精品解析：北京景山学校远洋分校2024～2025学年下学期 八年级数学期末测试题

北京景山学校远洋分校2024－2025学年第二学期 八年级数学期末测试题 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，在中，． 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 抛一枚硬币正面向上 3. 如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 7. 如图，在中，弦，相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 8. 已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在______．（填内、外或上） 9. 若2cosα=1,则锐角α=_________度． 10. 如图，是直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件__________，使得直线是的切线． 11. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形． 12. 如图，是的内接四边形，，则的大小是________． 13. 图1为一个装有液体圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为_____________． 14. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为__________． 15. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 三、解答题（本题共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27、28题，每题7分） 16 计算：． 17. 已知：在中，，，，解这个直角三角形． 18. 如图，AB是⊙O直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长. 19. 如图，在中．，是的中线，如果．．求的值． 20. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 21. 中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 22. 如图，是的外接圆，的直径交于点E，点D为的中点，连接． （1）求证：； （2）过点C作，交的延长线于点F，若，，求的长． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线对称轴为直线，且． （1）当时，求t的值； （2）点在抛物线上，若，判断与的大小关系，并说明理由． 24. 等腰直角中，，，为线段上的点且．在边上截取，过点作交于，连接． （1）①依题意补全图形； ②直接写出与的数量关系：_____； （2）点是线段的中点，连接，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 25. 对于 和的弦，以为边的正方形为关于的“关联正方形”．在平面直角坐标系中，已知点，点，以点T为圆心，的长为半径作，点N为上的任意一点（不与点M重合）． （1）当时， ①在图中画出面积最大的关于的“关联正方形”，并直接写出此时N点的坐标； ②若直线上存在点在关于的“关联正方形”上，直接写出t的取值范围； （2）若点A在关于的“关联正方形”上，点与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京景山学校远洋分校2024－2025学年第二学期 八年级数学期末测试题 考生须知 1．本试卷共6页，共两部分，三道大题，28道小题，满分100分．考试时间120分钟． 2．在答题卡上准确填写学校名称、姓名和准考证号． 3．试题答案一律填涂或书写在答题卡上，选择题请用2B铅笔作答，其他试题请用黑色字迹签字笔作答，在试卷上作答无效． 4．考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本题共16分，每小题2分） 下面各题均有四个选项，符合题意的选项只有一个． 1. 如图，在中，． 若，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、求角的正弦值，先根据勾股定理计算，再根据正弦是对边与斜边的比，得出答案即可． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 故选：A． 2. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 任意画一个三角形，其内角和为 B. 打开电视机正在播放广告 C. 在一个没有红球的盒子里，摸到红球 D. 抛一枚硬币正面向上 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查事件的分类，根据一定条件下，一定会发生的事件是必然事件，进行判断即可． 【详解】解：A、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，符合题意； B、打开电视机正在播放广告，是随机事件，不符合题意； C、在一个没有红球的盒子里，摸到红球，是不可能事件，不符合题意； D、抛一枚硬币正面向上，是随机事件，不符合题意； 故选A． 3. 如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比．根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理可得，又因为，可知，可得坡顶到水平地面的距离为． 【详解】解：斜坡的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 解得：， 坡顶到水平地面的距离为． 故选A 4. 如图，是的直径，是延长线上一点，与相切于点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是圆周角定理，切线的性质，直角三角形两锐角互余，连接，求出，再根据圆周角定理即可得答案． 【详解】解：如图，连接， ∵与相切于点．， ∴，， ∴， 故选C． 5. 一次掷两枚质地均匀的硬币，出现两枚硬币都正面朝上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先列举出同时掷两枚质地均匀的硬币一次所有四种等可能的结果，然后根据概率的概念即可得到两枚硬币都是正面朝上的概率． 【详解】同时掷两枚质地均匀的硬币一次，共有正正、反反、正反、反正四种等可能的结果，两枚硬币都是正面朝上的占一种，所以两枚硬币都是正面朝上的概率=1÷4=． 故选：D． 考点：概率的计算． 【点睛】本题考查了用列表法与树状图法求概率的方法：先利用列表法与树状图法表示所有等可能的结果n，然后找出某事件出现的结果数m，最后计算P． 6. 已知圆的半径为9，那么的圆心角所对的弧长是（ ） A. 4 B. 8 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查弧长的计算，掌握弧长计算公式是正确解决问题的关键． 根据弧长公式计算即可． 【详解】解∶ ， 故选∶D． 7. 如图，在中，弦，相交于点P，，，那么度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理求出的度数，再由三角形外角的性质求出的度数即可． 【详解】解：， ， ， ． 故选：D． 第二部分 非选择题 二、填空题（本题共16分，每小题2分） 8. 已知的直径为，如果在所在平面内有一点P且，那么点P在______．（填内、外或上） 【答案】外 【解析】 【分析】本题主要考查点和圆的位置关系，熟练掌握点和圆的位置关系是解题的关键．根据直径求出半径，即可判断出点和圆的位置关系． 【详解】解：的直径为， 的半径为， ， 故点P在外． 故答案为：外． 9. 若2cosα=1,则锐角α=_________度． 【答案】60 【解析】 【详解】试题分析：α是锐角，且2cosα=1， ∴cosα=， ∴α=60°． 考点：特殊角的三角函数值 10. 如图，是的直径，点C在上，连接，，延长至T，连接．在不添加任何辅助线的情况下，添加一个条件__________，使得直线是的切线． 【答案】 (答案不唯一) 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的定义，要使得直线是的切线，只要使即可． 【详解】解：∵是⊙O的直径， ∴， ∴． 当时， 则，即， 又是的半径， ∴直线是的切线， 故答案为： (答案不唯一)． 11. 若一个正多边形的边长等于它的外接圆的半径，则这个正多边形是正______边形． 【答案】六 【解析】 【分析】由半径与边长相等，易判断等边三角形，然后根据角度求出正多边形的边数． 【详解】解：当一个正多边形的边长与它的外接圆的半径相等时，画图如下： ∵半径与边长相等， ∴这个三角形是等边三角形， ∴正多边形的边数：360°÷60°＝6， ∴这个正多边形是正六边形 故答案为：六． 【点睛】本题考查了正多边形和圆，等边三角形的性质和判定，结合题意画出合适的图形是解题的关键． 12. 如图，是内接四边形，，则的大小是________． 【答案】##20度 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理的应用，等腰三角形的性质．首先根据圆内接四边形的对角互补，得．再根据圆周角定理，得，由，推出计算即可解答． 【详解】解：∵是的内接四边形，， ∴， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 13. 图1为一个装有液体圆底烧瓶(厚度忽略不计)，侧面示意图如图2，其液体水平宽度为，竖直高度为，则的半径为_____________． 【答案】10 【解析】 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理． 由垂径定理得到，设的半径为，则，，在中，根据勾股定理有，代入即可解答． 【详解】解：连接， ∵， ∴， 设的半径为，则， ∴， ∵在中，， 即， 解得：， ∴的半径为． 故答案为：10． 14. 如图，是的内切圆，切点分别为D，E，F．若，，则的周长为__________． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了切线长定理，掌握切线长定理是解题的关键．由切线长定理得，，，即可求解． 【详解】解：是的内切圆，切点分别为，，， ∴，，， ∴ ． 故答案为：32． 15. 甲、乙两位同学合作为班级联欢会制作、、、四个游戏道具，每个道具的制作都需要拼装和上色两道工序，先由甲同学进行拼装，拼装完成后再由乙同学上色．两位同学完成每个道具各自的工序需要的时间（单位：分钟）如下表所示： A B C D 甲 9 5 6 8 乙 7 7 9 3 （1）如果按照的顺序制作，两位同学合作完成这四个道具的总时长最少为______分钟； （2）两位同学想用最短的时间完成这四个道具的制作，他们制作的顺序应该是______． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，熟悉理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的组装顺序运算时间即可； （2）让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，排出顺序即可． 【小问1详解】 解：甲先拼接用9分钟，然后乙再给上色7分钟，这7分钟甲可以给B拼接，（分），还剩下的时间给拼接2分钟，这时还需要（分），乙开始给上色又花了7分钟，这7分钟甲给拼接，还留有（分），这3分钟甲给拼接，在乙完成的上色时甲给口拼接还需要（分），此时乙给上色9分钟，甲就能把拼接完了，最后乙再给上色； 综上所述，总时长为（分）； 故答案为：． 【小问2详解】 解：要用最短的时间完成这四个道具的制作，开始的时候要让甲给道具拼接的时间最短，先拼接时间短的道具，且在乙上色时能够拼接好下一个道具，所以制作的顺序应该是：； 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17－22题，每题5分，第23－26题，每题6分，第27、28题，每题7分） 16. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求特殊角三角函数值，二次根式的加减计算，零指数幂，先计算特殊角三角函数值，再计算零指数幂和化简二次根式，最后计算加减法即可． 【详解】解： ． 17. 已知：在中，，，，解这个直角三角形． 【答案】，， 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的定义，先求出，得出，再求出，根据直角三角形的性质得出． 【详解】解：在中，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴，，． 18. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，∠A=15°，AB=4．求弦CD的长. 【答案】2 【解析】 【分析】根据∠A＝15°，求出∠COB的度数，再求出CE的长．根据垂径定理即可求出CD的长． 【详解】解：∵∠A=15°， ∴∠COB=30°． ∵AB=4， ∴OC=2． ∵弦CD⊥AB于E， ∴CE=CD． 在Rt△OCE中，∠CEO=90°，∠COB=30°，OC=2， ∴CE=1， ∴CD=2． 【点睛】本题考查了三角形外角的性质，含30°角直角三角形的性质，垂径定理. 19. 如图，在中．，是的中线，如果．．求的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线的性质，求角的余弦值，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握余弦的定义是解题关键．由直角三角形斜边中线的性质得出，，从而得出，由勾股定理可求出，即得出． 【详解】解：∵，是的中线， ∴，． 中，，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 20. 2024年5月21日，北京市启动了中小学生“健康一起来”阳光体育运动计划，助力学生健康成长．某中学初三年级共有12个班级，学校统计了这些班级的学生近一个月的跑步量达标率，具体数据如下： 跑步量达标率 班数 7 （1）从这12个班级中任意选取1个班级． ①事件“该班跑步量达标率为”是______事件（填“必然”“不可能”或“随机”）； ②若事件“该班跑步量达标率满足”的概率为，则______，______； （2）某班选出了2名男生和2名女生作为跑步标兵，老师计划从这四位同学中随机抽取两位进行经验分享．请用列表法或画树状图法求“恰好抽到一位男生和一位女生”的概率． 【答案】（1）①随机；②4，1 （2） 【解析】 【分析】此题考查的是用列表法或树状图法求概率． （1）①根据必然事件、随机事件和不可能事件的概念解答即可； ②概率公式逆运用可得m的值，再由可得n的值； （2）画树状图展示所有12种等可能的结果，再找出一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式计算． 【小问1详解】 解：①事件“该班跑步量达标率为”是随机事件； ②∵事件“该班跑步量达标率满足”的概率为， ∴， ∴， 故答案为：①随机；②4，1； 小问2详解】 解：画树状图为： 共有12种等可能的结果，其中一名男生和一名女生的结果数为8， 所以恰好抽取到一名男生和一名女生的概率． 21. 中央电视塔是一座现代化的标志性建筑，其外观优美，造型独特，在观光塔上眺望，北京风景尽收眼底．一次数学活动课上，某校老师带领学生去测量电视塔的高度．如图，在点处用高的测角仪测得塔尖的仰角为，向塔的方向前进到达处，在处测得塔尖的仰角为，请你求出中央电视塔的高度（结果精确到）．（参考数据：，，，，，．） 【答案】中央电视塔的高度为米． 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． 在中，中得出，根据，进而求得的长，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴ 在中，， ∴， ∴ ∵ ∴， 由图可知四边形是矩形，则 ∴（米）， 答：中央电视塔的高度为米． 22. 如图，是的外接圆，的直径交于点E，点D为的中点，连接． （1）求证：； （2）过点C作，交的延长线于点F，若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外接圆与外心，垂径定理，解直角三角形，正确的作出辅助线是解题的关键． （1）根据圆周角定理即可得到结论； （2）根据三角函数的定义得到，求得，连接，得到，求得，根据三角函数的定义即可得到结论． 【小问1详解】 证明：∵点为的中点， ， ； 【小问2详解】 解：∵， ， ， ， ， 连接， ， ， ， ， ， 是的直径， ， ． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且． （1）当时，求t的值； （2）点在抛物线上，若，判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2），理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）根据题意可得，再根据对称轴计算公式可得答案； （2）求出，则由对称轴计算公式可得，由此可求出t的取值范围，求出点关于直线的对称点，再根据a小于0得到在对称轴左侧，y随x增大而增大，据此求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： ∵， ∴， ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴抛物线开口向下， ∴在对称轴左侧，y随x增大而增大， ∵点关于直线的对称点为，且， ∴． 24. 等腰直角中，，，为线段上的点且．在边上截取，过点作交于，连接． （1）①依题意补全图形； ②直接写出与的数量关系：_____； （2）点是线段的中点，连接，用等式表示线段、、之间的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；②； （2）． 【解析】 【分析】此题考查全等三角形的判定和性质，等边对等角，三角形中位线的性质： （1）①根据题意画图即可；②延长至G，使，延长至H，使，连接，证明，推出与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G，G，C，B在同一直线上，由此得到，即可得到； （2）证明，得到，即点C为中点，由此推出是的中位线，进而推出． 【小问1详解】 解：①如图， ②延长至G，使，延长至H，使，连接， ∵， ∴ ∴与关于对称，其中点F的对应点为H，点B的对应点为G， ∴G，C，B在同一直线上， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为； 【小问2详解】 解：如图， ∵， ∴， ∴，即点C为中点， 又∵M为中点， ∴是的中位线， ∴， 即． 25. 对于 和的弦，以为边的正方形为关于的“关联正方形”．在平面直角坐标系中，已知点，点，以点T为圆心，的长为半径作，点N为上的任意一点（不与点M重合）． （1）当时， ①在图中画出面积最大关于的“关联正方形”，并直接写出此时N点的坐标； ②若直线上存在点在关于的“关联正方形”上，直接写出t的取值范围； （2）若点A在关于的“关联正方形”上，点与点A的最大距离为d，当d取最小值时，直接写出此时m和d的值． 【答案】（1）①图见解析，② （2）， 【解析】 【分析】本题考查一次函数，正方形，圆的性质和切线，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）①若要“关联正方形”面积最大，即正方形边长最大，即为圆的直径，据此解答即可；②先确定关于的“关联正方形”上的所有点所组成的图形，若直线上存在点在关于的“关联正方形”上，即直线与此图形有交点，其临界状态就是直线分别与、相切时，求出此时的值即可解答题目； （2）由，可知为直线上一动点，再确定点的运动轨迹为如图所示的图形，此图形是关于对称的轴对称图形，当取时，及点所在圆的圆心应三点共线，所以连接分别交，于，当时，最小，此时点在点正上方，即点横坐标=点横坐标，据此可求出的值，进而求出最小值． 【小问1详解】 解：①如图，正方形和正方形为面积最大的关于的“关联正方形”，； 理由：若要“关联正方形”面积最大，即正方形边长最大， ∵正方形边长为的弦， ∴过的的最长弦即为圆的直径， ∴ ②如图： 取圆上任意一点作正方形交于，连接， ， ， ， ， ， ， ， 即两点重合， 即， ∴的运动轨迹为以中点为圆心，1为半径的圆， 同理可得，关于的“关联正方形”上的所有点在以和点为圆心，为半径的圆上及圆内，或以，和为圆心，1为半径的圆上及圆内， ∵直线上存在点在关于的“关联正方形”上， 即直线与这五个圆所组成的图形有交点， 当直线与相切时，设切点为，交轴于点，交轴于点， 令，求得，则， 令，，，则， ， ， ， ， ， ，此时， 当直线与相切时，设切点为，交轴于点，交轴于， 同理可得，，， ， ， ，此时， 综上所述， 【小问2详解】 解：∵， ∴为直线上一动点， 如图，由（1）②知，在下图中的五个圆上，五个圆组成的图形关于对称， ∵点与点A的最大距离为d， ∴当取时，及点所在圆的圆心三点共线， ∴连接分别交，于， 当时，最小，此时点在点正上方， 则有点横坐标=点横坐标， ∴，解得， 此时最小值如下图：， 由（1）②知， 是以1为半径的圆， ，， 由勾股定理得：， ， 故，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $