精品解析：福建省泉州市南安第一中学2025-2026学年高二上学期第一次段考数学试题

南安一中2025-2026学年度上学期高二第一次阶段考试 数学科试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求得的中点坐标，利用两点间的距离公式即可求得答案. 【详解】由题意，，，可得的中点坐标为， 所以边上的中线长为， 故选：B. 2. 已知向量，则下列向量中与成的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】试题分析：对于A选项中的向量，，则； 对于B选项中的向量，，则； 对于C选项中的向量，，则； 对于D选项中的向量，此时，两向量的夹角为.故选B. 【考点定位】本题考查空间向量数量积与空间向量的坐标运算，属于中等题. 3. 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 【答案】A 【解析】 【分析】利用空间向量共线定理逐一判断各选项即得. 【详解】因， 对于A，由 ，因与共点，故A，B，D三点共线，故A正确； 对于B，因，故三点不共线，故B错误； 对于C，因，故三点不共线，故C错误； 对于D，因与没有确定的倍数关系，故三点不共线，故D错误. 故选：A. 4. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对6个主题编号，利用列举列出甲、乙抽取的所有结果，并求出抽到不同主题的结果，再利用古典概率求解作答. 【详解】用1，2，3，4，5，6表示6个主题，甲、乙二人每人抽取1个主题的所有结果如下表： 乙 甲 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 共有36个不同结果，它们等可能， 其中甲乙抽到相同结果有，共6个， 因此甲、乙两位参赛同学抽到不同主题的结果有30个，概率. 故选：A 5. 在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线方程为．已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为：，经过的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得出直线的一个方向向量和平面的一个法向量为坐标，利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值. 【详解】由题意可知，直线的一个方向向量为， 平面的一个法向量为， 因为， 因此，直线与平面所成角的正弦值为. 故选：D. 6. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】法一：令，利用判别式法即可；法二：通过整理得，利用三角换元法即可，法三：整理出圆的方程，设，利用圆心到直线的距离小于等于半径即可. 【详解】法一：令，则， 代入原式化简得， 因为存在实数，则，即， 化简得，解得， 故 的最大值是， 法二：，整理得， 令，，其中， 则， ，所以，则，即时，取得最大值， 法三：由可得， 设，则圆心到直线的距离， 解得 故选：C. 7. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，由条件可得直线过定点，从而可得当时，的最小，结合勾股定理代入计算，即可求解. 【详解】因为直线，即，令， 则，所以直线过定点，设， 将圆化为标准式为， 所以圆心，半径， 当时，的最小， 此时. 故选：C 8. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，设，连接，证明平面，再以点为坐标原点建立空间直角坐标系，利用向量法求解即可. 【详解】连接，设，连接， 由，得，所以， 因为底面是菱形，所以， 又因为，且，在平面内， 所以平面， 在中，，，所以， 如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系， 则，，，，， 故，，， 设平面的法向量为， 则有，令，得， 所以点到平面的距离. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 已知事件A，B以及其对立事件，，满足，则（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若A，B互斥，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B独立，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】借助对立事件、互斥事件与相互独立事件的性质逐项计算即可得. 【详解】由，则， 对A：若A，B互斥，则，故A错误； 对B：若A，B互斥，则，故B正确； 对C：若A，B独立，则，故C正确； 对D：若A，B独立，则 ，故D正确. 故选：BCD. 11. 在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在使得平面 C. 当时，点A，B到平面的距离相等 D. 当时，总有 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用正方体的性质可以直接计算时，三棱锥的体积判断A，当时，若平面，可推出与的矛盾，可判断B，时，E是AB中点显然正确，当时，建立空间直角坐标系，设，求出所需各点坐标，计算可判断D正确. 【详解】不妨设正方体的棱长为1，如图， 对于 对于B：要使平面，则必须，又，所以需要，所以E在中点，因为，所以与不垂直，所以不存在，错误； 对于C：因为，所以正确； 对于D：建立如图所示空间直角坐标系，设，则，， ，，所以，，因为，所以，故D正确. 故选：ACD 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由得到，再由投影向量的计算公式代入计算即可. 【详解】因为单位向量，满足， 可得：，也即 则， 则向量在向量上的投影向量的模为. 故答案为：1 13. 若直线与直线之间距离为，则实数的值为________； 【答案】或 【解析】 【分析】根据给定条件，利用平行线间距离公式列式求出值. 【详解】直线，即与直线之间的距离为， 则，解得或，经验证，符合题意， 所以实数的值为或. 故答案为：或 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出这个试验的等可能结果，然后求解概率即可； 【详解】这个试验的等可能结果用下表表示： a b c d e 2 1 6 3 8 2 1 8 3 6 6 1 2 3 8 6 1 8 3 2 8 1 2 3 6 8 1 6 3 2 2 3 6 1 8 2 3 8 1 6 6 3 2 1 8 6 3 8 1 2 8 3 2 1 6 8 3 6 1 2 共有12种等可能的结果，其中的结果有8种， 所以的概率为. 故答案：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中,的角平分线在直线上,,为垂足,且所在直线的方程为. （1）求点的坐标; （2）若点的坐标为,求边上高的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）因为的角平分线在直线上,可设, 所在直线的方程为,即可求得答案; （2）因为,,求得,求出直线方程,通过点到直线的距离公式,即可求得边上高的长度. 【详解】（1） 的角平分线在直线上 可设, 所在直线的方程为. 由方程得:, 点的坐标为. （2） , , 直线方程为:,即, 的角平分线在直线上, , 直线方程为:,即, , , 直线方程为:,即, 由, 解得点, 【点睛】本题考查了根据点到直线距离公式求三角形一边的高,解题关键是掌握直线方程的基础知识和点到直线的距离公式,可画出草图,数学结合,寻找几何关系,考查了分析能力和计算能力,属于中档题. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点. （1）证明:平面; （2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】 【分析】（1）连接，交于，连接，根据可证； （2）以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系，求得平面的法向量，利用向量关系可求. 【详解】（1）连接，交于，连接， 底面是菱形，为中点， 为中点，， 平面，平面，平面； （2）选①： 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系， 底面是菱形，，， ， 则， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角为； 选②： 以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴建立如图空间直角坐标系， 取中点，连接， 底面是菱形，，，平面，为的中点， ，平面，，， ， 则， 设平面的法向量为， 则，取可得， 设与平面所成的角为， 则， 所以与平面所成的角为； 17. 某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功.已知甲每关挑战成功的概率为，乙前三关挑战成功的概率依次为，，.假设甲、乙两人每轮是否挑战成功相互独立. （1）求甲仅需挑战前两关就通关的概率； （2）求乙挑战全部三关且通关的概率； （3）求甲、乙恰有一人通关的概率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）“仅需挑战前两关就通关”即“前两关都挑战成功”；根据独立事件概率乘法公式求解可求解； （2）“乙挑战全部三关且通关”即“前两关恰有一关成功且 第三关成功”，根据互斥事件加法和独立事件乘法可求解； （3）“恰一人通关”分为两种情况：甲通关且乙不通关和乙通关且甲不通关.需先分别求出甲通关概率和乙通过的概率，再利用对立事件的概率结合互斥事件加法可求解. 【小问1详解】 设事件“甲仅需挑战前两关就通关”，则 . 【小问2详解】 设事件“乙挑战全部三关且通关”，则 【小问3详解】 设事件“甲通关”，事件“乙通关”， 事件“甲、乙恰有一人通关乙甲通关”， , 18. 已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （1）若P的坐标为，求过点P的切线方程； （2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； （3）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 【答案】（1）或， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径即可求得斜率即可得方程 （2）设，可得为直径得方程，可求得直线得方程为，即可得定点. (3)由可得，进而可得：• ，可求得其范围. 小问1详解】 由图像易知：是其一条切线， 设另切线方程为 ，即 圆心坐标为，半径 根据圆的切线的定义可知：，即 解得： 代回方程可求得切线方程为： 所以或， 过点P的切线方程为：或， 【小问2详解】 ∵圆 ∴圆心，半径， 设，由题意知在以为直径的圆上，又, ∴以为直径圆的方程为：，即 又圆C：，即 故直线的方程为，即 由，解得， 即直线AB恒过定点. 【小问3详解】 由，得 ∴ 设， ∴， ∴， ∵ ∴ ∴的取值范围为. 19. 如图，四棱柱的底面是正方形，为的中点. （1）若平面平面，，，求二面角的正弦值； （2）设为线段的中点，. （i）证明：平面； （ii）设四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，证明：. 【答案】（1）； （2）（i）证明见解析；（ii）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据已知构建合适的空间直角坐标系，设，结合已知写出相关点的坐标，求出平面、平面的法向量，向量法求面面角的余弦值，进而可得正弦值； （2）（i）法1：延长与的延长线交于点，连接并延长，交的延长线于点，连接，交于点，连接，证明四边形是平行四边形，得，再由线面平行的判定证明结论；法2：由向量四则运算的几何意义得，平面内的存在点满足，有，再由线面平行的判定证明结论；法3：同（1）建立空间直角坐标系，若，四棱柱的高为，标注出相关点坐标，并求出直线的方向向量、平面的法向量，应用向量法证明线面平行； （ii）由（i）结论，应用等体积法有，结合等比数列的前n项和公式求和，即可证. 【小问1详解】 如图，以为坐标原点，的方向为轴正方向建立空间坐标系. 设，因为，故是正三角形， 又平面平面，且底面是正方形， 故，，，， ，， 设平面的法向量为，平面的法向量为， 则，， 不妨取，则，. 故. 故二面角的正弦值为. 【小问2详解】 （i）方法1：如图，延长与的延长线交于点， 连接并延长，交的延长线于点， 连接，交于点，连接，则平面. 因为为线段的中点，，故， 因为，，，故， 又，故. 因为，且，故四边形是平行四边形，即. 又平面，平面，所以平面. 方法2：由 . 因为平面内的存在点，满足，有. 又因为平面，所以平面. 方法3：同（1）建立空间坐标系，若，四棱柱的高为， 则，，，若， 根据可得，， 根据是的中点得，， ， ，，平面的法向量是， 所以①，②. 其中方程②可改写为. 可取，，， ， 所以平面. （ii）由（i）可知平面， 故. 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南安一中2025-2026学年度上学期高二第一次阶段考试 数学科试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知的三个顶点分别为，，，则边上的中线长为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，则下列向量中与成是 A. B. C. D. 3. 已知非零空间向量，，且，则一定共线的三点是（ ） A. A，B，D B. A，B，C C. B，C，D D. A，C，D 4. 某学校举办作文比赛，共6个主题，每位参赛同学从中随机抽取一个主题准备作文，则甲、乙两位参赛同学抽到不同主题概率为（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，经过点，且法向量为的平面方程为，经过点且一个方向向量为的直线方程为．已知：在空间直角坐标系中，平面的方程为：，经过的直线方程为，则直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 6. 已知实数满足，则的最大值是（ ） A. B. 4 C. D. 7 7. 已知直线与圆交于两点，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 8. 如图，在四棱柱中，底面是菱形，，，则点到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B 当时， C 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 已知事件A，B以及其对立事件，，满足，则（ ） A. 若A，B互斥，则 B. 若A，B互斥，则 C. 若A，B独立，则 D. 若A，B独立，则 11. 在棱长固定的正方体中，点E，F分别满足，，则（ ） A. 当时，三棱锥的体积为定值 B. 当时，存在使得平面 C. 当时，点A，B到平面的距离相等 D 当时，总有 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知单位向量，满足，则向量在向量上的投影向量的模为__________. 13. 若直线与直线之间的距离为，则实数的值为________； 14. 九宫格数独游戏是一种训练推理能力的数字谜题游戏.九宫格分为九个小宫格，某小九宫格如图所示，小明需要在9个小格子中填上1至9中不重复的整数，小明通过推理已经得到了4个小格子中的准确数字，这5个数字未知，且为奇数，则的概率为__________. 9 7 4 5 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中,的角平分线在直线上,,为垂足,且所在直线的方程为. （1）求点的坐标; （2）若点的坐标为,求边上高的长度. 16. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，，平面，为的中点. （1）证明:平面; （2）在①，②这两个条件中任一个，补充在下面的横线上，并作答.若________，求与平面所成的角. 注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分. 17. 某游戏中，玩家甲、乙独立挑战三个关卡，通关规则为：前两关都挑战成功或前两关恰有一关挑战成功且第三关挑战成功.已知甲每关挑战成功的概率为，乙前三关挑战成功的概率依次为，，.假设甲、乙两人每轮是否挑战成功相互独立. （1）求甲仅需挑战前两关就通关的概率； （2）求乙挑战全部三关且通关的概率； （3）求甲、乙恰有一人通关概率. 18. 已知圆C：，点P是直线l：上一动点，过点P作圆C的两条切线，切点分别为A，B． （1）若P的坐标为，求过点P的切线方程； （2）试问直线AB是否恒过定点，若是，求出这个定点，若否说明理由； （3）直线与圆C交于E，F两点，求的取值范围（O为坐标原点）. 19. 如图，四棱柱的底面是正方形，为的中点. （1）若平面平面，，，求二面角的正弦值； （2）设为线段的中点，. （i）证明：平面； （ii）设四棱柱的体积为，三棱锥的体积为，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $