第一章勾股定理提升测试题2025-2026学年北师大版八年级数学上册

参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D C C D A C C C D 1．A 【分析】本题主要考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握若一个三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理，分别计算每个选项中三条边的平方，判断两条较短边的平方和是否等于最长边的平方，若相等则能组成直角三角形． 【详解】解：选项A，∵， ∴，能组成直角三角形． 选项B，∵， ∴，不能组成直角三角形． 选项C，∵， ∴，不能组成直角三角形． 选项D，∵， ∴，不能组成直角三角形． 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了勾股定理，整体考虑是解题的关键．根据勾股定理求出的值，再加上的值即可． 【详解】解：在中，，， ， ， 故选：D． 3．C 【分析】本题主要考查了勾股定理，设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c，根据正方形面积计算公式可得；由勾股定理得，据此可得答案． 【详解】解：设正方形A的边长为a，正方形B的边长为b，正方形C的边长为c， ∵正方形A的面积为6，正方形B的面积为8， ∴； 由勾股定理得， ∴正方形C的面积为14． 故选：C． 4．C 【分析】先将变形为，即可得出、、的值，再利用勾股定理的逆定理判断三角形的形状即可． 【详解】解：可变形为 ，， ，， 为直角三角形，其两直角边长分别为5和12 ． 故选：C ． 【点睛】本题考查的知识点是勾股定理逆定理的应用，利用已知条件得出、、的值是解此题的关键． 5．D 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理的逆定理． 根据已知可得，，根据勾股定理可得，，，根据勾股定理的逆定理，可判断的形状，从而可得直角三角形的个数． 【详解】解：∵在长方形中，，， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴图中的直角三角形有、、、，共个． 故选：D． 6．A 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据折叠的条件可得：，在直角中，利用勾股定理就可以求解． 【详解】解：将此长方形折叠，使点与点重合， ∴． ∵． ∴， 根据勾股定理可知， 解得． ∴的面积为． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 8．C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，然后即可求解； 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴， 故选：C； 9．C 【分析】本题主要考查了勾股定理与折叠问题，由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， 故选：C． 10．D 【分析】本题主要考查了平面展开——最短路径问题，勾股定理．解答本题的关键是作出辅助线，构造直角三角形． 圆柱的侧面展开图是矩形，蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为长方形的边的中点A到顶点B的距离，由勾股定理求出的长即得到问题的答案． 【详解】解：如图，过B作于点C，连接． ∵， ∴． 答：蚂蚁从A点爬到B点的最短距离为． 故选：D． 11．4.5 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点D作，垂足为E，先利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后根据角平分线的性质可得，最后根据的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：过点D作，垂足为E， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵的面积的面积的面积， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 12．30 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，勾股定理及其逆定理；延长到E，使，连接，先运用证明，得出．再由勾股定理的逆定理证明出，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接． 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴． ∴， 故答案为：30． 13．4 【分析】本题考查了三角形外接圆、等腰直角三角形的判定及性质，勾股定理，相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 在的右侧，分别过点C、D作、，、交于点E，作的外接圆，连接交于点F，点D在圆上运动，当点D于点F重合时，最小，连接、，根据，可以得到，并且，由勾股定理得到，再次证明利用勾股定理求解即可． 【详解】解：在的右侧，分别过点C、D作、，、交于点E，作的外接圆，连接交于点F，点D在圆上运动，当点D于点F重合时，最小，连接、，如图： ， ． 故答案为：4． 14．38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 15． 【分析】本题考查勾股定理的应用，设树高为，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，求解即可．用树的高度表示出，利用勾股定理得到方程是解题的关键． 【详解】解：设树高为，则， 由题意可知：， ∴， 根据题意知：，即为直角三角形， ∴， 即， 解得：， 即这棵树高． 故答案为：． 16．24 【分析】本题考查了勾股定理及直角三角形面积的计算，解题的关键是利用勾股定理求出另一条直角边的长度，再结合直角三角形面积公式求解． 在中，，故、为直角边，为斜边；已知，，根据勾股定理可求出另一直角边的长度；再由直角三角形面积公式一条直角边另一条直角边，计算出三角形的面积． 【详解】解：∵在中，， ∴、为直角边，为斜边，且满足勾股定理， 已知，，代入勾股定理得：，即， 解得，（边长为正数）． ∴的面积为． 故答案为：24． 17．或或 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是关键．作于，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理用表示出、，分类讨论，根据勾股定理的逆定理列式计算，得到答案． 【详解】解：作于，如图： 则四边形为长方形， ∴，， ∴， 由勾股定理得，，， ， 当时，， 即， ， 解得，； 当时，如图：作于， 由勾股定理得，，， ， 在中，， 即， ， 解得：； 当时，在中， 则， 解得：， 综上：的长为：或或． 故答案为：或或． 18．13 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺，根据题意可得芦苇底部到水池右边的距离为5尺，据此利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】解：设水池的深度为x尺，则这根芦苇的长度是尺， ∵水面是一个边长为10尺的正方形， ∴芦苇底部到水池右边的距离为5尺， ∴由勾股定理得， 解得， ∴， ∴这根芦苇的长度是13尺， 故答案为：13． 19． 【分析】此题考查了勾股定理，以及勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理及勾股定理的逆定理是解本题的关键． 在直角三角形中，由及的长，利用勾股定理求出的长，再由及的长，利用勾股定理的逆定理得到三角形为直角三角形，根据四边形的面积直角三角形的面积直角三角形的面积，即可求出四边形的面积． 【详解】解：， 为直角三角形， ， ∴根据勾股定理得：， ， ，， ， 为直角三角形，， 则． 故四边形的面积是． 20．(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平行线的性质以及角平分线的定义得出，进而得出答案； （2）根据已知得出，进而利用勾股定理求出的长，即可得出的长． 【详解】（1）证明：如图，    ∵交的平分线于点E，交的外角平分线于点F， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 21．(1) (2)不能成功，见解析 【分析】本题考查勾股定理的应用，理解题意，添加辅助线构造直角三角形是解答的关键． （1）过点A作于点E，在中，利用勾股定理求出，即可求解； （2）假设能上升，延长至点F，使，连接，在中， 利用勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点A作于点E，则， 在中，由勾股定理得： ， ∴； （2）解：不能成功，理由如下： 假设能上升， 如图2，延长至点F，使，连接， ∴， 在中， ， ∵，余线仅剩， ∴， ∴不能上升，即不能成功． 22．(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形面积的求解，熟练掌握解决翻折图形的方法为解题关键． （1）先根据勾股定理求出的长，再有折叠性质得到：，设，再由勾股定理求出x的值，进而求出最后结果； （2）由勾股定理求出的长，再由三角形面积公式求出结果． 【详解】（1）解：，，， ， 根据翻折可得：， 设，根据图形翻折可得：， 在直角三角形中，根据勾股定理可得：， 解得：， ； （2）解：在中，， ． 23．(1)梯子的顶端A距地面 (2)梯子的底端B在水平方向上滑动了 【分析】本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，本题中根据梯子长不会变的等量关系求解是解题的关键． （1）在直角三角形中，利用勾股定理即可求出的长； （2）首先求出的长，利用勾股定理可求出的长，进而得到的值． 【详解】（1）解：． 答：梯子的顶端A距地面． （2）解：． 答：梯子的底端B在水平方向上滑动了． 24．(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理等知识点，熟练运用勾股定理、勾股定理逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理可得、，再根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）设，则，由勾股定理可得求解即可：②由勾股定理可得，进而得到求解即可． 【详解】（1）证明∶∵，，，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：①设，则， ∴， ∴，即，解得：（已舍弃负值）， ∴． ②根据勾股定理得，， ∵， ∴，即， 解得：． 故答案为：． 25．（1）见解析；（2）；（3）学校修建这个花园需要投资5040元. 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆运算，解题关键在于熟练掌握其相关的知识点. （1）根据因为大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为，联立等式即可求解； （2）由，根据勾股定理得，求解即可； （3）过点作于，设，则，可得，然后，最后根据勾股定理即可求解. 【详解】解：（1）如图1，∵大的正方形的面积可以表示为，大的正方形的面积又可以表示为． ∴， ∴． （2）∵的长比的长大2， ∴， ∴， 解得：． （3）如图所示，过点作于， 设，则， 在中，， 在中，， ∴，则， 解得， ∴， 解得， ∴． ∴学校修建这个花园需要投资：(元)， 答：学校修建这个花园需要投资5040元． 答案第16页，共26页 答案第15页，共26页 学科网（北京）股份有限公司 $第一章勾股定理提升测试题 三 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 口 违纪标记 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D]3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16. 17 18 三、解答题（共66分) 19. (本题8分) D A B 20.(本题9分)》 M 21.(本题9分) A B dD 22.(本题9分) B 23.(本题9分) M M O B NO B D N 图出男 8 (0L平)忆 (乙L￥)S ■ 2025-2026学年北师大版八年级数学上册第一章勾股定理提升测试题 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）将下列长度的三根木棒首尾顺次连接，能组成直角三角形的是（   ） A．3、4、5 B．4、5、6 C．7、8、9 D．8、9、10 2．（本题3分）在中，，若，则的值是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（    ） A． B． C． D． 4．（本题3分）已知a，b，c是的三条边长，且满足，则的面积为（    ） A．10 B．20 C．30 D．40 5．（本题3分）如图，在长方形中，，，点，分别是，边上一点，且，．则图中的直角三角形有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（本题3分）如图，长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的面积为（　　） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于A，于B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则的长是（   ）． A．4 B．5 C．6 D．2 9．（本题3分）如图所示，在长方形纸片中，，，现将其沿对折，使得点与点重合，则AE的长为（   ） A． B． C． D． 10．（本题3分）一个圆柱底面周长为，高为，则蚂蚁从点爬到点的最短距离为（   ）． A．8 B． C． D．10 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）如图，中，，为的角平分线，则 ． 12．（本题3分）如图，在中，已知，，边上的中线，则的面积为 ． 13．（本题3分）中，，，点为上的一点，且，则的最小值为__________． 14．（本题3分）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则 ． 15．（本题3分）如图在一棵树的高的处有两只猴子，其中一只猴子爬下树走到离树处的池塘处，另一只爬到树顶后直接跃向池塘处．如果两只猴子所经过的距离相等，试问这棵树高 ． 16．（本题3分）在中，，，则的面积为 ． 17．（本题3分）如图，点为直线上的一个动点，于点，于点，，，当长为 时， 为直角三角形． 18．（本题3分）在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的大意是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形．在水池正中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺．如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面．请问：这根芦苇的长度是 尺． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）如图：在四边形中，，求四边形的面积． 20．（本题9分）如图，点O是边上一个动点，过O作直线．设交的平分线于点E，交的外角平分线于点F．    (1)求证：； (2)若，求的长． 21．（本题9分）小明买了一个年画风筝，并进行了试放，为了验证某些数学问题，他设计了如下的方案：先测得放飞点与风筝的水平距离为；根据手中余线长度，计算出的长度为；牵线放风筝的手到地面的距离为．已知点A，B，C，D在同一平面内． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)在余线仅剩的情况下，若想要风筝沿射线方向再上升，请问能否成功？请说明理由． 22．（本题9分）如图，是一张纸片，，，，先将其折叠，使点与点重合，折痕是， (1)求的长； (2)求重叠部分的面积． 23．（本题9分）如图，一架长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时梯子的底端B到墙底O的距离为． (1)求梯子的顶端A 距地面有多高； (2)如果梯子的顶端A沿墙下滑到点C处，求梯子的底端B在水平方向上滑动了多少． 24．（本题10分）如图，在中，于点D． (1)已知，，，求证：； (2)已知． ①若，，求的长； ②若设，，，则m，n，k的数量关系为__________． 25．（本题12分）在《勾股定理》一章学习中，我们体验了“以形助数，以数解形”的研究策略．这充分体现了数学中“数形结合”这一数学思想方法的重要性．某校八年级数学兴趣小组通过面积恒等的方法对直角三角形三边关系进行了探究． 【初步探究】 （1）如图1，四个全等的直角三角形拼成一个大正方形，中间空白部分也是正方形．已知直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c．课堂上，老师结合图形，用不同的方式表示大正方形的面积，证明了勾股定理．请利用图1推导：． 【结论运用】 （2）如图2，已知，是直角三角形，．若，的长比的长大2，求 的长． 【应用拓展】 （3）学校校内有一块如图3所示的三角形空地，其中米，米，米．计划将这块空地建成一个花园，以美化校园环境，预计花园每平方米的造价为60元，学校修建这个花园需要投资多少元？ 第6页，共7页 第5页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $