黑龙江省哈尔滨第四十七中学校2025-2026学年九年级上学期月考数学试卷（10月份）（五四制）

2025-2026学年黑龙江省哈尔滨四十七中九年级（上）月考数学试卷（10月份）（五四学制） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.的绝对值是(    ) A. B. C. D. 6 2.下列运算中，一定正确的是(    ) A. B. C. D. 3.下列标志绿色食品、循环回收、节能、节水中，属于轴对称图形的是(    ) A. B. C. D. 4.在中，，，，则的值等于(    ) A. B. C. D. 5.如图，在综合实践活动中，小明在学校门口的点C处测得树的顶端A仰角为，同时测得米.则树的高单位：米为(    ) A. B. C. D. 6.如图，在由点组成的正方形中，每条边上的点数n与总点数S的关系如图所示，则当时，S的值为(    ) A. 32 B. 36 C. 38 D. 40 7.若是关于x的一元二次方程的一个解，则m的值是(    ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.如图，在中，，，，则(    ) A. 15 B. 20 C. 25 D. 45 9.如图，在平行四边形ABCD中，E是AD延长线上一点，BE交AC于点F，交DC于点G，则下列结论错误的是(    ) A. B. C. D. 10.甲、乙两人准备在一段长为1500m的笔直公路上进行跑步，甲、乙跑步的速度分别是、，起跑前乙在起点，甲在乙前面200m处，若同时起跑，则两人从起跑至其中一人先到终点的过程中，甲、乙两人之间的距离与时间的函数图象是(    ) A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。 11.纪念中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年大会的在线传播创下多项纪录，人数高达约682000000，数据682000000用科学记数法表示为      . 12.函数中，自变量x的取值范围是______. 13.计算：______. 14.多项式分解因式的结果是      . 15.不等式组的解集是      . 16.市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价后，由每盒125元降到每盒80元，则这种药品平均每次降价的百分率为      . 17.二进制和十进制都是现今应用最广泛的计数法之一，二进制主要用于数字电子电路、计算机系统等领域，将二进制数字对应数值表达为十进制就是二进制转十进制.在二进制数中，由右往左分别对应2的递增幂，最右边的数位对应，，，…以此类推，而后将每个数位上的数字与该数位对应的2的幂相乘，并对所有的数位得到的乘积求和，即为数值的十进制表示.例如，对于二进制数10101可转化如下：，因此二进制数10101转化为十进制数为那么二进制数101111转化为十进制的数为      . 18.在中，，分别以B和C为圆心，大于长度为半径画弧，交点分别是M、N，直线MN与AB，BC交于点D、E，，于F，则AF的长为      . 19.在矩形ABCD中，，，点E在矩形的边上，且，连接BE，CE，则的值为      . 20.如图，在中，，，D是BC上一点，连接AD，过B作交AD延长线于E，连接则下列结论：①；②；③；④若D是BC的中点，F是AB上一动点，连接DF，EF，，则的最小值是其中正确结论的序号是      . 三、计算题：本大题共1小题，共7分。 21.先化简，再求代数式的值，其中 四、解答题：本题共6小题，共53分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题7分 如图，网格中每个小正方形的边长为1，线段AB和线段EF的端点均在小正方形的顶点上. 在图中画出以AB为边的菱形ABCD，点C和点D均在小正方形的顶点上，且菱形ABCD的面积为5； 在图中画出以EF为边的锐角，点G在小正方形的顶点上，且； 连接DG，请直接写出线段DG的长. 23.本小题8分 某中学计划购买一些文具奖励给表现突出的学生，为此学校决定围绕“在笔袋、圆规、直尺、钢笔四种文具中，你最需要的文具是什么？必选且只选一种”的问题，在全校内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据以上信息回答下列问题： 在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ 请通过计算补全条形统计图； 若全校有1750名学生，请你估计全校学生中最需要钢笔的学生有多少名？ 24.本小题8分 已知，AC是矩形ABCD的对角线，过AC的中点O作，交BC、AD于点E、F，连接AE、 如图1，求证：四边形AECF是菱形； 如图2，若，直接写出所有长度等于的线段. 25.本小题10分 解锁新能源汽车，驶向未来的科技引擎.在科技飞速发展的今天，新能源汽车如雨后春笋般出现在大街小巷，其具有能耗成本低，驾驶体验舒适，环保性能良好等优点，深受广大消费者的喜爱.某品牌汽车销售公司8月共售出16台插混式汽车和10台纯电式汽车，销售额为392万元，9月共售出20台插混式汽车和15台纯电式汽车，销售额为540万元. 求插混式汽车和纯电式汽车每台的售价各是多少万元？ 受惠民政策影响，该汽车厂家为让利消费者，对所有车辆每台补贴2万元，销售公司在“十一”黄金周共售出两种新能源汽车25辆，销售额不少于330万元，求该公司在黄金周至少售出多少台纯电式汽车？ 26.本小题10分 角平分线定理指出：在三角形中，角平分线分对边所成的两条线段与夹这个角的两边对应成比例. 【探索发现】如图1，在中，AD平分交BC于D，求证： 解题思路：悦悦的想法是过C作交BA延长线于点E，将相关边转化解决了问题.请按此思路完成证明. 【类比迁移】桐桐根据上面的思路，在探究外角平分线时，也发现了相关线段长成比例. 如图2，在中，点D和点E分别是BC和BA延长线上的点，连接AD，若AD平分，求证：； 【综合运用】如图3，在中，BD平分交AC于点D，过D作交BC于点E，过D作于F，，BE：：5，，求AD的长. 27.本小题10分 如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于点A、B， 求直线AB的解析式； 如图1，点C为y的负半轴一点，点D在线段OA上，且，连接设点C的纵坐标为t，的面积为S，求S与t之间的函数关系式不要求写出自变量t的取值范围； 如图2，在的条件下，点E在y的正半轴上，连接AE，，连接DE交AB于点F，F为DE的中点，点P为第二象限内一点，点M为x轴负半轴上一点，连接PE，PM，，，，连接MF交PE于点N，求点N的坐标. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解： 故选： 根据绝对值的意义求解． 本题考查了绝对值的意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是 2.【答案】B  【解析】解：，故A不符合题意； B.，故B符合题意； C.，故C不符合题意； D.，故D不符合题意； 故选： 根据各自的运算法则一一计算并判断即可得出答案． 本题主要考查了求一个数的算术平方根，同底数的除法，合并同类项以及负整数指数幂，准确熟练地进行计算是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：A、是轴对称图形，故本选项正确； B、不是轴对称图形，故本选项错误； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 4.【答案】D  【解析】解：在中，，，，得， 故选： 根据余弦函数的定义，角的邻边比斜边，可得答案． 本题考查了锐角三角函数的定义，锐角的余弦等于角的邻边比斜边． 5.【答案】A  【解析】解：由题意得：， 在中，，米， 米， 树的高AB为米， 故选： 根据题意可得：，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 6.【答案】B  【解析】解：由所给图形可知， 当时，； 当时，； 当时，； …， 所以n与S的关系为 当时， 故选： 根据说给图形，依次求出图形中点的个数，发现规律即可解决问题． 本题主要考查了图形变化的规律，能根据所给图形发现每条边上的点数与总点数之间的关系是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：由条件可得， 解得： 故选： 把代入得到m的方程求解即可． 本题考查了一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 8.【答案】D  【解析】解：， ， ， ， ， ∽， ， ， ， 故选： 由，推导出，由，证明∽，则，所以，于是得到问题的答案． 此题重点考查相似三角形的判定与性质，证明∽是解题的关键． 9.【答案】D  【解析】解：四边形ABCD是平行四边形， ，， 是AD延长线上一点，BE交DC于点G， ， ∽， ， 故A不符合题意； ， ∽， ，， ， 故B不符合题意，C不符合题意； ， 如果成立，则， ， 经过CD的中点，显然题中并没有这一条件， 这一结论是错误的， 故D符合题意， 故选： 由平行四边形的性质得，，可证明∽，得，可判断A不符合题意；再证明∽，得，，则，可判断B不符合题意，C不符合题意；因为，所以如果成立，则，可推导出，则BE经过CD的中点，显然题中并没有这一条件，所以这一结论是错误的，可判断D符合题意，于是得到问题的答案． 此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明∽及∽是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：根据题意乙要追上甲，所需时间为， 全程乙跑完后计时结束， 则计时结束后甲乙的距离 故B选项函数图象符合． 故选： 甲在乙前面，而乙的速度大于甲，则此过程为乙先追上甲后再超过甲，全程时间以乙跑的时间计算，算出相遇时间判断图象即可． 本题主要考查了函数图象与实际结合的问题，求得相遇的时间、全程时间以及最后甲乙的距离是解题的关键． 11.【答案】  【解析】解： 故答案为： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 12.【答案】  【解析】解：由题意得，， 解得 故答案为： 根据分母不等于0列式计算即可得解． 本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： 当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； 当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； 当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 13.【答案】  【解析】解：原式 故答案为： 二次根式的加减运算，先化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并． 此题主要考查了实数的运算，同类二次根式是指几个二次根式化简成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式． 合并同类二次根式的实质是合并同类二次根式的系数，根指数与被开方数不变． 14.【答案】  【解析】解： ， 故答案为： 先提公因式，再利用平方差公式继续分解即可解答． 本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，准确熟练地进行计算是解题的关键． 15.【答案】  【解析】解：由不等式得，， 由不等式得，， 所以不等式组的解集为 故答案为： 根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解即可． 本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． 16.【答案】  【解析】解：设这种药品平均每次降价的百分率为x， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去， 这种药品平均每次降价的百分率为 故答案为： 设这种药品平均每次降价的百分率为x，利用这种药品经过两次降价后的价格=这种药品的原价平均每次降价的百分率，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 17.【答案】47  【解析】解： 故答案为： 根据题意可得算式，据此计算即可得到答案． 本题主要考查了有理数混合运算，熟练掌握二进制数化成十进制数是解题的关键． 18.【答案】  【解析】解：连接CD， 由作图可知：MN垂直平分BC， ， ，， 在中，， 则， ， ， 故答案为： 连接CD，由线段垂直平分线的性质得出，由勾股定理求出AC，BC，在根据等面积法即可得出答案． 本题主要考查了线段垂直平分线的作法以及性质，勾股定理，熟练掌握以上知识点是关键． 19.【答案】或3  【解析】解：四边形ABCD是矩形，且，， ，，， 点E在矩形的边上，且， 有以下两种情况： ①当点E在CD边上时，如图1所示： ， 在中，； ②当点E在AD边上时，过点C作于点H，如图2所示： ， ， 在中，由勾股定理得：， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 在和中，由勾股定理得：， ， 解得：， ， ， ； 综上所述：的值为或 故答案为：或 根据矩形性质得，，，再分为两种情况讨论如下：①当点E在CD边上时，则，在中，根据正切函数的定义得；②当点E在AD边上时，过点C作于点H，则，在中，由勾股定理得，设，则，在中，由勾股定理得，在和中，由勾股定理得，即，由此解得，进而得，再根据正切函数的定义得；综上所述即可得出答案． 此题主要考查了矩形和的性质，解直角三角形，理解矩形和的性质，熟练掌握锐角三角函数的定义，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，也是易错点． 20.【答案】①②③  【解析】解：，， ， 又， ， 故结论①正确，符合题意； ， ∽， ， ，， 故结论②正确，符合题意； ， ∽， ， 在中，，， ， ， ， 故结论③正确，符合题意； 如图，作E关于AB的对称点，连接，交AB于点O，连接，， 则，，当D、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长， 过作于H，则， 在中，，，， ， 为BC的中点， ， 在直角三角形ACH中，由勾股定理得：， ，即， ，， ， ， ， ，则， ， ，， ，， 则，， ，，则， 在中，由勾股定理得：， 故的最小值为， 故结论④错误，不符合题意； 综上所述，正确结论的序号为①②③， 故答案为：①②③． 根据垂直定义和三角形的内角和定理，结合等角的余角相等可判断①；证明∽得到，，可判断②；证明∽得到，结合等腰直角三角形的性质可得，进而可判断③；作E关于AB的对称点，连接，，则，当D、F、共线时取等号，此时最小，最小值为的长，连接交AB于点O，过作于H，则，利用等腰直角三角形的性质求得，然后利用勾股定理，结合已知求得，则，再利用相似三角形的性质求得，，，最后利用锐角三角函数分别求解，，，然后利用勾股定理求得即可判断④，进而可得答案． 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，轴对称-最短路线问题，熟练掌握相似三角形的性质和锐角三角函数是解答本题的关键． 21.【答案】解：当时， 所以 原式   【解析】根据分式的运算法则即可求出答案， 本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型． 22.【答案】      【解析】如图所示，菱形ABCD即为所求； 如图所示，即为所求； 由图可知 根据边长为，面积为5即可确定菱形的对角线长为和，利用网格作图即可； 以E为顶点找到两边长分别为3和4的顶点即可； 根据边长为1，利用勾股定理计算即可． 本题主要考查网格的性质和解直角三角形，以及勾股定理的应用．熟练掌握以上知识点是关键． 23.【答案】60；     175  【解析】在这次调查中，一共抽取学生名 最需要“圆规”的人数为名， 补全条形统计图如下： 名， 答：估计全校学生中最需要钢笔的学生有175名． 用最需要直尺的数量除以直尺所占的百分比，求解即可； 用总人数减去最需要笔袋、直尺、钢笔的人数求出最需要圆规的人数，并补全条形统计图； 用总人数乘以样本中最需要钢笔人数所占百分比即可． 本题考查了条形统计图，扇形统计图，用样本估计总体，弄清题意，从条形图和扇形图得到解题所需数据是解本题的关键． 24.【答案】四边形ABCD是矩形， ， ，， 点O为AC的中点， ， ≌， ， 四边形AECF是平行四边形． 又， 平行四边形AECF是菱形；   AB，CD，OA，OC  【解析】证明：四边形ABCD是矩形， ， ，， 点O为AC的中点， ， ≌， ， 四边形AECF是平行四边形， 又， 平行四边形AECF是菱形； 解：四边形ABCD是矩形， ，，， 由可知，四边形AECF是菱形， ，，， ， 即， ， ， ， ， ，， ， 又， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 长度等于的线段有AB，CD，OA， 证明≌，得，再证明四边形AECF是平行四边形，然后由菱形的判定即可得出结论； 先证明，进而根据直角三角形的性质可得，再运用勾股定理以及矩形的性质得，然后证明是等边三角形，得，进而运用直角三角形的性质、勾股定理、菱形的性质得，即可解决问题． 本题主要考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握矩形的性质和菱形的判定与性质是解题的关键． 25.【答案】插混式汽车每台售价12万元，纯电式汽车每台20万元；   10台  【解析】设插混式汽车每台售价x万元，纯电式汽车每台的售价y万元， 由题意得，， 解得 答：纯电式汽车每台20万元，插混式汽车每台售价12万元． 设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车， 由题意得，， ， 解得 答：该公司在黄金周至少售出10台纯电式汽车． 设插混式汽车每台售价x万元，纯电式汽车每台的售价y万元，根据题意列方程组求解即可； 设该公司在黄金周售出a台纯电式汽车，根据题意列不等式求解即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，解题的关键是理解题意，正确列方程． 26.【答案】过C作，交BA延长线于点E， ，，， 平分， ， ， ， ；   过C作交AB于点F， ，， 平分， ， ， ， 又， ， ；   AD的长为  【解析】证明：过C作，交BA延长线于点E， ，，， 平分， ， ， ， ； 证明：过C作交AB于点F， ，， 平分， ， ， ， 又， ， ； 解：平分交AC于点D， ， 设，则， ， ， 于F， ， ， ， ， ， ， 如图3，在BD延长线上取点G，则， ， ， ， 由知：BD：：CE， ：：5， ：：：5， ：：5， ， ， ， 设，则，， 作于点H，则H为BD的中点， ， 在直角三角形BEH中，由勾股定理得：， 又于F， ， ， ， ， 解得：负值已舍去， ，，， ：：5， ：：5， ， ，， 在直角三角形CDF中，由勾股定理得：， 在中，BD平分交AC于点D， 由所证结论可得BA：：CD， ， ， 的长为 过C作，交BA延长线于点E，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； 过C作交AB于点F，可得，由平行线的性质，结合角平分线的定义，等量代换，可得，根据等角对等边，可得，即可证得结论； 设，则，，由角平分线的定义，结合平行线的性质，可得，从而可得，由三角形的内角和定理，结合三角形外角的性质，可得，从而可得，在BD延长线上取点G，可得，由所证结论可得BD：：CE，从而可得BD：：5，设，则，，作于点H，则H为BD的中点，由勾股定理可得，由等面积法可得，结合已知，由勾股定理可得，从而可得，，，，根据勾股定理，可得，由所证结论可得BA：：CD，从而可得AD的长． 本题属于三角形综合题，主要考查平行线分线段对应成比例，勾股定理，角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，解答本题的关键是添加辅助线，构造直角三角形解决问题． 27.【答案】；  ；    【解析】直线与x轴，y轴分别交于点A、B，， ， 将点B的坐标代入得：， 直线AB的解析式为； 点C的纵坐标为t， ， ， ； 由知，， 连接DE交AB于点F，F为DE的中点， 点F的横坐标为， 又在：上， ， ， ， 直线与x轴交于点A， 当时，得：， 解得：， ， ， ， 如图2，在OD上取一点R，使得， ， 又， ， 设，则， 解得：， ， ，， ， 解得：， ，，， ，则， ， 在ME的垂直平分线上，设， 过D作， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得：，则， 直线PE的解析式为， 设MF的解析式为，将点M，点F的坐标分别代入得： ， 解得：， 直线MF的解析式为， 联立得：， 解得：， 点N的坐标为 由题可知代入求解析式即可； 根据题意，，，再利用三角形面积公式即可； 由题知，，根据F为DE的中点，可知，继而得到，再结合可解得，再根据题意得到点，联立直线方程得到点N的坐标． 本题属于一次函数综合题，主要考查待定系数法求一次函数解析式，三角形的面积，熟悉掌握一次函数的性质是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $