐标，结合抛物线定义可得，得证；②同理求得，利用韦达定理可得. 【详解】（1）由得， 显然，， 设，，则，， ，，，． （2）设， 由得， 由得，    又，，； ①设直线AM的方程为：， 取，得，则， 而，． ②同理可得，， 而，． 5．（23-24高二下·广东惠州·月考）已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)； (2)8； (3)证明见解析， 【分析】（1）由焦点关于直线的对称点为即可求得p值，则抛物线方程可求； （2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解； （3）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简，分析可得，则定直线方程可求. 【详解】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）知，直线的方程为，设， 由消去得：， 则， 所以． （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时， 化简得． 即 化简得， 又，所以， 化简得， 所以点在直线上． 【点睛】 方法点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 6．（23-24高二下·福建厦门·期中）已知椭圆的离心率为，点在上. (1)求椭圆的标准方程； (2)已知动直线过曲线的左焦点，且与椭圆分别交于，两点，试问轴上是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)； (2)在轴上存在点，使得为定值，证明见解析． 【分析】（1）根据已知求出即得椭圆的标准方程； （2）当直线的斜率存在时，设直线的方程为设，利用韦达定理和向量的数量积求出，此时为定值；当直线的斜率不存在时，直线的方程为，求出此时点也满足前面的结论，即得解. 【详解】（1）设椭圆的半焦距为, 由题意可得,解得， ， 所以椭圆的标准方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆的方程，可得， 设，则． 设，则 ， 若为定值， 则，解得． 此时点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得 不妨设， 若，则，，． 综上，在轴上存在点，使得为定值． 【点睛】方法知识总结：解答圆锥曲线的定点、定值问题的策略： 1、参数法：参数解决定点问题的思路：①引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量）；②利用条件找到过定点的曲线之间的关系，得到关于与的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标； 2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关. 7．已知椭圆E:+=1的离心率为，A，B分别是椭圆的左、右顶点，C是椭圆的上顶点，的面积为2. (1)求椭圆E的方程； (2)如图1，设P为第四象限内一点且在椭圆E上，直线PA与y轴交于点M，直线PC与x轴交于点N，求证:四边形的面积为定值； (3)如图2，若Q是直线上一动点，连接AQ交椭圆E于点G，连接BQ交椭圆E于点H，连接GH.试探讨直线GH是否过定点，若过定点，求出该定点的坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3)是， 【分析】（1）根据题意利用待定系数法即可求得椭圆E的方程； （2）通过直线PA和PC的直线方程可表达出点M的纵坐标和点N的横坐标，从而可得，，再由四边形的面积公式化简即可得证. （3）分类讨论点Q是否在x轴上，当点Q不在x轴上时，通过设点运算可得点，点，再通过待定系数法化简运算即可求出该定点的坐标. 【详解】（1）由题意得，解得， 所以椭圆E的方程为. （2）设 ，则， 又，所以直线PA的方程为. 令 ，得，从而. 直线PC的方程为. 令，得，从而. 所以四边形的面积 =2. 从而四边形的面积为定值. （3）直线GH过定点，理由如下： ①当点Q在x轴上时，直线GH为x轴，过点. ②当点Q不在x轴上时，由题意可设，，，直线 ， 将直线方程代入椭圆E的方程得， 则，则点， 设直线 ，同理得点. 又点 为直线AG与直线BH的交点，则. 由两点式得直线GH的方程为:， 令 ，得， 故直线GH过定点. 8．（23-24高二上·四川宜宾·期末）已知双曲线的渐近线方程为，点在上． (1)求的方程． (2)设是双曲线的左顶点，过点的直线与的右支交于两点，直线分别与直线交于两点.试探究：是否存在定点，使得以为直径的圆过点？若存在求点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在定点，或，使得以为直径的圆过点，理由见解析 【分析】（1）由渐近线方程与点在双曲线上待定即可得方程； （2）假设存在定点，满足条件.设，，分别表示直线，令，得坐标，将以为直径的圆过点转化为条件，利用韦达定理代入变形为关系式，不受影响，求值即可. 【详解】（1）由题意可知：，解得， 故双曲线C的方程为： （2）由双曲线的对称性，又点及点均在轴上， 若存在定点，满足以为直径的圆过点，则点在轴上. 故假设存在定点，使得以为直径的圆过点. 双曲线的左顶点， 由题意知直线不垂直于轴，故设直线的方程为：， 设，， ∴， ，解得， ∴， 由直线与双曲线的右支交于两点， 则，解得. 又直线的方程为，代入， 同理，直线的方程为，代入. 要使以为直径的圆过点，则. ∴， ∴ ， 解得，或 故存在定点，或，使得以为直径的圆过点.    9．已知点是圆上的动点，，是线段上一点，且，设点的轨迹为. (1)求轨迹的方程； (2)设不过原点的直线与交于两点，且直线的斜率的乘积为，平面上一点满足，连接交于点（点在线段上且不与端点重合）.试问的面积是否为定值？若是，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）借助椭圆定义计算即可得解； （2）设，代入曲线方程中联立可得，结合题意计算可得，设，结合点在曲线上计算可得的值，即可得的面积. 【详解】（1）因为， 所以点的轨迹是以点为焦点的椭圆， 设，则，即. 由知， 所以点的轨迹的方程为； （2） 设，则由，得. 因为点均在曲线上，所以， 同向相乘得 整理得： 又因为，所以， 所以， 设，则， 又因为点在曲线上，所以， 整理得：， 又因为，， 代入上式得：，即， 又因为，所以， 所以. 【点睛】关键点点睛：本题关键点在于计算出后，利用面积公式得到，从而可通过计算的值得解. 10．（25-26高二上·云南玉溪·月考）已知椭圆：的离心率为，长轴为4． (1)求椭圆的标准方程； (2)直线：与椭圆交于，两点，求弦长； (3)点在上，过点的直线交椭圆于，两点（异于点），设直线，的斜率分别为，，证明：为定值． 【答案】(1)； (2)； (3)证明见解析. 【分析】（1）根据离心率、长轴的长度和，求出的值，从而得到椭圆的标准方程； （2）通过直线和椭圆联立方程组，消元后得到一元二次方程，利用根与系数的关系和弦长公式求解； （3）先根据题意判断出直线存在斜率，再按照斜率是否为0进行分类讨论，在斜率为0时，利用斜率公式求出，，计算的值；在斜率不为0时，先设直线，再将直线和椭圆联立方程组，消去，得，整理得到的一元二次方程，设，利用根与系数的关系和斜率公式计算得解. 【详解】（1）由题知，，又有，解得，，， 所以椭圆C的标准方程为． （2）联立与椭圆可得， 设，，则，， 所以弦长. （3）证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在． 当直线l2的斜率为0时，方程为y=0，此时两点坐标为，又， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去，得， 整理得，则，即， 解得或，且，则 ， 代入， 得. 综上，为定值，且． 11．已知抛物线的焦点为，抛物线的焦点为，且． (1)求的值； (2)若直线l与交于M，N两点，与交于P，Q两点，M，P在第一象限，N，Q在第四象限，且，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据抛物线方程可得，，进而结合两点间的距离公式求解即可； （2）由（1）知，，设直线，，，，，根据题意结合图形可知，且，联立直线与抛物线和的方程结合韦达定理可得，，由结合向量知识可得，进而得到，进而得到，联立，可得，，，，进而求证即可. 【详解】（1）由题意知，， 所以， 解得． （2）由（1）知，． 设直线，，，，， 根据题意结合图形可知，且． 联立，得， 则， 同理联立，得， 则． 由可得，， 又，， 所以， 即，化简得，即， 又因为，，所以， 再由，得． 联立，解得， 所以，，． 故， 所以为定值. 【点睛】方法点睛：解决直线与圆锥曲线交点的相关问题时，常常利用设而不求的思想，联立直线与曲线方程，结合韦达定理进行求解. 12．设，是双曲线与x轴的左右两个交点，是双曲线上垂直于x轴的弦的端点，直线与交点为点. (1)求点轨迹方程. (2)过点的直线l交曲线Γ于两点，其中点在轴上方.设直线的斜率为，直线的斜率为，探究是否为定值，若为定值，求出定值；若不是定值，说明理由. 【答案】(1) (2)是定值，. 【分析】（1）设，，根据题意易得，，进而得到，由在双曲线上可得，进而求解即可； （2）设直线的方程为，联立直线与曲线Γ的方程，根据韦达定理可得，即，进而求解即可. 【详解】（1）设，，由题意可得， 共线，故，① 又共线，故，② 由①②两式相乘，得，（*） 因在双曲线上，则，即， 将其代入（*）式，得，即， 即的轨迹方程为.    （2）由题意可设直线的方程为， 联立，得. 设，则，即， 则 ，为定值.    13．（25-26高二上·湖北武汉·月考）过坐标原点作圆的两条切线，切点为，，直线恰为抛物线的准线. (1)求的方程； (2)将抛物线向左移4个单位长度得到新抛物线，抛物线交轴于，两点，，为抛物线上不重合的两点，交于点.若直线经过坐标原点，求证：的面积恒为定值. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设直线与轴交于，由三角形相似关系可得，由此可构造方程求得的值，从而得到抛物线方程； （2）解法一：求得，设，则，直线经过坐标原点得，，在抛物线上得，直线与直线联立方程计算可得，计算即可得证的面积恒为定值；解法二：直线为，直线AE方程为，设直线方程为，点和是直线与抛物线的交点结合韦达定理可得，点在直线上得，点在直线上得，直线与直线联立得，计算可得，计算即可得证的面积恒为定值. 【详解】（1）设直线与轴交于，由几何性质得 因为直线为抛物线的准线，直线为圆的切线， 所以， 在与中，为公共角， 所以，， 即，即，解得： 故抛物线的标准方程为; （2）解法一：依题意：，则，设， 则， 因为直线经过坐标原点，所以， 又，在抛物线上，，两式作差得，化简得， 因为，所以， 化简可得，即， 联立，得： ， 将代入得，为定值. 故. 解法二：向左平移4个单位后，新抛物线为， 则与轴的交点为， 因为直线经过原点，所以设其方程为， 设直线方程为，设直线方程为， 点和是直线与抛物线的交点，代入中得： ， 设该方程的两根为和，根据韦达定理：① 点在直线上，满足：② 点在直线上，满足：③ 联立方程： 由②和③得：， 利用①中的韦达定理结果：， 所以，即点的横坐标恒为， 故. 14．设双曲线的右顶点为，其焦距为． (1)求双曲线的方程； (2)过点作斜率为的直线与双曲线右支相交于两个不同点，其中点在轴上方，连接分别交直线于两点，求证：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据右顶点为，得到，再由焦距为得到求解； （2）设过点的直线的方程为：，与双曲线方程联立，由三点共线，得到，从而，同理，代入韦达定理求解； 【详解】（1）由右顶点为，得， 其焦距为得，所以， 所以双曲线的方程为：； （2）证明：如图所示： 设过点的直线的方程为：， 联立双曲线方程：， 化简得：， 因直线与双曲线右支相交于两个不同点， 连接分别交直线于两点， 所以，设， 则， 当时，因为三点共线， 所以，则， 同理，， ， 其中， ， 将， 代入得：    ， 又， 将， 代入得：， ， 所以为定值1． 15．（25-26高二上·江西宜春·月考）在直角坐标平面内，已知，动点满足直线与直线斜率之积等于，记动点的轨迹为． (1)求的方程； (2)过直线上任意一点作直线与，分别交于两点，则直线是否过定点？若是，求出该点坐标；若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是，定点为 【分析】（1）设，根据题意，得到，结合斜率存在，即可求得轨迹的方程； （2）解法1：设，得到直线的方程，联立方程组，分别求得和，记，根据，得到直线过定点． 解法2：设，求得，再设，化简得到 ，设直线MN的方程为，联立方程组，结合韦达定理，求得，，代入计算，求得，进而得到直线过定点． 【详解】（1）解：设，因为，且直线与直线斜率之积等于， 可得，整理得， 又因为斜率要存在，所以不与重合，所以， 所以点的轨迹的方程为． （2）解法1：设，则直线QA的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，且， 所以，，所以， 由直线的方程为， 联立方程组，整理得， 可得，且，， 所以，，所以， 记，则，， 所以，所以三点共线，故直线过定点． 解法2：设，由， 因为，，可得， 代入①上式，可得，故， 设，，则式②式即为， 所以， 因为，所以不与轴垂直，可设直线MN的方程为， 联立方程组，整理得， 可得， 且，， 所以， ， 代入③得， 化简得，解得或2， 若，则的方程为，所以直线过点B，不合题意，所以， 将代入④，可得， 所以的方程为，故直线过定点． 16．（24-25高二上·江苏无锡·期末）已知椭圆 的右焦点为，斜率不为0的直线与交于两点. (1)若是线段的中点，求直线的方程. (2)点在上，过点的直线交椭圆于两点（异于点），过点作轴的垂线与直线交于点，设直线的斜率分别为. ①证明：为定值; ②证明：直线过线段的中点. 【答案】(1)直线的方程为 (2)①证明见解析；②证明见解析 【分析】（1）运用点差法，设，代入椭圆方程后作差，结合中点坐标，解得斜率，即可解出直线的方程. （2）①按直线的斜率是否为0分类讨论，联立椭圆方程，结合韦达定理和判别式，将的表达式化简，即可得证； ②设线段的中点为，根据中点坐标公式表示，结合直线的方程，解出， 得出点在直线上，即可得证. 【详解】（1）根据题意作图如下： 由已知椭圆 ，则右焦点，又线段的中点为， 所以直线的斜率存在且不为0，设点. 则，两式相减得，又， 整理得，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即. （2）根据题意作图如下： ①证明：由已知直线过点，且交椭圆于两点，所以直线的斜率存在. 当直线的斜率为0时，，此时两点坐标为， 则. 当直线的斜率不为0时，由已知设直线， 设点且与点不重合， 联立直线与椭圆的方程，消去得， 整理得，则，即， 解得或，且， 所以 ， 代入， 得. 综上，为定值，且. ②证明：由已知设线段的中点为， 易得，直线，则， 直线，则， 由①知，所以， 又直线，所以点在直线上. 综上，直线过线段的中点. 17．（23-24高二下·上海·期中）已知双曲线的右顶点为是双曲线上两点，过作斜率为的直线，与双曲线只有点这一个交点. (1)求双曲线的方程； (2)若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积； (3)已知点和双曲线上两动点，满足，过点作于点，证明：点在一个定圆上，并求定圆的方程. 【答案】(1) (2)144 (3)证明见解析， 【分析】（1）根据顶点坐标和斜率可得方程； （2）利用弦长公式得出，结合垂直关系可得，利用可求斜率，进而可得三角形的面积； （3）设出的方程，结合垂直关系，得出过定点，进而可证结论. 【详解】（1）因为右顶点为，所以， 又因为过斜率为的直线与双曲线只有点这一个交点， 所以，即，所以方程为. （2）由题意可知直线的斜率存在且不为零，设，则， 联立，， ，， 设，则， ， 利用代换可得， 由题意，， 整理得，， ，因为，所以，即， 此时，所以的面积为. （3）若直线的斜率为0，设，则，解得， 不妨设，则; 因为，所以，解得或（舍）. 若直线的斜率不为0，设，; ，， ，， ， ， ， ， 因为，所以，即， ， 整理得，即， 即或， 当时，过点，舍去； 当时，，此时过定点； 综上可知直线恒过定点. 因为，所以点一定在以为直径的圆上， 定圆的圆心为，半径为，所以方程为. 【点睛】关键点点睛：本题求解的关键有两点：一是等腰直角三角形条件的转化，利用垂直和相等得出弦长；二是第三问中在定圆上的问题转化为直线恒过定点的问题. 18．（23-24高二上·辽宁沈阳·期末）已知双曲线：的右焦点为，渐近线方程为． (1)求双曲线的标准方程； (2)设为双曲线的右顶点，直线与双曲线交于不同于的，两点，若以为直径的圆经过点，且于点，证明：存在定点，使为定值． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据条件列出关于、、的方程组求解即可. （2）分类讨论斜率是否存在，①斜率存在时，设的方程，联立直线方程与双曲线方程，由得到与的关系式，得到直线恒过定点，②斜率不存在时，再由得到直线方程，进而得出此时直线也恒过定点，进而证得存在定点为的中点，为的一半. 【详解】（1）由题意知，双曲线的焦点在轴上，设双曲线的方程为， 又由题知，解得， 所以双曲线的标准方程为； （2）证明：由（1）知，，设，， ① 当的斜率存在时，设的方程为：， 由得：， ，即：， 所以，， 以为直径的圆经过点，， 又，， ， 又， ， 即：， 化简得：，即：， 解得：或，且均满足， 当时，，直线恒过定点， 此时定点与点重合，与已知相矛盾，故舍去； 当时，，直线恒过定点，记为点； ②当的斜率不存在时，设的方程为：， 设，，，则， 此时，， ， 整理得：，解得：或， 或，，此时恒过定点. 综述：恒过定点. 又，即：，（、、三点都在直线上） 点在以为直径的圆上，为该圆的圆心，即的中心，为该圆的半径，即的一半. 故存在定点，使得为定值6. 【点睛】求解直线或曲线过定点问题的基本思路： （1）把直线或曲线方程中的变量，当作常数看待，把方程一端化为零，既然是过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于，的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或曲线所过的定点． （2）由直线方程确定其过定点时，若得到了直线方程的点斜式，则直线必过定点；若得到了直线方程的斜截式，则直线必过定点. 19．（24-25高二上·河南·月考）设为抛物线的焦点，为上三个不同的点，且，． (1)求的方程； (2)设过点的直线交于两点． ①若直线交圆于两点，其中位于第一象限，求的最小值； ②过点作的垂线，直线交于两点，设线段的中点分别为，求证：直线过定点． 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）由抛物线方程可得焦点坐标与准线方程，根据向量的坐标运算以及抛物线的定义，建立方程组，可得答案； （2）①利用分类讨论，分直线斜率是否存在两种情况，表示出直线，联立抛物线方程，写出韦达定理，结合抛物线定义以及圆的性质，整理代数式，利用基本不等式，可得答案； ②同①写出韦达定理，根据中点坐标公式，利用点斜式方程，可得答案. 【详解】（1）由抛物线，则，准线方程为， 由为上三个不同的点，设， 则， 由，则， 由， 且，则， 所以，解得，故椭圆的方程为. （2）①由题意作图如下： 由，整理可得，则圆心为，半径， 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入抛物线，解得，则， 将代入圆，解得，则， 所以，此时； 当直线的斜率存在时，由题意可得，直线的方程可设为，设 联立可得，消去整理可得， ，， 易知，， 所以， 由，则，当且仅当，即时，等号成立， 综上所述，的最小值为. ②证明：由题意可作图如下： 由题意可知直线的斜率存在且不为零，可设该直线方程为， 由①可得，设，则， 由直线垂直直线，且垂足为，则该直线方程为， 联立，消去整理可得， ， 设，则， 设，且线段的中点分别为， 则，， ，， 当时，直线斜率存在，直线的斜率， 可得方程为，则， 整理可得， 令，解得，所以直线过定点. 当时，直线斜率不存在，易知， 直线的方程为，此时直线过； 综上所述，所以直线过定点. 20．（24-25高二上·广东东莞·期末）在平面直角坐标系中，直线与抛物线交于M，N两点. (1)若，求抛物线C的方程； (2)已知抛物线C上存在关于直线l对称的相异两点P和 ①求p的取值范围； ②证明：以为直径的圆过P，Q两点. 【答案】(1) (2)①；②证明见解析 【分析】（1）首先利用直线与抛物线相交，通过联立方程，借助弦长公式求出抛物线方程； （2）①对于存在关于直线对称的相异两点问题，利用中点在直线上以及判别式大于零求出参数取值范围；②通过向量数量积证明以线段为直径的圆过某些点. 【详解】（1）设，，联立方程， 得，得， ， 解得，所以抛物线C的方程为 （2）①依题意可知直线l垂直平分线段PQ， 所以直线PQ的斜率为，设其方程为， 代入中消去x可得到：， 设，，所以， 故的中点G在直线l上，则，所以， 又因为G在直线上，所以， 因为方程有两个相异实根，所以，解得， 故所求p的取值范围是 ②设，，，， ，， 则 ， 因为，， 所以，， 则， 又因为，即， 所以 ， 所以，即以为直径的圆过点P，同理可得以为直径的圆过点Q. 21．如图，椭圆的上、下焦点分别为、，过上焦点与轴垂直的直线交椭圆于、两点，动点、分别在直线与椭圆上. (1)求线段的长； (2)若线段的中点在轴上，求的面积； (3)是否存在以、为邻边的矩形，使得点在椭圆上？若存在，求出所有满足条件的点的纵坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)或. 【分析】（1）根据已知求出点的横坐标，根据对称性可得线段的长；； （2）线段PQ的中点在轴上，得点纵坐标，代入椭圆方程得点横坐标，此时轴，易得其面积； （3）假设存在，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上，设，，，由平行四边形对角线互相平分把点坐标用点坐标表示，然后把坐标代入椭圆方程，利用垂直得向量的数量积为0，得出的关系，结合起来可得或，再分别代入求得，得结论． 【详解】（1）由可得：，，从而， 所以令，则，解得：， 所以. （2）线段的中点在轴上，则，所以，即轴， 所以令，则，解得：， 所以； （3）， 假设存在以，为邻边的矩形，使得点E在椭圆C上， 设，，，， 因为四边形是矩形，一定为平行四边形，所以， 则，，所以， 都在椭圆上，，变形得①， 又，所以，即， 则②， ②代入①得，解得：或， 若时，，，此时与重合，点坐标为； 若时，联立， 消去可得：，解得：， 因为，所以， 所以存在满足题意的点，其纵坐标为或. . 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $