精品解析：2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷

2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 4．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念．检测4包薯片，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，一副直角三角板如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 6. 某不等式组的解集在数轴上表示如图，从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 7. 为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 2025年，我国实名登记无人机总数突破万架，万用科学记数法表示为______． 12. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 13. 某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社团的人数的情况统计并作出如下统计图： 该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是______年，其最高占比为______%． 14. 已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 15. 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等），如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则的值为_____． 16. 如图，是正方形的对角线，点，分别是，边的中点，作点关于的对称点，连接，，，，交于点，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 18. 如图，在中，为对角线的中点，过点O的直线分别交，于点E，．求证：． 19. 已知． （1）化简P； （2）若点在函数的图象上，求P的值． 20. 某校引入AI学情分析系统辅助数学教学．为评估效果，随机抽取名学生，统计使用系统后成绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下： 个人成绩提升分组（x/分） 频数 知识点掌握度评分（分） 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，成绩提升的中位数所在分组为______； （2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升分，请通过计算判断是否达标（求平均数取组中间值）； （3）AI系统提示：知识点掌握度分，但成绩提升分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体提出一条教学干预建议，并说明理由． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：和关于所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，过点B作交于点E，若线段和的长是方程的两个实数根，求的长． 22. 某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． （1）求无人机航线参数b和洋流边界参数k； （2）一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 23. 当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象．物理学中把入射角与折射角的正弦之比称为介质2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率．当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是固定的．如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B点光源发出的一束光线到达液面C点后，折射光线为，入射点为C点，为法线．测得，液体深度为，． （1）求空气相对该液体的相对折射率；（注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与液面垂直，结果保留根号） （2）另一束光线经该液体折射，折射光线为，入射点为E点，为法线，若折射角，求的长； （3）若，当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线．请利用三角函数的知识来解释这一现象． 24. 已知平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． （1）证明：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点E为x轴下方抛物线上的一点，且． ①若点E的纵坐标为，求a的值； ②作点E关于原点的对称点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q．求证：P，A，Q，B四点共圆． 25. 【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆，在地面（直线l）上的哪个点P能让杆看起来最长（也就是最大）．这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作过点A，B且与直线l相切于点C，当点P异于点C时，容易证明，所以当点P与点C重合时，最大，也就是说，当的外接圆与l相切时，最大． 【解决问题】 （1）请完成材料中的证明； （2）材料中的最大视角问题，设，点B到直线l的距离为b，当最大时，点P到所在直线的距离是多少？（用含a，b的代数式表示） （3）如图③，E是射线上的一点，，，C是的中点．把绕点C顺时针旋转得到，连接．求当最大时，的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广东广州市部分学校中考二模九年级数学试卷 注意事项： 1．本试卷共8页，25小题，满分120分．考试用时120分钟． 2．答题前，考生务必在答题卡第1面、第3面、第5面上用黑色字迹的圆珠笔或钢笔填写自己的考生号、姓名；将自己的条形码粘贴在答题卡的“条形码粘贴处”． 3．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试卷上． 4．非选择题答案必须用黑色字迹的圆珠笔或钢笔写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上，涉及作图的题目，用2B铅笔画图；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，改动后的答案也不能超出指定的区域；不准使用铅笔（作图除外）、涂改液和修正带．不按以上要求作答的答案无效． 5．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分选择题（共30分） 一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，满分30分，每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的．） 1. 我国古代数学名著《九章算术》在“方程”一章中首次提出负数的概念．检测4包薯片，其中超过标准质量的克数记为正数，不足标准质量的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正数和负数的实际意义求得各数的绝对值，然后比较大小即可． 【详解】∵，，，，而， ∴最接近标准的是． 2. 如图，是由若干个大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图，小正方形中的数字表示该位置上的小正方体的个数，则该几何体的主视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据俯视图中每列正方形的个数，再判断从正面看得到的图形即可． 【详解】解：∵共3列，从左到右各列最高为2，3，1， ∴主视图为B． 3. 如图，一副直角三角板如图摆放，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由图形可知，一个三角板的直角顶点落在另一个三角板的边上， ∴， ∴． 4. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据立方根的定义，二次根式的加减运算，合并同类项法则，积的乘方法则逐项计算即可判断选择. 【详解】∵开立方开不尽，∴，故A选项不正确； 和不是同类二次根式，不能合并，故B选项不正确； ，故C选项不正确； ，故D选项正确． 5. 将一次函数的图象向上平移m个单位长度，若平移后的直线不经过第三象限，则m的值可以为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象的不经过第三象限，得到，，进行求解即可． 【详解】解：将一次函数的图象向上平移m个单位长度，得到， 由题意知一次函数的图象不经过第三象限， ∴， ∴， 故m的值可以为4，选项D符合条件． 6. 某不等式组的解集在数轴上表示如图，从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：从，，3，中任选一个数，有4种等可能的结果，其中，是不等式组的整数解，3，不是； ∴从，，3，中任选一个数，是该不等式组的整数解的概率为． 7. 为实现“双碳”目标，某光伏企业优化生产线．优化后A生产线比B生产线每小时多组装30块太阳能板，且A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同．设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设优化后B生产线每小时组装x块太阳能板，则优化后A生产线每小时组装块，找到“A生产线组装900块太阳能板与B生产线组装600块太阳能板所用时间相同”这一等量关系，分别表示出两个时间即可列出方程． 【详解】解：优化后A生产线组装900块太阳能板所用时间为， 优化后B生产线组装600块太阳能板所用时间为， 根据题意可列方程为：． 故选：B． 8. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前后的图形全等． 【详解】解：由旋转的性质得， ∵， ∴， ∴． 9. 如图，，是上的两点，为劣弧的中点，，若，则四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接，交于点，根据弦、弧、圆心角的关系得出和为等边三角形，进而得出四边形是菱形，根据菱形的性质，结合勾股定理分别求出、的长，利用菱形的面积公式即可求解． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵为劣弧的中点， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∵， ∴， ∵， ∴和为等边三角形， ∴，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 10. 已知非负实数x，y满足和，则下列式子正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意将和变形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵x，y为非负实数， ∴，解得， ∴， 已知， 将代入，得， 化简，得． 逐一验证选项： 选项A，，把代入，得，解得， 并非对所有满足条件的x都成立，因此A错误； 选项B，， ∵， ∴选项B错误； 选项C，， 把，代入左边， 得 ， 与右边相等，因此C正确； 选项D，，当时， ，因此D错误． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题有6个小题，每小题3分，共18分．） 11. 2025年，我国实名登记无人机总数突破万架，万用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】先将328万化为整数，再根据科学记数法的表示形式为，其中，为正整数． 【详解】解： 万 ． 12. 如图，点D，E，F分别在的三边上，若，，，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键． 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 13. 某校为了解学生报名参加社团活动的情况，对2022~2025年学生参加社团活动的总人数及参加科技社团的人数的情况统计并作出如下统计图： 该校参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数中占比最高的年份是______年，其最高占比为______%． 【答案】 ①. 2023 ②. 30 【解析】 【分析】首先从两个条形统计图中，分别提取2022~2025年每一年对应的参加社团活动总人数和参加科技社团的人数．依据占比的计算公式：，逐一计算每年科技社团人数的占比．对计算得到的四个年份的占比进行大小比较，确定占比最高的年份和对应的最高占比数值． 【详解】∵2022年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为， 2023年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为， 2024年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为， 2025年参加科技社团的人数在该年参加社团活动总人数的占比为． ∴占比最高的年份是2023年，其最高占比为30%． 14. 已知点，都在抛物线上，则______（用含a的代数式表示）． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的坐标得出两点关于对称轴对称，然后根据对称轴的公式列出关系式． 【详解】解：∵点P和点Q的纵坐标都是m，且两点都在抛物线上， ∴点P和点Q关于该抛物线的对称轴对称． ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴． 15. 我国南宋数学家杨辉在《续古摘奇算法》中的攒九图中提出“幻圆”的概念．“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同（各圆周上数字之和与两条直径上的数字之和不相等），如图是一个关于有理数的三阶幻圆模型，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同，列出方程求解即可．本题考查了有理数的加法，读懂题意，能列出方程组即可． 【详解】解：∵“幻圆”的各圆周上数字之和相同，同一圆两条直径上的数字之和也相同， ∴， ∴， 故答案为：． 16. 如图，是正方形的对角线，点，分别是，边的中点，作点关于的对称点，连接，，，，交于点，延长交于点．则下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论有______．（填写所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】根据正方形的性质可证，可以证明，根据全等三角形的性质可证，根据对称的性质可证；根据可得，从而可证，可得；根据正方形的性质可证，根据相似三角形的性质可证，根据正方形的性质可以求出，因为点，关于对称，可得，，三点共线，根据点是的中点，可以求出；连接，可证，根据全等三角形的性质可知，根据对称性质可知． 【详解】解：四边形是正方形， ，， 点，分别是，边的中点， ， ， ， 点，关于对称， ， ， 故①正确； 如下图所示，记交于点H， 由①知， ， ， ， ， ， 故②正确； 四边形是正方形， ， ，， ， ， ， 是正方形的对角线， ， ， 点，关于对称， ，， ，，三点共线， 点是的中点， ， ， ， ， 故③错误； 如下图所示，连接， 四边形是正方形， ，， 又， ， ，， 由①知， ， 点，关于对称， ， ， 又，， ， ， ，故④正确； 综上所述，正确的结论序号为①②④． 三、解答题（本大题有9小题，共72分，解答要求写出文字说明，证明过程或计算步骤．） 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】根据一元一次方程的解法，先去括号，再移项、合并同类项，最后系数化为，进而求出方程的解． 【详解】解：去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为，得． 18. 如图，在中，为对角线的中点，过点O的直线分别交，于点E，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先根据平行四边形的性质得到，O为对角线的中点，进而证明，得到． 【详解】证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∵O为对角线的中点， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴． 19. 已知． （1）化简P； （2）若点在函数的图象上，求P的值． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据分式运算，化简求解即可得出答案； （2）根据可得，然后代入化简后的式子即可求出P． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ∵点在函数的图象上， ∴， ∴． 20. 某校引入AI学情分析系统辅助数学教学．为评估效果，随机抽取名学生，统计使用系统后成绩提升及知识点掌握度评分，数据统计表如下： 个人成绩提升分组（x/分） 频数 知识点掌握度评分（分） 根据以上信息，解答下列问题： （1）______，成绩提升的中位数所在分组为______； （2）AI系统评估“有效应用”的标准为平均成绩提升分，请通过计算判断是否达标（求平均数取组中间值）； （3）AI系统提示：知识点掌握度分，但成绩提升分的学生可能存在“高原现象”，请针对该群体提出一条教学干预建议，并说明理由． 【答案】（1），； （2）达标；见解析 （3）建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源；见解析 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表、中位数的定义、加权平均数的计算以及基于数据的教学干预建议，熟练运用统计量的计算方法并结合实际情境分析数据是解答本题的关键． （1）利用频数之和等于总人数求出的值，再根据中位数的定义确定中位数所在的分组； （2）利用加权平均数的计算公式（取每组的组中值计算）求出平均成绩提升值，与分比较判断是否达标； （3）结合“高原现象”的定义，分析对应群体的特点，提出合理的教学干预建议并说明理由． 【小问1详解】 解：一共有名学生， ， 总人数为，中位数是第和第个数据的平均值， 前两组的累计频数为，前三组的累计频数为， 成绩提升的中位数所在分组为； 【小问2详解】 解：（分）分， 达标； 【小问3详解】 解：建议为该群体提供进阶挑战性任务或拓展性学习资源．（答案不唯一，合理即可） 理由：该群体知识点掌握度已达分（较高水平），说明基础知识扎实，但成绩提升仅分，表明可能处于“高原期”——基础题已熟练但缺乏突破瓶颈的动力或难度适配的练习．通过提供更高阶的思维训练或变式问题，帮助其突破舒适区，实现成绩进一步提升． 21. 如图，已知． （1）尺规作图：和关于所在直线对称，请画出（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，过点B作交于点E，若线段和的长是方程的两个实数根，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）以点B为圆心，为半径作弧，再以点A为圆心，为半径作弧，两弧交于点D，连接即可； （2）过点B作交于点E，可得，根据线段和的长是方程的两个实数根，则，即可求解． 【小问1详解】 解：画出如解图所示； 【小问2详解】 解：如图，过点B作交于点E， ∵， ∵和关于所在直线对称， ∴，， ∴， ∴， ∵线段和的长是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴． 22. 某海洋保护区使用监测无人机巡查生态环境，以海岸线为x轴，垂直海岸线方向为y轴建立如图所示的平面直角坐标系，无人机主巡航航线是直线，需与一条洋流边界线交汇以采集水样．无人机与洋流边界在交汇点相遇． （1）求无人机航线参数b和洋流边界参数k； （2）一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行，到达洋流边界上的点P投放浮标，求点P的坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）将分别代入和求解即可； （2）过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则为等腰直角三角形，，设，则，解方程即可． 【小问1详解】 解：将分别代入和， 得，， 解得，； 【小问2详解】 解：如图，过点P，A分别作x轴，y轴的垂线，两垂线交于点B，连接，则， ∵一架无人机在A处采集水样后，转向沿西北方向航行， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴． 23. 当光从介质1射入介质2时，会发生折射现象．物理学中把入射角与折射角的正弦之比称为介质2相对介质1的“相对折射率”，即相对折射率．当外部环境不变时，两种介质的相对折射率是固定的．如图，在水平放置的容器中有某透明液体，容器底部B点光源发出的一束光线到达液面C点后，折射光线为，入射点为C点，为法线．测得，液体深度为，． （1）求空气相对该液体的相对折射率；（注：入射角，折射角指入射光线，折射光线与法线的夹角，法线与液面垂直，结果保留根号） （2）另一束光线经该液体折射，折射光线为，入射点为E点，为法线，若折射角，求的长； （3）若，当入射角增大到一定程度时，会出现全反射现象，即不再出现折射光线．请利用三角函数的知识来解释这一现象． 【答案】（1） （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理，先求出斜边长度，再求出入射角的正弦值，折射角已知，求出折射角的正弦值，最后结合“相对折射率”计算公式，得到结果； （2）利用（1）中求出的折射率，结合折射角，得出入射角的正弦值，即的比值，设未知数，利用勾股定理，求出，根据，求出； （3）根据折射率的公式可得，当时，，而一个角的正弦值的取值范围：，此时折射角正弦值不存在，没有折射角，也就没有折射光线． 【小问1详解】 解：在中，， （mm）， ， 相对折射率， 即空气相对该液体的相对折射率为； 【小问2详解】 解：由可知，， ， ∴， 设，则， 在中，，， 即， ，解得或（舍去）， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：由可得， 当时，则，而一个角的正弦不可能大于1， ∴当入射角的正弦值大于相对折射率n时，不存在折射角，也就不出现折射光线． 24. 已知平面直角坐标系中，抛物线的表达式为． （1）证明：该抛物线与x轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与x轴的两个交点为A，B（点A在点B的左边），与y轴交于点C．点E为x轴下方抛物线上的一点，且． ①若点E的纵坐标为，求a的值； ②作点E关于原点的对称点P，过点P作x轴的垂线，交抛物线于点Q．求证：P，A，Q，B四点共圆． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）计算，再结合，的条件，得出，即可证明该抛物线与轴一定有两个交点； （2）①先设出、两点的坐标，根据一元二次方程根与系数的关系写出方程的两根之和与两根之积，再设点的坐标为，分别表示出、和，由根据勾股定理得到，展开并整理等式，再结合点在抛物线上的条件，将代入整理后的式子，化简得到，最后将点的纵坐标代入，即可求出的值； ②先由①得到的，舍去的情况，得出点的纵坐标为，进而写出点、点关于原点的对称点以及过作轴垂线与抛物线交点的坐标，再设直线与轴交于点，写出、、的长度，将抛物线写成交点式，把代入求出的表达式，分别计算和，得出两者相等，进而推出，根据同弧所对圆周角相等的逆定理，即可证明P、A、Q、B四点共圆． 【小问1详解】 证明：， ∵，， ∴，即， ∴该抛物线与x轴一定有两个交点； 【小问2详解】 ①解：设，，则和是方程的两个根， ∴，， 设点， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 整理，得 ， ∴ ， 整理，得 ， ∵在抛物线上， ∴ ，将其代入①式，可得 ， 当时，代入可得； ②证明：设点，，， 由（2）①可得 ， ∴（舍去）或， ∴， ∴，． 如图，设直线与x轴交于点M，连接，则， ∴，， ，， ∵抛物线与x轴交点为，， ∴， 当时，等式变为， ∴， ∴， ， ∴， ∴P，A，Q，B四点共圆． 25. 【阅读材料】德国数学家约翰内斯•米勒在1471年提出了一个有趣的问题：如图①，一根竖直悬挂的杆，在地面（直线l）上的哪个点P能让杆看起来最长（也就是最大）．这个最大视角问题是数学史上100个著名的极值问题之一．利用圆的知识，其实这个问题并不难解决．如图②，作过点A，B且与直线l相切于点C，当点P异于点C时，容易证明，所以当点P与点C重合时，最大，也就是说，当的外接圆与l相切时，最大． 【解决问题】 （1）请完成材料中的证明； （2）材料中的最大视角问题，设，点B到直线l的距离为b，当最大时，点P到所在直线的距离是多少？（用含a，b的代数式表示） （3）如图③，E是射线上的一点，，，C是的中点．把绕点C顺时针旋转得到，连接．求当最大时，的长． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设与交于点D，连接，利用三角形外角得到角度的关系，再结合圆周角定理即可证明； （2）根据（1）中结论可知当点P与点C重合时，最大，再添加辅助线，得到，结合勾股定理求解即可； （3）先证明与全等，可得，添加辅助线证明，得到边成比例，再证明为等边三角形，利用边的关系求解即可． 【小问1详解】 证明：∵与直线l相切于点C， ∴点C是与直线l的唯一公共点， ∴当点P异于点C时，点P在圆外， 设与交于点D，连接，如图， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：由题意可知，当点P与点C重合时，最大． 如图，设所在直线与l相交于点F，连接，过点O作于点E，如图， 则即为此时点P到所在直线的距离， ∵与直线l相切于点C， ∴， ∵，， ∴四边形为矩形， ∵， ∴， ∴，， ∴， 在中，， ∴； 即当最大时，点P到所在直线的距离是； 【小问3详解】 解：如图，延长到点F，使，连接，，如图， ∵，，， 在与中， ， ∴， ∴， 由旋转性质可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∴当最大时，最大． 在左侧作，使得，连接， 则， ∴，， ∴， ∴，， ∴点F在过点G且与垂直的直线上运动， ∴当的外接圆与直线相切时，最大， ∵延长，交于点H，连接，如图， 设， ∵的外接圆与直线相切， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， 又∵， ∴， ∴，即， ∵在中，，， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $