拓展06 圆锥曲线压轴大题热门处理技巧（期中复习讲义核心4大题型）高二数学上学期人教A版

专题06 圆锥曲线压轴大题热门处理技巧（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 非对称韦达 掌握非对称韦达的处理技巧. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 定比点差法 掌握定比点差法的应用条件. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 平移齐次化 掌握平移齐次化的应用条件. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 极点极线 极点极线初步应用. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 知识点01 非对称韦达 在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”． 知识点02 定比点差法 1、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通过代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程，提高解题效率。 2、定比分点公式 （1）已知，若点)满足，求点的坐标． 3、定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时， 设点满足 若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 知识点03 平移齐次化 1、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式（即各项次数相等）来简化计算和提高求解效率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易地求解斜率之和或斜率之积等问题。 2、如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 知识点04 极点极线 1、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦. 2、（1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 题型一 非对称韦达 1．已知、分别是椭圆的右顶点和上顶点，、在椭圆上，且，设直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式结合韦达定理可求得的值. 【详解】证明：由题意得，，则， 设直线的方程为，设点、． 由，消去得， ，可得，且有， 由韦达定理可得，， ， ， 又由得，代入上式得： ， 所以，为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值. 2．椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 【答案】(1) (2)直线与的交点在定直线上. 【分析】（1）求出、，即可求出，从而求出方程； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）因为椭圆的长轴长为4，焦点坐标为， 所以，即，又，则， 故所求的椭圆方程为． （2）由题意得，， 依题意设直线的方程，设， 联立，整理得， 由，即， 所以，. 所以，即， 又直线的方程为，直线的方程为， 联立， 得， 代入，可得， ，即直线与的交点在定直线上.      3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知椭圆，点，，在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程． (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点． （ⅰ）若O为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点Q是线段MN上异于M，N的一点，直线QA，QM的斜率分别为，，且，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）1；（ⅱ）1 【分析】（1）把椭圆C上的三点代入椭圆方程，解方程组求出即可； （2）（ⅰ）设直线l的方程为，点，，直线与椭圆方程联立，利用韦达定理得出，，求得面积，令，，最后利用均值不等式即可求解； （ⅱ）由，所以，所以点Q在线段AD的垂直平分线上，得，利用两点间的距离公式计算，代入得，又，代入即可求解． 【详解】（1）点，，在椭圆C上， 则有，所以，椭圆C的方程为. （2）（ⅰ）设直线l的方程为，点，， 由消去x得：， 则，，则或， 所以， 所以面积， 令，则，， 当且仅当，即时，面积的最大值为1. (ii)因为，所以直线QA，QM的倾斜角互补，所以， 所以点Q在线段AD的垂直平分线上，所以， 所以， 同理得，，， 所以， 因为， 所以， 所以的值为1. 4．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据题设条件建立的方程组，求解即得双曲线的方程； （2）设直线PQ的方程为，，，，利用韦达定理推得，，即有，由直线，直线，代入点，即得，进行联立，化简计算，即可求得定直线方程． 【详解】（1）由题意，，，， 联立解得， 双曲线的标准方程为． （2）因为直线PQ过右焦点，且与双曲线交于P，Q两点，故直线PQ不与x轴平行， 设直线方程为，设，， 由消去可得， 因,，， 则有（*） 由题知，，，设， 则直线，直线， 将代入两式，可得，， 两式相除得,将（*）代入，可得 , 即，解得， 所以点在定直线上． 5．已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1. 【分析】(Ⅰ)由题意得到关于a,b的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程； (Ⅱ)首先联立直线与椭圆的方程，然后由直线MA,NA的方程确定点P,Q的纵坐标，将线段长度的比值转化为纵坐标比值的问题，进一步结合韦达定理可证得，从而可得两线段长度的比值. 【详解】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得： ，解得：， 故椭圆方程为：. (Ⅱ)①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以． ②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且． 由题意知直线的斜率存在．． 当时， ． 同理，．所以． 因为，所以． 【整体点评】方法一直接设直线的方程为：，联立方程消去y，利用韦达定理化简求解；方法二先对斜率为零的情况进行特例研究，在斜率不为零的情况下设直线方程为，联立方程消去x，直接利用韦达定理求得P,Q的纵坐标，运算更为简洁，应为最优解法. 题型二 定比点差法 1．已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有，求椭圆的离心率． 【答案】 【分析】利用点差法，设、，代入椭圆方程中，变形后作差，由可得，，从而可得，求出点的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率 【详解】因为，设、， ①②得：， ，， 则， 得， ∵，∴，将A代入椭圆方程 整理得：，所以或（舍） 故． 2．已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得到c=1，再将点代入椭圆方程求解； （2）设，，，，，由得到，根据，都在椭圆上，得到，同理得，两式相减求解. 【详解】（1）解：由题意可知，c=1， 设椭圆方程为，将点代入椭圆方程， 得， 解得（舍），， 所以椭圆方程为. （2）设，，，，， 因为，所以，即， 又，都在椭圆上， 所以，， 即， ②-①得， 即……③， 又，同理得……④ ④-③得， 所以. 3．过的直线与椭圆交于P，Q，过P作轴且与椭圆交于另一点N，F为椭圆的右焦点，若，求证： 【答案】证明见解析 【分析】设直线NQ与x轴相交于点，设，则，则由可得，，再由三点共线，设可得，，从而得，，再将代入椭圆方程两式化简变形结合前面的式子可得，从而可得结论 【详解】设，则 设直线NQ与x轴相交于点， 由题设知：，所以 ，，即，① 设，则，，即，② 比较①②得，， 又，两式作差得， 得到， 得到，即M和F重合． 所以． 4．已知椭圆，．过的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，，求证：为定值 【答案】证明见解析 【分析】由向量坐标运算可化简求得，代入椭圆方程可得；同理由可得，两式作差即可化简整理得到定值. 【详解】设，， 将两点代入椭圆方程得：…①，…②； ,即，，， 代入①式整理得：…③； 同理由可得：…④； ③④得：…⑤ ⑤式对任意恒成立，，解得：， 为定值. 5．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的值； (3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）由题意列出关于的方程，解方程求出，即可得出答案. （2）由（1）得到直线AB的方程与椭圆方程联立得到关于的一元二次方程，设，，由韦达定理代入求出，设O点到直线AB的距离为d，求出d，由面积公式即可求出答案. （3）设，，设，由题目条件表示结合定比分点公式由表示，设同理用表示，代入，可求得答案. 【详解】（1）由题意，得解得∴，故的方程为． （2）由（1）知， ∴直线AB的方程为，由即， 设，， 则，， ∴． 设O点到直线AB的距离为d，则． ∴． （3）设AB直线方程， 设，，，， 由由定比分点坐标公式：， 由于A，C满足椭圆方程，故得 两式作差得③， 将①②代入③可得，和①进行联立， 即，解得： 由同理可得， ∴ ， 故． 题型三 平移齐次化 1．已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于，两点，证明：直线斜率为定值．    【答案】证明见解析 【分析】以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，到新坐标中，原条件转换到新坐标为：，即．设直线方程为：．构造齐次式：，整理为：，关键步骤是两边同时除以，则，根据建立等式找到，，根据平移变换，斜率不变，即可求解． 【详解】以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示：    旧坐标到新坐标， ， 即， ， 原来，则转换到新坐标为：， 即． 设直线方程为：． 原方程：则转换到新坐标就成为：． 展开得： 构造齐次式： 整理为： 两边同时除以，则， ∴， ∴ 而 ． ∴． 平移变换，斜率不变， ∴直线斜率为定值． 2．已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点． 【答案】证明见解析 【分析】以点P为原点建立新坐标系，设直线方程，利用直线方程和新方程构造齐次式可得直线方程中参数的关系，然后可证. 【详解】解：以点为坐标原点，建立新的直角坐标系，如图所示： 旧坐标    新坐标 即所以 原来则转换到新坐标就成为： 设直线方程为： 原方程：则转换到新坐标就成为： 展开得：构造齐次式： 整理为：两边同时除以，则 所以所以 而对于任意都成立． 则：，故对应原坐标为所以恒过定点． 3．如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于､两点(在的上方)，. （1）求椭圆的方程； （2）设点､是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由. 【答案】（1）；（2）是定值，理由见解析. 【解析】（1）由焦点及通经长，用待定系数法求椭圆的标准方程； （2）设出直线：，与椭圆联立，用“设而不求法”表示，整理得. 【详解】（1）由得：， 椭圆的方程： （2）依题意知直线的斜率存在，设方程： ， 代入椭圆方程得：(*) ， 由得 ， 整理得： 或 当时，直线过定点，不合题意 ，，直线的斜率是定值 另解：设直线的方程为 椭圆的方程即： 即： 联立得： 即 由得即： 直线的斜率为，是定值. 【点睛】（1）待定系数法可以求二次曲线的标准方程； （2）"设而不求"是一种在解析几何中常见的解题方法，可以解决直线与二次曲线相交的问题. 4．已知圆的方程为，点的坐标为．点为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)点是圆上异于点和的任一点，直线与轨迹交于点，，直线与轨迹交于点，．设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）由垂直平分线的性质结合椭圆的定义得出点的轨迹的方程； （2）联立直线和椭圆的方程，并利用齐次化将1代换成，利用韦达定理表示， ，并由解出. 【详解】（1）由图可知，因为，所以， 则点的轨迹是椭圆，且， 点的轨迹的方程为 （2）设直线的方程为，联立 齐次化得， 整理可得， 即，方程的两根为，， 则． 同理可得． 由条件知，∴． 整理得，故． 5．已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题设，直接建立的方程组，即可求出结果； （2）解法1：设出直线方程，分斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，根据条件，可直接求出直线方程为，从而求出点到直线的距离，当斜率存在时，设直线方程为，联立椭圆方程得到，利用韦达定理，结合条件，即可找出与的关系，从而求出结果；解法2：根据条件，巧妙的构造齐次式，从而得出，即可解决问题. 【详解】（1）由题意可得解得 所以椭圆的标准方程为. （2）解法1：韦达定理 设点，，由（1）易求得， 当直线的斜率不存在时，设其方程为（且）， 所以由，且，得到， 即，解得或（舍） 此时点到直线的距离为， 当直线的斜率存在时，设其方程为， 联立消去并整理得. 则，，， 所以，即. 所以， ， 整理得，即， 所以或. 若，则直线的方程为， 所以直线过点，不合题意； 若，则直线的方程为， 所以直线过定点. 又因为，所以点在椭圆内. 则点到直线的距离为. 所以点到直线距离的最大值为. 解法2：齐次式法 易求得，设点，，则， 椭圆的方程为，即， ， 设直线的方程为，联立并齐次化，得 整理得， 即， 方程的两根为，，由韦达定理得， 从而，与对照， 则解得故直线过定点， 、JKK;显然，点到直线距离的最大值为.    题型四 极点极线 1．如图所示，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8． (1)求椭圆的方程． (2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过定点？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在，定点. 【分析】（1）应用椭圆的定义求，再结合离心率求参得出椭圆方程； （2）联立方程组得出根与系数的关系，再根据向量数量积为0，得出定点即可. 【详解】（1）的周长为, ∴，,, 故椭圆． （2） 法一: 设点，由得 ∵直线与曲线相切，∴，即① 由韦达定理得, , ∴． 令，得，则． 假设平面上存在定点满足条件，由图的对称性可知，点必在轴上． 设点，则有 且， 由 整理得 满足①式，∴ 故存在定点，使得以为直径的圆恒过定点． 法二:（极点极线）． 由性质1可知存在点满足条件，且点为极线对应的极点． 由配极原则写出点的极线为 对比直线可得，故存在定点，使得以为直径的圆恒过定点． 2．已知椭圆的左、右顶点分别为，过轴上一点作一直线，与椭圆交于两点（异于），直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，求的值． 【答案】 【分析】法一：首先利用三点共线表示点的横坐标，并利用方程联立，得出两点坐标关系，代入，即可求值. 法二：由题意可得点N在关于椭圆的极线上，设，再利用斜率公式计算即可得出结论. 【详解】解法一：由题意设直线的方程：，，，， 由和三点共线可知 ， 解得 ，，（*） 联立 ，得， ， ， 代入（*）得， ， ，. 解法二：∵A，P，Q，B是椭圆上的四点，直线AB与PQ相交于点M， 直线AP与BQ相交于点N， 则点N在关于椭圆的极线上，设， 则，∴. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 3．如图，四边形ABCD是椭圆的内接四边形，直线AB经过左焦点，直线AC，BD交于右焦点，直线AB与直线CD的斜率分别为． (1)求证：为定值； (2)求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）设，表示出直线AC的方程，代入椭圆方程化简，利用根与系数的关系表示出，则可表示出，表示出点的坐标，同理表示出点的坐标，再由A，，B三点共线，得，然后利用斜率公式化简，可得的关系； （2）解法一：直线CD交x轴于点，表示出直线的方程，表示出，结合（1）中的关系化简可得答案，解法二：设直线AB，DC交于点P，则由题意可设P（3，m），由对称性可知，直线CD过定点必在x轴上，然后根据（1）得到的关系化简可得答案. 【详解】（1）设， 则直线AC的方程为，代入椭圆方程， 整理得． 因为，所以，从而． 故点，同理，点． 因为A，，B三点共线，所以，从而． 所以 ． 故． （2）解法一：由（1）知，， 设直线CD交x轴于点， 因为，所以直线为， 当时，，得， 所以 ， 故直线CD过定点． 解法二：如图，设直线AB，DC交于点P，则点P在F2对应的极线，即x＝3上， 可设P（3，m）， 由对称性可知，直线CD过定点必在x轴上，不妨设定点为T（t，0） 则，由（1）知，得，即． ∴，故直线CD过定点． 【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆中的定值和定点问题，解题的关键是利用“设而不求”的思想，设出交点坐标，设出直线方程，代入椭圆方程化简，结合根与系数的关系求解，考查计算能力和转化思想，属于难题. 4．如图，点分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，若直线与轴交于点，直线与直线交于点，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【分析】解法一：设，则，且，联立直线与直线，解得点坐标，对于直线 ，令，可得点坐标，然后通过两点得直线的方程，故直线过定点.解法二：设与相交于点，由为完全四边形可知对应的极线即为直线，根据点在直线上，设的坐标为，得直线的方程，然后化解即可求定点. 【详解】解法一：常规方法 设，则，且，, 直线，直线：， 联立解得． 直线的方程为， 令，可得． 所以的斜率为 ． 直线的方程为， 即． 显然当时，， 因此直线过定点． 解法二：极点极线 如图，设与相交于点，由为完全四边形可知对应的极线即为． 因为点在直线：上， 设的坐标为， 则直线的方程为， 即． 由得 故直线过定点． 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的定点问题，解题的关键在于设点，则，结合直线方程用表示的坐标，计算量较大，容易混淆. 5．已知实数，且过点的直线与曲线交于、两点． (1)设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值； (2)设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值． 【答案】(1)2 (2)证明见解析 【分析】（1）设直线的方程为，设，，，，联立方程组，根据韦达定理和斜率公式即可求出， （2）分别求出、的坐标，可得直线的方程为，即可求出N的坐标，再根据向量的运算即可证明． 【详解】（1）设直线的方程为，设，，，， 联立方程组，消可得， ，， ， 直线、的斜率分别为、，， ， 即， 解得; （2）可设直线， 设过点与的相切的切线的坐标为，， ， ， 解得， ，，，， 直线的方程为， 由，解得，， ，， ，，，，，， ，， ，，，，，， ，， ， ， ， 故为定值． 6．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)， (2)存在， 【分析】(1)根据题意和离心率求出a、b，即可求解； (2)利用代数法证明点Q在椭圆C外，则点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线. 根据题意中的概念求出点Q对应的极线MN方程，可得该直线恒过定点T（2,1），利用点差法求出直线的斜率，即可求解. 【详解】（1）因为椭圆过点P(4,0)， 则，得，又， 所以，所以， 所以椭圆C的方程为. 根据阅读材料，与点P对应的极线方程为，即； （2）由题意，设点Q的坐标为(,)， 因为点Q在直线上运动，所以， 联立，得， ，该方程无实数根， 所以直线与椭圆C相离，即点Q在椭圆C外， 又QM，QN都与椭圆C相切， 所以点Q和直线MN是椭圆C的一对极点和极线. 对于椭圆，与点Q(,)对应的极线方程为， 将代入，整理得， 又因为定点T的坐标与的取值无关， 所以，解得， 所以存在定点T(2,1)恒在直线MN上. 当时，T是线段MN的中点， 设，直线MN的斜率为， 则，两式相减，整理得，即， 所以当时，直线MN的方程为，即. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 【答案】(1)； (2)；证明见解析． 【分析】（1）依题意由椭圆定义及性质求出a，b，c的值，即可求解椭圆方程； （2）（i）设点M的坐标为，表示出，由二次函数性质即可求解；（ii）设出直线l的方程及点M、N的坐标，并与椭圆方程联立，结合韦达定理及斜率公式即可证明． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为， 因为的周长为8，由椭圆的定义可得：，即， 又椭圆离心率为，所以，则， 所以椭圆C的方程为： （2）（i）由椭圆方程得，，设， 因为点M在椭圆C上，所以，即， 所以， 所以， 当，即M为椭圆上下顶点时，， 所以求的最小值为； （ii）证明：依题意，直线l与x轴不重合，设l的方程为：， 联立，消去x得， 方程的判别式， 设，，则由韦达定理得， 则， 注意到，即， 所以， 所以 2．已知椭圆：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1) (2)证明见解析；定直线 【分析】（1）利用椭圆过点，离心率，结合，即可得解； （2）由题意得直线的方程，与椭圆方程联立，结合韦达定理及求根公式可求得，联立直线的方程与直线的方程，化简可求得直线与的交点在定直线上． 【详解】（1）由椭圆过点，且离心率为，所以，解得 故所求的椭圆方程为． （2）由题意得，， 直线的方程，设， 联立，整理得， ∴，． 由求根公式可知，不妨设，， 直线的方程为，直线的方程为， 联立，得 代入，得， 解得，即直线与的交点在定直线上． 3．已知椭圆的左顶点为，，为上的两个动点，记直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 【答案】过定点， 【分析】根据题意，平移坐标系，得到直线与椭圆方程，联立之后结合韦达定理代入计算，即可得到结果. 【详解】将坐标系左移2个单位长度（即椭圆右移），则椭圆方程变为， 即. 设直线为直线，平移后为直线，联立 齐次化得，整理可得， 两边同除以，得，则，解得. 把代入直线中，得，当时，， 所以过定点，则直线过定点. 4．已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 【答案】证明见解析 【分析】解法一：先设直线的方程，然后按照为元整理圆锥曲线方程，将直线方程整体代入双曲线方程化成齐次方程，构造斜率为根的一元二次方程，利用韦达定理可证明直线过定点；解法二：将整个图形平移至点与原点重合得到，然后设新坐标系中直线平移后的直线方程，再将直线方程代入双曲线方程中进行齐次化，然后构造斜率为根的一元二次方程，利用韦达定理求出定点再还原成原坐标系的定点即可. 【详解】解法一： 设直线． 将双曲线方程写为． 化简展开得． 即， 将代入上式，可得： 整理得：． 两边同时除以可得关于的一元二次方程： （*）. 设，且的斜率分别为，则， 故即方程(*)的两个根，则，因，则， 故得，即，可得， 代入整理得：， 由，解得即直线过定点． 解法二： 将整个图形平移至点与原点重合，则原坐标系中的点变为新坐标系中的点，记为， 所以双曲线方程变为. 展开得． 设新坐标系中直线平移后的直线. 将直线方程代入双曲线得， 整理得． 方程两边同时除以得到关于的一元二次方程． 则平移之后的与的斜率恰好可以用与表示，也就是上述一元二次方程的两个解，设为，． 因为平移不改变直线的斜率，所以，即． 由韦达定理得，，即， 而直线，即直线过定点． 还原到原来的状态，即向右平移2个单位，再向上平移1个单位． 因为直线过定点，所以直线过定点． 5．已知椭圆C：，，为其左右焦点，P为椭圆C上一动点，直线交椭圆于点A，直线椭圆交于点B，设，，求证：为定值． 【答案】证明见解析 【分析】设出点的坐标，表示出向量坐标，通过向量关系和椭圆方程分别表示出与和的关系，即可得到的值. 【详解】设，，， 由于，由定比分点公式可得 将，，代入椭圆方程有 得  ③， 得 两边同除整理得 所以，即 又，即 解得 同理: 所以. 6．已知椭圆，点，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点． 【答案】证明见解析 【分析】根据向量共线及定比分点坐标公式列方程，结合点在椭圆上计算得证. 【详解】设，，则， 设AC与x轴的交点为，，， 由定比分点公式坐标公式得：；， 即①，②，③，④， 由②④得⑤ ∵点A、B在椭圆上，得， 两式相减得， 将①②代入上式得⑥ ∵点A、C在椭圆上，得，将③④代入上式同理可得⑦ 可得，故直线AC恒过定点． 7．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围． 【答案】 【分析】利用向量共线，根据定比作差即可求得的取值范围 【详解】设，，，由， 所以． 因为 得 由得： ，又， 又，从而． 故答案为： 8．已知椭圆：的离心率为，且经过点 Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析. 【分析】Ⅰ由题意可知解得，，即可求出椭圆方程， Ⅱ设点Q，A，B的坐标分别为，，，根据题意设，，，分别求出点A，B的坐标，即可证明点Q总在定直线上． 【详解】解：Ⅰ由题意可知解得，， 故椭圆的方程为． 证明Ⅱ由已知可得抛物线的标准方程为， 设点Q，A，B的坐标分别为，，， 由题意知，不妨设A在P，Q之间，设，， 又点Q在P，B之间，故， ， ， 由可得解得，， 点A在抛物线上， ， 即，， 由可得解得，， 点B在抛物线上， ， 即，，． 由可得， ， ， 点Q总在定直线上 【点睛】本题考查椭圆方程的求法，考查抛物线的简单性质，考查推理论证与运算求解能力，考查化归与转化思想，属中档题． 9．左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为． (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点， 【分析】（1）设点的坐标为，根据重心性质和可得，结合三角形面积公式求解可得； （2）设切线方程为，根据切线过点可求得的方程，由直线系方程即可确定所过定点. 【详解】（1）因为椭圆焦点在轴上，且过点， 所以， 设内切圆的半径为，点的坐标为， 则重心的坐标为， 因为，所以． 由面积可得， 即，结合，解得， 即所求的椭圆方程为则椭圆方程为．    （2）设， 则切线的方程分别为， 因为点在两条切线上，所以， 故直线的方程为． 又因为点为直线上， 所以，即直线的方程可化为， 整理得， 由解得， 因此，直线过定点． 10．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点到直线的距离公式可得，结合即可求解, （2）根据向量共线的坐标关系可得坐标，进而得是一元二次方程的两个解，利用根的分布可得或，进而根据求解. 【详解】（1）双曲线的渐近线方程为， 由已知得， 解得或， 斜率为0时可得直线方程为：，代入双曲线方程可得：， ， 若，则可求得， 若，则代入得无实数解， 的方程为. （2）设点， 由可得 故：，代入双曲线方程得：， 同理，，代入双曲线方程得：， 是一元二次方程的两个解， ， 由题意可知，直线有斜率，设直线斜率为，则直线方程为：， 与双曲线联立得：， 由直线与双曲线交于右支得：， 解得：或， 又， 由于或，故或， . 【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的范围或最值问题，可根据题意构造关于参数的目标函数，然后根据题目中给出的范围或由判别式得到的范围求解，解题中注意函数单调性和基本不等式的作用．另外在解析几何中还要注意向量的应用，如本题中根据向量的共线得到点的坐标之间的关系，进而为消去变量起到了重要的作用 11．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 证明见解析 【分析】（1）由题意得，，再结合，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程； （2）①由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ，然后分和两种情况证明；②设点，然后由①可得过点的切线方程和过点的切线方程，则可求出割线的方程，同时可求出切点弦的方程，从而可证得结论. 【详解】（1）由已知，，则 所以直线 ，即 ， 该直线与圆 与相切，则， 所以解得，， 故椭圆的标准方程为 （2）① 由(1)得椭圆的方程是 . 因为在椭圆上，所以，即， 由定义可知椭圆在点 处的极线方程为 ， 当时，，此时极线方程为，所以处的极线就是过点的切线， 当时，极线方程为，即， 由，得， 所以， 所以处的极线就是过点的切线， 综上所述，椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 设点， 由①可知，过点的切线方程为， 过点的切线方程为， 因为都过点，所以有， 则割线的方程为， 同理可得过点的两条切线的切点弦的方程为，即， 又因为割线过点，代入割线方程得，即 ， 所以三点共线，都在直线上． 【点睛】关键点点睛：此题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆的位置关系，考查椭圆的切线，考查椭圆中点共线问题，解题的关键是合理利用过椭圆上一点的切线方程的定义，考查计算能力，属于较难题. 12．设椭圆过点 ，且左焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线 与椭圆相交于两不同点 时，在线段上取点 ，满足，证明：点 总在某定直线上 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见解析 【详解】(1)由题意： ，解得，所求椭圆方程为 (2)方法一 设点Q、A、B的坐标分别为． 由题设知均不为零，记,则且 又A，P，B，Q四点共线，从而 于是 ， ， 从而 ，（1） ，（2） 又点A、B在椭圆C上，即 （1）+（2）×2并结合（3），（4）得 即点总在定直线上 方法二 设点，由题设，均不为零． 且 又四点共线，可设,于是 （1） （2） 由于在椭圆C上，将（1），（2）分别代入C的方程整理得 （3） (4) (4)－(3) 　　　得 即点总在定直线上 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值． 【答案】. 【分析】设，，，根据向量关系结合条件可得，进而可得，进而即得. 【详解】由题可知， 设，，，由，得， 满足，可得， 满足，可得， 由，可得， 所以， ∴，， 又， ∴， 同理可得， ∴， 所以，又， 所以. 2．已知椭圆：的短轴长为2，，分别是的左、右顶点，为坐标原点，的中点为，过点的直线与交于，两点. (1)当轴时，求. (2)若，且直线的斜率大于0， （i）求的方程； （ii）证明：直线与的斜率之比为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【分析】（1）根据题设可得，，结合轴求出，进而求解即可； （2）（i）设直线的方程为，，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示出，可得，进而求解即可； （ii）由（i）得，则，进而代入求证即可. 【详解】（1）由题意，，，即， 则的中点为， 由于轴，将代入椭圆：， 则，解得，则， 即. （2）（i）由（1）知，，， 椭圆：， 设直线的方程为，，， 联立，得， 则， 又， 由，则， 则， 则， 则， 则， 整理得，，即， 所以椭圆的方程为. （ii）证明：由（i）知，，， 且，则， 则， . 所以直线与的斜率之比为定值3. 3．已知为坐标原点，椭圆，过点的直线与交于两点，线段上一点满足，求的最小值． 【答案】． 【分析】设，利用向量的坐标运算公式求出点的轨迹方程，再根据数形结合得出的最小值为坐标原点到直线的距离. 【详解】设，则，设， 由，又，所以① ，设，所以② ①②可得 因为在椭圆上，所以 ③④得， 即，代入化简得， 即，故的轨迹方程为， 则的最小值为坐标原点到直线的距离，即． 4．如图，过椭圆上的定点作倾斜角互补的两直线，设其分别交椭圆于两点，求证：直线的斜率是定值. 【答案】证明见解析 【分析】设直线的方程为，，将椭圆方程化为，与直线方程联立，齐次化并整理，再利用韦达定理求出，再结合，即可得出结论. 【详解】由题意可得直线不过点，且直线的斜率都存在， 设直线的方程为，， 因为 ， 所以椭圆方程可化为， 联立， 齐次化并整理可得， 由韦达定理得， 又因为，所以， 所以，故直线的斜率为定值. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 5．已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设的左焦点为，左顶点为，过原点且不与轴重合的直线与交于P，Q两点，直线QF与交于另一点，设直线MP和MR的斜率分别为和，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明过程见解析 【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可； （2）根据直线PQ是否存斜率，结合一元二次方程根与系数、直线斜率公式、椭圆的对称性进行求解即可. 【详解】（1）因为点在上，所以， 又因为椭圆的离心率为， 所以有， 因此的方程为； （2）由（1）可知：， 当直线方程为时，此时不妨设， 直线QF的方程为：， 由，或，即， ， 当直线存在斜率且不为零时， 设直线QF的方程为：，与椭圆方程联立，得 ， 则， 设，则， ，把， ， 综上所述：为定值. 6．已知点是圆内一点，直线. (1)若圆的弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程； (2)若过点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形的面积的最大值； (3)若，是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为.证明：直线过定点. 【答案】(1)； (2)11； (3)见解析. 【分析】（1）由题意知，易知，进而得到弦所在直线的方程； （2）设点到直线、的距离分别为，则，表达出四边形的面积，利用条件二元变一元，转为二次函数最值问题； （3）设．求出圆的方程为，利用C、D在圆O：上，求出CD方程，从而求出直线所过的定点． 【详解】（1）由题意知， ∴， ∵， ∴， 因此弦所在直线方程为，即. （2）设点到直线、的距离分别为，则， ，. ∴四边形的面积 ，当时取等号. 所以四边形面积的最大值为11. （3）由题意可知、两点均在以为直径的圆上，设， 则该圆的方程为， 即：①. 又、在圆②上， ①-②得：， 所以直线的方程为，即， 由，解得：，所以直线过定点. 7．已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 【答案】(1)； (2)8； (3)证明见解析， 【分析】（1）由焦点关于直线的对称点为即可求得p值，则抛物线方程可求； （2）联立直线方程与抛物线方程，结合韦达定理以及过抛物线焦点的弦长公式即可求解； （3）设直线的方程为，联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理化简，分析可得，则定直线方程可求. 【详解】（1）抛物线的焦点关于直线的对称点为，于是，解得：， 所以抛物线的方程为． （2）由（1）知，直线的方程为，设， 由消去得：， 则， 所以． （3）由题意可得直线的斜率存在．设直线的方程为， 代人抛物线方程，整理得或． 设，则， 由， 得， 化简得， 当时，因，化简得，与直线的斜率存在矛盾，不合题意； 当时， 化简得． 即 化简得， 又，所以， 化简得， 所以点在直线上． 【点睛】 方法点睛：涉及动直线与圆锥曲线相交满足某个条件问题，可设出直线方程，再与圆锥曲线方程联立，利用韦达定理并结合已知推理求解. 8．已知、分别为椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与直线的斜率之积为，作于点． ①证明：直线过定点，并求此定点的坐标； ②是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①证明见解析，定点；②为定值，定值为． 【分析】（1）由的面积可得出，再由点在椭圆上，可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程； （2）①方法一：对直线的斜率是否存在进行分类讨论，当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，设点，则，根据求出的值，可得出结论；当直线的斜率存在时，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆方程联立，列出韦达定理，利用结合韦达定理可得出与的关系，化简的方程，可得出直线所过定点的坐标； 方法二：设直线的方程为，将椭圆方程转化为关于、的二次齐次方程，令，可得出关于的一元二次方程，根据一元二次方程根与系数的关系结合可得出、的等量关系式，化简直线的方程，可得出直线所过定点的坐标； ②点在以为直径的圆上，由直角三角形的几何性质可得出点为圆心，求出的坐标，并由此可得出的值. 【详解】（1）由的面积为，得到：，所以． 又因为点在椭圆上，所以，且， 所以，，解得，所以椭圆的方程为． （2）①方法一：常规方法 当直线斜率不存在时，设直线的方程为， 设点，由对称性质可知，则有，可得， 又，解得（舍）； ②当直线l斜率存在时，设直线的方程为，设点、， 由，消去得到， 所以，即， 由韦达定理可得，． 所以， ， 将，， 代入化简得，即， 故或， 当时，直线的方程可化为， 此时，直线过点， 当时，直线的方程可化为， 此时，直线过点， 又因为直线不过点，故直线l过定点. 综上所述，直线l过定点. 方法二：齐次式法 设直线的方程为， 由，所以， 整理得， ， ， 显然，同除以得：， 令，则有， 易知、是关于的二次方程的两根， 由根与系数关系得：， 代入， 由得，故直线过定点． ②因为，由①知直线过定点，所以点在以为直径的圆上， 故当为圆心时，， 故存在定点，使为定值，定值为． 【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下： （1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明； （2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点； （3）求证直线过定点，常利用直线的点斜式方程或截距式来证明. 9．已知圆有以下性质： ①过圆上一点的圆的切线方程是. ②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为. ③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段. (1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)； (2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程； (3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值，且平分线段. 【答案】（1） （2） (3)见解析. 【详解】分析：（1）根据类比推理可得结论．（2）设，结合（1）可得过点的切线方程，根据两切线都过点可得和，再结合过两点的直线唯一的特点可得直线的方程是．（3）先由直线的方程可得，又，所以．令线段的中点为，由点差法得，于是，故，所以三点共线，从而得到平分线段． 详解：（1）过椭圆上一点的切线方程是． （2）设． 由（1）得过椭圆上点的切线的方程是， ∵直线过点， ∴， 同理． 又过两点A,B的直线是唯一的， ∴直线的方程是． （3）由（2）知过两点的直线方程是， ∴， 又， ∴为定值． 设线段的中点为，则． ∵点均在椭圆上， ∴①，② ②－①得， 即， ∴， 又 ∴， 又， ∴， ∴三点共线， ∴平分线段． 点睛：（1）类比推理是由特殊到特殊的推理，其一般步骤为：①找出两类事物之间的相似性或一致性；②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)． （2）类比推理的关键是找到合适的类比对象，如平面到空间的类比、数到向量的类比、等差数列到等比数列的类比等． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 圆锥曲线压轴大题热门处理技巧（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 非对称韦达 掌握非对称韦达的处理技巧. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 定比点差法 掌握定比点差法的应用条件. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 平移齐次化 掌握平移齐次化的应用条件. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 极点极线 极点极线初步应用. 重难必考点，常使用在大题压轴，简化计算 知识点01 非对称韦达 在一元二次方程中，若，设它的两个根分别为，则有根与系数关系：，借此我们往往能够利用韦达定理来快速处理之类的结构，但在有些问题时，我们会遇到涉及的不同系数的代数式的应算，比如求或之类的结构，就相对较难地转化到应用韦达定理来处理了．特别是在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去或，也得到一个一元二次方程，我们就会面临着同样的困难，我们把这种形如或之类中的系数不对等的情况，这些式子是非对称结构，称为“非对称韦达”． 知识点02 定比点差法 1、定比点差法是一种在解析几何有应用的方法。在解析几何中，它主要用于处理非中点弦问题，通过设定线段上的定比分点，利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，通过代点、扩乘、作差等步骤，解决相应的圆锥曲线问题。定比点差法的核心思想是“设而不求”，即设定未知数但不直接求解，而是通过代数运算消去未知数，得到所需的结果。这种方法在处理复杂问题时具有独特的优势，能够简化计算过程，提高解题效率。 2、定比分点公式 （1）已知，若点)满足，求点的坐标． 3、定比点差法 当为椭圆上的两点，为弦上任意一点时， 设点满足 若在椭圆则; 点满足，可得到 ， ①－②得： ， 联立消元后即可用与定分比表示. 知识点03 平移齐次化 1、齐次化是一种数学处理方法，它通过将问题转化为齐次形式（即各项次数相等）来简化计算和提高求解效率。在解析几何中，齐次化常用于处理与斜率相关的问题，如过某定点的两条直线的斜率关系。通过齐次化联立，可以将复杂的二次曲线方程转化为关于斜率的一元二次方程，从而更容易地求解斜率之和或斜率之积等问题。 2、如果公共点在原点，不需要平移.如果不在原点，先平移图形，将公共点平移到原点，无论如何平移，直线斜率是不变的.注意平移口诀是“左加右减，上减下加”. 设平移后的直线为，与平移后的圆锥曲线方程联立，一次项乘以，常数项乘以，构造，然后等式两边同时除以 (前面注明x不等于0)，得到，可以直接利用根与系数的关系得出斜率之和或斜率之积，即可得出答案.如果是过定点题目，还需要还原，之前如何平移，现在反平移回去. 知识点04 极点极线 1、极点极线是数学中的重要概念，尤其在圆锥曲线研究中占据关键地位。极点通常指圆锥曲线上的特殊点，其切线方程与曲线方程相同；对于不在曲线上的点，其关于曲线的调和共轭点轨迹形成的直线也被称为极线。极线则是与极点紧密相关的一条直线，对于曲线上的极点，其极线即为该点处的切线；对于曲线外的点，其极线则是通过该点作曲线的两条切线所得的切点弦. 2、（1）二次曲线极点对应的极线为 （半代半不代） （2）圆锥曲线的极点极线（以椭圆为例）： 椭圆方程，极点，则 极点在椭圆外，为椭圆的切线，切点为，则极线为切点弦； ②极点在椭圆上，过点作椭圆的切线，则极线为切线； ③极点在椭圆内，过点作椭圆的弦，分别过作椭圆切线，则切线交点轨迹为极线； 题型一 非对称韦达 1．已知、分别是椭圆的右顶点和上顶点，、在椭圆上，且，设直线、的斜率分别为、，证明：为定值． 2．椭圆，长轴长为4，焦点坐标为. (1)求椭圆方程； (2)椭圆上,下顶点为,，过点的直线与椭圆交于异于,的两点,，直线,的交点在一条定直线上，求出该定直线方程. 3．（25-26高三上·四川成都·月考）已知椭圆，点，，在椭圆C上． (1)求椭圆C的方程． (2)过点且斜率不为0的直线l与椭圆C相交于M，N两点． （ⅰ）若O为原点，求面积的最大值； （ⅱ）点，设点Q是线段MN上异于M，N的一点，直线QA，QM的斜率分别为，，且，求的值． 4．（25-26高三上·浙江·开学考试）已知双曲线的离心率为，且过点. (1)求双曲线的标准方程； (2)设双曲线的左、右两个顶点为A、B，过右焦点的直线交双曲线于P，Q两点，直线与直线交于点，求证：点在定直线上． 5．已知椭圆过点，且． （Ⅰ）求椭圆C的方程： （Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值． 题型二 定比点差法 1．已知椭圆，过椭圆的左焦点F且斜率为的直线l与椭圆交于A、B两点（A点在B点的上方），若有，求椭圆的离心率． 2．已知椭圆C的焦点坐标为和，且椭圆经过点. (1)求椭圆C的方程； (2)若，椭圆C上四点M，N，P，Q满足，，求直线MN的斜率. 3．过的直线与椭圆交于P，Q，过P作轴且与椭圆交于另一点N，F为椭圆的右焦点，若，求证： 4．已知椭圆，．过的直线交椭圆于两点，交轴于点，设，，求证：为定值 5．已知椭圆的离心率为，半焦距为，且．经过椭圆的左焦点F，斜率为的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标原点． (1)求椭圆的标准方程； (2)当时，求的值； (3)设，延长AR，BR分别与椭圆交于C，D两点，直线CD的斜率为，求证：为定值． 题型三 平移齐次化 1．已知椭圆，过其上一定点作倾斜角互补的两条直线，分别交于椭圆于，两点，证明：直线斜率为定值．    2．已知椭圆，设直线不经过点的直线交于两点，若直线的斜率之和为，证明：直线恒过定点． 3．如图，点为椭圆的右焦点，过且垂直于轴的直线与椭圆相交于､两点(在的上方)，. （1）求椭圆的方程； （2）设点､是椭圆上位于直线两侧的动点，且满足，试问直线的斜率是否为定值，请说明理由. 4．已知圆的方程为，点的坐标为．点为圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点． (1)求点的轨迹的方程； (2)点是圆上异于点和的任一点，直线与轨迹交于点，，直线与轨迹交于点，．设为坐标原点，直线，，，的斜率分别为，，，，问：是否存在常数，使得恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 5．已知椭圆的离心率为，过椭圆的右焦点并垂直于轴的直线交椭圆于，（点位于轴上方）两点，且（为坐标原点）的面积为. (1)求椭圆的标准方程； (2)若直线交椭圆于，（，异于点）两点，且直线与的斜率之积为，求点到直线距离的最大值. 题型四 极点极线 1．如图所示，椭圆的左焦点为，右焦点为，离心率，过的直线交椭圆于、两点，且的周长为8． (1)求椭圆的方程． (2)设动直线与椭圆有且只有一个公共点，且与直线相交于点，试探究：在坐标平面内是否存在定点使得以为直径的圆恒过定点？若存在求出点的坐标；若不存在请说明理由． 2．已知椭圆的左、右顶点分别为，过轴上一点作一直线，与椭圆交于两点（异于），直线和的交点为，记直线和的斜率分别为，求的值． 3．如图，四边形ABCD是椭圆的内接四边形，直线AB经过左焦点，直线AC，BD交于右焦点，直线AB与直线CD的斜率分别为． (1)求证：为定值； (2)求证：直线CD过定点，并求出该定点的坐标． 4．如图，点分别是椭圆的左、右顶点，是椭圆的上顶点，点是椭圆上异于顶点的任意一点，若直线与轴交于点，直线与直线交于点，求证：直线过定点． 5．已知实数，且过点的直线与曲线交于、两点． (1)设为坐标原点，直线、的斜率分别为、，若，求的值； (2)设直线、与曲线分别相切于点、，点为直线与弦的交点，且，，证明：为定值． 6．阅读材料：（一）极点与极线的代数定义；已知圆锥曲线G：，则称点P(，)和直线l：是圆锥曲线G的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换x(另一变量y也是如此)，即可得到点P(，)对应的极线方程.特别地，对于椭圆，与点P(，)对应的极线方程为；对于双曲线，与点P(，)对应的极线方程为；对于抛物线，与点P(，)对应的极线方程为.即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. （二）极点与极线的基本性质､定理 ①当P在圆锥曲线G上时，其极线l是曲线G在点P处的切线； ②当P在G外时，其极线l是曲线G从点P所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当P在G内时，其极线l是曲线G过点P的割线两端点处的切线交点的轨迹. 结合阅读材料回答下面的问题： (1)已知椭圆C：经过点P(4，0)，离心率是，求椭圆C的方程并写出与点P对应的极线方程； (2)已知Q是直线l：上的一个动点，过点Q向（1）中椭圆C引两条切线，切点分别为M，N，是否存在定点T恒在直线MN上，若存在，当时，求直线MN的方程；若不存在，请说明理由. 期中基础通关练（测试时间：60分钟） 1．已知椭圆的离心率为，左、右顶点分别为A、B，左、右焦点分别为、，过右焦点的直线l交椭圆于点M、N，且的周长为 (1)求椭圆C的标准方程； (2)（i）求的最小值； （ii）记直线AM、BN的斜率分别为、，证明：为定值. 2．已知椭圆：（）过点，且离心率为． (1)求椭圆的方程； (2)记椭圆的上下顶点分别为，过点斜率为的直线与椭圆交于两点，证明：直线与的交点在定直线上，并求出该定直线的方程． 3．已知椭圆的左顶点为，，为上的两个动点，记直线，的斜率分别为，，若，试判断直线是否过定点.若过定点，求该定点坐标；若不过定点，请说明理由. 4．已知双曲线和点，作直线与的两支分别交于点，，使得．若，斜率均存在，求证：直线过定点． 5．已知椭圆C：，，为其左右焦点，P为椭圆C上一动点，直线交椭圆于点A，直线椭圆交于点B，设，，求证：为定值． 6．已知椭圆，点，过点P作椭圆的割线PAB，C为B关于x轴的对称点．求证：直线AC恒过定点． 7．已知，过点的直线交椭圆于，（可以重合），求取值范围． 8．已知椭圆：的离心率为，且经过点 Ⅰ求椭圆的标准方程； Ⅱ已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，过点的动直线与抛物线相交于A，B两个不同的点，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在定直线上． 9．左、右焦点分别为的椭圆经过点，为椭圆上一点，的重心为，内心为． (1)求椭圆的方程； (2)若为直线上一点，过点作椭圆的两条切线为切点，问直线是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由． 10．（2025·新疆·模拟预测）已知双曲线，点到的两条渐近线距离之比为，过点的直线与交于两点，且当的斜率为0时，. (1)求的方程； (2)若点都在的右支上，且与轴交于点，设，求的取值范围. 11．（2024·湖南长沙·三模）已知椭圆的左、右焦点分别为为上顶点，离心率 为，直线与圆相切. (1)求椭圆的标准方程; (2)椭圆方程，平面上有一点. 定义直线方程 是椭圆在点处的极线. ① 若在椭圆上，证明: 椭圆在点处的极线就是过点的切线; ② 若过点分别作椭圆的两条切线和一条割线，切点为，割线交椭圆 于两点，过点分别作椭圆的两条切线，且相交于点. 证明: 三点共线. 12．设椭圆过点 ，且左焦点为 （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）当过点的动直线 与椭圆相交于两不同点 时，在线段上取点 ，满足，证明：点 总在某定直线上 期中重难突破练（测试时间：60分钟） 1．已知椭圆的左右焦点分别为，，，，是椭圆上的三个动点，且，，若，求的值． 2．已知椭圆：的短轴长为2，，分别是的左、右顶点，为坐标原点，的中点为，过点的直线与交于，两点. (1)当轴时，求. (2)若，且直线的斜率大于0， （i）求的方程； （ii）证明：直线与的斜率之比为定值. 3．已知为坐标原点，椭圆，过点的直线与交于两点，线段上一点满足，求的最小值． 4．如图，过椭圆上的定点作倾斜角互补的两直线，设其分别交椭圆于两点，求证：直线的斜率是定值. 5．已知椭圆的离心率为，点在上． (1)求的方程； (2)设的左焦点为，左顶点为，过原点且不与轴重合的直线与交于P，Q两点，直线QF与交于另一点，设直线MP和MR的斜率分别为和，证明：为定值． 6．已知点是圆内一点，直线. (1)若圆的弦恰好被点平分，求弦所在直线的方程； (2)若过点作圆的两条互相垂直的弦，求四边形的面积的最大值； (3)若，是上的动点，过作圆的两条切线，切点分别为.证明：直线过定点. 7．已知抛物线的焦点关于直线的对称点为． (1)求的方程； (2)若为坐标原点，过焦点且斜率为1的直线交于两点，求； (3)过点的动直线交于不同的两点，为线段上一点，且满足，证明：点在某定直线上，并求出该定直线的方程． 8．已知、分别为椭圆的左、右焦点，若点在椭圆上，且的面积为． (1)求椭圆的方程； (2)不经过点的直线与椭圆交于、两点，且直线与直线的斜率之积为，作于点． ①证明：直线过定点，并求此定点的坐标； ②是否存在定点，使得为定值？若存在，求出该定值；若不存在，请说明理由． 9．已知圆有以下性质： ①过圆上一点的圆的切线方程是. ②若为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则直线的方程为. ③若不在坐标轴上的点为圆外一点，过作圆的两条切线，切点分别为，则垂直，即，且平分线段. (1)类比上述有关结论，猜想过椭圆上一点的切线方程(不要求证明)； (2)过椭圆外一点作两直线，与椭圆相切于两点，求过两点的直线方程； (3)若过椭圆外一点（不在坐标轴上）作两直线，与椭圆相切于两点，求证：为定值，且平分线段. 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $