精品解析：福建省龙岩市新罗区紫金山实验学校2024-2025学年上学期九年级暑假开学考数学卷　

2024-2025学年龙岩市新罗区教师进修学校附属学校 九年级（上）8月作业设计 （满分：150分时间：120分钟） 一、选择题．（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 1，2，3 B. 1，2，﹣3 C. 1，﹣2，3 D. ﹣1，﹣2，3 2. 下列方程是一元二次方程的是 （ ） A. B. C. D. 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 一元二次方程化成一般形式后，若，则，的值是（ ） A. B. C. D. 5. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程两边同时加上(　　) A. 16 B. ﹣16 C. 4 D. ﹣4 6. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 8. 某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛球队应有（　　） A. 7队 B. 6队 C. 5队 D. 4队 9. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 10. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A. 0 B. 7 C. 13 D. 6 二、填空题．（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若方程是一元二次方程，则m的值为 _____； 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点．以为斜边作，边上的中线的最小值是______． 13. 已知点都在函数图象上，则的大小关系为 _____________． 14. 已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 _____． 15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是_____． 16. 关于的一元二次方程的两个实数根为、，且有，则实数的取值范围为______． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 18. 已知二次函数的图像经过点. （1）求的值； （2）点在该函数的图像上，求的值. 19. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实根，求的取值范围． （2）若方程的一根为，求的值及另一根． 20. 已知二次函数 （1）将该二次函数化成的形式．写出其开口方向、对称轴、顶点坐标． （2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ 21. 如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）． （1）写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； （2）当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 22. 某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 23. -阅读下列例题：解方程 解：（1）当时，原方程化为，解得，（舍去）． （2）当时，原方程化为，解得（舍去）， ∴，是原方程根． 请参照例题解方程： （1） （2） 24. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 25. 如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求 的面积； （3）在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年龙岩市新罗区教师进修学校附属学校 九年级（上）8月作业设计 （满分：150分时间：120分钟） 一、选择题．（共10小题，每小题4分，共40分） 1. 方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是( ) A. 1，2，3 B. 1，2，﹣3 C. 1，﹣2，3 D. ﹣1，﹣2，3 【答案】B 【解析】 【分析】找出方程的二次项系数，一次项系数，以及常数项即可． 【详解】方程x2+2x﹣3＝0的二次项系数、一次项系数、常数项分别是1，2，﹣3， 故选B． 【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，其一般形式为ax2+bx+c＝0(其中a，b，c为常数，且a≠0)．解题关键在于找出系数及常熟项 2. 下列方程是一元二次方程的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的知识点是一元二次方程的定义，根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程，逐项分析是解决问题的关键． 【详解】解：A、不是一元二次方程，此选项错误； B、不是整式方程，此选项错误； C、不是一元二次方程，此选项错误； D、是一元二次方程，正确； 故答案为：D． 3. 抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标．熟练掌握的顶点坐标是解题的关键． 由顶点式可得顶点坐标，然后判断即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 故选：A． 4. 一元二次方程化成一般形式后，若，则，的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】要确定二次项系数和常数项，首先要把方程化成一般形式． 【详解】解：∵一元二次方程化成一般形式为， ∴二次项系数和常数项分别为，即． 故选：B． 【点睛】本题考查了一元二次方程一般形式．去括号的过程中要注意符号的变化，不要漏乘，移项时要注意符号的变化． 5. 用配方法解一元二次方程x2﹣8x=9时，应当在方程的两边同时加上(　　) A. 16 B. ﹣16 C. 4 D. ﹣4 【答案】A 【解析】 【详解】x2﹣8x=9配方，得x2﹣8x+42=9+42，即（x－4）2=25，方程左右两边同时加上16. 故选A. 点睛：二次项系数为1时，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方. 6. 把抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后，所得抛物线的解析式为（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了抛物线的平移，先写出平移前抛物线的顶点坐标，再根据平移的方向和距离写出平移后的抛物线的顶点坐标，即可得到平移后的抛物线的顶点坐标式解析式． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是， 把抛物线先向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度后， 新抛物线的顶点坐标是， 平移后的抛物线的解析式为． 故选：C． 7. 已知某二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求二次函数解析式．根据顶点坐标设二次函数顶点式，现再将或代入，即可求解． 【详解】解：由图知道，抛物线的顶点坐标是，且过点， 设二次函数，把代入得， 解得． 故二次函数的解析式为． 故选：A． 8. 某单位要组织一次篮球联赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排10场比赛，则参加比赛的球队应有（　　） A. 7队 B. 6队 C. 5队 D. 4队 【答案】C 【解析】 【详解】解：设邀请x个球队参加比赛， 依题意得1+2+3+…+x-1=10， 即， ∴x2-x-20=0， ∴x=5或x=-4（不合题意，舍去）． 故选C 9. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程二次项系数不为零，一元二次方程有实数根根的判别式大于等于零，建立不等式组求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解①得，， 解②得， ∴且． 故选：D． 【点睛】本题考查了根据一元二次方程的根确定字母系数的取值，熟练掌握一元二次方程的定义，一元二次方程的根与根的判别式的关系，解不等式组，是解题的关键． 10. 已知一元二次方程的两根分别为，则的值为（　　） A. 0 B. 7 C. 13 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由方程解的含义及一元二次方程根与系数的关系即可求得结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为， ∴，，， ∴，， ∴ ． 故选：A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概念及一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，涉及整体代入思想，关键是变形． 二、填空题．（共6小题，每小题4分，共24分） 11. 若方程是一元二次方程，则m的值为 _____； 【答案】-1 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义求解即可．只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）． 【详解】∵方程是一元二次方程， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：-1． 【点睛】此题考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义．一元二次方程：只含有一个未知数（一元），并且未知数项的最高次数是2（二次）的整式方程叫做一元二次方程．一元二次方程经过整理都可化成一般形式ax²+bx+c=0（a≠0）． 12. 如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点．以为斜边作，边上的中线的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，先由为中斜边边上的中线得到，再由抛物线得到抛物线的顶点坐标为，根据顶点为最低点可确定点位于顶点时，最短，即可求出的最小值，根据题意确定出点的位置是解题的关键． 【详解】解：∵为中斜边边上的中线， ∴， ∵， ∴抛物线的顶点坐标为， ∴点到轴的最小距离为， 即垂线段的最小值为， ∴中线的最小值为， 故答案为：． 13. 已知点都在函数的图象上，则的大小关系为 _____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次函数的解析式，得出图象的对称轴是轴，再根据二次函数的性质，得出图象开口向下，当时，随的增大而增大，再根据二次函数的对称性和增减性即可得到答案．本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的增减性是解本题的关键． 【详解】解：∵， ∴函数图象的对称轴是y轴，图象的开口向下， ∴当时，y随x的增大而增大， ∵点关于对称轴的对称点的坐标是，且， ∴， 故答案为：． 14. 已知函数，当时，y随x的增大而增大，则m的范围为 _____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，熟记二次函数的性质是解题的关键．根据题干条件结合二次函数的性质解题即可． 【详解】解：，当时，y随x的增大而增大， ， 故答案为：． 15. 一个等腰三角形的底边长是6，腰长是一元二次方程x2﹣7x+12=0的一个根，则此三角形的周长是_____． 【答案】14 【解析】 【分析】先求出方程的解，再根据三角形的三边关系定理判断能否组成三角形，再求出即可． 【详解】解：解方程x2-7x+12=0得：x=3或4， 当腰为3时，三角形的三边为3，3，6，3+3=6，此时不符合三角形三边关系定理，此时不行； 当腰为4时，三角形的三边为4，4，6，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长为4+4+6=14， 故答案为14． 【点睛】本题考查了解一元二次方程、等腰三角形的性质、三角形的三边关系定理等知识点，能求出符合的所有情况是解此题的关键． 16. 关于的一元二次方程的两个实数根为、，且有，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据方程有两个实数根可得，利用一元二次方程根与系数的关系“如果、是一元二次方程的两个实数根，那么，．”，求出和，结合，解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵有两个实数根， ∴，解得：， ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∵， 解得：， ∴实数的取值范围为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、根的判别式、解一元一次不等式等，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共86分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 计算： （1） （2） 【答案】（1）或 （2）． 【解析】 【分析】本题考查直接开方法，公式法解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）根据直接开方法解一元二次方程进行计算即可； （2）根据公式法解一元二次方程进行计算即可． 【小问1详解】 解： 或 或 或 【小问2详解】 ，， ∴ ∴． 18. 已知二次函数的图像经过点. （1）求的值； （2）点在该函数的图像上，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，求函数的值，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． （1）把点代入即可求出的值； （2）令，求出函数的值即为所求的值． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图像经过点， ∴， 解得； 【小问2详解】 解：二次函数解析式为， ∵点在这个图像上， ∴ 19. 关于的一元二次方程． （1）若方程有两个实根，求的取值范围． （2）若方程的一根为，求的值及另一根． 【答案】（1） （2）的值为，另一根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式的意义； （1）根据题意可得，即可求解； （2）设方程的另一根为，根据根与系数的关系得出，即可求解． 【小问1详解】 解： 方程有两个实根， 解得 的取值范围为 【小问2详解】 设方程的另一根为， 依题意得，解得 的值为，另一根为3． 20. 已知二次函数 （1）将该二次函数化成的形式．写出其开口方向、对称轴、顶点坐标． （2）自变量x在什么范围内时，y随x的增大而增大？ 【答案】（1），其开口向上，对称轴为；顶点坐标为 （2）当时，y随x的增大而增大 【解析】 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的顶点式是解题的关键． （1）利用配方法化成顶点式即可； （2）根据二次函数的性质即可得到答案． 【小问1详解】 解： ． ∴二次函数，其开口向上，对称轴为；顶点坐标为． 【小问2详解】 二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线， ∴当时，随的增大而增大． 21. 如图，学校打算用长为的篱笆围成一个长方形的生物园饲养小兔，生物园一面靠墙（篱笆只需围三面，为宽）． （1）写出长方形的面积y（单位： ）与宽x（单位：）之间的函数解析式； （2）当x为何值时，长方形的面积最大？最大面积为多少？ 【答案】（1） （2）当时，长方形的面积最大，最大值为32 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用： （1）先表示出的长，再根据长方形面积计算公式列出对应的关系式即可； （2）根据（1）所求关系式，利用二次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴当时，y最大，最大值为32， ∴当时，长方形的面积最大，最大值为32． 22. 某种商品的标价为200元/件，经过两次降价后的价格为162元/件，并且两次降价的百分率相同． （1）求该种商品每次降价的百分率； （2）若该种商品进价为156元/件，若以200元/件售出，平均每天能售出20件，另外每天需支付其他各种费用150元，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售出5件，如果每天盈利1450元，每件应降价多少元? 【答案】（1）10%， （2）4元． 【解析】 【分析】（1）设该种商品每次降价的百分率为x，根据该商品的原价及经过两次降价后的价格，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论； （2）每件商品的盈利×（原来的销售量＋增加的销售量）－150=1450，为了减少库存，计算得到的降价多的数量即可． 【小问1详解】 解：设该种商品每次降价的百分率为x， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）； 答：该种商品每次降价的百分率为10%． 【小问2详解】 解：设每件商品应降价x元，根据题意，得： ， 解方程得， ∵在降价幅度不超过10元的情况下， ∴不合题意舍去， 答：每件商品应降价4元． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，得到现在的销售量是解决解决本题的难点，根据每天的盈利得到相应的等量关系是解决本题的关键． 23. -阅读下列例题：解方程 解：（1）当时，原方程化为，解得，（舍去）． （2）当时，原方程化为，解得（舍去）， ∴，是原方程的根． 请参照例题解方程： （1） （2） 【答案】（1），是原方程的解 （2）或是原方程的解 【解析】 【分析】本题考查的是含绝对值符号的一元二次方程，掌握一元二次方程的解法、灵活运用分类讨论思想是解题的关键． （1）分、两种情况，把原方程变形，利用因式分解法解一元二次方程的一般步骤解出方程； （2）分、两种情况，把原方程变形，利用因式分解法解一元二次方程一般步骤解出方程． 【小问1详解】 解：当时，原方程可化为 解得，（舍去） 当时，原方程可化为 解得：，（舍去） ∴，是原方程的解． 【小问2详解】 解：当时，， 则． ∴原方程可化． 整理得． 解得（舍去），． 当时，， 则． ∴ 整理得 ，（舍去） ∴或是原方程的解 24. 关于x的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数．宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，希腊的巴特农神庙采用的就是黄金矩形的设计；我国著名数学家华罗庚的优选法中也应用到了黄金分割数． （1）求黄金分割数； （2）已知实数a，b满足：，且，求ab的值； （3）已知两个不相等的实数p，q满足：，求的值． 【答案】（1） （2）2 （3）0 【解析】 【分析】（1）依据题意，将代入然后解一元二次方程即可得解； （2）依据题意，将变形为，从而可以看作，是一元二次方程的两个根，进而可以得解； （3）依据题意，将已知两式相加减后得到，两个关系式，从而求得，进而可以得解． 【小问1详解】 依据题意， 将代入得， 解得， ∵黄金分割数大于0， ∴黄金分割数为． 【小问2详解】 ∵， ∴， 则． 又∵， ∴，是一元二次方程的两个根， 则， ∴． 【小问3详解】 ∵，； ∴； 即； ∴． 又∵； ∴； 即． ∵，为两个不相等的实数， ∴， 则， ∴． 又∵， ∴， 即． 【点睛】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握根与系数的关系，灵活运用所学知识解决问题． 25. 如图，二次函数 的图象与 x 轴交于、两点，与 y 轴交于点 C，D 为抛物线的顶点． （1）求抛物线的解析式； （2）求 的面积； （3）在抛物线对称轴上，是否存在一点P，使 P，B，C为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）3 （3）存在，符合条件的 P 点坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法、二次函数与面积的综合、二次函数与三角形的综合等知识点，掌握分类讨论和数形结合思想成为解题的关键． （1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得、，再运用待定系数法求得直线的解析式为；如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则, 则，最后根据三角形的面积公式即可解得； （3）如图：设点， 连接,根据两点间的距离公式可得、、，然后再分、、三种情况分别解得即可． 【小问1详解】 解∶ 由抛物线 经过、两点， 则，解得：， 所以抛物线的函数关系式是：． 【小问2详解】 解：∵， ∴， 当时，，即， 由待定系数法可得直线的解析式为． 如图：过D作x轴的垂线交于E， 垂足为F．则, ∴, ∴． 【小问3详解】 解：存． 如图：设点， 连接, ,,； ①若，则，即， 解得．即 ． ②若，则即， 解得：，即 ； ③若，则， 解得：，即． 综上， 符合条件的 P 点坐标为 ，、． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $