八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷（新教材北师大版，举一反三，测试范围：第1章 勾股定理～第2章 实数）

**基本信息** 八年级数学北师大版勾股定理与实数拔尖卷，120分钟120分，23题覆盖基础与综合，以赵爽弦图、感应门等情境融合文化传承与现实应用，检测空间观念与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|最简二次根式、勾股定理边长计算等|结合数轴、折叠情境考查概念辨析| |填空|6/18|二次根式有意义条件、正方形面积等|设置连续自然数平方根创新问题| |解答|7/72|赵爽弦图推导、长方体最短路程等|以垂美四边形、感应门距离体现应用意识|

八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 时间：120分钟 满分：120分 测试范围：第1章 勾股定理~第2章 实数 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共23题，单选10题，填空6题，解答7题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可量化学生的掌握程度！ 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川德阳·期中）在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 4．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 5．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 6．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 8．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 9．（25-26八年级下·云南昭通·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 10．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 12．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 13．（2025·广西南宁·模拟预测）已知都是实数，且，则的平方根为______． 14．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________． 15．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 16．（25-26八年级下·全国·期末）如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）装着一个感应器，当人体进入到感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段）走向感应门，当离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于________． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 18．（8分）（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，一块四边形的空地米，米，米，米． (1)连接，试判断的形状并说明理由； (2)为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，则此块空地的面积是多少平方米？ 19．（10分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 20．（10分）（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 21．（12分）（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 22．（12分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 23．（14分）（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学上学期第一次学情自测·拔尖卷 【新教材北师大版】 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1．（25-26八年级下·山东日照·开学考试）在、、、、中，最简二次根式的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解： ，可化简，不是最简二次根式； 不可以化简，是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； ，可化简，不是最简二次根式； 根指数是 ，不是最简二次根式； 所以最简二次根式只有 个． 2．（25-26七年级下·四川德阳·期中）在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解： ，， 在，，，，，，，中，无理数有，共个． 3．（25-26八年级下·云南玉溪·期中）一个直角三角形的两条边长分别为3和5，则第三条边的长度可以是（     ） A．15 B．8 C．6 D．4 【答案】D 【分析】未明确已知边是直角边还是斜边，需分类讨论，结合勾股定理计算后匹配选项． 【详解】解：分两种情况讨论. ∵当长为5的边为斜边时，第三边为直角边， ∴第三边长为； ∵当长为5的边为直角边时，第三边为斜边， ∴第三边长为． ∴D选项符合题意． 4．（25-26八年级下·江苏苏州·开学考试）已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 5．（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）实数a、b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（     ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴得出，则，，再化简二次根式，计算整式的加减即可． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 6．（25-26八年级下·天津东丽·期末）如图，在矩形中，，，折叠该矩形，使点D与点B重合，折痕为，则的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由折叠的性质可得，设，则，利用勾股定理可得方程，解方程求出，根据折叠的性质和矩形的现在得出即到的距离为，再利用三角形面积计算公式求解即可． 【详解】解：由折叠的性质可得， 设，则， ∵矩形， ∴，与的距离为，即到的距离为， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴， . 7．（25-26八年级上·上海·期中）已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解： ，， ， 原式， 故选：C． 8．（25-26八年级下·河南安阳·期末）如图，正方形A，B，C的边长分别为，1和 ，则图中阴影部分的面积为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】用大长方形的面积减去正方形A，B，C的面积求解即可. 【详解】解：图中阴影部分的面积为 . 9．（25-26八年级下·云南昭通·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题利用分母有理化化简每一项，再通过裂项相消消去中间项得到结果，用到平方差公式进行分母有理化． 【详解】解： ． 10．（25-26九年级下·湖南株洲·开学考试）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11．（25-26七年级下·上海·期末）有两个连续的自然数，若其中较小的自然数的平方根是，则其中较大的自然数的算术平方根是___________． 【答案】 【分析】根据平方根的定义得到较小自然数，再利用连续自然数的性质得到较大自然数，最后求出较大自然数的算术平方根． 【详解】解：∵较小的自然数的平方根是， ∴较小的自然数为， ∵两个数是连续的自然数， ∴较大的自然数为， ∴较大的自然数的算术平方根是． 12．（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期中）当x满足______时，在实数范围内有意义． 【答案】且 【分析】根据二次根式有意义和分式有意义的条件列出不等式，取所有条件的公共范围即可求解． 【详解】解：∵要使在实数范围内有意义， ∴，且， 解不等式，得； 解不等式，得； ∴当且时，在实数范围内有意义． 13．（2025·广西南宁·模拟预测）已知都是实数，且，则的平方根为______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即被开方数为非负数，列出不等式组求出的值，再代入原式求出的值，计算得到后，根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：要使二次根式和有意义，需满足， 解得， 将代入，得， ∴， 根据平方根的定义，的平方根为． 14．（25-26八年级下·湖北·阶段检测）如图，，以的三边为边向外分别作正方形．然后以两个小正方形的边向外分别作两直角边之比为的直角三角形，再以得到的直角三角形的两直角边为边向外作正方形，则图中所有的正方形的面积之和为____________． 【答案】 【分析】先由勾股定理求出，进而求出三边构造的正方形面积，再由以直角三角形三边向外所作的正方形面积关系求解即可． 【详解】解：如图所示： 在中，，则， ， ， ． 15．（25-26八年级下·湖北黄石·期末）如图，正方形A、B的面积分别为和，现将正方形A的边长分别增加和得到矩形甲；将正方形B的边长都增加得到一个新的正方形乙，请通过计算比较甲、乙两个图形的面积的大小，则甲面积______乙面积．（填“大于”、“小于”或“等于”） 【答案】大于 【分析】根据题意表示出矩形甲和乙的面积，然后相减得到，然后由进而求解即可． 【详解】解：∵正方形A，B的面积分别为和， ∴正方形A，B的边长分别为和， 根据题意得，矩形甲的面积为：； 矩形乙的面积为：； ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴矩形甲的面积大于矩形乙的面积． 16．（25-26八年级下·全国·期末）如图，线段是感应门的示意图，在其正上方点A处（离地2.1米）装着一个感应器，当人体进入到感应范围内时，门会自动打开．身高1.6米的小宝（线段）走向感应门，当离门1.2米的地方时（米），感应门自动打开，则此时小宝的头顶D到感应器A的距离等于________． 【答案】1.3米 【分析】过点D作于点E，先证明四边形是矩形，利用矩形的性质，求出，运用勾股定理求出即可． 【详解】解：过点D作于点E，如下图 ， 四边形是矩形， 米，米， （米），米， 在中，（米）． 三、解答题（本大题共7小题，满分72分） 17．（6分）（25-26八年级下·江苏南京·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简每一项二次根式，再合并同类项得到结果； （2）利用完全平方公式和平方差公式展开，再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．（8分）（25-26八年级下·广东江门·期中）如图，一块四边形的空地米，米，米，米． (1)连接，试判断的形状并说明理由； (2)为了绿化环境，计划在该空地上铺设草坪，则此块空地的面积是多少平方米？ 【答案】(1)直角三角形 (2)234 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理． （1）在中，根据勾股定理得的长，在中，勾股定理逆定理可得是直角三角形； （2）根据求出四边形的面积即可 【详解】（1）解：在中，，由勾股定理得：， ， ， （舍负）， ， ， ， 是直角三角形，即； （2）解： （平方米）． 答：此块空地的面积是234平方米． 19．（10分）（25-26八年级下·陕西商洛·期中）实验中学有一块长方形的文化长廊（如图），该文化长廊的长为，宽为，现计划在该长廊的中间放置一个正方形展台，展台的边长为．除去放置展台的区域、其余区域（阴影部分）全部需要刷上涂料． (1)这个文化长廊的周长是多少米？ (2)刷涂料的面积是多少平方米？ 【答案】(1)该长方形的文化长廊区域的周长为米 (2)刷涂料的面积为平方米 【分析】（1）利用长方形周长公式及二次根式的运算法则计算即可； （2）长方形面积减去小正方形面积即可求出涂料的面积． 【详解】（1）解：根据题意可得，这个文化长廊的周长 （米）， 答：该长方形的文化长廊区域的周长为米； （2）解： （平方米） 答：刷涂料的面积为平方米． 20．（10分）（25-26八年级下·黑龙江大庆·阶段检测）对角线互相垂直的四边形叫“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线，交于点O． (1)若，，，，请求出，，，的值； (2)若，，求的值． 【答案】(1)，，， (2)136 【分析】（1）由“垂美”四边形的定义得到，再由勾股定理即可求解； （2）由（1）可得 ，即可求解． 【详解】（1）解：四边形是“垂美”四边形， ， ∴， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，． （2）解：由（1）有，，，． ∴ ， ，， ． 21．（12分）（25-26八年级上·安徽宿州·阶段检测）如图，长方体的长、宽、高分别为2，4，3，，为长方体的两个顶点． (1)求点到点之间的距离； (2)若一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，求爬行的最短路程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理的运用，求最短路径，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）如图1，标记顶点，，连接，，根据勾股定理先算出的长，再利用勾股定理计算出的长即可． （2）在平面内两点之间线段最短，分别把长方体中蚂蚁所走的路线放到前面和上面、前面和右面、左面与上面同一个平面内，根据勾股定理计算出的长进行比较即可． 【详解】（1）解：如图1，标记顶点，，连接，． 在中，， ∴． 在中，， ∴． 即点到点的距离为． （2）将长方体中含有，两点的平面展开成平面图． 如图2所示，， 如图3所示，， 如图4所示，， 因为， 所以一只蚂蚁从长方体表面的点爬到点，爬行的最短路程为． 22．（12分）（25-26九年级下·山东淄博·期末）阅读材料，在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如：；． (1)填空： ； (2)请你仿照小明的方法化简． 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设正方形的边长为，正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解： （2）略 （3）设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 23．（14分）（25-26七年级下·云南昭通·期中）赵爽弦图是中国古代数学家赵爽在注解《周髀算经》时提出的勾股定理证明方法，记载于三国时期．图①是一个赵爽弦图，四个直角三角形较短的直角边长都为，较长的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为，斜边长为，则． (1)【探索求证】 数学兴趣小组的学生用三块直角三角形硬纸板拼出图②，其中，请你利用图②推导勾股定理． (2)【问题解决】 同学们经过进一步研究，发现通过勾股定理，可以计算任意已知三条边长的三角形的面积．如图③，已知中，，作，就可以计算出的面积．请你完善解答过程，求出的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别用梯形的面积公式，三个三角形面积相加得梯形面积，构造等量关系即可求解； （2）根据勾股定理构造等量关系即可求得的长度，即可求解面积． 【详解】（1）解：， 且， ， ． （2）解：由题意设， ， ． ， ． 在中， 在中， ， 解得， ， ． ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $