精品解析：北京市景山学校2024～2025学年下学期八年级期末数学试卷

北京景山学校2024～2025学年度第二学期期末考试 八年级数学 2025年7月 本试卷共8页，满分100分，考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）． 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 4. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 5. 在中，，，，则的 值 为 （ ） A. B. 2 C. D. 6. 三角形内切圆的圆心为（　　） A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线交点 D. 三条中线的交点 7. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是_______（写出一个即可）． 10. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 11. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 12. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 13. 如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则________． 14. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为_______． 15. 如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、，若的周长是，则 ______． 16. 如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为________； （2）当弦CD长最小时，的值为________． 三、解答题（本题共68分，第17－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26－27题每题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 18. 已知：为的外接圆，D是边上的一点，连接． 求作：，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P； ②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段于点E； ③连接，． 就是所求作的角． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（ ）（填推理的依据）． ∵点B，O，E，C在上， ∴ ． ∴． 19. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 20. 如图，是⊙O直径，是⊙O的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，，求⊙O的半径． 21. 如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 22. 如图，在中，，，，平分交边于点． （1）直接写出线段的长： ； （2）过点作于点，补全图形，并求线段的长． 23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是切线； （2）若，，求的长． 25. 河南妙乐寺塔为国内现存规模最大、保存最完整的五代塔之一，建于唐，后周显德二年(955年)重修，寺已早废，唯塔独存，该塔正吸引着越来越多的旅游观光者，对河南的社会经济、文化发展起到了积极的促进作用．某校数学实践小组开展测量妙乐寺塔的活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量妙乐寺塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： 在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角 …… 已知测角仪高度为1.5米，点C，E，A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度．(参考数据：，，) 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为 （1）求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示； （2）若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围. 27. 如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． （1）①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦的“伴随点”是点 ； ②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京景山学校2024～2025学年度第二学期期末考试 八年级数学 2025年7月 本试卷共8页，满分100分，考试时长100分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（每题只有一个选项符合题意，每小题2分，共16分）． 1. 已知，则下列比例式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查比例的性质，根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A、由得，故本选项错误，不符合题意； B、由得，故本选项正确，符合题意； C、由得，故本选项错误，不符合题意； D、由得，故本选项错误，不符合题意； 故选：B． 2. 下列函数中，是反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，一般地，形如且k为常数，的函数叫做反比例函数，据此可得答案． 【详解】解：由反比例函数的定义可知，四个选项中只有B选项中的函数是反比例函数， 故选：B． 3. 的半径为3，点P到圆心O的距离为5，点P与的位置关系是（　　） A. 点P在内 B. 点P在上 C. 点P在外 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】根据点与圆的位置关系：点到圆心的距离大于半径，点在圆外；点到圆心的距离等于半径，点在圆上；点到圆心的距离小于半径，点在圆内，据此判断即可． 【详解】解：点P到圆心O的距离为5，半径为3，，则点P在外． 故选：C 【点睛】本题考查点与圆的位置关系，熟练掌握点与圆的位置关系是解题的关键． 4. 已知点都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法判断 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数（）的性质．解题关键在于先根据值判断函数在相应象限的单调性，再依据已知点横坐标的大小关系及点所在象限，利用函数单调性来比较纵坐标的大小．对于反比例函数（），当时，在每个象限内，随的增大而减小；当时，在每个象限内，随的增大而增大．在函数中，，所以此函数在每个象限内随的增大而减小．已知，这表明点和都在第一象限．由于在第一象限内该反比例函数随增大而减小，且 ，从而得出出与的大小关系． 【详解】解：对于反比例函数， ∵， ∴在每个象限内随的增大而减小． ∵，说明点，都在第一象限，又在第一象限内随增大而减小， ∴当 时， ， 故选：B． 5. 在中，，，，则的 值 为 （ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了求一个角的正切值，根据代入数值计算，即可作答． 详解】解：如图： ∵在中，，，， ∴, 故选：A 6. 三角形内切圆的圆心为（　　） A. 三条高的交点 B. 三条边的垂直平分线的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条中线的交点 【答案】C 【解析】 【详解】试题分析：三角形外接圆的圆心是三条线段中垂线的交点，三角形内切圆的圆心是三条角平分线的交点，故本题选C． 7. 如图，“投影”是“三角尺”在灯光照射下的中心投影，其相似比为，且三角尺的面积为，则投影三角形的面积为（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了位似图形的性质以及中心投影的应用，根据对应边的比为，再得出投影三角形的面积是解决问题的关键．根据位似图形的性质得出相似比为，对应边的比为，则面积比为，即可得出投影三角形的面积． 【详解】解：∵位似图形由三角尺与其灯光照射下的中心投影组成，相似比为，三角尺的面积为， ∴投影三角形面积为． 故选：B． 8. 如图，的半径为为直径，过中点作交于点，连接，点为半圆上一动点，连接，过点作，交的延长线于点．有如下描述 ①； ②当点由点向点运动时，的长增大； ③； ④最长时为6． 以上描述正确的有（ ） A. ①② B. ②③ C. ①③ D. ①③④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直径所对的圆周角、圆内接四边形、相似三角形的性质与判定以及由特殊角三角函数值，求特殊角等知识． 根据连，根据直径所对的圆周角得到，故①正确，再由 ，半径长为，利用锐角三角函数求，再由圆周角定理求出，由圆内接四边形的知识证明得到，推出，，故③正确，进而推出判断②④错误，则问题可解． 【详解】解：连， ∵为直径， ∴，故①正确， ∵ ，半径长为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由题意，四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，故③正确， ∴， ∴当点由点向点运动时，当过圆心O时，的长最大， 此时，，故④错误， 随着点继续向运动，的长度逐渐减小，故②错误， 故选：C 二、填空题（每题2分，共16分） 9. 反比例函数的图象如图所示，则的值可能是_______（写出一个即可）． 【答案】（不唯一，满足即可） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，理解反比例函数的图像和性质是解题的关键． 根据函数图象所在象限确定的取值范围，再取值即可． 【详解】时函数图象位于第四象限， ， 可取， 故答案为：（不唯一，满足即可）． 10. 如图，△ABC的顶点都是正方形网格中的格点，则tan∠ABC=_____． 【答案】 【解析】 【详解】∵AB所在直角三角形的两直角边分别为：2，4， ∴AB=． ∴sin∠ABC=． 11. 如图，已知直线y＝mx与双曲线y＝一个交点坐标为（3，4），则它们的另一个交点坐标是_____． 【答案】（﹣3，﹣4） 【解析】 【分析】根据反比例函数与正比例函数的中心对称性解答即可. 【详解】解：因为直线y＝mx过原点，双曲线y＝的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称，一个交点坐标为（3，4），则另一个交点的坐标为（﹣3，﹣4）． 故答案是：（﹣3，﹣4）． 【点睛】本题考查了反比例函数和正比例函数的性质，通过数形结合和中心对称的定义很容易解决．反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称． 12. 如图，点A、B在双曲线上，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，连接、，设的面积为，设的面积为，则___________（填“>，＜，或=”）． 【答案】= 【解析】 【分析】本题主要考查反比例系数的几何意义：在反比例函数图象上任选一点，向两坐标轴作垂线，垂线与坐标轴所围成矩形的面积为，所围成三角形的面积为． 【详解】解：根据反比例函数的性质，，所以． 13. 如图，在中，点在上，，交于点，若，且，则________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和相似三角形的性质和判定，能求出和求出是解此题的关键．设，，则，根据平行四边形的性质得出，，证出，得出比例式，代入求出即可． 【详解】解：， 设，，则， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ，，， ， 解得：， 故答案为：6． 14. 如图，四边形内接于，如果它的一个外角，那么的度数为_______． 【答案】##128度 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，熟练掌握圆内接四边形的性质，圆周角定理是解题的关键．根据圆内接四边形的性质可得，结合，得，再利用圆周角定理求解． 【详解】四边形为圆内接四边形， ， 又， ， 在中，由圆周角定理，可得， 故答案为：． 15. 如图，是外的一点，、分别与相切于点、，是上的任意一点，过点的切线分别交、于点、，若的周长是，则 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是切线长定理，切线长定理图提供了很多等线段，分析图形时关键是要仔细探索，找出图形的各对相等切线长．可通过切线长定理将相等的线段进行转换，得出三角形的周长等于，又因为，所以可求出的长 【详解】解：，都是圆的切线， ， 同理，， 的周长， ； 故答案为． 16. 如图，在中，，，，的半径为1，P为线段上一点，过点P作的切线，切点为C，连接交于点D，连接． （1）当点P与点A重合时，的值为________； （2）当弦CD的长最小时，的值为________． 【答案】 ①. ##0.25 ②. 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质、三角函数的定义、勾股定理，熟练掌握切线的性质是解题的关键． （1）连接，根据切线的性质可得，当点P与点A重合时，，根据三角函数的定义即可求出的值； （2）连接，根据切线的性质可得，根据三角函数的定义和勾股定理分析可得当弦CD的长最小时，最小；由垂线段最短性质得，当时，有最小值，求出此时的长，即可求出的值． 【详解】解：（1）连接， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当点P与点A重合时，， ． 故答案为：． （2）连接， ，，， ， 过点P作的切线，切点为C， ， ， 当弦CD的长最小时，圆心角也最小， ， 当最小时，最小，即最小， 又在中，， 当最小时，最小， 当弦CD的长最小时，最小， 由垂线段最短性质得，当时，有最小值， 此时， ， 当弦CD的长最小时，的值为． 故答案为：． 三、解答题（本题共68分，第17－23题每题5分，第24题6分，第25题5分，第26－27题每题7分，第28题8分）解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 17. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】利用二次根式的化简，特殊角的三角函数值，负整数指数幂法则，以及绝对值的代数意义计算即可求出值． 【详解】解：原式． 【点睛】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 18. 已知：为的外接圆，D是边上的一点，连接． 求作：，使得点E在线段上，且． 作法： ①连接，分别作线段，的垂直平分线，，两直线交于点P； ②以点P为圆心，长为半径作圆，交线段于点E； ③连接，． 就是所求作的角． （1）使用直尺和圆规，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（ ）（填推理的依据）． ∵点B，O，E，C在上， ∴ ． ∴． 【答案】（1）见解析 （2）圆周角定理； 【解析】 【分析】本题考查基本作图、圆周角定理、垂径定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握圆周角定理是解答的关键． （1）根据题中作图步骤，结合垂径定理、线段垂直平分线的性质、和圆的基本性质画图即可； （2）根据圆周角定理补全证明过程即可． 【小问1详解】 解：补全图形如图所示： 【小问2详解】 证明：连接． ∵点A，B，C在上， ∴（圆周角定理）． ∵点B，O，E，C在上， ∴． ∴． 故答案为：圆周角定理； 19. “筒车”是一种以水流作动力，取水灌田的工具．如图，“筒车”盛水筒的运行轨迹是以轴心O为圆心的圆，已知圆心O始终在水面上方．且当圆被水面截得的弦为6米时，水面下盛水筒的最大深度为1米（即水面下方部分圆上一点距离水面的最大距离）． （1）求该圆的半径； （2）若水面上涨导致圆被水面截得的弦从原来的6米变为8米时，则水面下盛水筒的最大深度为多少米？ 【答案】（1）5米 （2）2米 【解析】 【分析】（1）作于点E，交于点D，由垂径定理可得，，再由勾股定理即可求出圆的半径； （2）当米时，米． 在中，由勾股定理可得，，则米，即可求出的长． 【小问1详解】 解：如图，作于点E，交于点D． 则米，米． 设圆的半径为r米，在中，， ∴， 解得， ∴该圆的半径为5米； 【小问2详解】 解：当米时，米． 在中，， ∴， ∴米， ∴（米）． 答：水面下盛水筒的最大深度为2米． 【点睛】本题考查垂径定理，熟练掌握垂径定理的定义并运用是解题的关键． 20. 如图，是⊙O的直径，是⊙O的一条弦，且于点E． （1）求证：； （2）若，，求⊙O的半径． 【答案】（1）见详解 （2）3 【解析】 【分析】（1）根据同弧所对圆周角相等及等腰三角形两底角相等即可得到答案； （2）连接，根据垂径定理得到，根据勾股定理即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵与都是弧所对圆周角， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：连接， ∵，， ∴， 在中，根据勾股定理可得， ． 【点睛】本题考查圆周角定理，垂径定理及勾股定理，解题的关键是知道同弧所对圆周角相等． 21. 如图，在中，，点D在上，，过点B作，交的延长线于点E． （1）求证：； （2）如果，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由等角的余角相等得到，又由即可得到； （2）由勾股定理求得，得到，由得到，则，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定和性质，还考查了勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 22. 如图，在中，，，，平分交边于点． （1）直接写出线段的长： ； （2）过点作于点，补全图形，并求线段的长． 【答案】（1）6 （2）图形见解析；3 【解析】 【分析】本题重点考查了锐角三角函数，勾股定理，角平分线的性质，熟练运用相关知识，数形结合，是解题的关键． （1）利用得，设，，再利用勾股定理列方程，解方程求出的值，可得线段的长； （2）利用角平分线的性质，推出，再利用，列方程求解； 【小问1详解】 在中，，， ， 设，， 由勾股定理得， ， 解得， ，， 线段长为6． 故答案为：6． 【小问2详解】 如图所示： ， ， ，平分， ， ，，， ，，， 又， ， ， 线段的长为3． 23. 在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为． （1）求反比例函数的解析式； （2）当时，对于x的每一个值，一次函数的值大于反比例函数的值，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：； （2）k的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出直线与双曲线的交点坐标，进而求出m，得出反比例函数的解析式； （2）解方程组求出一次函数图象与反比例函数图象交点，根据题意列出不等式，解不等式得到答案． 【小问1详解】 解：对于，当时，， ∴一次函数的图象与反比例函数的图象的一个交点为， ∴， ∴反比例函数的解析式为：； 【小问2详解】 解：解方程组，得或， 由题意得：， 解得：， 则k的取值范围是． 【点睛】本题考查的是反比例函数知识的综合运用，掌握一次函数图象与反比例函数图象交点的求法是解题的关键． 24. 如图，在中，，以为直径的交于点，交于点，点在的延长线上，． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由为的直径得到，又由，，得到，进而得到，即可求证； （）连接，由，得到，设，，由，得到，证明，即可求解； 本题考查了切线的判定，圆的性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 证明：连接， ∵为的直径， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴ 是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵ ，， ∴在中，， 设，， 则， ∴， ∴，， ∵四边形内接于， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 即 ， ∴． 25. 河南妙乐寺塔为国内现存规模最大、保存最完整的五代塔之一，建于唐，后周显德二年(955年)重修，寺已早废，唯塔独存，该塔正吸引着越来越多的旅游观光者，对河南的社会经济、文化发展起到了积极的促进作用．某校数学实践小组开展测量妙乐寺塔的活动，该小组制定了测量方案，在实地测量后撰写活动报告，报告部分内容如下表： 测量妙乐寺塔高度 测量工具 测角仪、皮尺等 活动形式 以小组为单位 测量示意图 测量步骤及结果 如图，步骤如下： 在C处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角； ②沿着方向走到E处，用皮尺测得米； ③在E处使用测角仪测得塔的顶部点B的仰角 …… 已知测角仪的高度为1.5米，点C，E，A在同一水平直线上．根据以上信息，求塔的高度．(参考数据：，，) 【答案】塔的高度为39米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题．根据题意得到米，米，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意得，米，米，，． 在中，， ． 在中， ∵， ∴， ∵米， ∴， 解得， （米）， 答：塔的高度为39米． 26. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴有两个交点，其中一个交点的坐标为 （1）求a的值和抛物线的对称轴用含b的式子表示； （2）若点，，在该抛物线上，且，求b的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 将代入，可得，则抛物线的解析式为，即可得抛物线的对称轴为直线 由题意得，点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离，即，求出b的取值范围即可． 【小问1详解】 将代入， 得 ， 抛物线的解析式为， 抛物线的对称轴为直线 【小问2详解】 点，，在该抛物线上，且， 点C到对称轴的距离小于点A到对称轴的距离小于点B到对称轴的距离， 即， 解得 的取值范围为 27. 如图，在中，点在边上，作点关于的对称点，连接交于点，连接，作（点在右侧），且，连接，，，交于点． （1）①依题意补全图形； ②若，用含有的式子表示的度数； （2）用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】（1）①见解析；② （2）（或或） 【解析】 【分析】（1）①正确画图即可； ②根据轴对称的性质和等腰三角形的性质即可解答； （2）如图2，过点F作于H，证明是等腰直角三角形，证明，根据全等三角形的性质和等腰直角三角形中斜边是直角边的倍即可解答． 【小问1详解】 解：①如图1所示， ②∵点D关于的对称点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，证明如下： 如图2，过点F作于H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由②知：， ∴， ∵， ∴， ∵点D关于的对称点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 即， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，三角形的内角和定理，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质，正确作辅助线解决问题是解题的关键． 28. 在平面直角坐标系中，的半径为．对于的弦和点，给出如下定义：若在上或其内部存在一点使得四边形是菱形且是该菱形的对角线，则称点是弦的“伴随点”． （1）如图，点． ①在点中，弦的“伴随点”是点 ； ②若点是弦的“伴随点”且，则长为 ； （2）已知是直线上一点，且存在的弦，使得点是弦的伴随点．记点的横坐标为，当时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①；② （2）且 【解析】 【分析】（1）①根据新定义，弦的“伴随点”在的垂直平分线上（除的中点外），且在上或其内部存在一点，且，结合坐标系，即可求解； ②根据圆周角定理，圆内接四边形对角互补得出，根据新定义得出点在外，且只有1个，进而解直角三角形，即可求解； （2）分析新定义，结合（1）②可得弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而，根据新定义得出点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分）；根据对称性分别求得，进而根据且，得出的范围，根据与轴的夹角为，即可求解． 【小问1详解】 解：①∵，点关于对称的点分别为 只有在的垂直平分线上（除的中点外），且在内部存在一点， 故答案为：． ②如图所示，设为的中点，,为的垂直平分线与的交点， ∵ ∴，则是等腰直角三角形， ∴的垂直平分线为一三象限的平分线上即，点在一三象限的平分线上 ∵， ∴ 如图所示，则分别为关于的对称点，弦的“伴随点”是线段除点外上的点， 又∵点是弦的“伴随点”且 ∴点在外，且只有1个， ∵ ∴， ∵ ∴ ∴， 故答案为：． 【小问2详解】 解：由（1）②可得，弦的“伴随点”是线段除点外上的点，而， ∵在上，且， 设，则 ∴，即， 同理，则 ∵，则，则 ∴，，， 当是直线上一点，且存在的弦，点是弦的伴随点． ∴点的轨迹为线段（除点）上任意一点，当旋转时，构成的图形如图所示，是两个同心圆构成的圆环（实线部分）除开半径为的圆（虚线部分） ∴且 即且 又∵与轴的夹角为 ∴的横坐标为 ∴且． 【点睛】本题考查了几何新定义，圆周角定理，菱形的性质，点与圆的位置关系，解直角三角形，等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识正确的分析新定义是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$