专题02 整式重难点题型专训（3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年七年级数学上册重难点专题提升精讲精练（苏科版2024）

专题02 整式重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 整式的判断 题型六 写出满足某些特征的单项式 题型七 多项式的系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 拓展训练一 整式中的规律探究问题 拓展训练二 单项式的规律问题 拓展训练三 新定义问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，4 C．，1 D．2，4 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）的系数是 ，次数是 ． 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）多项式的各项分别是（   ） A．，，1 B．，， C．，，1 D．，， 2．（24-25七年级上·重庆江津·期中）多项式的次数为 ． 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）下列代数式不是整式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业） 和 统称整式． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·重庆江北·期中）代数式：，，，0，，中，单项式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 1．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列代数式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，单项式有 个，多项式有 个． 4．（24-25七年级上·浙江·期中）请把下列代数式按要求分类：（填写编号） ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩； 单项式：｛                   ｝； 多项式：｛                   ｝． 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）已知单项式的次数是7，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．7 1．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）单项式的系数与次数分别是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）是六次单项式，则 ． 3．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）若是关于的二次单项式，则的值为 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）若是含有字母x和y的五次单项式，求m，n可能的值． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列判断正确的是（    ） A．两个四次多项式的和一定是四次多项式 B．和都是单项式 C．单项式的次数是3，系数是 D．是三次三项式 2．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）把下列式子分别填在相应的大括号里： 单项式：{__________________________}； 多项式：{__________________________}； 整式：{__________________________}． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）世界杯排球赛的积分规则为：胜队获得3个积分（和情况下）负队0分；胜队获得2个积分（情况下）负队获得1个积分．某次比赛中甲队保持不败，以胜了场，以胜了场，以胜了场，则甲球队的积分用多项式可以表示为 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例4】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是1 C．多项式的常数项是1 D．多项式的次数是3 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法中，正确的有（    ）个 ①1和π是同类项，②两点之间的线段是两点之间的距离，③是五次三项式，④和都是单项式，⑤倒数等于本身的数是0、，⑥的系数是，次数是4 A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级上·四川·阶段练习）多项式 是 次 项式． 3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）根据多项式的有关概念填写下列表格． 多项式 次数最高的项 次数最高项的系数 次数 几次几项式 【经典例题五 整式的判断】 【例5】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）在，，，，中，整式有 个． 3．（24-25七年级上·四川德阳·期中）下列式子：，，，，，整式的个数是 个． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【经典例题六 写出满足某些特征的单项式】 【例6】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 2．（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）单项式的同类项可以是 （写出一个即可）． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）写出一个只含有字母，最高次项系数为，且一次项系数为，常数项为的二次三项式： 4．（24-25七年级上·安徽·期中）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【经典例题七 多项式的系数、指数中字母求值】 【例7】（24-25七年级上·吉林长春·期中）对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．和是同类项 D．各项分别是，， 1．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）多项式是关于，的四次二项式，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若多项式是关于的二次三项式，则 ． 3．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）如果多项式与多项式（其中a，b，c是常数）相等，那么各项系数的值分别为 ， ， ． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）已知关于的整式为． (1)若此整式是二次多项式，求的值． (2)若此整式是二项式，求的值． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（24-25七年级上·河南南阳·期中）把多项式按的升幂排列是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按降幂排列： ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）现有下列单项式：，如果要组合成一个七次三项式，那么按照x的降幂排列，这个多项式可以是 ． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【拓展训练一 整式中的规律探究问题】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·单元测试）已知多项式． (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗 (2)最后一项的系数的值为多少 (3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么 2．（2025七年级上·云南·模拟预测）观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【拓展训练二 单项式的规律问题】 1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）观察下面的三行单项式： ，…① ，…② ，…③ 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第①行第8个单项式为________，第②行第2024个单项式为______； (2)第③行第n个单项式为________﹔ (3)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当时，A的值． 3．（24-25七年级上·山西·期中）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果代数式（为常数）与（为常数）， 满足，则称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的相关式； (2)若与互为“相关式”，求的值． 2．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）中考新考法·新定义 定义：是关于a，b的多项式，如果，那么叫作“对称多项式”．例如，如果，则，显然，，则是“对称多项式”． (1)是“对称多项式”，试说明理由； (2)请写出一个“对称多项式”，___________（不多于四项）． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式（ ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）把多项式则按的升幂排列后，第三项是（    ） A．5 B． C． D． 4．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如果一个多项式是五次多项式，那么（     ） A．这个多项式最多有六项 B．这个多项式只能有一项的次数是五 C．这个多项式一定是五次六项式 D．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五 5．（2025·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）请写出一个含有两个字母、系数为的二次单项式 ．． 7．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）单项式的系数是 ，的次数是 ，多项式的次数为 ． 8．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 10．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 11．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）写出下列多项式的次数及常数项． (1)． (2)． 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 13．（24-25七年级上·吉林·期中）多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m和n的值； (2)将这个多项式按字母x的降幂排列，并直接写出它的常数项． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）用单项式表示下列各量，并说出它们的系数和次数． (1)原产量为吨，增产之后的产量为多少？ (2)底面积为、高为的圆锥的体积为多少？ (3)某商店上个月盈利元，这个月盈利比上个月减少25%，则这个月盈利多少元？ (4)小刚步行上学的速度为千米/小时，若小刚家到学校的距离为，则他上学需走多少小时？ 15．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 整式重难点题型专训 （3个知识点+8大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 单项式的判断 题型二 单项式的系数、次数 题型三 多项式的判断 题型四 多项式的项、项数或次数 题型五 整式的判断 题型六 写出满足某些特征的单项式 题型七 多项式的系数、指数中字母求值 题型八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列 拓展训练一 整式中的规律探究问题 拓展训练二 单项式的规律问题 拓展训练三 新定义问题 知识点一：单项式 1.单项式的定义：如，，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式. （1）单项式中不含加减运算，只包含数字与字母或字母与字母的乘法运算； （2）分母中含有字母的的式子不是单项式. 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做单项式的系数. （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率π是常数，单项式中出现π时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写成假分数. 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数. （1）没有写指数的字母，实际上其指数是1，计算时不能将其遗漏； （2）对于单独一个非零的数，规定它的次数是0. 【即时训练】 1．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）单项式的系数和次数分别是（  ） A．，3 B．，4 C．，1 D．2，4 【答案】B 【分析】本题考查了单项式的次数和系数，单项式的数字因数是单项式系数，次数是单项式中所有字母指数和，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：单项式的系数是，次数是， 故选：B 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）的系数是 ，次数是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查单项式的系数，次数．单项式中的数字因数是单项式的系数，所有字母的指数的和是单项式的次数．据此求解即可． 【详解】解：的系数是，次数是． 故答案为：，4 知识点二：多项式 1.多项式的定义：几个单项式的和叫做多项式； 2.多项式的项：在多项式中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项； （1）多项式的每一项包括它前面的符号； （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如是一个三项式. 3.多项式的次数：一个多项式中，次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数. （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数； （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出； （3）一个多项式是几次、有几项就叫几次几项式，如是二次三项式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·新疆和田·阶段练习）多项式的各项分别是（   ） A．，，1 B．，， C．，，1 D．，， 【答案】B 【分析】本题考查多项式的项．多项式中的每个单项式叫做多项式的项，由此可得答案． 【详解】解：该多项式有三项，分别为，， 故选B． 2．（24-25七年级上·重庆江津·期中）多项式的次数为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了多项式次数的定义，多项式里，次数最高项的次数叫做多项式的次数，据此求解即可． 【详解】解：多项式的次数为， 故答案为：5． 知识点三：整式 整式：单项式与多项式统称为整式. 单项式、多项式、整式与代数式这四者之间的关系：单项式、多项式必是整式，整式必是代数式，但反过来就不一定成立. 分母中含有字母的式子一定不是整式，但是代数式. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·湖南衡阳·期中）下列代数式不是整式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了整式，直接利用单项式和多项式统称为整式，分析得出答案．正确掌握整式定义是解题关键． 【详解】解：A、是单项式，是整式，不合题意； B、是单项式，是整式，不合题意； C、是多项式，是整式，不合题意； D、不是整式，符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业） 和 统称整式． 【答案】 单项式 多项式 【分析】根据整式的定义直接写出答案即可． 【详解】解：单项式和多项式统称整式． 故答案是单项式，多项式． 【点睛】本题主要考查了整式的定义，掌握整式是单项式和多项式统称． 【经典例题一 单项式的判断】 【例1】（25-26七年级上·重庆江北·期中）代数式：，，，0，，中，单项式的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的定义，由数与字母的积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或一个字母也叫做单项式．据此判断即可． 【详解】解：是分式，不是单项式；是多项式，不是单项式； ，是单独的数，是单项式； 0是单独的数，是单项式； ，是单项式； ，是单项式． 所以单项式有，0，，，共4个． 故选：D． 1．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）下列式子：①；②；③；④；⑤0；⑥；⑦，多项式的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】多项式是几个单项式和的形式． 【详解】解：多项式有：、共2个 故选：B． 【点睛】本题考了多项式的概念，抓住多项式是几个单项式的和． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）将式子填入相应的大括号中． 单项式：{              …}； 多项式：{              …}； 整式：{              …}． 【答案】见解析 【分析】本题考查单项式与多项式的概念，熟练掌握多项式和单项式的概念，能进行正确的分类是解题的关键． 由数与字母的积组成的式子叫做单项式，单独的一个数或一个字母也是单项式；多项式是由若干个单项式的和组成的代数式；单项式和多项式统称整式． 【详解】解：单项式：； 多项式：； 整式：． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）下列代数式中：①，②，③，④，⑤，⑥，⑦，单项式有 个，多项式有 个． 【答案】 【分析】本题考查了单项式和多项式的概念，根据数与字母乘积的代数式叫做单项式，几个单项式的和是多项式，即可得出答案． 【详解】解：根据定义可知，③、④、⑥是单项式，故单项式有个； ①、②是多项式，故多项式有个； 故答案为：，． 4．（24-25七年级上·浙江·期中）请把下列代数式按要求分类：（填写编号） ①；②；③0；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩； 单项式：｛                   ｝； 多项式：｛                   ｝． 【答案】③④⑤⑨；①⑥⑦⑧ 【分析】本题考查单项式和多项式的判断，根据数字与字母的乘积的形式叫做单项式，单个数字和单个字母也是单项式，几个单项式的和的形式，叫做多项式，进行判断作答即可． 【详解】解：单项式：｛③④⑤⑨｝； 多项式：｛①⑥⑦⑧｝． 故答案为：③④⑤⑨；①⑥⑦⑧ 【经典例题二 单项式的系数、次数】 【例2】（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）已知单项式的次数是7，则的值是（   ） A．0 B．4 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了单项式，解决本题的关键是掌握单项式次数的概念． 单项式中所有字母的指数的和叫做单项式的次数，根据单项式次数的概念解答即可． 【详解】解：∵单项式 的次数是7， ． 故选：B． 1．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）单项式的系数与次数分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式的概念，解题的关键是理解单项式的概念，属于基础题． 根据单项式系数、次数的定义来求解。单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数． 【详解】解：根据单项式系数、次数的定义，单项式的系数与次数分别是，． 故选：D． 2．（25-26七年级上·上海普陀·阶段练习）是六次单项式，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查单项式的系数和次数，单项式中数字因数叫做单项式的系数，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数．根据单项式系数、次数的定义求解即可．根据单项式的次数的概念列出方程，解方程得到答案． 【详解】解：是六次单项式， 故答案为： 3．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）若是关于的二次单项式，则的值为 ． 【答案】 【分析】根据单项式中，所有字母的指数和叫做这个单项式的次数，即可求出、、的值，再根据同底数幂的乘法以及幂的乘方运算法则计算即可解答． 【详解】解：是关于的二次单项式， ， 解得，， ， 故答案为：-8． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的定义求解答本题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）若是含有字母x和y的五次单项式，求m，n可能的值． 【答案】，或，或，或，． 【分析】本题考查单项式的概念，涉及分类讨论的思想． 根据单项式的概念即可求出答案． 【详解】解：因为是含有字母x和y的五次单项式， 所以，，为正整数， 所以，或，或，或，． 【经典例题三 多项式的判断】 【例3】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）下列式子：，，，，，中，整式的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了整式的概念，根据整式的定义从给出的式子中找出整式的个数即可，正确把握定义是解题关键． 【详解】解：是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是分式， 是单项式，属于整式， 是单项式，属于整式， ∴根据整式的定义可知，共有个， 故选：． 1．（24-25七年级上·广东广州·期中）下列判断正确的是（    ） A．两个四次多项式的和一定是四次多项式 B．和都是单项式 C．单项式的次数是3，系数是 D．是三次三项式 【答案】D 【分析】根据整式的加法，多项式的定义，单项式的定义、次数、系数逐项判断即可解答． 【详解】解：A、两个四次多项式的和不一定是四次多项式，故该选项不符合题意； B、 是多项式，故该选项不符合题意； C、 单项式的次数是4，系数是，故该选项不符合题意； D、是三次三项式,说法正确，符合题意． 故选D． 【点睛】本题主要考查了整式的加法，多项式的定义，单项式的定义、次数、系数等知识点，理解相关定义和运算法则是解答本题的关键． 2．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）把下列式子分别填在相应的大括号里： 单项式：{__________________________}； 多项式：{__________________________}； 整式：{__________________________}． 【答案】；；． 【分析】本题主要考查了多项式、单项式及整式的定义，掌握各部分的定义是关键． 由数字与字母的乘积组成的代数式叫做单项式，单独的一个数或字母也是单项式；几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，单项式、多项式都属于整式，据此解答本题． 【详解】解：单项式有：，，； 多项式有：，； 整式有：，，，，． 3．（24-25七年级上·河南安阳·期中）世界杯排球赛的积分规则为：胜队获得3个积分（和情况下）负队0分；胜队获得2个积分（情况下）负队获得1个积分．某次比赛中甲队保持不败，以胜了场，以胜了场，以胜了场，则甲球队的积分用多项式可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式、多项式，理解积分规则是解题关键．根据积分规则列出代数式即可得． 【详解】解：由题意得：甲球队的积分为， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）把下列代数式分别填入下表适当的位置： ，，，，，，． 代数式 整式 单项式 多项式 非整式 【答案】单项式：，，；多项式：，；非整式：， 【分析】本题考查了整式，需要根据整式、非整式、单项式和多项式的定义求解；单项式是指数字与字母或字母与字母相乘的代数式，多项式是几个单项式的和，从而找出其中的多项式和单项式；再根据整式包含单项式和多项式，代数式中除了整式就是非整式，即可确定其中的非整式． 【详解】解： 代数式 整式 单项式 ，， 多项式 ， 非整式 ， 故答案为：单项式：，，；多项式：，；非整式：，． 【经典例题四 多项式的项、项数或次数】 【例4】（25-26七年级上·江苏扬州·期中）下列说法正确的是（    ） A．单项式的系数是，次数是3 B．单项式a的系数是0，次数是1 C．多项式的常数项是1 D．多项式的次数是3 【答案】D 【分析】本题考查了单项式，多项式的相关概念，熟练掌握单项式与多项式的系数和次数概念是解题的关键． 根据单项式与多项式的系数和次数定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、单项式的系数是，次数是3，故本选项错误； B、单项式a的系数是1，次数是1，故本选项错误； C、多项式的常数项是，故本选项错误； D、多项式的次数是3，故本选项正确； 故选：D． 1．（24-25七年级上·四川成都·期中）下列说法中，正确的有（    ）个 ①1和π是同类项，②两点之间的线段是两点之间的距离，③是五次三项式，④和都是单项式，⑤倒数等于本身的数是0、，⑥的系数是，次数是4 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查同类型的定义，线段的性质，多项式的次数与项数，倒数的定义，单项式的定义与性质，掌握知识点是解题的关键．逐一分析判断，即可解答． 【详解】解：①1和π是是同类项，故该项正确； ②两点之间的线段的长度是两点之间的距离，故该项错误； ③是二次三项式，不是五次三项式，故该项错误； ④不是单项式，是单项式，故该项错误； ⑤倒数等于本身的数是，0没有倒数，故该项错误； ⑥的系数是，次数是4，故该项正确． 故选B． 2．（25-26七年级上·四川·阶段练习）多项式 是 次 项式． 【答案】 三 四 【分析】本题考查了多项式的项数与次数的定义，解题的关键是准确识别多项式中的每一个单项式（项），并计算每一项的次数，进而确定多项式的最高次数和项的总数． 先找出多项式中的所有单项式（项）；再分别计算每一项的次数（单项式中所有字母的指数和，常数项次数为0），找出次数最高的项的次数；最后数出单项式的个数，确定项数． 【详解】解：多项式中的单项式（项）分别为：、、、，共4个项； 项：的指数为2，的指数为1，次数为；   项：的指数为1，的指数为2，次数为；   项：的指数为1，的指数为1，次数为；   项（常数项）：次数为0； 最高次数为3，项数为4，故该多项式是三次四项式． 故答案为：三；四． 3．（25-26七年级上·黑龙江佳木斯·阶段练习）若多项式 是关于x的三次多项式，则多项式的值为 ． 【答案】3或5 【分析】本题考查多项式次数及系数，已知字母的值求代数式的值等．由题意得分两种情况讨论，当时和时，使得多项式是三次多项式求出的值，代入中即可得到本题答案． 【详解】解：∵多项式 是关于x的三次多项式， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 当时，即，此时时满足式子为三次多项式，即， ∴， 故答案为：3或5． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）根据多项式的有关概念填写下列表格． 多项式 次数最高的项 次数最高项的系数 次数 几次几项式 【答案】见解析 【分析】本题考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式．多项式中的每个单项式都叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项，各单项式的字母因数是每一项的系数，多项式的每一项都包括前面的符号，多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．根据定义作答即可. 【详解】解：填表如下． 多项式 次数最高的项 次数最高项的系数 7 1 次数 1 4 3 几次几项式 一次二项式 四次二项式 三次四项式 【经典例题五 整式的判断】 【例5】（24-25七年级上·江苏盐城·期中）下列各式中，①a；②；③0；④；⑤，整式的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的定义，掌握整式是单项式和多项式都统称成为解题的关键． 根据整式的概念逐个判断即可． 【详解】解：整式有a，0，，共3个． 故选B． 1．（24-25七年级上·云南昆明·期中）下列说法：①的系数是2；②多项式是二次三项式；③的常数项为2；④在，，，，0中，整式有3个．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查整式的相关概念，根据单项式的系数，多项式的项数和次数，常数项，整式的概念逐一进行判断即可． 【详解】解：的系数是；故①错误； 多项式是三次三项式；故②错误； 的常数项为；故③错误； 在，，，，0中，整式有，，0，共3个；故④正确； 故选A． 2．（24-25七年级上·山东德州·阶段练习）在，，，，中，整式有 个． 【答案】4 【分析】本题考查了整式的定义，整式中可以包含加，减，乘，除四种运算，但在整式中除式不能含有字母．单项式和多项式统称为整式．判断整式时，式子中含有等号和分母中含有字母的式子一定不是整式．掌握整式的定义是解题的关键． 【详解】解：在，，，，中，整式有，，，，共4个， 故答案为：4． 3．（24-25七年级上·四川德阳·期中）下列式子：，，，，，整式的个数是 个． 【答案】3 【分析】本题考查了整式的概念，分母不含未知数的式子即为整式，单项式和多项式统称整式，据此即可作答． 【详解】解：依题意，整式有，，， ∴整式的个数是3个， 故答案为：3 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）把下列式子按单项式，多项式，整式，二项式进行分类：（只写序号） ①；②；③；④；⑤0； ⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【分析】单项式是指只含乘法的式子，单独的字母或数字也是单项式。 多项式：若干个单项式的代数和组成的式子。 多项式中每个单项式叫做多项式的项，这些单项式中的最高次数，就是这个多项式的次数。 不含字母的项叫做常数；整式：单项式和多项式统称为整式。二项式是只有两项的多项式，即两个单项式的和． 【详解】解：单项式：，0 多项式：，，， 整式：，，，0，， 二项式：，， ，，是分式；是不等式，都不属于整式； 故答案为：单项式：④⑤；多项式：①③⑥⑩；整式：①③④⑤⑥⑩；二项式：③⑥⑩． 【点睛】本题考查整式、单项式、多项式、二项式的概念，解决本题关键是搞清整式、单项式、多项式的概念，紧扣概念作出判断． 【经典例题六 写出满足某些特征的单项式】 【例6】（24-25七年级上·湖南株洲·期中）已知一个单项式的系数为-3，次数为4，这个单项式可以是  (　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据单项式的系数和次数的意义即可解答． 【详解】解：A．3xy的系数是3，次数是2，故此选项不符合题意； B.3x2y2的系数是3，次数是4，故此选项不符合题意； C．-3x2y2的系数是-3，次数是4，故此选项符合题意； D．4x3的系数是4，次数是3，故此选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了单项式，熟练掌握单项式的系数和次数的意义是解题的关键． 1．（24-25七年级上·湖北荆门·期中）若一个单项式同时满足条件：①含有字母x，y，z；②系数为；③次数为5，则这样的单项式共有（  ） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】B 【分析】本题考查了单项式．根据单项式的系数是指单项式中的数字因数，次数是指单项式中所有字母指数的和，按要求写出即可． 【详解】解：同时满足条件①②③的单项式有，，，，，，共有6个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·新疆伊犁·期中）单项式的同类项可以是 （写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也相同的两个单项式是同类项，写出单项式的同类项即可． 【详解】解：单项式的同类项可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·河南商丘·期中）写出一个只含有字母，最高次项系数为，且一次项系数为，常数项为的二次三项式： 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查单项式的相关概念．根据单项式的系数（数字因数），次数（所有字母的指数和）的概念即可求解． 【详解】解：根据题意得，， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·安徽·期中）观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 【经典例题七 多项式的系数、指数中字母求值】 【例7】（24-25七年级上·吉林长春·期中）对于多项式，下列说法错误的是（    ） A．它是二次三项式 B．最高次项的系数是2 C．和是同类项 D．各项分别是，， 【答案】C 【分析】分别根据多项式和同类项的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、多项式是二次三项式，故本选项不符合题意； B、多项式最高次项的系数是2，故本选项不符合题意； C、和所含字母相同，但相同字母的指数不相同，不是同类项，故本选项符合题意； D、多项式各项分别是，故本选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查了多项式以及同类项，掌握相关定义是解答本题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）多项式是关于，的四次二项式，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多项式的次数及项数得出，，求解即可． 【详解】解：∵多项式是关于，的四次二项式， ∴，， ∴ 故选：A． 【点睛】题目主要考查多项式的次数及项数，准确掌握这两个基础知识点是解题关键． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）若多项式是关于的二次三项式，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了多项式的概念，几个单项式的和叫做多项式，每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫做常数项．如果一个多项式含有a个单项式，次数是b，那么这个多项式就叫b次a项式． 由题意可得该多项式的最高次数为2次，有三项，据此可得，然后求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ，即． 故答案为：1． 3．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）如果多项式与多项式（其中a，b，c是常数）相等，那么各项系数的值分别为 ， ， ． 【答案】 0 【分析】本题主要考查合并同类项及同类项求系数；先合并同类项再根据两个多项式相等求出相对应的系数即可． 【详解】解： ∵与相等 ∴ 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）已知关于的整式为． (1)若此整式是二次多项式，求的值． (2)若此整式是二项式，求的值． 【答案】(1)； (2)的值是0或-3． 【分析】本题考查了多项式的项数和次数，掌握多项式的项数和次数是解题的关键． （1）由整式为二次多项式，可得到，求出的值并验证答案即可； （2）由整式为二项式，分三种情况进行讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是二次多项式， ∴。 解得：， 若，则原式为：，不是二次多项式，不合题意，舍去； 若，则原式为：，是二次多项式，符合题意； ∴． （2）解：整式的三项分别为：、、， 若此整式是二项式，那么这三项中有一项的系数等于， 分以下三种情况讨论： ①当时，解得：， 若，则原式为：，是单项式，不合题意，舍去； 若，则原式为：，是二项式，符合题意； ②当时，解得：， 则原式为：，是单项式，不合题意，舍去； ③当，解得：， 则原式为：，是二项式，符合题意； 综上所述：的值是． 【经典例题八 将多项式按某个字母升幂（降幂）排列】 【例8】（24-25七年级上·河南南阳·期中）把多项式按的升幂排列是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了多项式，熟练掌握多项式的升幂排列是解题的关键．按某一个字母的升幂排列是指按此字母的指数从小到大依次排列，常数项应放在最前面． 【详解】解：多项式按字母a升幂排列为． 故选：B． 1．（24-25七年级上·吉林长春·期中）将多项式按的升幂排列的结果是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据升幂的定义结合题意对多项式进行排序，即可求解，本题考查了多项式的升幂排列，解题的关键是：明确是关于哪个字母，按升幂还是降幂排列． 【详解】解：由题意得将多项式按的升幂排列的结果是：， 故选：D． 2．（24-25七年级上·福建泉州·期中）把多项式按降幂排列： ． 【答案】 【分析】考查了多项式降幂排列的定义，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 先分清多项式的各项，然后按多项式降幂排列的定义排列． 【详解】多项式的各项为，8，，， ∴按x的降幂排列为． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）现有下列单项式：，如果要组合成一个七次三项式，那么按照x的降幂排列，这个多项式可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式的概念，根据题目要求写一个七次三项式，并按照x的降幂排列即可． 【详解】解：根据题意得， 故答案为：（答案不唯一）． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）把多项式重新排列： (1)按的升幂排列； (2)按的降幂排列． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式的重新排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．要注意，在排列多项式各项时，要保持其原有的符号． 【详解】（1）解：按的升幂排列为：． （2）按的降幂排列为：． 【拓展训练一 整式中的规律探究问题】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·单元测试）已知多项式． (1)根据这个多项式的排列规律，你能确定这个多项式是几次几项式吗 (2)最后一项的系数的值为多少 (3)这个多项式的第七项和第八项分别是什么 【答案】(1)十次十一项式； (2)； (3)； 【分析】（1）该多项式按照的降幂排列，每一项的次数是，奇数项的符号是正号，偶数项的符号是负号即可解答； （2）观察已知多项式每一项的系数即可得到最后一项的系数的值； （3）结合（1）即可得到多项式的第七项和第八项． 【详解】（1）解：∵多项式是按照的降幂排列， ∴该多项式有项，并且每一项的次数是， ∴该多项式是十次十一项式； （2）解：∵多项式有项， ∴每一项的系数是，且偶数项为负数，奇数项为正数， ∴第项的系数为， ∴第项的系数为， ∴, ∴最后一项的系数的值为． （3）解：∵多项式第项的系数为， ∴第七项的系数是，第八项的系数是， ∵多项式按照的降幂排列，且每一项的次数是， ∴第七项是, 第八项, 【点睛】本题考查了规律型：数字的变化列，多项式的有关概念，理解多项式的项，项数，次数是解题的关键． 2．（2025七年级上·云南·模拟预测）观察下列单项式：，，，⋯，，，⋯从中我们可以发现： (1)系数的规律有两条： 系数的符号规律是________，系数的绝对值规律是________； (2)次数的规律是________； (3)根据上面的归纳，可以猜想出第个单项式是________． (4)根据你猜想的结论，写出第2025个单项式是________． 【答案】(1)奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同 (2)与自然数序号相同 (3) (4) 【分析】本题主要考查了单项式、数字规律等知识点，根据题意找出规律是解题的关键． （1）根据题中给出的单项式找出其系数及其绝对值的规律即可； （2）根据题中给出的单项式找出其系数的次数的规律即可； （3）根据题中给出的单项式归纳规律即可； （4）根据（3）中的规律即可解答． 【详解】（1）解：∵第一个单项式是； 第二个单项式是； 第三个单项式是； …； ∴第n个单项式是． ∴系数的符号规律是奇数项为负，偶数项为正；系数的绝对值规律是与自然数序号相同． 故答案为：奇数项为负，偶数项为正；与自然数序号相同． （2）解：根据（1）可知：单项式的次数的规律是与自然数序号相同． 故答案为：与自然数序号相同． （3）解：根据（1）可以猜想出第个单项式是． 故答案为：． （4）解：根据（3）中的规律可得：第2025个单项式是． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·安徽亳州·期中）已知式子是关于的二次多项式，且二次项系数为，数轴上，两点所对应的数分别是和． (1)则_______，________；，两点之间的距离为_______； (2)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第几次时，点到达点； (3)有一动点从点出发第一次向左运动个单位长度，然后在新的位置第二次向右运动个单位长度，再在此位置第三次向左运动个单位长度，，按照如此规律不断地左右运动，当运动到第次时，求点所对应的有理数． 【答案】(1)，，； (2)当运动到第次时，点到达点； (3)第次运动点对应的数为． 【分析】（）根据是关于的二次多项式，且二次项系数为，可得，，再根据数轴上的两点的距离，即可得到，两点之间的距离； （）首先求出前几次点P运动后表示的数，然后得到规律，进而求解即可； （）根据（）得到的规律求解即可； 本题考查了多项式的概念，数字类规律问题，一元一次方程的应用，数轴上的动点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】（1）解：∵是关于的二次多项式，且二次项系数为， ∴，， ∴， ∴，两点之间的距离为， 故答案为：，，； （2）解：第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； 第次运动点对应的数为； ， ∴当第次运动时，点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∵点在点A的右边，则点P需要经过偶数次运动，又点B对应的数为， ∴， ∴， ∴； ∴当运动到第次时，点到达点； （3）解：由（）中的规律点对应的数为，且奇数次逐项递减，偶数次逐项递增， ∴第次运动点对应的数为． 【拓展训练二 单项式的规律问题】 1．（24-25七年级上·黑龙江·课后作业）观察下列单项式：，，，，，，，． 解决下列问题： (1)这组单项式中的第个单项式是什么？第个单项式是什么？ (2)请你根据中的结论，写出第个、第个单项式． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了探索单项式的变化规律，解决本题的关键是根据所给出的单项式的变化规律列出代数式． 根据前三个单项式可知：单项式的符号是正、负间隔出现，第个单项式的系数是，字母的指数是，按照规律写出第个和第个单项式； 由中得到的单项式的符号、系数、指数的变化规律可得结果． 【详解】（1）解：根据前三个单项式的系数和指数的变化规律可得： 第个单项式是， 第个单项式是； （2）由可知： 第个单项式是， 第个单项式是． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·课后作业）观察下面的三行单项式： ，…① ，…② ，…③ 根据你发现的规律，完成以下各题： (1)第①行第8个单项式为________，第②行第2024个单项式为______； (2)第③行第n个单项式为________﹔ (3)取每行的第9个单项式，令这三个单项式的和为A．计算当时，A的值． 【答案】(1)， (2) (3)513 【分析】本题考查单项式规律探究，求解代数式的值，能够通过所给例子，找到式子的规律，利用有理数的混合运算解题是关键． （1）观察所给的与式子可得：的特点，第个数是，的特点，第个数是，再进一步求解即可； （2）观察式子的特点，可得，，，，，归纳可得第个数是，即可求出解； （3）先求出，再将代入求出即可． 【详解】（1）解：的特点，第个数是， 第个单项式是； 的特点，第个数是， 第个单项式是； （2）解：∵，，，， ∴的第个数是； （3）解：的第个单项式是，的第个单项式是，的第个单项式是， ， 当时， ． 3．（24-25七年级上·山西·期中）阅读与思考 下面是一位同学的趣味数学研究．请仔细阅读并完成相应的任务． 趣味数学研究如图，用一个表格中的表示的次数，表示的次数，例如：表格中的；． (1)若，，，…，都是系数为1的关于，的单项式． ①由表格可知，______；______． ②由①中的规律可知，的次数为______． (2)若图中的多项式★为，其中，，为3个不同的正整数，且多项式的值为70，则的最大值为______． 【答案】(1)①；；② (2) 【分析】本题考查了数字类规律探索，代数式的值， （1）①根据规律，即可求解； ②根据规律可得，再求次数，即可求解． （2）再根据题意和★所处表格位置可得，由，，为个不同的正整数，可得的值，从而得出的值，然后代入中，即可得最大值． 【详解】（1）解：①由表格可知，；． 故答案为：；． ②由①中的规律可知，的次数为， 故答案为：． （2）解：根据题意和★所处表格位置，可得多项式★：中的， ∴将代入中，即为 ∵为其中，，为个不同的正整数， ∴求的最大值时，最小即可， ∴， 又∵多项式的值为，即， ∴， 解得：， ∴的最大值为， 故答案为：． 【拓展训练三 新定义问题】 1．（24-25七年级上·江苏南京·阶段练习）定义：如果代数式（为常数）与（为常数）， 满足，则称两个代数式互为“相关式”． (1)直接写出的相关式； (2)若与互为“相关式”，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据代数式互为“相关式”的定义解答即可； （2）先根据互为“相关式”的定义求出m、n，再代值计算即可. 【详解】（1）的相关式是； （2）因为与互为“相关式”， 所以，则， 所以， 所以. 【点睛】本考查了多项式的相关知识，正确理解代数式互为“相关式”的定义是关键. 2．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）中考新考法·新定义 定义：是关于a，b的多项式，如果，那么叫作“对称多项式”．例如，如果，则，显然，，则是“对称多项式”． (1)是“对称多项式”，试说明理由； (2)请写出一个“对称多项式”，___________（不多于四项）． 【答案】(1)是，见解析 (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查了多项式，新定义，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合题意，得，即可作答． （2）根据“对称多项式”进行作答即可． 【详解】（1）解：依题意，， ∴是“对称多项式”； （2）解：依题意，， ∴是“对称多项式” 故答案为：（答案不唯一）． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）定义：若一个多项式的各项系数之和为7的整数倍，则称这个多项式为“7倍系数多项式”，称这个多项式的各项系数之和为“7倍系数和”． 例如：多项式的系数和为，所以多项式是“7倍系数多项式”，它的“7倍系数和”为28． 请根据这个定义解答下列问题： (1)在下列多项式中，属于“7倍系数多项式”的是 ；（在横线上填写序号） ①；②；③． (2)若多项式是关于x、y的“7倍系数多项式”（其中m，n均为整数），则多项式也是关于x、y的“7倍系数多项式”吗?若是，请说明理由；若不是，请举出反例． 【答案】(1)①③ (2)是，理由见详解 【分析】本题考查了多项式的新定义， （1）分别算一下这三个多项式各系数之和是否为7的整数陪，即可求出答案； （2）根据题意可知，是7的整数倍，推出，根据要求推一下是否是7的整数倍即可． 【详解】（1）解：（1）①因为，是整式，所以这个多项式是“7倍系数多项式”； ②因为，不是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式”； ③因为，2是整数，所以这个多项式不是“7倍系数多项式； 故答案选：①③； （2）是，理由如下： 多项式是关于，的“7倍系数多项式”， 是7的整数倍， 设为整数，且， 则， 多项式的系数之和为：， ， ， 为7的倍数，即为7的倍数， 当多项式是关于，的“7倍系数多项式”，多项式也是关于，的“7倍系数多项式”． 1．（25-26七年级上·江苏·期中）下列哪个是单项式（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的定义，掌握单项式的定义“单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）”是解题的关键．根据单项式的定义判定即可． 【详解】单项式是数与字母的乘积（不含加减法或分母含字母）．A和C是多项式，D分母中含有未知数，只有B符合单项式定义． 故选：B． 2．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）多项式是关于的四次二项式，则的值是（　　） A．4 B． C． D．4或 【答案】C 【分析】本题考查了多项式的次数和系数，多项式的次数是指多项式中的次数最大的项的次数，根据多项式是关于的四次二项式，列式，则． 【详解】解：∵多项式是关于的四次二项式， ∴， 解得， 故选：C． 3．（24-25七年级上·河南南阳·阶段练习）把多项式则按的升幂排列后，第三项是（    ） A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了多项式的升幂排列，我们把一个多项式的各项按照某个字母的指数从大到小或从小到大的顺序排列，称为按这个字母的降幂或升幂排列．根据x的次数从小到大排列后即可求解． 【详解】解：∵， ∴升幂排列后，第三项是． 故选B． 4．（24-25七年级上·四川南充·阶段练习）如果一个多项式是五次多项式，那么（     ） A．这个多项式最多有六项 B．这个多项式只能有一项的次数是五 C．这个多项式一定是五次六项式 D．这个多项式最少有二项，并且最高次项的次数是五 【答案】D 【分析】本题考查了多项式，五次多项式，即其次数最高次项的次数五次．也就是说，每一项都可以是五次，也可以低于五次，但不可以超过五次． 【详解】解：根据多项式的定义，可知五次多项式最少有两项，并且有一项的次数是5． 故选：D． 5．（2025·云南楚雄·模拟预测）按一定规律排列的单项式：，，，，，…，第个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由所给的单项式可得，第n个单项式的系数是，的次数为，则可求第n个单项式为：．本题考查单项式的次数与系数，单项式的规律探究，根据所给单项式的系数与次数的特点，确定单项式的规律是解题的关键． 【详解】解：由所给的单项式可得，排在奇数位的单项式的系数为，排在偶数位的单项式的系数为， 即第n个单项式的系数是， 则， …… 以此类推，第n个单项式的的次数为， ∴第n个单项式为：， 故选：A． 6．（24-25七年级上·甘肃武威·期中）请写出一个含有两个字母、系数为的二次单项式 ．． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了单项式，先确定单项式的系数为，再选择两个字母，最后使得所有字母的指数和为即可构造符合条件的二次单项式． 【详解】含有两个字母、系数为的二次单项式为． 故答案为：（答案不唯一） 7．（25-26七年级上·甘肃武威·阶段练习）单项式的系数是 ，的次数是 ，多项式的次数为 ． 【答案】 3 4 【分析】本题主要考查了单项式和多项式，直接利用单项式以及多项式的次数确定方法得出答案． 【详解】解：单项式的系数是：， 的次数是：3， 多项式的次数为：4． 故答案为：，3，4． 8．（2025·上海·模拟预测）如果代数式为单项式，则p的值为 ． 【答案】5 【分析】本题考查单项式的概念，将代数式化为，根据单项式的概念即可得到答案． 【详解】解：， 要使其为单项式，则只可能为， 故， 故答案为：5． 9．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）观察多项式的构成规律，则： （1）它的第5项是 ； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查多项式中的规律探究．解题的关键是得到多项式按照的升幂排列，第项为． （1）由多项式的构成，可知第项为，进而得到第5项即可； （2）当时，得到和为：，进行计算即可． 【详解】解：（1）由题意，可知：多项式按照的升幂排列，第项为， ∴它的第5项是； 故答案为：； （2）当时，多项式前100项的和为 ． 故答案为：． 10．（2025七年级上·江苏扬州·模拟预测）（1）按一定规律排列的单项式：，，，，，…其中第个单项式是_______________ （2）按一定规律排列的单项式：，第个单项式是__________ 【答案】（1）  （2） 【分析】本题考查了单项式的数字类规律探索，对单项式正确进行等价变形是解题关键． （1）对所给的单项式进行整理后即可求解． （2）对所给的单项式进行整理后即可求解． 【详解】解：（1）∵， ， ， ， ， ∴第n个单项式为． （2）第1个单项式的系数为，次数为， 第2个单项式的系数为，次数为， 第3个单项式的系数为，次数为， 第4个单项式的系数为，次数为， 第5个单项式的系数为，次数为， ……， 以此类推，可知第个单项式的系数为，次数为，即第个单项式是， 故答案为：（1）  （2） 11．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）写出下列多项式的次数及常数项． (1)． (2)． 【答案】(1) ，； (2) ，． 【分析】本题考查了整式，熟练掌握“整式的次数由其构成中的最高次单项式决定，具体规则为：单项式次数是所有字母指数之和，多项式的次数是最高次项的次数”可以确定整式的次数，不含字母的项即为常数项是解题的关键； 根据“多项式的次数是最高次项的次数，不含字母的项即为常数项”即可确定. 【详解】（1）第一项次数为：； 第二项次数为； 第三项次数为； 第四项不含字母即为常数项； 次数是，常数项为. （2）第一项次数为：； 第二项次数为：； 第三项次数为：； 第四项次数为：； 第五项次数为：. 多项式中各项均含有字母，则常数项为. 12．（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）对于多项式（其中是大于的整数）． (1)若，且该多项式是关于的三次三项式，求的值； (2)若该多项式是关于的五次三项式，则、要满足什么条件？ 【答案】(1)1 (2)且 【分析】本题考查多项式，理解多项式的相关定义是解答的关键． （1）利用多项式的定义，得出的次数进而得出答案； （2）利用多项式的定义，得出的次数与系数进而得出答案． 【详解】（1）解：时，原多项式变为， ∵该多项式是关于的三次三项式， ∴，解得，即的值为1； （2）解：由题意得：且，即且． 13．（24-25七年级上·吉林·期中）多项式是关于x、y的四次三项式． (1)求m和n的值； (2)将这个多项式按字母x的降幂排列，并直接写出它的常数项． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了多项式的项数与次数，常数项以及把一个多项式按某个字母的降幂排列等知识内容，涉及分类讨论的初步应用， （1）根据多项式为四次多项式，分类讨论，求出m与n的值； （2）把多项式按字母x的次数由大到小顺序排列，即为降幂排列，即可作答． 【详解】（1）解：∵是关于x、y的四次三项式， ∴， 当时，则，此时多项式为，是关于x、y的四次三项式， 当，则，此时多项式为，是关于x、y的七次三项式，不符合所以，； （2）解：由（1）知，；此时多项式为， 因为将这个多项式按字母x的降幂排列， 所以，常数项为； 即将这个多项式按字母x的降幂排列为，常数项为． 14．（25-26七年级上·江苏扬州·课后作业）用单项式表示下列各量，并说出它们的系数和次数． (1)原产量为吨，增产之后的产量为多少？ (2)底面积为、高为的圆锥的体积为多少？ (3)某商店上个月盈利元，这个月盈利比上个月减少25%，则这个月盈利多少元？ (4)小刚步行上学的速度为千米/小时，若小刚家到学校的距离为，则他上学需走多少小时？ 【答案】(1)吨，系数为，次数为； (2)立方厘米，系数为，次数为； (3)元，系数为，次数为; (4)小时，系数为，次数为. 【分析】(1)增产后的产量为再化成吨，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可； (2)根据圆锥体积公式体积为立方厘米，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可； (3)盈利为再化成元，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可； (4)小刚上学需走小时，根据单项式系数和次数概念写出系数与次数即可. 【详解】（1）解：增产之后的产量为：吨，故：单项式为，系数为，次数为； （2）解：体积为，故：单项式为，系数为，次数为； （3）解：这个月盈利为元，故：单项式为，系数为，次数为； （4）解：小刚上学需走小时，故：单项式为，系数为，次数为. 【点睛】本题考查了列代数式，单项式的系数和次数，注意代数式的书写格式和掌握单项式系数和次数是解本题的关键. 15．（24-25七年级上·辽宁葫芦岛·期中）观察下列三行单项式： ，，，，，，…；① ，，，，，，…；② ，，，，，，…．③ 根据你发现的规律，解答下列问题： (1)第①行的第8个单项式为________； (2)第②行的第9个单项式为_________； (3)第③行的第n个单项式为_________；（用含有n的式子表示） (4)取每一行的第8个单项式，令这三个单项式的和为M．当时，求M的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)， 【分析】本题考查单项式规律的探索，对每个单项式的系数和字母部分分别找到规律是解题的关键． （1）根据第①行的数字的规律，从第一个单项式开始，后面的单项式系数每次乘以，指数每次加1，可得第8个单项式； （2）比较第①行和第②行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数加上1，字母部分和第①行相同，即可得到第9个单项式； （3）比较第①行和第③行，可发现从第一个单项式开始，系数是第①行对应的单项式的系数的2倍，字母部分的指数是第①行对应的单项式的字母指数加上1，即可得到第n个单项式； （4）取每行的第8个单项式，则可得，把代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，，，，，，…； ∴第8个单项式为； 故答案为：； （2）解：∵第①行的第9个单项式为， ∴比较第①行和第②行可得，第②行的第9个单项式为； 故答案为：； （3）解：∵第①行的第n个单项式为， ∴比较第①行和第③行可得，第③行的第n个单项式为； 故答案为：； （4）解：每行的第8个分别为，，， ∴， 当时，． 学科网（北京）股份有限公司 $