精品解析：2023年陕西省咸阳市兴平市初中学业水平考试模拟试题（三）数学试卷

兴平市2023年初中学业水平考试模拟试题（三） 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若气温升高时气温变化记作，则气温下降时气温变化记作（ ） A. B. C. D. 2. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，交直线于点，连接，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 4. 计算正确的结果是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，在中，于点，且，、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（　　） A B. C. D. 6. 若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 7. 如图，为的直径，弦于点E，于点F，，则为（ ） A B. C. D. 8. 已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 或4 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比大且比小的整数是______． 10. 实数、在数轴上对应点的位置如图所示，则______．(填“”“”或“”) 11. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大意为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为___平方步． 12. 已知反比例函数的图像与一次函数（、为常数，且）的图像交于，两点，则的值为______． 13. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点、分别为、的中点，连接，，若，，则的长为______． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 求不等式的正整数解． 16. 解方程：． 17. 如图，在中，，点是边上一点，利用尺规作图法在上求作一点，使得是等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． （1）___________°； （2）判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． 19. 某数学兴趣小组一起研究了一个有趣的数学问题：如果一个两位正整数的个位数为8，那么就称这个数为“吉祥数”．求证：对任意的“吉祥数”，一定是20的倍数． 20. 中国－中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，让千年古都再次聚焦世界的目光，也让每一个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球，将其搅匀．这些小球除汉字不同外其它都相同． （1）若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为__________； （2）从袋中任取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．（汉字不分先后顺序） 21. 清渭楼也被称为“咸阳楼”，位于咸阳市区的渭河北岸，曾经被誉为“西北第一楼”．在确保安全的前提下，数学兴趣小组想利用所学知识测量清滑楼的高，如图所示，他们先在地面A处测得楼顶E的仰角为，再在A处搭建21米的高台进行测量，在D处测得楼顶E的仰角为，其中，，请你根据以上信息帮助他们计算清渭楼的高．（参考数据： 22. 如图，已知一次函数的图像经过两点，与正比例函数的图像交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）在该一次函数图像上是否存在点P，使得如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 4月18日，2023年“中国航天日”新闻发布会在北京召开．为了了解本校学生对航天科技的关注程度，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛，竞赛后校团委从参赛的八年级和九年级学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计、整理如下： 【数据收集】 八年级：，，，，，，，，，． 九年级：，，，，，，，，，． 数据整理】 年级 八年级 3 4 3 九年级 1 2 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）求数据分析表中的值； （3）根据以上数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 24. 如图，四边形内接于，连接交于E，是的直径，且，过点C作的切线交的延长线于点F， （1）求证：； （2）若，求的长． 25. 如图，某隧道口的横截面是抛物线型，已知隧道底部宽为10，最高点离地面的距离为5．以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在的直线为y轴，1为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为3，求两排灯之间的水平距离． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知 ___________；（填“>”“<”或“=”） 问题探究】 （2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 问题解决】 （3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形的观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 兴平市2023年初中学业水平考试模拟试题（三） 数学试卷 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 若气温升高时气温变化记作，则气温下降时气温变化记作（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，解题关键是理解“正”和“负”的相对性，确定一对具有相反意义的量．在一对具有相反意义的量中，先规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：气温升高时气温变化记作，则气温下降时气温变化记作 ， 故选：C． 2. 下列图形中，为圆柱的侧面展开图的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，注意其按圆柱的侧面沿它的一条母线剪开，分析得到图形的性质，易得答案． 【详解】解：根据题意，把圆柱的侧面沿它的一条母线剪开展在一个平面上， 得到其侧面展开图是对边平行且相等的四边形； 又有母线垂直于上下底面，故可得是矩形． 故选：D． 【点睛】本题考查的是圆柱的展开图，解题的关键是需要对圆柱有充分的理解；难度不大． 3. 如图，，交直线于点，连接，，，则的度数为( ) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，继而得出，根据邻补角即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质熟练掌握是解题的关键． 4. 计算正确的结果是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先计算负指数幂，再计算积的乘方，幂的乘方即可． 【详解】 故选：B． 【点睛】本题主要考查了整式的运算：负指数幂、积的乘方、幂的乘方．，，，熟练掌握以上知识是解题的关键． 5. 如图，在中，于点，且，、分别为、的中点，连接、，若，则的长为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知是的中位线，则，接着利用线段的垂直平分线的性质证即可求解. 【详解】解：、分别为、中点， 是的中位线， , , ， 于点， , 在与中， , , , 故选：． 【点睛】本题考查了三角形的中位线的性质，线段垂直平分线的判定和性质，正确理解相关性质是解本题的关键. 6. 若直线经过第一、二、四象限，则直线不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据图象在坐标平面内的位置关系确定a，b的取值范围，从而求解． 【详解】已知直线经过第一、二、四象限，则得到a＜0，b＞0， 那么直线经过第一、三、四象限，即不经过第二象限． 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限；k＜0时，直线必经过二、四象限；b＞0时，直线与y轴正半轴相交；b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 7. 如图，为的直径，弦于点E，于点F，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据邻补角得出∠AOF=180°-65°=115°，利用四边形内角和得出∠DCB=65°，结合圆周角定理及邻补角进行求解即可． 【详解】解：∵∠BOF=65°， ∴∠AOF=180°-65°=115°， ∵CD⊥AB，OF⊥BC， ∴∠DCB=360°-90°-90°-115°=65°， ∴∠DOB=2×65°=130°， ∴∠AOD=180°-130°=50°， 故选：C． 【点睛】题目主要考查邻补角的计算及圆周角定理，四边形内角和等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 8. 已知抛物线（为常数，且），当时，随的增大而减小，当时，的最大值为4，则的值为（ ） A. B. C. 4 D. 或4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象及性质，根据题意得出抛物线的对称轴为直线，再根据当时，随的增大而减小，得，再根据抛物线的增减性得当时，，代入抛物线解析式求值即可． 【详解】解：， ∴二次函数的对称轴为直线， ∵当时，随的增大而减小， ∴， ∵当时，的最大值是，在对称轴的左边，此时随的增大而增大， ∴当时，， ∴， 解得或（舍去）， 即的值为． 故选：B． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分） 9. 比大且比小的整数是______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定在哪两个连续整数之间，继而得出答案． 【详解】解：， ， 即， 那么比大且比小的整数为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查实数的大小比较及无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解答本题的关键． 10. 实数、在数轴上对应点的位置如图所示，则______．(填“”“”或“”) 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用数轴比较大小，熟记数轴上右边的点表示的数总比左边的大是解题关键． 根据在数轴上，右边的点表示的数总比左边的大即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 《九章算术》是中国古代第一部数学专著，第一章“方田”中已讲述了平面图形面积的计算方法，比如扇形的计算，“今有宛田，下周三十步，径十六步，问为田几何？”大意为：现有一块扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步，则这块田的面积为___平方步． 【答案】120 【解析】 【分析】利用扇形面积公式即可计算的解． 【详解】解：扇形的田，弧长30步，其所在圆的直径是16步， 这块田的面积（平方步）， 故答案为：120． 【点睛】本题是扇形面积公式的应用，考查了推理能力，是基础题． 12. 已知反比例函数的图像与一次函数（、为常数，且）的图像交于，两点，则的值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程；把点的坐标分别代入反比例函数式中，解方程，进而求得的坐标，结合反比例函数的性质取舍的值，即可求解． 【详解】解：把点的坐标分别代入得 解得： 当时，点，，不能在反比例函数图像上，故舍去 当时，，，符合题意， 故答案为：． 13. 如图，在菱形中，对角线、交于点，点、分别为、的中点，连接，，若，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、三角形的中位线性质、勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解答的关键．由菱形的性质可得，，由及点是的中点可得，在中，利用勾股定理求得，根据、分别为、中点可知是的中位线，从而得到． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，， ∵，点为的中点， ∴， 在中，， 由勾股定理得， ∵点、分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共13小题，计81分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用特殊角的三角函数值，负整数指数幂，零指数幂的性质化简计算即可； 【详解】原式 ． 【点睛】此题考查的是实数的混合运算，掌握二次根式的乘法公式、45°的正弦值、负指数幂的性质和零指数幂的性质是解决此题的关键． 15. 求不等式的正整数解． 【答案】1，2 【解析】 【分析】先去分母，再去括号，然后移项合并同类项，即可求解． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 解得：， 所以该不等式的正整数解为1，2． 【点睛】本题主要考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式基本步骤是解题的关键． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程．熟练掌握解分式方程是解题的关键．先去分母将分式方程化成整式方程，求整式方程的解，最后进行检验即可． 【详解】解： 方程两边同乘以，得，即， 解得：， 经检验，是原方程的解． 17. 如图，在中，，点是边上一点，利用尺规作图法在上求作一点，使得是等腰三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了作等腰三角形，等腰三角形的性质与判定；根据题意作交于点，即可求解． 【详解】解：如图所示，点即为所求． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即是等腰三角形． 18. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，和的顶点都在边长为1的小正方形的格点上． （1）___________°； （2）判断与是否相似，若相似，请给出证明；若不相似，请说明理由． 【答案】（1）135 （2），证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用，网格以及勾股定理解决问题即可． （2）结论：．根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明即可． 【小问1详解】 解：观察图形可知，，． 故答案为135 【小问2详解】 解：结论：． 理由：，，，， ， ， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定，勾股定理等知识，解题的关键是网格与勾股定理的应用，相似三角形的判定定理． 19. 某数学兴趣小组一起研究了一个有趣的数学问题：如果一个两位正整数的个位数为8，那么就称这个数为“吉祥数”．求证：对任意的“吉祥数”，一定是20的倍数． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用；设“吉祥数”的十位数字为，则，进而计算，因式分解即可求解． 【详解】证明：设“吉祥数”的十位数字为，则， ， 对任意的“吉祥数”，一定是的倍数． 20. 中国－中亚峰会于5月18日至19日在陕西省西安市举行，让千年古都再次聚焦世界的目光，也让每一个西安人、陕西人感到骄傲．在一个不透明的口袋里，装有分别标着汉字“喜”、“迎”、“中”、“亚”、“峰”、“会”的六个小球，将其搅匀．这些小球除汉字不同外其它都相同． （1）若从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为__________； （2）从袋中任取一个小球，不放回，搅匀后再从剩下的五个小球中任取一个，请用画树状图或列表法，求取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率．（汉字不分先后顺序） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式直接解答即可； （2）先列出表格得出所有等可能的情况，再找出其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的情况，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 ∵共有6个小球，只有一个小球上的汉字是“亚”， ∴从袋中任取一个小球，则取到的小球上的汉字恰好是“亚”的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 列表如下： 第一次 第二次 喜 迎 中 亚 峰 会 喜 （迎，喜） （中，喜） （亚，喜） （峰，喜） （会，喜） 迎 （喜，迎） （中，迎） （亚，迎） （峰，迎） （会，迎） 中 （喜，中） （迎，中） （亚，中） （峰，中） （会．中） 亚 （喜，亚） （迎，亚） （中，亚） （峰，亚） （会，亚） 峰 （喜，峰） （迎，峰） （中，峰） （亚，峰） （会，峰） 会 （喜，会） （迎，会） （中，会） （亚，会） （峰，会） 由表知，所有等可能的情况有30种，其中取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的情况有6种， ∴取到的两个小球上的汉字恰能组成“喜迎”或“中亚”或“峰会”的概率为． 【点睛】本题考查了利用树状图或列表法求概率，属于常考题型，正确理解题意、掌握树状图或列表法求概率的方法是解题的关键． 21. 清渭楼也被称为“咸阳楼”，位于咸阳市区的渭河北岸，曾经被誉为“西北第一楼”．在确保安全的前提下，数学兴趣小组想利用所学知识测量清滑楼的高，如图所示，他们先在地面A处测得楼顶E的仰角为，再在A处搭建21米的高台进行测量，在D处测得楼顶E的仰角为，其中，，请你根据以上信息帮助他们计算清渭楼的高．（参考数据： 【答案】51米 【解析】 【分析】过D作于H，则四边形是矩形,继而得出，在和中，利用正切的定义公式推导出，，，继而得到，解出，从而得到. 【详解】解，如图，过D作于H，则四边形是矩形． ∴ 在中， 即， ∴ 中，， 即， ∴， ∴． ∴． ∴ 答：清渭楼的高为51米． 【点睛】本题考查解直角三角形—仰角问题，根据正切的公式和高度差列方程求出是解题的关键. 22. 如图，已知一次函数的图像经过两点，与正比例函数的图像交于点C． （1）求一次函数的表达式； （2）在该一次函数图像上是否存在点P，使得如果存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）直接运用待定系数法求解即可； （2）先求得点C的坐标，再求得的面积，进而得到，然后根据三角形的面积公式可得，最后分点P的横坐标为8和两种情况解答即可． 【小问1详解】 解：设一次函数的表达式为， ∵一次函数的图像过点， ∴解得， ∴一次函数表达式为：． 【小问2详解】 解：存在，理由如下： 联立，解得， ∴点， ∴， ∴ ∴，即， ∴． 当点P的横坐标为8时，； 当点P的横坐标为时，． 综上，在该一次函数图像上存在点P，使得点P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解答本题的关键． 23. 4月18日，2023年“中国航天日”新闻发布会在北京召开．为了了解本校学生对航天科技的关注程度，某校开展以“航天点亮梦想”为主题的知识竞赛，竞赛后校团委从参赛的八年级和九年级学生中各随机抽取10名学生的成绩（单位：分）进行统计、整理如下： 【数据收集】 八年级：，，，，，，，，，． 九年级：，，，，，，，，，． 【数据整理】 年级 八年级 3 4 3 九年级 1 2 【数据分析】 年级 平均数 中位数 众数 方差 八年级 九年级 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：______，______； （2）求数据分析表中的值； （3）根据以上数据，你认为在此次竞赛中哪个年级的成绩更好？请说明理由．（写出一条理由即可） 【答案】（1）； （2） （3）八年级学生知识竞赛成绩更好，见解析 【解析】 【分析】本题考查频数分布表、中位数、平均数、众数、方差，理解题意，会从所给数据中获取有用信息并解决问题是解答的关键． （1）根据表中数据和中位数的定义求解即可； （2）根据表中数据和平均数的定义，即可求解； （3）根据表格中的平均数、中位数、众数和方差数据可作出判断. 【小问1详解】 解：∵九年级竞赛成绩在段有7人， ∴； 九年级成绩从小到大排序后，位于第5和第6位的数据为82和82， ∴九年级的中位数； 故答案为：7，82； 【小问2详解】 （分）， 的值是84． 【小问3详解】 八年级学生知识竞赛成绩更好． 理由：八年级的平均数、中位数和众数均高于九年级，说明八年级学生的竞赛成绩更好． 24. 如图，四边形内接于，连接交于E，是的直径，且，过点C作的切线交的延长线于点F， （1）求证：； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据垂径定理可得垂直平分，再由切线性质可得，从而得到，即可； （2）证明，可得，从而得到，再由，即可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的直径，， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵是的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． 25. 如图，某隧道口的横截面是抛物线型，已知隧道底部宽为10，最高点离地面的距离为5．以的中点O为坐标原点，所在直线为x轴，所在的直线为y轴，1为数轴的单位长度，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度为3，求两排灯之间的水平距离． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意知,顶点，抛物线过，设抛物线的函数表达式为，把代入求解值，进而可得抛物线的函数表达式； （2）将代入得，，解得：，，根据两排灯之间的水平距离为，计算求解即可． 【小问1详解】 解：由题意知,顶点，抛物线过， 设抛物线的函数表达式为， 把代入得，，解得，， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：将代入得，， 解得：，， ∴， ∴两排灯之间的水平距离为． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数解析式．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 26. 【问题提出】 （1）如图1，在中，可知 ___________；（填“>”“<”或“=”） 【问题探究】 （2）如图2，在菱形中，，E是对角线上一点，延长至点F，使得，连接，．求证：； 【问题解决】 （3）如图3，某市一湿地公园内有一块形如正方形观光区，已知．为了进一步提升服务休闲功能，满足市民游园和健身需求，现要沿，分别修建步行景观道，其中，点E，F分别在边和对角线上，．为了节省成本，要使所修的步行景观道之和最短，即的值最小，试求的最小值．（路面宽度忽略不计） 【答案】（1）< （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形三边的关系直接求解即可； （2）作交于点G，证是等边三角形，继而证是等边三角形，得，从而得，继而证得，即可得出结论； （3）过点B作，且，连接，，证明，得，从而有，所以当点D，点E，点H三点共线时．有最小值，其值为的长，然后过点H作交的延长线于M，于N．求出，继而求得，，则可由求解． 【详解】解：（1）由题意，得． 故答案为：＜； （2）证明：如图2，作交于点G， 在菱形中，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ∴， ∵． ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中．， ∴， ∴． （3）如图3，过点B作，且，连接，， ∵， ∴， ∴， 又∵ ∴， ∴， ∴， ∴当点D，点E，点H三点共线时．有最小值，其值为的长， 过点H作交的延长线于M，于N． 在正方形中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在正方形中，， ∴， ∴四边形是矩形． ∴， ∴， ∴， 故最小值为． 【点睛】本题考查三角形三边的关系，菱形的性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，正方形的性质，勾股定理．本题属四边形综合探究题目，属中考压轴题，熟练掌握相关判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $