精品解析：宁夏青铜峡市第一中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

2025-2026学年第一学期开学考试 高三数学 试卷满分：150分；考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】化简集合，由集合的交集定义计算即可. 【详解】因为， 所以. 故选：D 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 【答案】D 【解析】 【分析】由题意解绝对值不等式，再结合必要不充分条件的定义即可得解. 【详解】的解集为，所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：D. 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的值，从而求出的值即可. 【详解】∵， ∴. 故选：B. 4. 已知直线经过点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 【答案】B 【解析】 【分析】依题意可得，再利用乘“1”法及基本不等式计算可得. 【详解】因为直线经过点， 所以， 所以 ， 当且仅当，即、时取等号. 故选：B 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和以及系数之和求，再根据二项式定理运算求解即可. 【详解】因为的二项式系数之和为32， 则，解得，即二项式为， 因为展开式各项系数和为243， 令，代入可得，解得，即二项式为， 则该二项式展开式的通项为， 令，解得， 则展开式中的系数为. 故选：C. 6. 已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分段函数单调递减，函数在个区间上递减，且左边函数在右端点值大于右边函数的左端点值，建立不等式组，求得范围. 【详解】因为在上单调递减，所以，解得，则a的取值范围是. 故选：D 7. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用函数的奇偶性和函数的单调性求解即可. 【详解】由题意可知的解集是 的解集是． 因为不等式等价于不等式组或 所以不等式的解集是． 故选：B. 8. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】令，由已知可得为上的增函数，从而可得恒成立，参变分离可求的取值范围. 【详解】根据 可知， 令， 可得为上的增函数， 所以恒成立，分离参数得， 而当时，， 当且仅当，即时取等号，故最大值为，所以， 所以的取值范围是. 故选：A. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 有两个不等实根 D. 的解集为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由分段函数定义计算函数值判断A，分类讨论求函数的最大值判断B，解方程判断C，解不等式判断D． 【详解】，，A正确； 时，，时，是减函数，，所以无最大值，B错； 当时，由可得，解得，时，由可得，解得，所以有两个不等实根，C正确； 时，由得，时，由，， 综上的解为，D正确． 故选：ACD． 10. 盒子中共有4只黑球，2只白球，现从中不放回地每次任取一球，连取两次，则下列选项正确的是（ ） A. 第一次取到黑球的概率为 B. 事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”互斥不对立 C. 在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为 D. 第二次取到黑球的概率为 【答案】AC 【解析】 【分析】求出第一次取到黑球的概率可判断A；列出“第一次取到黑球”、“第一次取到白球”包含的基本事件可判断B；根据条件概率公式计算可判断C；求出第二次取到黑球的概率可判断D. 【详解】对于A，第一次取到黑球的概率为，故A正确； 对于B，事件“第一次取到黑球”包括第一次取到黑球第二次取到黑球， 或者第一次取到黑球第二次取到白球两种情况； “第一次取到白球”包括第一次取到白球第二次取到白球， 或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况， 所以事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”即互斥又对立，故B错误； 对于C，设第一次取到白球为事件，第二次取到黑球为事件， 则第一次取到白球第二次取到黑球的概率为，， 所以在第一次取到白球的条件下， 第二次取到黑球的概率为，故C正确； 对于D，第二次取到黑球包括第一次取到黑球第二次取到黑球， 或者第一次取到白球第二次取到黑球两种情况， 所以第二次取到黑球的概率为，故D错误. 故选：AC. 11. 已知是定义域为的函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为4 B. 的图象只关于直线对称 C. 当时，函数有5个零点 D. 当时，函数的最小值为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，将变形为结合可得，由此即可判断；对于B，可得，即函数的图象关于直线对称，结合周期性即可判断；对于C，D，画出函数在上的大致图象，结合图象即可判断C，由周期性求出最小值即可判断D. 【详解】由得，，故函数的周期为4，A正确； 由可得， 所以函数的图象关于直线对称，且关于直线对称（周期性），B不正确； 作出函数在上的大致图象如图所示， 由图可知，当时，函数有5个零点，C正确； 当时，函数的最小值为，D错误. 故选：AC. 【点睛】关键点点睛：判断C选项的关键是画出该部分的函数图象，观察图象即可得解. 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 【答案】##． 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的性质即可解出． 【详解】因为，所以，因此． 故答案为：． 13. 5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 【答案】30 【解析】 【分析】由分步乘法计数原理计算即可得解． 【详解】先选1名去新疆，再选2名去青海，剩下的2名去西藏，方法数为， 故答案为：30. 14. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 【答案】 【解析】 【分析】分析可知命题“”为真命题，对实数的取值进行分类讨论，再根据二次不等式恒成立即可求解. 【详解】由题意可知，题“”为真命题， 当时，由可得，不符合题意， 当时，根据题意知不等式恒成立则， 解之可得. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 【答案】（1） （2）单调递增区间是，单调递减区间是 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程； （2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可. 【小问1详解】 因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 因的定义域为， 令 得 ，令 得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是. 16. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2），使得成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设二次函数，根据题意列式求即可； （2）可得，根据存在性问题结合一次函数性质可得，解不等式即可. 【小问1详解】 设二次函数， 因为， 则，解得，即， 又因为，可得， 所以的解析式为. 【小问2详解】 由题意可得：，则在内单调递增， 则在内的最小值为， 若使得成立，则， 即，解得或， 所以的取值范围是. 17. 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 （1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； （2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）学生的性别对选科分类有影响. （2）的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 【解析】 【分析】（1）根据列联表中的数据计算，与临界值对比分析即可求解； （2）根据全概率公式求解男生选化学和地理的概率，然后结合二项分布求分布列和数学期望. 【小问1详解】 零假设为：学生的性别对选科分类没有影响. 根据列联表中的数据，经计算得到 ， 根据小概率值的独立性检验，我们推断零假设不成立， 即认为学生的性别对选科分类有影响. 【小问2详解】 设表示事件：男生选化学和地理，表示事件：男生选物理，表示事件：男生选历史. 由题意，，， 且，， . 则，所以， ， ， ， ， 的分布列如下表所示： 0 1 2 3 4 （另解：因为，所以） 18. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 【答案】（1）R； （2）当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为；当时，解集为或；当时，解集为或. 【解析】 【分析】（1）时，，由根的判别式得到解集为R； （2）因式分解得到，分，，，和五种情况，得到不等式的解集. 【小问1详解】 时，， 令，即，由于， 所以的解集为R； 【小问2详解】 ，即， 整理得，即， 当时，，解得； 当时，，解得； 当时，，不等式化为，解得； 当时，，解得或； 当时，，解得或； 综上，当时，解集为；当时，解集为； 当时，解集为；当时，解集为或； 当时，解集为或. 19. 已知函数的定义域为，满足且. （1）求函数的解析式； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据化简可得，利用求得，即得函数解析式； （2）按照函数单调性的定义即可证明结论； （3）结合函数性质将不等式化为，再利用函数单调性结合定义域可得不等式组，求得答案. 【小问1详解】 由可得，可得，解得， ，，故. 【小问2详解】 证明：任取、且，即，则，， 所以，， 则，所以，函数在上为增函数. 【小问3详解】 由可得， 结合函数单调性可得，解得或， 因此，不等式的解集为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期开学考试 高三数学 试卷满分：150分；考试时间：120分钟； 第I卷（选择题） 一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 充分不必要条件 D. 必要不充分条件 3. 已知函数，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知直线经过点，则的最小值为（ ） A. 4 B. 8 C. 9 D. 5. 若的展开式中二项式系数之和为32，各项系数之和为243，则展开式中的系数是（ ） A. 32 B. 64 C. 80 D. 16 6. 已知函数，在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 设是定义在上的奇函数，且．若在上单调递减，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知函数，关于函数的结论正确的是（ ） A. B. 的最大值为 C. 有两个不等实根 D. 的解集为 10. 盒子中共有4只黑球，2只白球，现从中不放回地每次任取一球，连取两次，则下列选项正确的是（ ） A. 第一次取到黑球的概率为 B. 事件“第一次取到黑球”和“第一次取到白球”互斥不对立 C. 在第一次取到白球的条件下，第二次取到黑球的概率为 D. 第二次取到黑球的概率为 11. 已知是定义域为的函数，满足，当时，，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小正周期为4 B. 的图象只关于直线对称 C. 当时，函数有5个零点 D. 当时，函数的最小值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 已知随机变量X服从正态分布，且，则____________． 13. 5名大学生到新疆、青海、西藏三个地方去支教，每名同学只去1个地方，新疆安排1名，青海安排2名，西藏安排2名，则不同的安排方法共有__________. 14. 若命题：“，”为假命题，则实数a的取值范围为____________. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 函数 （1）求在点处的切线方程. （2）求的单调区间. 16. 已知二次函数满足，且. （1）求的解析式； （2），使得成立，求的取值范围. 17. 生涯规划是对职业生涯乃至人生进行持续的系统的计划过程.高中选科分类是生涯规划的重要组成部分，生涯规划专业团队为某“乡村振兴县”的高中学生指导学生选科分类，生涯规划团队在该县的高一学生中随机抽取100名学生，进行选科类别与学生性别的关系研究，得到的统计数据如下列联表：（单位：名） 男生 女生 合计 历史类 15 25 40 物理类 35 25 60 合计 50 50 100 （1）依据的独立性检验，分析学生的性别是否对选科分类有影响； （2）生涯规划团队远过对随机抽取的100名学生中的男生的样本数据分析得到：首选物理，再选化学和地理的频率为；首选历史，再选化学和地理的频率为.以样本估计总体，频率估计概率，为进一步了解学生选科的情况，再从全校男生中用随机抽样的方法选取4名学生，记选取的4名男生中选化学和地理人数为，求的分布列和数学期望. 附，. 0.100 0.050 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 18. 设函数，． （1）若，求的解集； （2）解关于x的不等式：． 19. 已知函数的定义域为，满足且. （1）求函数的解析式； （2）用定义法证明函数在上单调递增； （3）解不等式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $