精品解析：山西省怀仁县河头中学2025-2026学年下学期八年级数学试卷

山西省2025—2026学年第二学期期末自测（四） 八年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用分式的基本性质，约去分子分母的公因式即可得到结果． 【详解】解：． 2. 在公共场所，各类消防标识发挥着重要作用．下列消防相关标志中属于中心对称图形的是（ ） A. 灭火器 B. 地上消防栓 C. 灭火设备 D. 消防手动启动器 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 【详解】解：A、不属于中心对称图形，不符合题意； B、不属于中心对称图形，不符合题意； C、不属于中心对称图形，不符合题意； D、属于中心对称图形，符合题意． 3. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解： A、，是两项，两项均为平方项，且符号相反，符合平方差公式因式分解的要求，可分解为，故A正确； B、中不是平方项，不符合要求，故B错误； C、是三项多项式，不符合平方差因式分解对项数的要求，故C错误； D、两项符号相同，不符合要求，故D错误． 4. 如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由平行线的性质可得，再由角平分线的定义可得，然后结合平行分线的性质即可得到的度数． 【详解】解：在中，，， ，则， 平分交 于点， ， 又， ， ． 5. 已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g，则物体 的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据天平的倾斜方向列出不等式组，求出x的取值范围，再在数轴上表示出来即可． 【详解】由左图可知，物体M的质量大于1个砝码的质量， ， 由右图可知，物体M的质量小于3个砝码的质量， ，即， ∴物体M的质量x的取值范围是， 在数轴上表示时，3和9处应为空心圆圈，且取两点之间的部分，观察选项，只有A选项符合．  6. 在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条高线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵要在内部区域放置一个音响，且要求音响到三个顶点的距离相等， ∴三条边的垂直平分线的交点处，故选项D符合题意． 7. 如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先证，从而得到，．再根据，证，从而得到，在中，运用勾股定理求出，即得到的长，最后根据，求得的长． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴，． ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 8. 如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】先利用平行四边形性质得到，，，再证明四边形是平行四边形得到，则，在中，利用含30度角的直角三角形的性质和勾股定理求得和即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，则， ∵， ∴， 在中，， ∴，则， 由勾股定理得， ， ∴（负值舍去），则． 9. 在物理学中，物体的密度等于物体的质量与它的体积之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当A物体的质量是100g，B物体的质量是200g时，B物体的体积比A物体的体积大．若根据题意列出方程．则方程中表示的意义是（ ） A. A物体的密度 B. B物体的密度 C. A物体的体积 D. B物体的体积 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程实际应用中未知数的意义，根据密度公式，结合已知条件分析方程各部分的含义，即可推得的意义。 【详解】解： 密度公式为，方程左边中，是A物体的质量，因此是A物体的密度， 又 题目给出B物体的体积比A物体体积大，方程中B物体体积表示为， 表示A物体的体积， 10. 如图，在中，，．将沿射线的方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．再将绕点逆时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由平移可得，，，可得，由旋转可得，可得是等边三角形，即可求得的长． 【详解】解：由平移可得，，，， ∴， 由旋转可得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的负整数解为__________． 【答案】 【解析】 【分析】求出一元一次不等式的解集，再求出整数解即可． 【详解】解：， ， 合并同类项得， 系数化为得， 不等式的负整数解为． 12. 要使分式有意义，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【详解】解：根据题意得， 解得． 13. 将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是_________°． 【答案】 【解析】 【分析】利用正多边形的外角和与内角和，先求出，，，即可求解． 【详解】解：∵正多边形的外角和为，是正六边形的外角，是正五边形的外角， ∴，， ∴ ∵是正五边形的内角， ∴， ∵是正六边形的内角， ∴， ∴． 14. 如图，中，点，分别是边， 的中点，的角平分线交于点，，，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理得到，，根据角平分线，平行线的性质可得，由即可求解． 本题主要考查三角形的中位线，平行线，角平分线的性质，掌握中位线定理是解题的关键． 【详解】解：∵点、分别为边、 的中点， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在中，，点 是的中点，点 在边 上，连接，．若，，，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点T，过点E作于点H．证明，求出，再求得可得结论． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点T，过点E作于点H． ∵E是的中点， ∴， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写由文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答 （1）因式分解：①；② （2）解不等式组，并把该不等式组的解集表示在数轴上． 【答案】（1）①；②； （2），数轴如图： 【解析】 【小问1详解】 解：① ； ② ； 【小问2详解】 解：， 解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为． 用数轴表示：略 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当时，原式． 18. 解分式方程． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解； 【小问2详解】 解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 19. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，延长至点，使得，连接．求证：． 【答案】证明： 点，分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， 【解析】 【分析】根据中位线的性质可得，，再证明四边形是平行四边形，即可解答． 【详解】略 20. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，在网格中建立平面直角坐标系，已知中两个顶点的坐标分别为，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标； （2）将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请在网格中画出，点，，的对应点分别是，，； （3）在（1）的条件下，请在图中画出，绕点顺时针旋转得到的，点，的对应点分别是，，并直接写出点的坐标． 【答案】（1）平面直角坐标系，如图： 点的坐标为； （2），如图： （3），如图： 点的坐标为． 【解析】 【分析】（1）根据点，作出平面直角坐标系即可． （2）根据平移的性质作图，根据点，，的位置写出其坐标即可． （2）根据旋转的性质作图，根据点的位置可得点的坐标． 【小问1详解】 解：平面直角坐标系，略 其中，点的坐标为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：图略 点的坐标为． 21. 阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 垂中平行四边形 【定义】如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，且这条垂线与平行四边形的一条边的交点恰好是该边的中点，那么这个平行四边形叫作“垂中平行四边形”，垂足叫作“垂中点”．例如，如图1，在 中，过点 作 ，垂足为 ， 交 边于点 ，且满足 （即 为 的中点），所以 为“垂中平行四边形”，点 为“垂中点”． 【性质探究】性质1：如图1， ． 性质2：如图1，在垂中平行四边形 中，点 是“垂中点”，可得 ．具体证明过程如下： 证明：如图2，取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ． ∵四边形 是平行四边形，∴ ， ， ， ． ∵点 ， 分别是 ， 的中点，∴ ， ．∴ ． 又∵ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ，即 ． ∵点 是垂中点， ∴ ，∴ ． ∵点 ， 分别是 ， 的中点，∴ ， （依据）． ∴四边形 是平行四边形． …… 任务： （1）笔记中的“依据”指的是________________． （2）请补全性质2的证明过程． （3）如图3，在 中， 于点 ，且 ，请画出以 为边的垂中平行四边形，点 是“垂中点”（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 【答案】（1）三角形中位线定理 （2）证明：如图2，取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ． ∵四边形 是平行四边形， ∴ ， ， ． ∵点 ， 分别是 ， 的中点， ∴ ， ． ∴ ． 又∵ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ，即 ． ∵点 是垂中点， ∴ ， ∴ ． ∵点 ， 分别是 ， 的中点， ∴ ， （三角形中位线定理）． ∴四边形 是平行四边形． ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴， ∵点 是 的中点， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线定理得到． （2）证明 ，得到 ，根据 ，得到，继而得到 即可证明． （3）作线段 的垂直平分线 ，交 于点F，交 于点G，得到 ， ，继而得到 ， ，作 ，交 于点D，连接 ，根据作图，得证 ，继而得到 ，从得到四边形 是平行四边形，延长 交 于点H，根据平行线分线段成比例定理，得到 ，求解即可． 【小问1详解】 解：根据三角形中位线定理，得 ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 22. 某水果店依托山西特色产品资源，准备购进一批质量相等的隰县玉露香梨和运城红富士苹果，其中购进玉露香梨花费600元，购进红富士苹果花费500元．已知每千克玉露香梨的进价比每千克红富士苹果的进价贵2元． （1）分别求每千克玉露香梨和红富士苹果的进价． （2）若该水果店决定购进这两种水果共120千克，且总费用不超过1300元，玉露香梨每千克售价15元，红富士苹果每千克售价12元，通过计算说明怎样进货能使利润最大，最大利润是多少． 【答案】（1）每千克玉露香梨进价为元，每千克红富士苹果进价为元 （2）购进玉露香梨千克，红富士苹果千克时利润最大，最大利润为元 计算：设购进玉露香梨千克，则购进红富士苹果千克，利润为元， ∴， ∵， ∴随的增大而增大， ∵总费用不超过1300元， ∴， 解得， ∴当时，取得最大值（元）． 答：购进玉露香梨千克，红富士苹果千克时利润最大，最大利润为元． 【解析】 【分析】（1）设每千克玉露香梨进价为元，则每千克红富士苹果进价为元，根据质量相等列出分式方程，求解并检验即可； （2）设购进玉露香梨千克，则购进红富士苹果千克，利润为元，得出，则随的增大而增大，由总费用的限制可得，因此当时，取得最大值元． 【小问1详解】 解：设每千克玉露香梨进价为元，则每千克红富士苹果进价为元， 根据题意，可列方程：， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）． 答：每千克玉露香梨进价为元，每千克红富士苹果进价为元． 【小问2详解】 略 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在等腰三角形中，，，将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，． 初步探究： （1）如图1，与交于点，当经过的中点时，连接，判断的形状，并说明理由． （2）如图2，在旋转过程中，与交于点 ，与交于点，试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 拓展研究： （3）在旋转过程中，直线与直线交于点 ，连接．若，当直线与垂直时，请直接写出的面积． 【答案】（1）是直角三角形．理由： 连接， ∵在等腰三角形中，，，是中点， ∴，． 由旋转得， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴． ∴是等腰三角形． （2），理由如下： 过点A作于点I， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由旋转得，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． （3）的面积为或 【解析】 【分析】（1）连接，首先利用等腰三角形三线合一性质，结合已知、H是中点，可得，．由旋转得，得是等边三角形，利用三线合一性质和线段垂直平分线性质即得结论． （2）过点A作于点I，根据已知条件得到，，旋转性质结合已知角的度数，构造，建立与的数量关系． （3）直线与垂直，设垂足为J，由（2）结论计算的长度，再根据的条件，结合已知角的度数，推导点G的位置；求出G到的距离，利用三角形面积公式计算的面积，注意当与线段相交时，当与的延长线相交时，分两种位置情况讨论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的面积为或．理由： ∵，设垂足为J， 则， ∵， ∴在和中，， ∴， ∵，且， ∴， 当与线段相交时，， ∴， 由（2）知，， ∴； 当与的延长线相交时，， ∴， ∴． 综上，的面积为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 山西省2025—2026学年第二学期期末自测（四） 八年级数学（北师版） 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 化简的结果为（ ） A. B. C. D. 2. 在公共场所，各类消防标识发挥着重要作用．下列消防相关标志中属于中心对称图形的是（ ） A. 灭火器 B. 地上消防栓 C. 灭火设备 D. 消防手动启动器 3. 下列各式中，能用平方差公式因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，， 平分交 于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知天平右盘中每个砝码的质量均为3g，则物体的质量（单位：g）的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 在布置校园艺术节的场地时，工作人员要在表演场地内部放置一个音响，为了让音响的声音均匀覆盖三个顶点处的表演区域，要求音响到三个顶点的距离相等，则这个音响应放在的（ ） A. 三条中线的交点处 B. 三条高线的交点处 C. 三条角平分线的交点处 D. 三条边的垂直平分线的交点处 7. 如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（ ） A. B. C. 3 D. 4 8. 如图，在中，，连接，过点作，交的延长线于点，过点作交的延长线于点．若，则的长为（ ） A. B. 1 C. D. 2 9. 在物理学中，物体的密度等于物体的质量与它的体积之比，即．已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当A物体的质量是100g，B物体的质量是200g时，B物体的体积比A物体的体积大．若根据题意列出方程．则方程中表示的意义是（ ） A. A物体的密度 B. B物体的密度 C. A物体的体积 D. B物体的体积 10. 如图，在中，，．将沿射线的方向平移，得到，点，，的对应点分别为，，．再将绕点逆时针旋转一定角度后，点的对应点恰好与点重合．若，则的长为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 2 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 不等式的负整数解为__________． 12. 要使分式有意义，则的取值范围为_________． 13. 将正六边形与正五边形按如图所示的方式摆放，公共顶点为，且正六边形的边与正五边形的边在同一条直线上，则的度数是_________°． 14. 如图，中，点，分别是边，的中点，的角平分线交于点，，，则的长为__________． 15. 如图，在中，，点 是的中点，点 在边 上，连接，．若，，，则的长为_________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写由文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 按要求解答 （1）因式分解：①；② （2）解不等式组，并把该不等式组的解集表示在数轴上． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 解分式方程． （1）； （2）． 19. 如图，在中，点，分别是，的中点，连接，，延长至点，使得，连接．求证：． 20. 如图是由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格，在网格中建立平面直角坐标系，已知中两个顶点的坐标分别为，． （1）请在图中画出平面直角坐标系，并直接写出点的坐标； （2）将先向上平移3个单位长度，再向右平移2个单位长度，得到，请在网格中画出，点，，的对应点分别是，，； （3）在（1）的条件下，请在图中画出，绕点顺时针旋转得到的，点，的对应点分别是，，并直接写出点的坐标． 21. 阅读与思考 下面是小陈同学的数学笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 垂中平行四边形 【定义】如果从一个平行四边形的一个顶点向不过该顶点的对角线作垂线，且这条垂线与平行四边形的一条边的交点恰好是该边的中点，那么这个平行四边形叫作“垂中平行四边形”，垂足叫作“垂中点”．例如，如图1，在 中，过点 作 ，垂足为 ， 交 边于点 ，且满足 （即 为 的中点），所以 为“垂中平行四边形”，点 为“垂中点”． 【性质探究】性质1：如图1， ． 性质2：如图1，在垂中平行四边形 中，点 是“垂中点”，可得 ．具体证明过程如下： 证明：如图2，取 的中点 ，连接 ，交 于点 ，取 的中点 ，连接 ． ∵四边形 是平行四边形，∴ ， ， ， ． ∵点 ， 分别是 ， 的中点，∴ ， ．∴ ． 又∵ ，即 ， ∴四边形 是平行四边形． ∴ ，即 ． ∵点 是垂中点， ∴ ，∴ ． ∵点 ， 分别是 ， 的中点，∴ ， （依据）． ∴四边形 是平行四边形． …… 任务： （1）笔记中的“依据”指的是________________． （2）请补全性质2的证明过程． （3）如图3，在 中， 于点 ，且 ，请画出以 为边的垂中平行四边形，点 是“垂中点”（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法，标明字母）． 22. 某水果店依托山西特色产品资源，准备购进一批质量相等的隰县玉露香梨和运城红富士苹果，其中购进玉露香梨花费600元，购进红富士苹果花费500元．已知每千克玉露香梨的进价比每千克红富士苹果的进价贵2元． （1）分别求每千克玉露香梨和红富士苹果的进价． （2）若该水果店决定购进这两种水果共120千克，且总费用不超过1300元，玉露香梨每千克售价15元，红富士苹果每千克售价12元，通过计算说明怎样进货能使利润最大，最大利润是多少． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在等腰三角形中，，，将绕点顺时针旋转，点，的对应点分别为，． 初步探究： （1）如图1，与交于点，当经过的中点时，连接，判断的形状，并说明理由． （2）如图2，在旋转过程中，与交于点，与交于点，试判断，与之间的数量关系，并说明理由． 拓展研究： （3）在旋转过程中，直线与直线交于点，连接．若，当直线与垂直时，请直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $