精品解析：2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷

2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 4．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念．检测4包薯片，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一副直角三角板如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某不等式组的解集在数轴上表示如图，从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 2025年，我国实名登记无人机总数突破万架，万用科学记数法表示为______． 12. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 13. 某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社团的人数的情况统计并作出如下统计图： 该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是______年，其最高占比为______%． 14. 已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 15. 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等），如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则的值为_____． 16. 如图，是正方形的对角线，点，分别是，边的中点，作点关于的对称点，连接，，，，交于点，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，为对角线的中点，过点O的直线分别交，于点E，．求证：． 19. 已知． （1）化简P； （2）若点在函数的图象上，求P的值． 20. 某校引入AI学情分析系统辅助数学教学．为评估效果，随机抽取名学生，统计使用系统后成绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下： 个人成绩提升分组（x/分） 频数 知识点掌握度评分（分） 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，成绩提升的中位数所在分组为______； （2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升分，请通过计算判断是否达标（求平均数取组中间值）； （3）AI系统提示：知识点掌握度分，但成绩提升分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体提出一条教学干预建议，并说明理由． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：和关于所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，过点B作交于点E，若线段和的长是方程的两个实数根，求的长． 22. 某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． （1）求无人机航线参数b和洋流边界参数k； （2）一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 23. 当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象．物理学中把入射角与折射角的正弦之比称为介质2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率．当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是固定的．如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B点光源发出的一束光线到达液面C点后，折射光线为，入射点为C点，为法线．测得，液体深度为，． （1）求空气相对该液体的相对折射率；（注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与液面垂直，结果保留根号） （2）另一束光线经该液体折射，折射光线为，入射点为E点，为法线，若折射角，求的长； （3）若，当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线．请利用三角函数的知识来解释这一现象． 24. 已知平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． （1）证明：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点E为x轴下方抛物线上的一点，且． ①若点E的纵坐标为，求a的值； ②作点E关于原点的对称点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q．求证：P，A，Q，B四点共圆． 25. 【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆，在地面（直线l）上的哪个点P能让杆看起来最长（也就是最大）．这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作过点A，B且与直线l相切于点C，当点P异于点C时，容易证明，所以当点P与点C重合时，最大，也就是说，当的外接圆与l相切时，最大． 【解决问题】 （1）请完成材料中的证明； （2）材料中的最大视角问题，设，点B到直线l的距离为b，当最大时，点P到所在直线的距离是多少？（用含a，b的代数式表示） （3）如图③，E是射线上的一点，，，C是的中点．把绕点C顺时针旋转得到，连接．求当最大时，的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $6学科网 命组卷网 2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷 注意事项： 1.本试卷共8页，25小题，满分120分.考试用时120分钟. 2.答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自 己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”. 3.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答案不能答在试卷上 4.非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上， 涉及作图的题目，用2B铅笔画图：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改 动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带.不按以 上要求作答的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有 一个是正确的.) 1.我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念.检测4包薯片，其中超过标准 质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是() 第1页/共35页 6学科网 命组卷网 +0.1g -0.3g c0.2g -0.4g A. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，然后比较大小即可. 详解1+0.l=0.1,0.3=0.3,H0.2=0.2,H0.4=04,而01<02<03<0,4， +0.lg ∴最接近标准的是 2.如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正 方体的个数，则该几何体的主视图为() 2 21 D 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可. 【详解】解：，共3列，从左到右各列最高为2,3,1， 主视图为B. 3.如图，一副直角三角板如图摆放，若∠a=5° B ,则 的度数是() X入 150 A C35 D450 【答案】C 【解析】 第2页/共35页 命学科网命组卷网 【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上， :∠a+∠B=90o ∠B=90°-a=90°-55°=35° 4.下列各式计算正确的是() A.9=3 B.V2+V3=V5 C.5a'b-4a'b=1 D.（-3ab)2=9ab 【答案】D 【解析】 【分析】根据立方根的定义，二次根式的加减运算，合并同类项法则，积的乘方法则逐项计算即可判断选 择。 【详解】·. 9开立方开不尽，：93， 故A选项不正确： V2和V5不是同类二次根式，不能合并，故B选项不正确： 5a3b-4a3b=a3b≠1 故C选项不正确： (-3ab}=9adb,故D选项正确 7 5将一次函数少=-2x- 2的图象向上平移个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则的值可 以为() A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解 析式，根据少=a+ 图象的不经过第三象限，得到《<0,6之0 ,进行求解即可. 第3页/共35页 6学科网命组卷网 【详解】解：将一次函数少2x 2的图象向上平移m个单位长度，得到少-2、7 、+m y=-2x 由题意知一次函数 2十m的图象不经过第三象限， 7 m ≥0 2 2 故的值可以为4，选项D符合条件. 6某不等式组的解集在数轴上表示如图，从2，- ,3,-3中任选一个数，是该不等式组的整数解的 概率为( -3-2-10 1 1 B.4 C.1 D.4 【答案】A 【解析】 【详解】解：·从-2，-1,3，-3中任选一个数，有4种等可能的结果，其中-2，-1是不等式组的整 数解，3，-3不是： ∴从-2，-1,3，一3中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为2， 7.为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线.优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能 板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同.设优化后B生产线每 小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是() 第4页/共35页 6学科网命组卷网 900600 900600 A.x x-30 B.x+30 x C.600(x-30)=900x x+30=x D.600900 【答案】B 【解析】 【分析】设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则优化后A生产线每小时组装(：+30)块，找到 “A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同”这一等量关系，分别表示 出两个时间即可列出方程. 900 【详解】解：优化后A生产线组装900块太阳能板所用时间为x+30, 600 优化后B生产线组装600块太阳能板所用时间为x, 900600 根据题意可列方程为：x+30x· 故选：B ABC △AB'C'B'C'⊥AC∠BAB'=43°，∠C 8.如图，将 绕点A顺时针旋转得到 ,若 ,则的度数为( 33° A. B.130 Q47 D.57o 【答案】C 【解析】 【分析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角：旋 转前后的图形全等. 第5页/共35页 学科网 命组卷网 【详解】解：由旋转的性质得∠CAC'=∠BAB'=43°， .B'C⊥AC, .∠C'=90°-∠CAC'=90°-43°=47°， .∠C=∠C=47° 9.如图，A,B是O0上的两点，C为劣弧AB的中点，∠ACB=120°，若0A=2,则四t边形0ACB 的面积为() B A.V3 B.2V5 c.3V3 D.4V5 【答案】B 【解析】 【分析】连接OC,AB交于点D,根据弦、弧、圆心角的关系得出△AOC和△BOC为等边三角形，进 OACB 而得出四边形 是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出 OC AB 的长，利用菱形的面积 公式即可求解， 【详解】解：如图，连接OC,AB交于点D, 第6页/共35页 6学科网组卷网 B C :C为劣弧AB的中点， .AC=BC, OA=OB, .OC垂直平分AB,AD=BD, :∠ACB=120°， .∠ACO=∠BCO=60°， ..OA=OC=OB. :.△AOC和△BOC为等边三角形， ,∠AOC=∠BOC=60°，OA=OB=BC=AC, OACB 四边形 是菱形， 0A=2, .0C=0A=2. .OD-0C-1 :AD=V0A-0D2=V22-P=N5 第7页/共35页 命学科网命组卷网 :4B=2AD=2V5 B.0c-x252-25. 1 :S边形0C= 2 3x+y-4=02x-y+z=0 10.已知非负实数x,y满足 和 则下列式子正确的是() A.x-2=4 B.0≤xs1 c5y-3z=8 D.2≥0 【答案】C 【解析】 3x+y-4=0,2x-y+z=0 【分析】根据题意将 和 变形即可求解， 3x+y-4=0 【详解】解：， :=4-3x ,x,y为非负实数， y=4-3x≥0，解得 3, 0sxs4 3 2x-y+z=0 已知 将y=4-3x代入，得2x-(4-3x)+z=0 化简，得z=4-5x. 逐一验证选项： 法顶A,x-2=4,把2=4-5x代入得x（4-5)=6x=4=4解得三门 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误： 第8页/共35页 6学科网 命组卷网 选项B,0≤x≤1， :0≤xs4 ’ ∴选项B错误； 选项C, 5y-3z=8 把’=4-3x,2=4-5代入左边. 得5(4-3x)-3(4-5x)=20-15x-12+15x=8 与右边相等，因此C正确： 选项D,z之0，当x=1时，z=4-5×1=-1<0,因此D错误. 第二部分非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分.） 11.2025年，我国实名登记无人机总数突破328万架，328万用科学记数法表示为 3.28×106 【答案】 【解析】 【分析】先将328万化为整数，再根据科学记数法的表示形式为ax10,其中1≤4<10，n为正整数. 【详解】解： 328=3280000=3.28×106 万 AE 4 AF I2.如图，点D,E,F分别在△ABC的三边上，若DE∥AC,DF∥AB,EB3,则FC的值为 第9页/共35页 6学科网命组卷网 E 3 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键， AE 4 【详解】：DEIIAC,EB3, AE CD 4 .EB BD 3, .DF∥AB. AF BD3 .:FC DC 4. 13.某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社 团的人数的情况统计并作出如下统计图： 参加社团活动总人数 参加科技社团人数 人数 人数 500 500 120 20 400 100 300 300 80 63 200200 60 100 40 20 30 100 20 OL 2022202320242025年份 0 2022202320242025年份 该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是_年，其最高占比为 % 【答案】 ①.2023 ②.30 【解析】 第10页/共35页 命学科网命组卷网 【分析】首先从两个条形统计图中，分别提取2022~2025年每一年对应的参加社团活动总人数和参加科技 当年科技社团人数 社团的人数.依据占比的计算公式。 占比= ×100% 当年参加社团总人数 ，逐一计算每年科技社团人 数的占比.对计算得到的四个年份的占比进行大小比较，确定占比最高的年份和对应的最高占比数值. 20 【详解】：2022年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为200> ×100%=10% 30 2023年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为100 100%=30% 63 ×100%=21% 2024年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为300 120 ×100%=24% 2025年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为500 .占比最高的年份是2023年，其最高占比为30%. 14.已知 P(,m）,(3,m）都在抛物线y=-br+l上，则b=一（用含a的代数式表示）· 【答案】4a 【解析】 【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式. 【详解】解：：点P和点Q的纵坐标都是m,且两点都在抛物线y=心-bx+1上， ∴.点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称。 -bb .抛物线的对称轴为直线2a2a, b1+3 =2 .2a2 .b=4a. 15.我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念.“幻圆”的各圆周上数 第11页/共35页 6学科网命组卷网 字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等)， 如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则a+b的值为一· a 6 (3) (←8 -4 b 【答案】-4 【解析】 【分析】根据“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同，列出方程求解即 可.本题考查了有理数的加法，读懂题意，能列出方程组即可 【详解】解：，·“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同， :a+(-6)+b+8=3+(-8)+7+(-4) ∴.a+b=4. 故答案为：一4. I6.如图，BD是正方形ABCD的对角线，点E,F分别是BC,CD边的中点，作点E关于CD的对 称点G,连接DE,AF,CG,DG,AF交BD于点P,延长AF交DG于点Q.则下列结论：① AF-DG @AF LDE:BG-2BP AP-DQ 其中正确的结论有一·（填写所有正确 结论的序号) 【答案】①②④ 第12页/供35页 6学科网列组卷网 【解析】 【分折】根据正方形的性质可证DF=CE,可以证明△MDF≌△DCE(SMS）,根据全等三角形的性质可 证AF=DE,根据对称的性质可证AF=DE=DG;根据△ADF≌△DCE可得∠AFD=∠DEC,从 而可证∠DHF=90°，可得AF⊥DE;根据正方形的性质可证△DPF△BPA,根据相似三角形的性质 可证 2BD BP 3 根据正方形的性质可以求出BD=√2AB,因为点E,G关于CD对称，可得E,C, G三点共线，根据点F是BC的中点，可以求出BG=9√2 -BP 8b:连接CP,可证△ADP≌aCDP(SAS), DO=PC AP=DQ 根据全等三角形的性质可知 ，根据对称性质可知 【详解】解：四边形ABCD是正方形， ∴.AD=CD=BC∠ADF=∠DCE=90° ，EF BC CD 点，分别是心 边的中点， ∴.DF=CE ..ADFSDCE(SAS) .AF=DE, .。EG CD 点， 关于 对称， ∴.DE=DG ∴.AF=DG 第13页/供35页 命学科网命组卷网 故①正确： 如下图所示，记AF交DE于点H, 由①知△ADF≌ADCE, :.∠AFD=∠DEC :∠CDE+∠DEC=180°-∠DCE=90° ∴.∠AFD+∠CDE=90° .∠DHF=90° .AF⊥DE, 故②正确； E G ABCD 四边形 是正方形， :DF I AB ∴.∠FDP=∠ABP,∠DFP=∠BAP, ∴ADPF∽△BPA. .DF DP 1 AB PB 2, :.BP=28D 3 :BD是正方形的对角线， :BD=24B 第14页/供35页 6学科网 组卷网 :BP-2xAB= 2 AB .EG、.CD 点，关于 对称， .∠DCE=∠DCG=90°CE=CG ..E C G 三点共线， “点E是BC 中点， ∴.BE=EC=CG ∴.BG -3BC-34B 2 .BP 42 …BG 9, BG-9BP 8 故③错误； 如下图所示，连接CP, D 四边形 ABCD 是正方形， .AD=CD∠ADP=∠CDP 又DP=DP, 第15页供35页 6学科网命组卷网 ∴.△ADP≌△CDP(SAS) .AP=CP∠DAP=∠DCP 由①知△ADF≌△DCE. ∴.∠DAF=∠CDE EG、CD 点，关于 对称， ∴.∠CDE=∠CDG ∴.∠CDG=∠DAF=∠DCP 又DF=CF,∠DFQ=∠CFP :aDFQ≌aCFP(ASA) ∴.Dg=PC .DO=AP ，故④正确： 综上所述，正确的结论序号为①②④. 三、解答题（本大题有9小题，共2分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤.） 17.解方程： 2(x+1)=5-3x 3 【答案】x= 5 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解法，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为1，进而求出方程的 解。 【详解】解：去括号，得2x+2=5-3x, 移项，得2x+3x=5-2, 第16页/供35页 6学科网 命组卷网 合并同类项，得5x=3, 3 系数化为1，得x=5· 18如图，在口ABCD中，O为对角线AC的中点，过点O的直线分别交AD,BC于点E,F.求证： AE=CF E B 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到AD∥BC,O为对角线AC的中点，进而证明 △AEO≌△CFO(AAS),AE=CF ,得到 【详解】证明：，四边形ABCD是平行四边形， .AD∥BC, ∴.∠DAO=∠BCO,∠AEO=∠CFO, ,O为对角线AC的中点， ..OA=OC, :在△AE0和△CF0中， ∠AEO=∠CFO ∠EAO=∠FCO OA=OC 第17页/共35页 6学科网命组卷网 △AEO≌△CFO(AAS) .AE=CF (1)化简P: (2)若点(：D)在函数y=x+3的图象上，求P的值. 1 【答案】(1)x-y (2) P=-1 3 【解析】 【分析】(1)根据分式运算，化简求解即可得出答案： (2)根据’=x+3可得y=3 ,然后代入化简后的式子即可求出P. 【小问1详解】 x =-y÷2-2y+y =x-y x(x-y)}2 x-y 【小问2详解】 :点(x)在函数y=x+3的图象上， 第18页/供35页 6学科网6组卷网 x-y=-3 P=1=11 x-y-33」 20.某校引入AI学情分析系统辅助数学教学.为评估效果，随机抽取20名学生，统计使用系统后成绩提 升及知识点掌握度评分，数据统计表如下： 个人成绩提升分组(x/分) 频数 知识点掌握度评分（分） 0<x≤5 3 88 5<x≤10 5 82 10<x≤15 m 75 15<x≤20 4 68 根据以上信息，解答下列问题： (1)m=一，成绩提升的中位数所在分组为一； (2)AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升≥10分，请通过计算判断是否达标（求平均数取组 中间值)； (3)AI系统提示：知识点掌握度≥80分，但成绩提升≤5分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群 体提出一条教学干预建议，并说明理由， 【答案】(1)8,10<x≤15： (2)达标；见解析 (3)建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、中位数的定义、加权平均数的计算以及基于数据的教学干预建议，熟练 运用统计量的计算方法并结合实际情境分析数据是解答本题的关键】 (1)利用频数之和等于总人数求出m的值，再根据中位数的定义确定中位数所在的分组： (2)利用加权平均数的计算公式（取每组的组中值计算）求出平均成绩提升值，与10分比较判断是否达 第19页/供35页 学科网组卷网 标； (3)结合“高原现象”的定义，分析对应群体的特点，提出合理的教学干预建议并说明理由. 【小问1详解】 解：一共有20名学生， .m=20-3-5-4=8 总人数为20，中位数是第10和第11个数据的平均值， 3+5=8 3+5+8=16 前两组的累计频数为 ,前三组的累计频数为 0<x≤15 成绩提升的中位数所在分组为 【小问2详解】 解：(3×2.5+5×7.5+8×12.5+4×17.5)÷20=10.75（分)>10分， 达标： 【小问3详解】 解：建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源.（答案不唯一，合理即可） 理由：该群体知识点掌握度已达88分（较高水平），说明基础知识扎实，但成绩提升仅0<x≤5分，表 明可能处于“高原期”一一基础题已熟练但缺乏突破瓶颈的动力或难度适配的练习.通过提供更高阶的思 维训练或变式问题，帮助其突破舒适区，实现成绩进一步提升 21.如图，己知△ABC. 第20页/共35页 学科网命组卷网 (I)尺规作图：△ABC和△ABD关于AB所在直线对称，请画出△ABD(保留作图痕迹，不用写作法)： (2)在(1)的条件下，过点B 作BE‖4C交AD于点五，若线段B5和DE的长是方程r-6x+5=0 的两个实数根，求AC的长. 【答案】(1)见解析(2)AC=6. 【解析】 【分析】(1)以点B为圆心，BC为半径作弧，再以点A为圆心，AC为半径作弧，两弧交于点D,连接 BD,AD 即可： (2)过点B BE1C交MD于点B,可得∠BBA=∠BMC,根据线段BE和DE的长是方程 x2-6x+5=0 的两个实数根，则 BE+DE=6 ,即可求解. 【小问1详解】 解：画出△ABD如解图所示： 【小问2详解】 解：如图，过点B BE‖AC交AD于点E, .∠EBA=∠BAC, :△ABC和△ABD关于AB所在直线对称， 第21页/供35页 学科网 组卷网 .∠BAE=∠BAC,AC=AD .∠EBA=∠BAE, .BE=AE, :线段B那和DB的长是方程？-6x+5=0的两个实数根， .'BE+DE=6 .AD=AE+DE BE+DE=6. ∴.AC=AD=6 22.某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示 的T面直狗坐标系。无人机生超抗航线是白线一2+b。两与一条洋流边界线为会6x>0) 交汇以采 集水样.无人机与洋流边界在交汇点A(3,2)相遇， 北 A 东 (1)求无人机航线参数b和洋流边界参数k: (2)一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的 坐标 1 【答案】(1) b=2,k=6 (2P(2,3) 【解析】 【分析1山)格432列分别代入-2X+b和与x≥0 求解即可； 第22页/供35页 命学科网命组卷网 (2)过点P,A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B,连接AP,则△APB为等腰直角三角形， 6 a, PB=AB a 则3-a-。2解方程即可。 a 【小问1详解】 解将4B2到分别你x-分+和为-草x>0 1 得2=)x3+6.2= 2 39 1 b= 解得2，k=6: 【小问2详解】 解：如图，过点P,A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B,连接AP,则∠PBA=90°， 珠北 B 东 ,一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行， .∠PAB=90°-45°=45°， ∴.△APB为等腰直角三角形， .PB=AB, (6 Pa,- 设”a, 则3-a=6-2 a :a-5a+6=0 解得4=2凸=3 （舍去)， 第23页/共35页 6学科网 6组卷网 ∴.a=2, :P(2,3) 23.当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象，物理学中把入射角日与折射角9的正弦之比称为介质 sin n= 2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率siO,.当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是 固定的.如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B点光源发出的一束光线到达液面C点后， 折射光线为CA,入射点为C点，MN为法线.测得BN=12mm,液体深度为l6mm,∠ACM=60°. NO (1)求空气相对该液体的相对折射率；（注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法 线与液面垂直，结果保留根号) (2)另一束光线BE经该液体折射，折射光线为 E D,入射点为E点， PO 为法线，若折射角 ∠DEP=45° CE 求的长 (3)若n<1,当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线.请利用三角函数 的知识来解释这一现象。 2W5 【答案】(1)5 (2)12-16v74 19 第24页/共35页 命学科网命组卷网 (3)见解析 【解析】 【分析】(l)根据勾股定理，先求出斜边BC长度，再求出入射角的正弦值sin∠BCN,折射角已知， 求出折射角的正弦值，最后结合“相对折射率”计算公式，得到结果； BO (2)利用(1)中求出的折射率，结合折射角，得出入射角的正弦值，即BE的比值，设未知数，利用勾 BO CE=NO=BN-BO .CE 股定理，求出之，根据 ,求出； (3)根据新射率的公式可得m风=2，当n<血(<1时，如A>1小而一个角的正弦值的取值范国。 -1≤sin0≤1 此时折射角正弦值不存在，没有折射角，也就没有折射光线. 【小问1详解】 解：在RtABCN中，∠BNC=90°， BC=√CW2+BN2=V16+122=20(mm), .sin∠BCw=BN_123 BC205, J 3 sin∠BCN 5 2W3 n= 相对折射率sin∠ACM sin60° 3 5, 2 2W3 即空气相对该液体的相对折射率为5； 【小问2详解】 2v5 解：由()可知，n= 5, 第25页/供35页 命学科网命组卷网 sin∠BEQ2√3 .sin∠DEP5, :sin∠BE0=2 2g3×sm45-2y5x2_6g 5x2=5=BE, 设B0=V6r,则B5=5, 在RtBE2中，BO+EQ2=BE2E0=CN=16 即(6x+162=(5x, 19欧5s16v0 6r+256=25,解得=16 19(舍去)， :B0=v6x=v6x16i9_1614 1919, :CE=0=BN-B0=12-16I4 19: 【小问3详解】 sine 解：由sinA可得sin8-sng n, 当n<sin日<l 时，则sing>1 而一个角的正弦不可能大于1， ,当入射角的正弦值大于相对折射率时，不存在折射角，也就不出现折射光线. 2礼已知半面直角坐热系0中，能物线的东达式为=m+bx-2Q>司引】 (1)证明：该抛物线与x轴一定有两个交点； (2)若该抛物线与x轴的两个交点为A,B(点A在点B的左边)，与y轴交于点C.点E为x轴下方抛物 线上的一点，且∠AEB=90° 第26页/供35页 命学科网命组卷网 ①若点E的纵坐标为-1，求4的值： ②作点E关于原点的对称点P,过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q.求证：P,A,Q,B四点共圆. 【答案】(1)见解析 (2)①a=1;②见解析 【解析】 1 a> 【分析】(1)计算b2-4ac=b2+8a,再结合2，b2≥0的条件，得出b2-4ac>0,即可证明该 抛物线与x轴一定有两个交点： (2)①先设出A、B两点的坐标，根据一元二次方程根与系数的关系写出方程r+r-2=0； 的两根之 和与两根之积，再设点E的坐标为)，分别表示出AE2、BE和AB2,由∠AEB=90°根据勾股定 理得到4B+BE=M公，辰开并整理等式，再结合点E在抛物线上的条件，将+-2=“代入整 理后的式子，化简得到+s=0 最后将点E的纵坐标3=-代入，即可求出“的值， 1 ②先由①得到的as2+S=0,舍去S=0的情况，得出点E的纵坐标为a,进而写出点E、点E关于原 点的对称点P以及过P作产挂重线与揽物线交点”的坐标，再设直线P巴与产销交于点M,写出M、 P 0 BM、PM的长度，将抛物线写成交点式，把x=-(代入求出OM的表达式，分别计算an∠PAM和 OM tan∠BQM ∠PAB=∠PQB 得出两者相等，进而推出 根据同弧所对圆周角相等的逆定理，即可证明 P、A、Q、B四点共圆. 【小问1详解】 证明：-4ac=B2-4z(-2)=B+8a 第27页/供35页 6学科网命组卷网 1 2,b2≥0， :b2+8a>0,即B2-4ac>0 ∴.该抛物线与x轴一定有两个交点； 【小问2详解】 O解：设(，0).B(名，0)(x<x),则和女是方程am2+bx-2=0的两个根， 5=-2 a, a, 设点E(,) AE2=(x-)2+s2=x-2+2+52 BE2=(x2-)}+32=-22+12+52 AB2=(x-x)2=x-2x6+x号， .∠AEB=90°， AE+BE2=AB .-2匹+1+2+-2，+1+32=-2x5+ 整理，得+-(+)+x=0 2+g2+1.b_2=0 aa, 整理，得m+w2+b1-2=00 B,)在抛物线y=m2+br-2上， 第28页/供35页 命学科网命组卷网 :.a心+1-2=5，将其代入0式，可得+s=0, 当S=-1时，代入可得a=1: ②证明：设点E,)A(,0）,B(x,0) 由(2)①可得a2+5=0 .S=0(舍去)或a, :》 r-4日e.ar-i-2). 如图，设直线P9与x轴交于点M,连接AP,EP,B吧，则M(-,0), BM AM=-(-=x+4,BM=s+4. Pw-日-日.ew-r-- :抛物线与x轴交点为1(x,0),B(x,0) :y=m2+bhx-2=a(x-x)(x-3) 当x=-4时，等式变为am-b1-2=a+x)t+x) 第29页/供35页 命学科网命组卷网 ..OM=at2-bt-2 a(+x)(t+x) 1 :tan∠PAM=PM_ 1 AM+t a(x+t)' tan∠BgM= BM x2+ 1 OM a(x+1)(x+1)a(x+t) ∠PAB=∠PQB ∴.P,A,Q,B四点共圆. 25.【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的 杆AB,在地面（直线I)上的哪个点P能让杆AB看起来最长（也就是∠APB最大）·这个最大视角问 ⊙0 题是数学史上100个著名的极值问题之一.利用圆的知识，其实这个问题并不难解决.如图②，作过 点A,B且与直线I相切于点C,当点P异于点C时，容易证明∠ACB>∠APB，,所以当点P与点C重合 时，∠APB最大，也就是说，当△PAB的外接圆与I相切时，∠APB最大. D 。O B 777777777777777777 7777 E 图① 图② 图③ 【解决问题】 (1)请完成材料中∠ACB>∠APB的证明； (2)材料中的最大视角问题，设AB=a,点B到直线I的距离为b,当∠APB最大时，点P到AB所在 直线的距离是多少？（用含a,b的代数式表示） 第30页/供35页 6学科网 组卷网 (3)如图O,E是射线AM上的一点，AB上AM,AB=2V5,C是AE的中点.起CB袋点C顺时针 旋转60°得到CD,连接DE.求当∠CDE最大时，AC的长. 【答案】(1)见解析 (2) Vab+b2 (3)2+2V2 【解析】 【分析】(1)设1P与O0 O交于点D,连接BD,利用三角形外角得到角度的关系，再结合圆周角定理即 可证明： 0A=0C=0+b (2)根据(1)中结论可知当点P与点C重合时，∠APB最大，再添加辅助线，得到 。 结合勾股定理求解即可； (3)先证明△ACF与△ECD全等，可得∠AFC=∠EDC,添加辅助线证明△BGF∽aBAC,得到边成比 例，再证明△AGH为等边三角形，利用边的关系求解即可. 【小问1详解】 .⊙0 证明： 与直线1相切于点C, ⊙0 点C是 与直线的唯一公共点， ∴当点P异于点C时，点P在圆外， 设1P与00 交于点D,连 BD,如图， 、.D 第31页/供35页 6学科网列组卷网 4B=4B .∠ACB=∠ADB」 .∠ADB=∠DBP+∠APB>∠APB, .∠ACB>∠APB: 【小问2详解】 解：由题意可知，当点P与点C重合时，∠APB最大 如图，设MB所在直线与1相交于点R,连接 OA,OB,OC ,过点O作 OE⊥AB 于点E,如图， A E D 则CF即为此时点P到AB所在直线的距离， 与直线1相切于点C, .OC⊥CF, :OE⊥AB,AB⊥1， ∴四边形OEFC为矩形， .OA=OB. :4B=E=)4B-月 2, OC-EF=BE+BF-4+b =2+6,OE=CF. 第32页/供35页 6学科网列组卷网 OA=OC=9+b 2 在R△OME :CF=OE=Vab+b2 即当∠APB最大时，点P到AB所在直线的距离是Vab+ 【小问3详解】 解：如图，延长DC到点F,使CF=DC,连接AF,BF,如图， D B M :AC=CE,∠ACF=∠ECD,CF=CD. 在△ACF与△ECD中， AC=CE ∠ACF=∠ECD CF=CD :.△ACF≌aECD(SMS) ∴.∠AFC=∠EDC, 由旋转性质可知，BC=CD,∠BCD=60°， .BC=CF,∠BCF=120°， .∠CFB=30°」 第33页/供35页 6学科网6组卷网 .∠CDE=∠AFC=∠AFB+30°. 当∠AFB最大时，∠CDE最大. 在AB左侧作△ABG,使得△ABGP△CBF,连接FC, BGA=∠CBA=∠CBF=30,BC-BA 则 BE BC, BG BF .∠GBF=∠ABC,BABC, .△BGF∽△BAC. GF BF .AC BC ,∠BGF=∠BAC=90°， ∴点F在过点G且与BG垂直的直线上运动， ∴当△BAF的外接圆与直线GF相切时，∠AFB最大， :延长BM,交GF于点1，连接9 OF,OA ，如图， B 设∠AFG=a, :△BAF的外接圆与直线GF相切， .∠0FG=90°， .∠0FA=90°-a, 第34页/供35页 6学科网命组卷网 OA=OF, .∠OAF=∠OFA=90°-a, :∠40F=180°-2(90°-a)=2a A∠MBF=)aOF=a ∠AFG=∠ABF」 又.'∠AHF=∠FHB, .△AHF∽△FHB. AH HF .FHHB,即HF2=AH·BH, :在△AGH中，∠GAH=180°-∠BAG=60°，∠AGH=90°-∠BGA=60°， .△AGH为等边三角形， :GH=AH=AG=AB=2√ :HF2=AH.BH=23×43=24 .HF=216 :.GF=GH+HF=2V3+2√6 AC=Gh √3=2+2√2 第35页/供35页