第十四章 全等三角形 专题训练 2025-2026学年 人教版（2024）八年级数学上册

第十四章 全等三角形 专题训练 专题1全等三角形的讨论（共4小题） 1．如果的三边长分别为3，5，7，的三边长分别为3，，，若这两个三角形全等，则　　 A．8 B．或6 C．10 D．或6 2．如图，，，点在线段上以的速度由点向点运动，同时，点在射线上以的速度运动，它们运动的时间为（当点运动结束时，点运动随之结束）．在射线上取点，在、运动到某处时，有△与△全等，则此时的长度为　　． A．1或 B．2或 C．2或 D．1或 3．如图，，垂足为，，，射线，垂足为，动点从点出发以的速度沿射线运动，点为射线上一动点，满足，当点运动 　　秒时，△与点、、为顶点的三角形全等． 4．如图1，在长方形中，，，点从点出发，以的速度沿向点运动，设点的运动时间为秒，且． （1）　　（用含的代数式表示）． （2）如图2，当点从点开始运动的同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，是否存在这样的值，使得以、、为顶点的三角形与以、、为顶点的三角形全等？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 专题2 一线三等角模型（共3小题） 5．如图，中，，直线经过点（点，都在直线的同侧），，，垂足分别为点，，且，，． （1）求证：；（2）求的面积． 6．如图，在中，，，于，于． （1）求证：．（2），，求的长度． 7．如图，等腰直角中，，，现将该三角形放置在平面直角坐标系中，点坐标为，点坐标为． （1）求点的坐标； （2）连接，若为坐标平面内异于点的点，且以、、为顶点的三角形与全等，请直接写出满足条件的点的坐标． 专题3 截长补短法构造全等（共3小题） 8．已知中，，，分别平分和，、交于点，试判断，，的数量关系，并说明理由． 9．如图，在等腰中，，，平分交于点，交的延长线于点．试说明：． 10．问题背景：“半角模型”问题．如图1，在四边形中，，，，点，分别是，上的点，且，连接，探究线段，，之间的数量关系． （1）探究发现：小明同学的方法是延长到点．使．连结，先证明，再证明，从而得出结论：　　； （2）拓展延伸：如图2，在四边形中，，，、分别是边，上的点，且，请问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）尝试应用：如图3，在四边形中，，，、分别是边，延长线上的点，且，请探究线段，，具有怎样的数量关系，并证明． 专题4 利用角平分线构造全等（共3小题） 11．如图，画，并画的平分线，将三角尺的直角顶点落在的任意一点上，使三角尺的两条直角边与的两边分别相交于点、，试猜想、的大小关系，并说明理由． 12．已知：如图，四边形中，，是的中点，平分，，求的度数． 13．如图，已知，、分别平分和，过点，求证：． 参考答案与试题解析 专题1全等三角形的讨论（共4小题） 1．【解答】解：两个三角形全等， ，或，， 解得：，或，， 则或6， 故选：． 2．【解答】解：由题意得： ， ， ， ， 分两种情况： ①若△△，则，，可得：，， 解得：，； ②若△△，则，，可得：，， 解得：，； 的长度为或， 故选：． 3．【解答】解：设点运动了秒时，则 ， ，， ， ， 当时，△△， 即， 解得； 当时，△△， 即， 解得； 综上所述，当点运动2或6秒时，△与点、、为顶点的三角形全等． 故答案为：2或6． 4．【解答】解：（1），则； 故答案为； （2）存在． 分两种情况讨论： ①当，时，． 因为，所以． 所以，即． 解得． 因为，，所以． ②当，时，． 因为， 所以，即． 解得． 因为，即，解得． 综上所述，当或2时，与全等． 专题2 一线三等角模型（共3小题） 5．【解答】（1）证明：，， ， 在和中， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 6．【解答】（1）证明：，， ， （同角的余角相等）， 在与中 ； （2）解：由（1）知，， 则，． ， ， 即的长度是． 7．【解答】解：（1）过点作轴于点， 点坐标为，点坐标为， ，． ， ， 轴， ， ， ， ， ，， ， 点的坐标为； （2）解：①作关于轴的对称图形得到△， △， 点的坐标为； ②点和点关于对称， 作关于轴的对称图形得到△， △， 点的坐标为； ③作△关于轴的对称图形得到△， △△， △， 点的坐标为， 综上所述点的坐标为或或． 专题3 截长补短法构造全等（共3小题） 8．【解答】解：结论：． 理由：在上取点使得， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ． 9．【解答】证明：延长和交于， ， ，， ， 在和中， ， ， ， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 10．【解答】解：（1）． 延长到点．使．连接，如图1， ，， ． ，． ． ． 又， ． ． ． ． 故答案为：； （2）（1）中的结论仍然成立．理由如下： 如图2中，延长至，使，连接． ，， ， 在与中， ， ． ，． ， ． ，即． 在与中， ， ． ，即， ； （3）结论：．理由如下： 如图3中，在上截取，使，连接． ，， ． 在与中， ， ． ，． ． ． ， ， ， ， ． 专题4 利用角平分线构造全等（共3小题） 11．【解答】解：， 理由是：过点作，，垂足是，， 则， 平分， ， ， ， ， ， 在和中 ， ． 12．【解答】解：如图，过点作于， ，平分， ， 是的中点， ， ， 又， 点在的平分线上， 平分， 又， ， ， ， 中，， ． 13．【解答】证明：在上取一点，使，连接． 、分别平分和， ，． ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在和中， ， ， ． ， ． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $