第14章 全等三角形 单元培优练习 2025－2026学年人教版数学八年级上册

第14章 《全等三角形》单元培优练习 一．选择题 1．如图，△ABC≌△CDA，AB和CD，BC和DA是对应边，则∠BAC的对应角是（　　） A．∠CAD B．∠DCA C．∠D D．∠ACB 2．如图，△ABE≌△BCD，点E在边BC上，AE与BD交于点F，∠BAE＝∠CBD，BD＝AE．下列角中，与∠BDC互补的是（　　） A．∠C B．∠ABC C．∠AEC D．∠DFE 3．如图，AE∥FD，CE∥FB，要使△EAC≌△FDB，需要添加的条件可以是下列选项中的（　　） A．AB＝BC B．∠E＝∠F C．∠A＝∠D D．AE＝DF 4．如图，已知△ABC的六个元素，而在图甲、乙、丙中，仅已知甲、乙、丙三个三角形中某些元素，则与△ABC一定全等的三角形是（　　） A．甲和乙 B．乙和丙 C．只有乙 D．只有丙 5．如图所示，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，∠1＝20°，∠2＝25°，则∠3的度数为（　　） A．30° B．45° C．50° D．60° 6．如图，BP是∠ABC的平分线，DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分别是点E，F，DM＝DN，且BN＝6，FN＝2，则BM的长度是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 7．如图，点D，E在△ABC的边BC上，△ABD≌△ACE，其中B，C为对应顶点，D，E为对应顶点，下列结论不一定成立的是（　　） A．AC＝CD B．BE＝CD C．∠ADE＝∠AED D．∠BAE＝∠CAD 8．在生物实验课上，老师布置了“测量锥形瓶内部底面内径”的任务．小亮同学想到了以下这个方案：如题9图，用螺丝钉将两根小棒AD，BC的中点O固定，若要测量锥形瓶底面内径AB的长度，只需要测量的线段是（　　） A．CD B．CO C．AO D．BO 9．如图是用直尺和圆规作一个角等于已知角的过程示意图，则能说明∠A′O′B′＝∠AOB的依据是（　　） A．SSS B．SAS C．AAS D．ASA 10．如图，已知△ABC是等边三角形，点D、E分别在边AB、BC上，CD、AE交于点F，∠AFD＝60°．FG为△AFC的角平分线，点H在FG的延长线上，HG＝CD，连接HA、HC．①BD＝CE；②∠AHC＝60°；③FC＝CG；④S△CBD＝S△CGH；其中说法正确的是（　　） A．①②④ B．①③④ C．②④ D．①②③④ 二．填空题 11．如图，点B、C、D在同一直线上，若△ABC≌△CDE，AB＝3，BD＝5，则DE＝　 　 ． 12．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝10cm，点D到AB的距离为4cm，则BD的长为 　 　 ． 13．如图，D是AB上一点，DF交AC于点E，E为DF的中点，FC∥AB，若BD＝3，FC＝8，则AB＝　 　 ． 14．如图，△ABC≌△DCB，点A、B的对应顶点分别为点D、C，如果AB＝7cm，BC＝12cm，AC＝9cm，那BD的长是　 　 ． 15．如图，△ACB≌△A′CB′，∠BCB′＝35°，则∠ACA′＝　 　 ． 16．如图，AB＝7cm，AC＝BD＝4cm，∠CAB＝∠DBA，点P在线段AB上以2cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t（s）．设点Q的运动速度为xcm/s，若使得△ACP与△BPQ全等，则x的值为　 　 ． 三．解答题 17．如图，在△ABC中，∠A＝60°，∠B＝40°． （1）尺规作图：作△ABC的角平分线CD，与AB交于点D； （2）求∠ACB和∠ADC的度数． 18．如图，点B，E，C，F在同一直线上，且AB＝DE，BE＝CF，_____．求证：∠ACB＝∠DFE． （1）请从①AB∥DE，②∠A＝∠D，③AC＝DF中选择一个适当的条件填入横线中，使命题成立．你的选择是 　 　 ．（只需填一个序号即可）； （2）根据（1）中的选择给出证明． 19．如图，在△ABC中，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，且DE＝DF，CD平分∠ACB，∠BDC＝135°． （1）求∠DBF+∠DCF的度数； （2）求∠A的度数． 20．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝10cm，BC＝8cm，点D为AB的中点．如果点P在线段BC上以3cm/s的速度由点B向C点运动，同时，点Q在线段CA上由C点向A点运动，设点P运动的时间为ts． （1）用含t的式子表示PC的长为 　 　 ； （2）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； （3）若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？ 21．已知△ABC中，AC＝BC；△DEC中，DC＝EC；∠ACB＝∠DCE＝α，点A、D、E在同一直线上，AE与BC相交于点F，连接BE． （1）如图1，当α＝60°时， ①请直接写出△ABC和△DEC的形状； ②求证：AD＝BE； ③请求出∠AEB的度数； （2）如图2，当α＝90°时，请直接写出： ①∠AEB的度数； ②若∠CAF＝∠BAF，BE＝2，线段AF的长． 22．已知：AB＝AC，BD⊥AC，CE⊥AB，垂足分别为D、E，BD、CE相交于点F， （1）如图1，求证：BE＝CD． （2）如图2，连接AF，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中所有的全等三角形． 23．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的角平分线交BC于点D，过D作DE⊥BA于点E，点F在AC上，且BD＝DF． （1）求证：AC＝AE； （2）求证：∠BAC+∠FDB＝180°； （3）若AB＝9.5，AF＝1.5，求线段BE的长． 参考答案 一．选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B C D B B A A A A A 二．填空题 11．2． 12．6cm． 13．11． 14．9cm． 15．35°． 16．2或． 三．解答题 17．解：（1）如图所示，CD即为所求； （2）∵∠A＝60°，∠B＝40°， ∴∠ACB＝180°﹣60°﹣40°＝80°， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACD＝∠BCD＝40°， ∴∠ADC＝180°﹣60°﹣40°＝80°． 18．解：（1）①或③； 故答案为：①或③； （2）若选①． 证明：∵AB∥DE， ∴∠ABC＝∠DEF， ∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， ∴∠ACB＝∠DFE； 若选③． 证明：∵BE＝CF， ∴BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SSS）， ∴∠ACB＝∠DFE． 19．解：（1）∵∠BDC＝135°， ∴∠DBF+∠DCF＝180°﹣∠BDC＝180°﹣135°＝45°； （2）∵DE⊥AB于点E，DF⊥BC，且DE＝DF， ∴BD平分∠ABC， ∴∠ABC＝2∠DBF， ∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB＝2∠DCF， ∴∠ABC+∠ACB＝2（∠DBF+∠DCF）， 由（1）知，∠DBF+∠DCF＝45°； ∴∠ABC+∠ACB＝90°， ∴∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝90°． 20．解：（1）由题意可得，PC＝BC﹣BP＝（8﹣3t）cm， 故答案为：（8﹣3t）cm． （2）全等，理由： ∵t＝1s，点Q的运动速度与点P的运动速度相等， ∴BP＝CQ＝3×1＝3（cm）， ∵AB＝10cm，点D为AB的中点， ∴BD＝5（cm）． 又∵PC＝BC﹣BP，BC＝8cm， ∴PC＝8﹣3＝5（cm）， ∴PC＝BD， 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 在△BPD和△CQP中， ， ∴△BPD≌△CQP（SAS）； （3）∵点Q的运动速度与点P的运动速度不相等， ∴BP与CQ不是对应边， 即BP≠CQ， ∴若△BPD≌△CPQ，且∠B＝∠C， 则BP＝PC＝4（cm），CQ＝BD＝5（cm）， ∴点P，点Q运动的时间t（s）， ∴点Q的运动速度（cm/s）； 答：当点Q的运动速度为cm/s时，能够使△BPD与△CQP全等． 21．解：（1）①∵AC＝BC，DC＝EC，∠ACB＝∠DCE＝60°， ∴△ABC和△DEC是等边三角形； ②∵△ACB和△DCE均为等边三角形， ∴∠ACB＝∠DCE＝60°，CA＝CB，CD＝CE， ∴∠ACD＝∠BCE， 在△CDA和△CEB中， ， ∴△CDA≌△CEB（SAS）， ∴AD＝BE， ③∵△CDA≌△CEB， ∴∠CEB＝∠CDA＝120°， 又∵∠CED＝60°， ∴∠AEB＝120°﹣60°＝60°； （2）①∵△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°， ∴AC＝BC，CD＝CE，∠ACB﹣∠DCB＝∠DCE﹣∠DCB， 即∠ACD＝∠BCE，∠CDE＝45°＝∠CED， ∴∠ADC＝135°， 在△ACD和△BCE中， ， ∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴∠ADC＝∠BEC＝135°， ∴∠AEB＝90°， ②∵△ACD≌△BCE， ∴BE＝AD＝2， ∵∠CAF＝∠BAF＝22.5°，∠CDE＝45°＝∠CAD+∠ACD， ∴∠ACD＝∠CAD＝22.5°， ∴AD＝CD＝2， ∵∠DCF＝90°﹣∠ACD＝67.5°，∠AFC＝∠ABC+∠BAF＝67.5°， ∴∠DCF＝∠AFC， ∴DC＝DF＝2， ∴AF＝AD+DF＝4． 22．证明：（1）∵BD⊥AC，CE⊥AB， ∴∠ADB＝∠AEC＝90°， 在△ABD与△ACE中， ， ∴△ABD≌△ACE（AAS）， ∴AE＝AD， ∵AC＝AB， ∴AC﹣AD＝AB﹣AE， 即BE＝DC； （2）由（1）可知△ABD≌△ACE，BE＝DC， ∴∠B＝∠C，AE＝AD， ∴△BEF≌△CDF（ASA）， ∴BF＝CF，EF＝DF， ∴△AEF≌△ADF（SAS），△ABF≌△ACF（SAS）． 23．（1）证明：∵AD平分∠BAC， ∴∠DAC＝∠DAE， ∵DE⊥BA， ∴∠DEA＝∠DEB＝90°， ∵∠C＝90°， ∴∠C＝∠DEA＝90°， 在△ACD和△AED中， ， ∴△ACD≌△AED（AAS）， ∴AC＝AE； （2）证明：设∠DAC＝∠DAE＝α， ∵∠C＝∠DEA＝90°， ∴∠ADC＝90°﹣α，∠ADE＝90°﹣α， 则∠FDB＝∠FCD+∠DFC＝90°+∠DFC， 在AB上截取AM＝AF，连接MD，如图所示： 在△FAD和△MAD中， ， ∴△FAD≌△MAD（SAS）， ∴FD＝MD，∠ADF＝∠ADM， ∵BD＝DF， ∴BD＝MD， 在Rt△MDE和Rt△BDE中， ∴Rt△MDE≌Rt△BDE（HL）， ∴∠DME＝∠B， ∵∠DAC＝∠DAE＝α， ∴∠DAC+∠ADF＝∠ADM+∠ADM， 在△FAD中，∠DAC+∠ADF＝∠DFC， 在△AMD中，∠DAE+∠ADM＝∠DME， ∴∠DFC＝∠DME， ∴∠DFC＝∠B， ∵∠C＝90°， 在△ABC中，∠B＝90°﹣2α， ∴∠DFC＝90°﹣2α， ∴∠FDB＝90°+90°﹣2α＝180°﹣2α， ∵∠BAC＝∠DAC+∠DAE＝2α， ∴∠FDB+∠BAC＝180°﹣2α+2α＝180°； （3）解：∵AF＝AM，且AF＝1.5， ∴AM＝1.5， ∵AB＝9.5， ∴MB＝AB﹣AM＝9.5﹣1.5＝8， 由（2）得：Rt△MDE≌Rt△BDE， ∴ME＝BE， ∴， 即BM的长为4． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2025/10/27 22:27:00；用户：18665925436；邮箱：18665925436；学号：24335353 ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $