专题03 相交线重难点题型专训（4个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年苏科版七年级数学上册重难点专题提升精讲精练

本讲义聚焦相交线专题，系统梳理垂直的定义与应用、对顶角的性质、垂线的概念及画法等4个核心知识点，构建从基础定义到性质应用再到综合拓展的学习支架，助力学生逐步掌握相交线的关键内容。 资料以10大题型分层训练为特色，结合跳远测量、剪刀模型等生活实例，培养学生几何直观与推理意识，经典例题与拓展训练衔接紧密，课中辅助教师分层教学，课后帮助学生自我检测、查漏补缺，提升应用能力。

专题03 相交线重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 相交线 题型二 垂线的定义理解 题型三 画垂线 题型四 垂线段最短 题型五 点到直线的距离 题型六 对顶角的定义 题型七 对顶角相等 题型八 邻补角的定义理解 题型九 找邻补角 题型十 利用邻补角互补求角度 拓展训练一 与邻补角的计算 拓展训练二 与对顶角相等的计算 拓展训练三 相交线综合问题 知识点一：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，这是小苗同学跳远时沙坑的示意图．测量成绩时先用刻度尺从后脚印的点B处垂直拉至起跳线的点A处，然后记录AB的长度．这样做的依据是 ． 知识点二：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列与是对顶角的图为（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）猜谜语（打两个数学名词）从最后一个数起： 两牛相斗： ． 知识点三：垂线的概念及表示 1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段） 2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足. 4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，直线相交于点O，于O，且，则等于（　　）    A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知，CO与DO互相垂直，那么 ． 知识点四：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在同一平面内,经过一点 一条直线垂直于已知直线． 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 3．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示，线段的长度是点 到直线 的距离；点到直线的距离是 ． 4．（24-25七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【经典例题二 垂线的定义理解】 【例2】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如题图，直线，相交于点，，若，则（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，垂足为D，则下面的结论中正确的个数为（   ） ①与互相垂直；②点C到的垂线段是线段；③点A到的垂线段是线段；④线段的长度是点B到的距离；⑤线段是点A到的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点A，B，C在一条直线上，已知，，则与的位置关系是 ． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，直线，相交于点O，． (1)若，，则 ； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求和的度数． 【经典例题三 画垂线】 【例3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）过点P向线段所在直线画垂线段，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 4．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【经典例题四 垂线段最短】 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）从货场B到铁道怎样走最近？小明的做法是：过点B向铁道作垂线，这样做距离最短，其数学道理是（    ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（    ）． A．两点之间线段最短 B．点到直线之间的距离垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂直距离最短 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，在跳远比赛中，裁判员将皮尺的起始端固定在点处，拉紧皮尺，使皮尺，垂足为，则线段的长度就是运动员所跳的距离，这一做法运用的数学依据是 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图是小九同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段 的长度． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 【经典例题五 点到直线的距离】 【例5】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，点A到的距离是图中某条线段的长，则这条线段是（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上存在点P，记的长度为d，则d的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为 ，点到的距离为 ，点B到直线的距离为 ． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在三角形中，． (1)过点画的垂线，交于点； (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度； (3)在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 【经典例题六 对顶角的定义】 【例6】（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 1．（2025七年级上·江苏常州·专题练习）下列各图中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝ ． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角； (2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角； (3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角； (4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角． 【经典例题七 对顶角相等】 【例7】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，法线与平面镜互相垂直，若平面镜与水平线的夹角，则入射光线与反射光线的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可以把它想象成一个相交线模型．若，则 ． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则 ． 4．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，直线相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，则与垂直吗？如果垂直，请说明理由． 【经典例题八 邻补角的定义理解】 【例8】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中之间的关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，下列两角之间关系为同位角的是（　　） A．∠1与∠2 B．∠1与∠4 C．∠2与∠4 D．∠3与∠4 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，直线，，相交于点，则的邻补角有 个．    3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）在△ABC 中， D 为线段 BC 上一动点． （1）当∠ADB=50°时，可得：∠ADC=130°， 这一步骤的依据是： ； （2）当∠ADB=90°时，在线段 AB，AC 和AD 中， 线段 AD 的长度最短， 理由是： ． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【经典例题九 找邻补角】 【例9】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B．   C．  D．   1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（　） A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同旁内角 C．∠3与∠4是同位角 D．∠2与∠3是内错角 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与直线交于点O，过点O作射线，则的邻补角为 ． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线相交于点，，垂足为． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，求的度数． 【经典例题十 利用邻补角互补求角度】 【例10】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，点，，在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏扬州·专题练习）如图，已知直线、相交，这两条直线的锐角夹角是 ． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 【拓展训练一 与邻补角的计算】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 是直线 上一点， 为任一条射线， 平分 ， 平分 ．    (1)图中 的邻补角为 ， 的邻补角为 ． (2)如果 ，那么 ． 如果 ，那么 ． (3)试猜想 与 具有怎样的数量关系，并说明理由． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3）如图③，若，求的度数． 【拓展训练二 与对顶角相等的计算】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）直线相交于点，平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，若平分，，求的度数． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，直线，相交于点，三角尺的直角顶点与点重合，回答下列问题： (1)如图，若平分，判断是否平分，请说明理由． (2)绕点转动三角尺．在三角尺转动的过程中，若，且，求的度数． 【拓展训练三 相交线综合问题】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，两条直线相交． (1)如果，求的度数； (2)如果，求的度数． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 3．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 1．（24-25七年级上·江苏镇江·开学考试）下面四个图形中， 能判断的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于平面上的点和一条线，点与线上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点到线的距离，记为，以边长为6的正方形各边组成的折线为，若 ，则满足这样条件的所有点组成的图形 (实线图) 是 (     ). A． B． C． D． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 6．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线相交于点，若，则 ． 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期末）在体育课上某位同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段 的长． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是 ． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线相交于点O，，O为垂足，如果，则 度    11．（25-26七年级上·江苏南京·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·开学考试）如图，直线、、相交于点O，且，平分，若，求的度数． 13．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 14．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 15．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上， (1)若点A和点B在直线的上方（如图1），若，则___________°； (2)将此直角三角板绕顶点C旋转，使点A在直线的下方，点B仍然在直线的上方时（如图2），当时，求的度数； (3)将此直角三角板绕顶点C旋转，使点A和点B都在直线的下方时（如图3），若，则___________°； (4)将此直角三角板绕顶点C旋转，使点A在直线的下方，点B仍然在直线的上方时（如图2），当射线、射线射线组成的三个角中，有一个角是另一个角2倍时，请直接写出的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相交线重难点题型专训 （4个知识点+10大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 相交线 题型二 垂线的定义理解 题型三 画垂线 题型四 垂线段最短 题型五 点到直线的距离 题型六 对顶角的定义 题型七 对顶角相等 题型八 邻补角的定义理解 题型九 找邻补角 题型十 利用邻补角互补求角度 拓展训练一 与邻补角的计算 拓展训练二 与对顶角相等的计算 拓展训练三 相交线综合问题 知识点一：垂直 1．垂直的定义：如图，直线a、b相交成的四个角中有一个角是直角（通常标上直角标记），则直线a与直线b互相垂直，记作a⊥b或者b⊥a，交点O就是垂足．其中a是b的垂线，b也是a的垂线．垂线是直线，且相对于另一条直线而言． a b Oa 图1 2．垂直定义的应用： 　 （1）判定：若直线AB和CD相交，交点为O，∠BOC＝90°，则 AB⊥CD．这个推理过程可表示为： ∵ ∠BOC＝90°， ∴ AB⊥CD．　（垂直的判定）． （2）性质：若两条直线AB⊥CD，垂足为点O，则 ∠AOC＝∠AOD＝∠BOC＝∠BOD＝90°， 这个推理过程可表示为： ∵ AB⊥CD ∴ ∠BOC＝90°（垂直的定义）． C B Oa 图2 A D 对顶角是两个角之间的一种位置关系。两条直线相交时会产生一个交点，并产生以这个交点为顶点的四个角。称其中不相邻的两个角互为对顶角。或者说，其中的一个角是另一个的对顶角。 对顶角满足下列定理：两直线相交，对顶角相等。 【即时训练】 1．（2025·江苏常州·模拟预测）如图，经过点O的直线a，b，c，d中，有一条直线与直线垂直，请借助三角板判断，与直线垂直的是（    ） A．直线a B．直线b C．直线c D．直线d 【答案】B 【分析】用三角板的两条直角边中的一条与直线L重合，再另一条边直角边能与a、b、c、d中的那条边重合即可得解． 【详解】解：用三角板的两条直角边中的一条与直线l重合，再另一条边直角边能与b重合， 故选：B． 【点睛】本题主要是考查了两条直线垂直的性质，两条直线垂直其所夹的角为直角． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，这是小苗同学跳远时沙坑的示意图．测量成绩时先用刻度尺从后脚印的点B处垂直拉至起跳线的点A处，然后记录AB的长度．这样做的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】根据点到直线，垂线段最短，即可求解． 【详解】解：根据题意得：这样做的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短 【点睛】本题主要考查了垂线段最短，熟练掌握垂线段最短，指的是从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．它是相对于这点与直线上其他各点的连线而言． 知识点二：对顶角 1.一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这两个角叫做对顶角. 如图所示，两条直线形成的四个角，∠1和∠3是对顶角，∠2和∠4是对顶角. （1）对顶角形成的前提条件是两条直线相交，对顶角必须有公共顶点； （2）对顶角是成对出现的，单独的一个角不能称为对顶角. 2.对顶角的性质：对顶角相等. 对顶角一定相等，相等的角不一定是对顶角. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）下列与是对顶角的图为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的概念，根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断，正确理解对顶角的概念是解题的关键． 【详解】解：根据对顶角的概念可知，选项A是对顶角， 故选：A． 2．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）猜谜语（打两个数学名词）从最后一个数起： 两牛相斗： ． 【答案】 倒数； 对顶角 【分析】从最后一个数起即倒数，两牛相斗即对顶角． 【详解】从最后一个数起即倒数，两牛相斗即对顶角． 故答案为倒数、对顶角． 【点睛】本题考查了倒数和对顶角的概念，趣味性较强． 知识点三：垂线的概念及表示 1.垂线：如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角，那么这两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另一条直线的垂线.（垂线是直线，不是线段） 2.垂足：互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 3.表示方法：如图所示，两条直线互相垂直，记作a⊥b或AB⊥CD，O是垂足. 4.两条直线互相垂直时，常在垂足处写一个直角标志“┑”. 5.线段与线段、线段与射线、射线与射线垂直，指的都是它们所在的直线互相垂直. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，直线相交于点O，于O，且，则等于（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据得到，进一步利用得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查垂线的定义，已知垂直可以得到角是解决问题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，已知，CO与DO互相垂直，那么 ． 【答案】 【分析】根据CO与DO互相垂直，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵CO与DO互相垂直， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题主要考查了垂线的定义，熟练掌握当两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直是解题的关键． 知识点四：垂线的画法 如图所示，过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线. 【即时训练】 1．（24-25七年级上·江苏常州·期中）已知三角形，用直角三角板过点作直线的垂线，下列三角板的位置摆放正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查作垂线，根据过点作已知直线的垂线方法进行判断即可． 【详解】解：选项A中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意； 选项B中三角板过点A，且垂直 ，故符合题意； 选项C中三角板不过点A，故不符合题意； 选项D中三角板过点A，但不垂直，故不符合题意， 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）在同一平面内,经过一点 一条直线垂直于已知直线． 【答案】有且只有 【分析】利用定理“在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”解答． 【详解】在同一平面内,经过一点做已知直线的垂线，能做出且只能做出一条直线来． 故答案为：有且只有 【点睛】考核知识点：垂直性质．熟记“在同一平面内,经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是解答本题的关键． 【经典例题一 相交线】 【例1】（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 【答案】D 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】解：A、∵∠CDA＝60， ∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意； B、∵∠ACD＝90， ∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意； C、∵∠ACD＝90， ∴DC⊥AC， ∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意； D、∵BD和AD不垂直， ∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）以下四个图中有直线、射线、线段，其中能相交的是（  ） A．①②③④ B．①③ C．②③④ D．① 【答案】B 【分析】根据直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸依次判断即可． 【详解】解：①射线和直线延伸后可以相交，符合题意； ②线段不能向两端延伸，不能相交，不符合题意； ③两条直线延伸后可以相交，符合题意； ④射线和直线延伸后不能相交，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查直线、线段及射线的知识，掌握直线可以沿着两个方向延伸，射线可以沿着一个方向延伸，线段不能延伸是解题关键． 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）我们知道两直线交于一点，对顶角有2对，三条直线交于一点，对顶角有6对，四条直线交于一点，对顶角有12对，… （1）10条直线交于一点，对顶角有 对． （2）n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有 对． 【答案】 90 n（n﹣1） 【分析】（1）仔细观察计算对顶角的式子，发现式子不变的部分及变的部分的规律，求出本题结论； （2）利用（1）中规律，用字母表示数得出答案即可． 【详解】解：（1）如图① 两条直线交于一点，图中共有=2对对顶角；如图②三条直线交于一点，图中共有=6对对顶角；如图③四条直线交于一点，图中共有=12对对顶角；…； 按这样的规律，10条直线交于一点，那么对顶角共有：=90， 故答案为：90； （2）由（1）得：n（n≥2）条直线交于一点，对顶角有：=n（n﹣1）． 故答案为：n（n﹣1）． 【点睛】此题主要考查了对顶角以及图形变化规律，本题是一个探索规律型的题目，解决时注意观察每对数之间的关系．这是中考中经常出现的问题． 3．（24-25七年级上·江苏南京·课后作业）如图所示，线段的长度是点 到直线 的距离；点到直线的距离是 ． 【答案】 P 线段的长 【分析】点到直线的距离即过点作直线的垂线段的长，据此解题． 【详解】解：线段的长度是点P到直线的距离；点到直线的距离是线段的长， 故答案为：P，，线段的长． 【点睛】本题考查垂线、点到直线的距离等知识，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 4．（24-25七年级上·江苏·期末）在同一平面内有条直线，设它们的交点个数为． 例如：当时，或（如图所示）． (1)当时，可以取哪些不同的值？请画图说明； (2)当时，的最大值为多少？请画图说明； (3)的最大值为__________（用含的式子表示） (4)当时，的最大值为多少？请画图说明． 【答案】(1)0,1,2,3； (2)6 (3) (4)7 【分析】本题主要考查了直线的交点、图形规律等知识点，根据题意画出图形、归纳规律并应用规律是解题的关键． （1）画出3条直线交点的所有情况即可解答； （2）画出4条直线交点的所有情况即可解答； （3）根据、3、4归纳出规律即可解答； （4）根据题意画出图形即可解答． 【详解】（1）解：如图：当时，的值可以有：0，1，2，3． （2）解：如图：当时，m的最大值为6．    （3）解：由题意可知： 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， 当时，m的最大值为， …… 当时，m的最大值为，则m的最大值为． 故答案为：． （4）解：如图：当时，的最大值为7．    【经典例题二 垂线的定义理解】 【例2】（24-25七年级上·江苏镇江·阶段练习）如题图，直线，相交于点，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查垂直的定义，对顶角性质，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据垂直的定义得到，进而得到的度数，最后利用对顶角相等求解，即可解题． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵是对顶角， ∴． 故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，，，垂足为D，则下面的结论中正确的个数为（   ） ①与互相垂直；②点C到的垂线段是线段；③点A到的垂线段是线段；④线段的长度是点B到的距离；⑤线段是点A到的距离． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离的定义． 直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，由此即可判断． 【详解】解：①由得到与互相垂直，故①符合题意； ②由得到点到的垂线段是线段，故②不符合题意； ③由得到点到的垂线段是线段，故③符合题意； ④由得到线段的长度是点到的距离，故④符合题意； ⑤由得到线段的长度是点到的距离，故⑤不符合题意． 结论中正确的个数为3个． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点A，B，C在一条直线上，已知，，则与的位置关系是 ． 【答案】互相垂直 【分析】本题考查垂直的定义，正确求得是解题的关键．根据题意可得，进而求得，即可得出答案． 【详解】解：∵A、B、C三点在一直线上， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即与的位置关系是垂直关系， 故答案为：互相垂直． 3．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图为《天工开物》记载用于春（）捣谷物的工具“碓（）”的平面结构示意图，与水平线相交于点，于点，于点，．若，则的大小为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，根据垂直定义可得，从而可得，然后利用四边形内角和是进行计算，即可求解，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 【详解】解：∵于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·期中）如图，直线，相交于点O，． (1)若，，则 ； (2)若，判断与的位置关系，并说明理由； (3)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)， 【分析】本题考查了垂直的定义，余角和补角的有关计算； （1）先求出，再根据平角的定义计算即可； （2）先求出，再根据平角的定义计算得出即可； （3）根据求出，再进一步计算即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）； 理由：∵， ∴， ∴， ∴； （3）∵， ∴， ∴， ． 【经典例题三 画垂线】 【例3】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）过点P作直线l的垂线，下面三角板的摆放正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线，根据垂线的定义，即可解答． 【详解】解：过点作的垂线，三角板的放法正确的是 故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）过点P向线段所在直线画垂线段，画图正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂线段的画法，掌握垂线段的定义是解题的关键． 【详解】解：对于A，过点P的直线与不垂直，故不合题意； 对于B，垂线不过点P，故不符合题意； 对于C，垂线段应为线段，而不是射线，故C不符合题意. 故选D． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画 条直线与直线l相垂直． 【答案】一/1 【分析】应用垂线的性质，在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，进行判断即可得出答案． 【详解】解：在平面内，已知点P在直线l外，则过点P可以画一条直线与直线l相垂直． 故答案为：一． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，熟练掌握垂线的性质进行求解是解决本题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，若，，为垂足，那么，，三点在同一直线上，其理由是 ． 【答案】在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【分析】本题考查的是垂线的性质，利用在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直可得答案． 【详解】解：∵，，为垂足， ∴，，三点在同一直线上， 理由是：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； 故答案为：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）（1）在图1上过A点画出直线、直线的垂线． （2）在图2上过B点画出直线的垂线，过C点画出直线的垂线．    【答案】（1）图见解析（2）图见解析 【分析】本题考查画垂线，借助三角板画出垂线即可，熟练掌握画垂线的方法，是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意，画图如下：    （2）由题意，画图如下：    【经典例题四 垂线段最短】 【例4】（24-25七年级上·江苏镇江·期中）从货场B到铁道怎样走最近？小明的做法是：过点B向铁道作垂线，这样做距离最短，其数学道理是（    ） A．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短 C．两点之间线段最短 D．两点确定一条直线 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可得到结论． 【详解】解：过点B向铁道作垂线，这样做距离最短，其数学道理是直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短， 故选：B． 1．（24-25七年级上·江苏南京·期中）如图，在正方形网格中画有一段笔直的铁路及道口、和村庄、．小强从道口到公路，他选择的路线为公路，其理由为（    ）． A．两点之间线段最短 B．点到直线之间的距离垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．垂直距离最短 【答案】B 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短即可解答． 【详解】解：他选择的路线为公路，其理由为点到直线之间的距离垂线段最短． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，在跳远比赛中，裁判员将皮尺的起始端固定在点处，拉紧皮尺，使皮尺，垂足为，则线段的长度就是运动员所跳的距离，这一做法运用的数学依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，根据垂线段最短即可求解，理解知识点是解题的关键． 【详解】解：这一做法运用的数学依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）如图是小九同学在体育课上跳远后留下的脚印，他的跳远成绩是线段 的长度． 【答案】/ 【分析】本题考查的是垂线段最短，根据垂线段最短解答即可． 【详解】解：由图可知，他的跳远成绩是线段的长． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏南京·期末）噪声对环境的影响与距离有关，与噪声来源距离越近，噪声越大．如图，一辆汽车在笔直的公路上由点向点行驶，是位于一侧的某所学校．通过画图回答下列问题，并说明理由． (1)汽车行驶到什么位置时，学校受噪声影响最严重？ (2)在什么范围内，学校受噪声影响越来越大？在什么范围内，学校受噪声影响越来越小？ 【答案】(1)汽车行驶到点 (2)汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，学校受噪声影响越来越小 【分析】此题主要考查了应用与设计作图，以及垂线段的性质． （1）过点作的垂线，垂足为，根据垂线段最短可得汽车行驶到此处时，对学校影响最大； （2）根据图象得出点P左侧和右侧对学校影响情况． 【详解】（1）解：如图，根据“垂线段最短”，过点作的垂线，垂足为，所以汽车行驶到点时，与学校距离最近，学校受噪声影响最严重； ； （2）解：如图，汽车行驶在段时，与学校的距离越来越近，学校受噪声影响越来越大；汽车行驶在段时，与学校的距离越来越远，学校受噪声影响越来越小． 【经典例题五 点到直线的距离】 【例5】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）如图，点A到的距离是图中某条线段的长，则这条线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．利用点到直线的距离定义可得答案． 【详解】解：点A到直线的距离是线段的长， 故选：C． 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）如图，，点A到直线的距离为3，若在射线上存在点P，记的长度为d，则d的值不可能是（   ） A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，熟练运用垂线段最短，能够根据题意进行分类讨论是解此题的关键． 根据垂线段最短进行分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵点A到直线的距离为3， ∴d的最小值为3， ∴d的值不可能是2，故A选项符合题意； 当时，射线上存在满足条件的两个点P，故B，C选项不符合题意； 当时，射线上存在满足条件的一个点P，故D选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在三角形中，，，垂足为．若，，，则点A到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ，点到直线的距离为 ． 【答案】 4 3 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握点到直线的距离的定义；根据三角形等面积法求出，再根据点到直线的距离的定义即可得解． 【详解】解：， ， ， 点A到直线的距离为，点到直线的距离为，点到直线的距离为， 故答案为：4，3，． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在三角形中，，，垂足为，，，，则点到的距离为 ，点到的距离为 ，点B到直线的距离为 ． 【答案】 6 8 4.8 【分析】本题考查了点到直线的距离，解决本题的关键是熟记点到直线的距离．根据垂直的定义以及点到直线的距离的定义，结合等面积法，即，求出的值，即可求解 【详解】解：∵ ∴ ∴点到的距离为；点到的距离为； 即点到的距离为6；点到的距离为8； ∵ ∴点B到直线的距离为； 则 ∴点B到直线的距离为4.8； 故答案为：6，8，4.8 4．（24-25七年级上·江苏盐城·阶段练习）如图，在三角形中，． (1)过点画的垂线，交于点； (2)在（1）的条件下，点到直线的距离是线段______的长度； (3)在（1）的条件下，比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)AH (3)AB>AH 【分析】（1）根据垂线的做法，过C点往AB作垂线即可； （2）根据点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，可知点到直线的距离是线段AH的长度； （3）根据垂线段最短，进行判定即可． 【详解】（1）解：如图所示 （2）∵， ∴点到直线的距离是线段AH的长度， 故答案为：AH； （3）AB>AH，理由如下： ∵ ∴AB>BC， ∵， ∴ ∴BC >CH， ∴AB>AH． 【点睛】本题主要考查的是垂线段的画法以及性质，直角三角形的性质，需要熟练掌握垂线的画法，准确判断点到直线的垂线段． 【经典例题六 对顶角的定义】 【例6】（24-25七年级上·江苏常州·期中）下列图形中，与是对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，有公共顶点，且角的两边互为反向延长线的两个角互为对顶角，据此可得答案． 【详解】解：由对顶角的定义可知，只有D选项中的与是对顶角， 故选：D． 1．（2025七年级上·江苏常州·专题练习）下列各图中，与互为对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了对顶角的定义，理解对顶角的定义是解答关键． 根据对顶角的定义进行判断：两条直线相交后所得的只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，这样的两个角叫做对顶角，依次判定即可得出答案． 【详解】解：．与不是对顶角，故此选项不合题意； B．与的两边互为反向延长线，是对顶角，故此选项符合题意； C．与互补，在同一条直线上，故此选项不合题意； D．与不是对顶角，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若∠AOB+∠COD＝72°，则∠AOB＝ ． 【答案】36°/36度 【分析】根据对顶角相等即可求解． 【详解】由题意得，为对顶角， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了对顶角的定义及性质，即两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角，且对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键． 3．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）．如图1，图中有2条直线相交，则对顶角有 对；如图2，图中有3条直线相交于一点，则对顶角有 对；如图3图中有条直线相交于一点，则对顶角有 对． 【答案】 2 6 【分析】由图1可得，两条直线相交于一点，形成2对对顶角；图2三条直线相交于一点，形成6对对顶角；依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】解：如图1，图中共有对对顶角； 如图2，图中共有对对顶角； 研究图1图2小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，可得： 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：2，6，． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律，解题的关键是掌握，即有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 4．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）观察图形，寻找对顶角（不含平角）．    (1)两条直线相交于一点，如图①，共有___________对对顶角； (2)三条直线相交于一点，如图②，共有___________对对顶角； (3)四条直线相交于一点，如图③，共有___________对对顶角； (4)根据探究：当n条直线相交于一点时，共有___________对顶角． 【答案】(1)2 (2)6 (3)12 (4) 【分析】（1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）依次可找出规律，若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【详解】（1）解：对图形进行点标注， 图①中对顶角有与，与，共2对； 故答案为：2；    （2）图②中对顶角有与，与，与，与，与，与，共6对； 故答案为：6； （3）图③中对顶角有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对； 故答案为：12； （4），，， 则可以推理得到条直线相交于一点共有对对顶角， 故答案为：． 【点睛】本题考查多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角． 【经典例题七 对顶角相等】 【例7】（24-25七年级上·江苏徐州·期末）如图，直线与相交于点O，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角相等.根据对顶角的性质可得答案. 【详解】解：∵直线相交于点O，， ∴， 故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏苏州·期中）如图，小轩的乒乓球掉到沙发下，他借助平面镜反射的原理找到了乒乓球的位置．已知入射光线与法线的夹角等于反射光线与法线的夹角，法线与平面镜互相垂直，若平面镜与水平线的夹角，则入射光线与反射光线的夹角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直，对顶角相等,角的和差，熟练掌握求一个角的余角与补角的方法是解题关键．先由对顶角相等求得，由垂直的定义得到，根据角的和差求出，进而即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴， 由题意由， ∴． 故选：A 2．（24-25七年级上·江苏徐州·阶段练习）小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可以把它想象成一个相交线模型．若，则 ． 【答案】34°/34度 【分析】本题考查了对顶角的性质，解题的关键是利用对顶角相等这一性质来求解． 根据对顶角的定义可知与是对顶角，它们相等，再结合已知，进而求出的度数． 【详解】解：由图可知，与是对顶角， 所以， 已知， 所以，即． 所以． 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）光线从空气射入水中会发生折射现象，如图所示．小华为了观察光线的折射现象，设计了如图所示的实验．通过细管可以看见水底的物块，但从细管穿过的直铁丝，却碰不上物块．图是实验的示意图，点，，在同一直线上，若，，则 ． 【答案】/30度 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等可得，进而根据角的和差关系即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，直线相交于点O，． (1)若，求的度数； (2)若，则与垂直吗？如果垂直，请说明理由． 【答案】(1) (2)垂直，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义，对顶角相等，平角的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据平角的定义和已知条件可得的度数，再由对顶角相等即可得到答案； （2）由垂线的定义得到，则可证明，据此可得结论． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴与垂直； 【经典例题八 邻补角的定义理解】 【例8】（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，一把张开的剪刀，给我们两条直线相交的形象，则图中之间的关系不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据邻补角的定义和对顶角的性质分别判断即可． 【详解】解：由图可知： 和为邻补角，和为邻补角，和为对顶角， ∴，，， ∴选项A，C，D成立，选项B不一定成立， 故选：B． 【点睛】本题考查了邻补角和对顶角，解题的关键是掌握相应的定义和性质． 1．（24-25七年级上·江苏盐城·期中）如图，下列两角之间关系为同位角的是（　　） A．∠1与∠2 B．∠1与∠4 C．∠2与∠4 D．∠3与∠4 【答案】B 【分析】直接利用同为角的定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角，进而得出答案． 【详解】解：A、∠1与∠2邻补角，故此选项错误，不符合题意； B、∠1与∠4是同位角，故此选项正确，符合题意； C、∠2与∠4是同旁内角，故此选项错误，不符合题意； D、∠3与∠4是内错角，故此选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查邻补角、同位角、内错角、同旁内角的定义，熟知定义是解题的关键． 2．（24-25七年级上·江苏常州·期中）如图，直线，，相交于点，则的邻补角有 个．    【答案】2 【分析】根据邻补角的定义即可解答． 【详解】解：根据邻可知：的邻补角是或，共2个． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了邻补角的定义，两个角有一条公共边,它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角叫做邻补角． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）在△ABC 中， D 为线段 BC 上一动点． （1）当∠ADB=50°时，可得：∠ADC=130°， 这一步骤的依据是： ； （2）当∠ADB=90°时，在线段 AB，AC 和AD 中， 线段 AD 的长度最短， 理由是： ． 【答案】 邻补角定义 垂线段最短 【分析】（1）根据邻补角的定义进行解答即可； （2）根据垂线段的性质进行解答即可． 【详解】（1）当∠ADB=50°时，可得：∠ADC=130°， 这一步骤的依据是：邻补角定义； 故答案为：邻补角定义； （2）当∠ADB=90°时，在线段 AB，AC 和AD 中， 线段 AD 的长度最短， 理由是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 【点睛】本题主要考查了邻补角定义和垂线段最短，熟练掌握相关定义和性质，是解题的关键． 4．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）、邻补角． (1)如图1，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (2)如图2，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (3)如图3，共有___________对对顶角，____________对邻补角； (4)根据（1）-（3）中直线的条数与对顶角、邻补角的对数之间的关系，探究：若有条直线相交于一点，则可形成多少对对顶角？多少对邻补角？ 【答案】(1)2，4 (2)6，12 (3)12，24 (4)若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角 【分析】（1）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （2）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （3）根据对顶角、邻补角的定义，结合图形，即可得到答案； （4）由（1）-（3）中直线与对顶角、邻补角的对数找到规律，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图1，2条直线相交于一点，共有2对对顶角，4对邻补角； 故答案为：2，4； （2）解：如图2，3条直线相交于一点，共有6对对顶角，12对邻补角； 故答案为：6，12； （3）解：如图3，4条直线相交于一点，共有12对对顶角，24对邻补角； 故答案为：12，24； （4）解：2条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 3条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 4条直线相交于一点，共有对对顶角，对邻补角； 若有条直线相交于一点，则可形成对对顶角，对邻补角． 【点睛】本题考查了对顶角、邻补角的定义，图形类规律的探索，熟练掌握知识点，找到规律是解题的关键． 【经典例题九 找邻补角】 【例9】（24-25七年级上·江苏盐城·期末）下列图形中，∠1和∠2是邻补角的是(   ) A． B．   C．  D．   【答案】B 【分析】根据邻补角的概念进行判定即可得出答案． 【详解】解：A．与是对顶角，故选项不符合题意； B．与是邻补角，故选项符合题意； C．与不存在公共边，不是邻补角，故选项不符合题意； D．与是同旁内角，故选项不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查的是邻补角的定义，熟练掌握邻补角的定义是解题的关键． 1．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线a，b，c被射线l和m所截，则下列关系正确的是（　） A．∠1与∠2是对顶角 B．∠1与∠3是同旁内角 C．∠3与∠4是同位角 D．∠2与∠3是内错角 【答案】C 【分析】根据对顶角、邻补角、同位角、内错角的定义分别分析即可． 【详解】解：A、∠1与∠2是邻补角，故原题说法错误； B、∠1与∠3不是同旁内角，故原题说法错误； C、∠3与∠4是同位角，故原题说法正确； D、∠2与∠3不是内错角，故原题说法错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了对顶角、邻补角、内错角和同位角，解题的关键是掌握对顶角、邻补角、内错角和同位角的定义． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，直线与直线交于点O，过点O作射线，则的邻补角为 ． 【答案】 【分析】本题考查的邻补角的含义，直接利用邻补角的含义作答即可． 【详解】解：∵， ∴的邻补角为， 故答案为： 3．（24-25七年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，直线相交于点，则的对顶角是 ，的邻补角是 ；若，则 ， ． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 4．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，直线相交于点，，垂足为． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，求的度数． 【答案】(1)；和； (2)． 【分析】本题考查了垂直、对顶角、邻补角等知识，根据：（1）直接利用对顶角的定义：两个角有一个公共顶点，且其中一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，这样的两个角互为对顶角；邻补角的定义：若两个角有一条公共边以及共同的顶点,那么这两个角被称作一对邻补角,也可以将其中的一个角称为另一个角的邻补角，即可得出答案；（2）设，，根据垂直列方程，从而求出，进一步得到的度数． 【详解】（1）根据对顶角的定义，可得的对顶角为 根据邻补角的定义，可得的邻补角为和； （2） 设，， ， 由 ， ， ． 【经典例题十 利用邻补角互补求角度】 【例10】（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，，，点，，在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是角的和与差．熟练掌握余角与补角定义，平角的定义，是解题的关键． 根据已知条件即可求出，然后根据平角的定义即可求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵点C，O，D在同一条直线上， ∴． 故选：A． 1．（24-25七年级上·江苏常州·期末）当光线从空气中进入水中，由于两种介质不同，光线会发生偏离，这种现象我们把它叫做折射现象．如图，一束光线照射在水面上，折射光线为，若入射角为，折射角为，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了邻补角，如图，先根据邻补角的定义得，再由可得答案． 【详解】解：如图， 由题意得，， ， 故选：C． 2．（2025七年级上·江苏扬州·专题练习）如图，已知直线、相交，这两条直线的锐角夹角是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了互补的定义，一元一次方程的解法，理解互补的定义是解答关键． 根据互补的定义列出方程求出的值，进而求出两条直线的夹角． 【详解】解：根据题意得， 解得， ， 所以这两条直线的锐角夹角是， 故答案为：． 3．（24-25七年级上·江苏常州·期末）如图，点O在直线上，平分，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/72度 【分析】本题考查了角平分线的性质、邻补角的定义，解一元一次方程，解本题的关键在熟练掌握性质、定义．根据角平分线的性质，得到，，再根据题意和邻补角互补，即可算出结果． 【详解】解：∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 4．（24-25七年级上·江苏盐城·期末）点是直线上一点，射线平分． (1)如图①所示，射线在内部，，若，求的度数； (2)如图②所示，射线在直线下方，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义及平角的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）设，则，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可； （2）由题意设，，，利用角平分线的定义求得，再利用平角的定义列式计算求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：设，则． ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴的度数为； （2）解：∵， 设，，， ∵平分， ∴， ∴， 解得， ∴． 【拓展训练一 与邻补角的计算】 1．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）如图，直线、相交于点，把分成两部分． (1)图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若平分，，求和的度数． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查对顶角，邻补角，几何图形中角度的计算，找准角之间的和差关系，是解题的关键： （1）根据对顶角的定义，邻补角的定义，进行判断即可； （2）设，根据角平分线的定义得到，根据平角的定义，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）由图可知：的对顶角为，的邻补角为． （2）设，则． ∵平分， ∴， ∵， ∴，解得， ∴，， ∴ ∴． 2．（24-25七年级上·江苏无锡·阶段练习）如图， 是直线 上一点， 为任一条射线， 平分 ， 平分 ．    (1)图中 的邻补角为 ， 的邻补角为 ． (2)如果 ，那么 ． 如果 ，那么 ． (3)试猜想 与 具有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3) 与 互余，理由见解析 【分析】（1）根据邻补角的定义即可求解； （2）当时，先求出，再求出，即可求出；同理可得当时，； （3）根据角平分线的定义得到，即可证明，即 与 互余． 【详解】（1）解： 的邻补角为， 的邻补角为． 故答案为：，； （2）解：∵ 平分 ， ∴， ∴， ∵ 平分 ， ∴； ∵ 平分 ， ∴， ∴， ∵ 平分 ， ∴． 故答案为：，； （3）解： 与 互余． 证明：∵ 平分 ， 平分 ， ∴， ∴， 即 与 互余． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，角平分线的定义，互余的定义等知识，熟知相关知识并根据图形灵活应用是解题关键． 3．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）已知点O是直线上一点．，射线是的平分线． 【提出问题】 （1）如图①，若，则 度； 【类比分析】 （2）如图②，设，求的度数（用含的代数式表示）； 【变式探索】 （3）如图③，若，求的度数． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】本题考查了邻补角，一元一次方程的几何运用，几何图形的角度运算，与角平分线有关的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用邻补角性质得，结合角平分线的定义得，再运用角的和差关系列式计算，即可作答． （2）先表示，因为射线是的平分线，故，再根据邻补角性质，即可作答． （3）设，则，再分别表示，，然后代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵射线是的平分线． ∴， 则； （2）∵，， ∴ ∵射线是的平分线， ∴ ∴； （3）设， ∵射线是的平分线， ∴， 则 ∵， ∴ ∵， ∴ 解得 即． 【拓展训练二 与对顶角相等的计算】 1．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）光线从空气射入玻璃时，光的传播方向发生了改变，一部分光线通过玻璃表面反射形成反射光线，一部分光线穿过玻璃发生了折射，如图所示，由科学实验知道，，，那么和是对顶角吗，和是对顶角吗？为什么？ 【答案】和不是对顶角，和也不是对顶角，因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线 【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角需满足的两个条件，①有公共顶点，②两边互为反向延长线，即可得出结论． 【详解】解：和不是对顶角，和也不是对顶角， 因为和，和这两对角均有一边互为反向延长线，一边不互为反向延长线． 2．（24-25七年级上·江苏宿迁·期末）直线相交于点，平分． (1)如图1，，求的度数； (2)如图2，若平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了对顶角、余角的定义、角平分线的计算，根据图中信息得出角之间的关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，再根据垂直的定义及角的和差即可得出答案； （2）设，根据角平分线的定义及角的和差得出，再次利用角平分线的定义及邻补角的定义即可得出答案． 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为平分， 所以． 因为， 所以， 所以． （2）解：设， 因为平分， 所以， 因为， 所以， 因为平分， 所以 因为， 所以， 解得：． 所以． 3．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，直线，相交于点，三角尺的直角顶点与点重合，回答下列问题： (1)如图，若平分，判断是否平分，请说明理由． (2)绕点转动三角尺．在三角尺转动的过程中，若，且，求的度数． 【答案】(1)平分，见解析 (2)或 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，熟练进行角度的计算是解题的关键． （1）根据平角的定义和角平分线的定义，即可解答； （2）分两种情况，当在左侧时或当在右侧时，分别计算即可解答． 【详解】（1）解：平分．理由如下： ， ∴，， ∵平分， ， ∴， ∴平分； （2）解：分两种情况：①如图1，当在左侧时， ∵，且， ∴，， ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴； ②如图2，当在右侧时， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 综上所述，的度数为或． 【拓展训练三 相交线综合问题】 1．（24-25七年级上·江苏常州·阶段练习）如图，两条直线相交． (1)如果，求的度数； (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据“一个角与它的邻补角的和等于”求解即可； （2）根据“一个角与它的邻补角的和等于”可求出，然后利用“对顶角相等”即可确定的度数． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了邻补角的定义和对顶角相等，熟练掌握相关知识是解题关键． 2．（24-25七年级上·江苏扬州·期中）观察以下一系列图形，过已知直线外一点作直线与已知直线相交，请你补全探究过程． 【规律探究】如图1，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图2，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角；如图3，作条直线与已知直线相交，则图中共有______对对顶角． 【归纳总结】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成______对对顶角． 【规律应用】若过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成几对对顶角? 【答案】【规律探究】；；；【归纳总结】；【规律应用】 【分析】本题考查对顶角的概念以及多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律． 规律探究：作条直线与已知直线相交，数一数即可得出成对对顶角；作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角，作条直线与已知直线相交，数一数即可得出对对顶角； 归纳总结：依次可找出规律，过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 规律应用：根据归纳总结得出得结论代入求解即可． 【详解】解：规律探究：作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 作条直线与已知直线相交，则图中共有对对顶角； 故答案为：；；； 归纳总结：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角， 故答案为：； 规律应用：过直线外一点作条直线与该直线相交，则可形成对对顶角． 3．（24-25七年级上·江苏南京·单元测试）阅读材料： 我们学过补角，现给出邻补角的定义如下： 两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角． 如图： 直线与相交，与互为邻补角，． 解决问题： 如图，直线，，相交于点． (1)写出，的邻补角； (2)写出，的对顶角； (3)如果，求，． 【答案】(1)的邻补角是，；的邻补角是，； (2)的对顶角是；的对顶角是； (3)， 【分析】本题考查了邻补角的定义，对顶角的定义，邻补角互补，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据邻补角的定义进行作答即可； （2）根据对顶角的定义进行作答即可； （3）结合邻补角互补的性质，对顶角相等的性质进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，的邻补角是，； 的邻补角是，； （2）解：的对顶角是；的对顶角是； （3）解：∵， ∴（对顶角相等）， ∴（邻补角定义）， 1．（24-25七年级上·江苏镇江·开学考试）下面四个图形中， 能判断的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了对顶角的性质、两角互补的性质、三角形外角性质，准确分析判断是解题的关键． 根据对顶角相等判断，根据两角互补且判断，根据直角三角形的内角和三角形外角性质判断、即可得解． 【详解】、与是对顶角，故，故符合题意； 、且，故不符合题意； 、，故不符合题意； 、是三角形的外角，所以，故不符合题意． 故选． 2．（2025七年级上·江苏南京·专题练习）如图，在平面内，两条直线，相交于点，对于平面内任意一点，若，分别是点到直线，的距离，则称为点的“距离坐标”．根据上述规定，“距离坐标”是的点共有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，由题意可得点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上，从而可得上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“距离坐标”的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵点到直线的距离为，点到直线的距离为， ∴点在与直线平行且距离为的两条直线上，点在与直线平行且距离为的两条直线上， ∴上述四条直线相交的交点就是“距离坐标”是的点，两两相交共个交点，即“距离坐标”是的点共有个， 故选：D． 3．（24-25七年级上·江苏苏州·期末）对于平面上的点和一条线，点与线上各点的连线中，最短的线段的长度叫做点到线的距离，记为，以边长为6的正方形各边组成的折线为，若 ，则满足这样条件的所有点组成的图形 (实线图) 是 (     ). A． B． C． D． 【答案】C 【分析】竖线根据题目信息，可以确定正方形内外都有满足条件的点，可排除A选项，再比较BCD选项的不同点进行分析即可． 【详解】解：根据题目信息，此正方形内外均有满足的点，因此可排除选项A， 其次，正方形内部满足的点应该是一个小正方形，可排除选项D， 最后，正方形外部满足的点4个角落应是圆弧形，可排除B选项， 故选：C 【点睛】本题可用排除法，对比个选项的差异进行分析，即可选出满足题目条件的答案． 4．（24-25七年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，一副三角板的两个直角顶点叠放在一起，其中，，三角板不动，三角板可绕点旋转，则下列结论：①随的变化而变化；②当时，一定垂直于．其中正确的结论是（   ） A．①正确，②正确 B．①错误，②正确 C．①正确，②错误 D．①错误，②错误 【答案】D 【分析】本题考查了三角板的角度计算；①依据，即可得到； ②画出图形，根据，，即可求出的度数，根据平行线的判定以及垂直的定义得到此时与的位置关系． 【详解】解：①， ， ，是定值；故①错误． ②设，则． 如图 ， ， ， ， ， ． 如图 由①可知，， ， 解得：， 即， 此时不垂直于故②错误． 故选：D． 5．（24-25七年级上·江苏宿迁·期中）运动会上，跳远运动员跳落到沙坑时的痕迹和测量跳远成绩的方法如图所示，选择其中的③号线的长度作为跳远成绩，这样测量的依据是（　　） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段最短的实际应用，根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 6．（24-25七年级上·江苏连云港·期末）如图，直线相交于点，若，则 ． 【答案】65 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，解题的关键是熟记概念与性质并准确识图． 根据对顶角相等，互为邻补角的两个角的和等于180度，即可得解． 【详解】解：∵是对顶角，是邻补角， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：65 7．（24-25七年级上·江苏扬州·期末）某城市新区规划建设10条主干道（道路近似于直线），为有效引导车流，交通运输局计划每条主干道交汇点处设置一组交通信号灯，则交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为 ． 【答案】45 【分析】此题考查平面内不重合直线的位置关系，是寻找规律的题型，找到n条直线相交，最多有个交点是解题的关键；要探求相交直线的交点的最多个数，则应尽量让每两条直线产生不同的交点．根据两条直线相交有一个交点，然后可画出图形找出规律即可求解． 【详解】解：如图， ∵两条直线相交，最多有1个交点， 三条直线相交，最多有个交点， 四条直线相交，最多有个交点． 五条直线相交，最多有个交点； …..； ∴n条直线相交，最多有个交点； ∴10条直线相交，最多有个交点； 即交通运输局需要准备的交通信号灯组数最多为45； 故答案为45． 8．（24-25七年级上·江苏常州·期末）在体育课上某位同学立定跳远的情况如图所示，l表示起跳线，在测量该同学的实际立定跳远成绩时，应测量图中线段 的长． 【答案】 【分析】根据垂线段的定义即可得出答案． 本题主要考查垂线段的性质，解题的关键是熟知垂线段的性质． 【详解】解：根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，即为线段的长． 故答案为：． 9．（24-25七年级上·江苏无锡·期中）如图，计划把河中的水引到村庄C中，为了使所用水管最短，可以先引，垂足为M．然后沿铺设水管．这样做的依据是 ． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，利用了垂线段的性质：直线外的点与直线上任意一点的连线中垂线段最短．根据垂线段的性质，可得答案． 【详解】解：把河中的水引到村庄C中，可过点引于，然后沿铺设水管，这样做的依据是：垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 10．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，直线相交于点O，，O为垂足，如果，则 度    【答案】52 【分析】根据垂线的定义，可得，根据角的和差，可得的度数，根据邻补角的定义，可得答案． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故答案为：52． 【点睛】本题考查了垂线的定义，邻补角的和等于，解题的关键是要注意领会由垂直得直角这一要点． 11．（25-26七年级上·江苏南京·单元测试）如图，直线a，b，c两两相交，，．求的度数． 【答案】 【分析】本题考查相交线的性质，熟练掌握“对顶角相等”是解题的关键． 根据对顶角相等得到两组角：、，根据角之间的关系进行求解即可． 【详解】解：， 答：的度数为． 12．（24-25七年级上·江苏泰州·开学考试）如图，直线、、相交于点O，且，平分，若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了垂直、角平分线、对顶角的定义，解题的关键是从图中熟练地找到垂直、对顶角、角平分线．利用垂直的定义、对顶角相等、角平分线的定义计算即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 13．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）观察下列各图，寻找对顶角（不含平角）： （1）如图1，图中共有 对对顶角； （2）如图2，图中共有 对对顶角； （3）如图3，图中共有 对对顶角； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系，若有n条直线相交于一点，则可形成 对对顶角； （5）若有2025条直线相交于一点，则可形成 对对顶角． 【答案】 2 6 12 4098600 【分析】本题考查了探究多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．认真观察图形，发现其中蕴含的规律是解题的关键． 根据对顶角的定义，认真分析所给的图形可得． （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角； （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； （4）由，，，据此规律，即可得出n条直线相交于一点，可形成对顶角的对数； （5）根据（4）发现的规律将代入，即可得2025条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】解：（1）如图1，图中共有与，与，共2对对顶角； 故答案为：2； （2）如图2，图中共有与，与，与，与，与，与，共6对对顶角； 故答案为：6； （3）如图3，图中共有与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，与，共12对对顶角； 故答案为：12； （4）研究（1）~（3）小题中直线条数与对顶角的对数之间的关系， 2条直线相交于一点，形成对对顶角； 3条直线相交于一点，形成对对顶角； 4条直线相交于一点，形成对对顶角； ……； n条直线相交于一点，形成对对顶角； ∴若有n条直线相交于一点，则可形成对对顶角； 故答案为：； （5）若有2025条直线相交于一点，则由（4）知，可形成对对顶角． 故答案为：4098600． 14．（25-26七年级上·江苏南京·课后作业）平面内有任意一点P和，按要求解答下列问题： (1)当点P在外部时，如图1，过点P作，，垂足分别为A，B，量一量和的度数，用数学式子表达它们之间的数量关系是________； (2)当点P在内部时，如图2，以点P为顶点作，使的两边分别和的两边垂直，垂足分别为A，B，用数学式子写出和的数量关系是________； (3)由上述情形，用文字语言叙述结论：________________； (4)在图2中，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3)如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补 (4) 【分析】本题考查画垂线，角的度量，角度之间的关系，熟练掌握垂线的画法，量角器的使用，是解题的关键： （1）借助三角板画出垂线，利用量角器量角后，进行判断即可； （2）同（1）即可得出结果； （3）借助（1）（2）即可得出结论； （4）利用（2）的结论求解即可． 【详解】（1）解：由题意，作图如下： 通过量角器测量得到； （2）解：作图如下： 通过量角器测量得到； （3）由（1）（2）如果一个角的两边分别和另一个角的两边垂直，那么这两个角相等或互补； （4）由（2）可知：， ∵， ∴． 15．（24-25七年级上·江苏徐州·期末）已知直角三角板的直角顶点C放在直尺的一边上， (1)若点A和点B在直线的上方（如图1），若，则___________°； (2)将此直角三角板绕顶点C旋转，使点A在直线的下方，点B仍然在直线的上方时（如图2），当时，求的度数； (3)将此直角三角板绕顶点C旋转，使点A和点B都在直线的下方时（如图3），若，则___________°； (4)将此直角三角板绕顶点C旋转，使点A在直线的下方，点B仍然在直线的上方时（如图2），当射线、射线射线组成的三个角中，有一个角是另一个角2倍时，请直接写出的度数． 【答案】(1)50 (2)的度数是； (3)130 (4)的度数为或或． 【分析】此题重点考查旋转的性质、角平分线的定义、角的计算、数形结合与分类讨论数学思想的运用等知识与方法，此题综合性较强，难度较大，属于考试压轴题． （1）由的直角顶点C在直线上，可知，由，利用平角的性质即可得到问题的答案； （2）由，求得，再利用邻补角的性质求解即可； （3）先求得，再利用邻补角的性质求解即可； （4）分三种情况讨论，一是当时，则；二是当时，则，；三是当时，则平分，同理求解即可． 【详解】（1）解：∵的直角顶点C在直线上， ∴， ∵点A和点B在直线的上方，且， ∴， 故答案为：50； （2）解：∵点C在直线上，点A在直线的下方，点B仍然在直线的上方时，且， ∴， ∴， ∴的度数是； （3）解：∵点C在直线上，点A和点B都在直线的下方，且， ∴， ∴， 故答案为：130； （4）解：的度数为或或， 理由：如图2，∵点C在直线上，点A在直线的下方，点B仍然在直线的上方， ∴， 当M时，则， ∵， ∴， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则平分， ∴， ∴， ∴， 综上所述，的度数为或或． 学科网（北京）股份有限公司 $