精品解析：安徽省淮南第二中学2025-2026学年高二上学期阶段教学检测数学试题

淮南二中2027届高二上学期数学学科阶段教学检测 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 2. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 3. “”是“直线和直线平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 5. 以下命题中，不正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的方程，下列说法正确的为（ ） A. 若方程表示圆，则实数的取值范围为 B. 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上 C. 若方程不表示任何图形，则 D. 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形PAMB周长的最小值为 B. 的最大值为2 C. 若，则的面积为 D. 若，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为__________． 13. 已知点，，直线.若直线l与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是________. 14. 如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为______． 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过三点. （1）求圆C的方程； （2）求圆C的面积. 16. 已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． （1）若的面积为4，求直线l的方程； （2）求的最小值，并求此时直线l的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． （1）证明：点为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18. 如图，四棱锥中，底面，． （1）若． ①求证平面； ②求向量在向量上的投影向量的模． （2）是否存在点D，使得，且二面角的正弦值为，若存在，求出长，若不存在，说明理由． 19. 已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，求的轨迹； （3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮南二中2027届高二上学期数学学科阶段教学检测 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 直线的倾斜角是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线的方程求出斜率，再由斜率求出倾斜角即可. 【详解】设直线的倾斜角，， 因为直线，所以直线的斜率为1， 所以， 所以倾斜角为. 故选：. 2. 已知P是所在平面外一点，M是BC的中点，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】推导出，利用空间向量的减法结合空间向量的基本定理可得出、、的值，即可得出合适的选项. 【详解】如下图所示： 因为为的中点，则， 所以，， 又因为，且、、不共面，则，， 故，， 故选：A. 3. “”是“直线和直线平行”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】根据题意，若l1∥l2，则有1×3=a×（a-2），解得a=-1或3，当a=-1时，直线l1：x-y+6=0，其斜率为1，直线l2：-3x+3y-2=0，其斜率为1，即l1与l2不重合，则l1∥l2， 当a=3时，直线l1：x+3y+6=0，直线l2：x+3y+6=0，l1与l2重合，此时l1与l2不平行， 所以l1∥l2，即“”是“直线和直线平行”的充要条件 故选：C． 4. 已知圆上到直线的距离为1的点有且仅有2个，则r的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，然后结合图象，即可得出结论. 【详解】由题意， 在圆中，圆心，半径为， 到直线的距离为的点有且仅有 个， ∵圆心到直线的距离为：， 故由图可知， 当时， 圆上有且仅有一个点（点）到直线的距离等于； 当时， 圆上有且仅有三个点（点）到直线的距离等于； 当则的取值范围为时， 圆上有且仅有两个点到直线的距离等于. 故选：B. 5. 以下命题中，不正确的个数为（ ） ①“”是“，共线”的充要条件；②若，则存在唯一的实数，使得；③若，，则；④若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底；⑤. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】利用不等式等号成立的条件判断①即可；利用与任意向量共线，来判断②是否正确；利用共面向量定理判断③是否正确；根据不共面的三个向量可构成空间一个基底，结合共面向量定理，用反证法证明即可；代入向量数量积公式验证即可． 【详解】对①，向量、同向时，， 故时，必有向量、反向且， 只满足充分性，不满足必要性，①错误； 对②，当为零向量，为零向量时，不唯一，当为零向量，不为零向量时，不存在；②错误； 对③，，，则，，不能得到，故③错误； 对④，用反证法，若不构成空间的一个基底，即共面， 设，则，方程组无解，矛盾， ， 即不共面，构成空间的另一个基底，④正确； 对⑤，，⑤错误． 故选：C． 6. 已知圆C：，直线l：．则直线l被圆C截得的弦长的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可证直线l恒过的定点在圆内，当时直线l被圆C截得的弦长最小，结合勾股定理计算即可求解. 【详解】直线l：， 令，解得，所以直线l恒过定点， 圆C：的圆心为，半径为， 且，即P在圆内， 当时，圆心C到直线l的距离最大为， 此时，直线l被圆C截得的弦长最小，最小值为． 故选：A． 7. 已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图像,当直线过点时,求出值;当直线与曲线相切时.求出,即可得出的取值范围. 【详解】画出如下图像： 当直线过点时,,此时直线与 曲线有两个公共点; 直线与曲线相切时,, 因此当时，直线与 曲线有两个公共点. 故选B 【点睛】本题考查了直线与圆相切时满足的关系,以及点到直线的距离公式,考查了数形结合的数学思想,准确判断出曲线方程所表示曲线形状,且根据题意画出图形是解决问题的关键,属于中档题. 8. 如图，已知平行六面体中，底面是边长为的正方形，，，则线段的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先以为基底表示空间向量，再利用数量积运算律求解. 【详解】设， 所以， 所以， 所以 ， 所以线段的长为 ． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 关于的方程，下列说法正确的为（ ） A. 若方程表示圆，则实数的取值范围为 B. 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上 C. 若方程不表示任何图形，则 D. 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧，则 【答案】BD 【解析】 【分析】将关于的方程化成标准式可得，根据表示圆，可得，求得m的范围，即可判定A的正误；根据圆心坐标，可判断B的正误；根据方程的性质，分析可判断C的正误；根据条件，可得原点在圆的内部，代入计算，可判断D的正误. 【详解】关于的方程可化为． 若方程表示圆，，即或，故A错误； 若方程表示圆，则所表示的圆的圆心一定在直线上，故B正确； 若方程不表示任何图形，，则，故C错误； 若方程表示圆，且该圆与轴的两个交点位于原点的两侧， 则且原点在圆的内部， 所以或，且，解得，故D正确． 故选：BD． 10. 已知直三棱柱中，，，点为的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 平面 C. 异面直线与所成的角的余弦值为 D. 点到平面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】建立如图空间直角坐标系，利用空间向量线性运算的坐标表示计算即可判断A；利用空间向量法证明线面平行、求解线线角和点面距即可判断BCD. 【详解】如图，建立空间直角坐标系， 则. A：， 所以，故A正确； B：， 设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 所以，即， 又平面，所以平面，故B正确； C：，则， 所以， 即异面直线与所成的角的余弦值为，故C错误； D：设平面的一个法向量为， 则，令，则，所以， 得，所以点到平面的距离为，故D正确. 故选：ABD 11. 已知圆M：，点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，则下列结论正确的是（ ） A. 四边形PAMB周长的最小值为 B. 的最大值为2 C. 若，则的面积为 D. 若，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，可将四边形PAMB周长转化为，结合勾股定理可求最值；对B，由圆内最长的弦为直径可判断错误；对C，由几何关系先求出，由等面积法可求出，结合面积公式可求；对D，分点是否与原点重合分类讨论，当点不与原点重合时，求出切线长方程和直线方程，联立可求动点轨迹，由点与圆的位置关系可求. 【详解】如图所示，对于选项A，四边形PAMB的周长为， 因为，所以四边形PAMB的周长为，设，当与原点重合时最小，则，则四边形PAMB的周长为，则当t取最小值2时，四边形PAMB的周长最小，为，故A正确； 对于选项B，因为圆M：的直径为2，所以，故B错误； 对于选项C，因为，所以，，由等面积法可得，求得，， ，所以的面积为，故C正确； 对于选项D，当点P与原点重合时，，则，则，则，则；当点P不与原点重合时，设（），则切点弦AB的方程为（利用结论：过圆外一点的切线弦方程为求得），直线MP的方程为，联立两方程，可得，消去m，得动点C的轨迹方程为．又因为，所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知点，则以线段为直径的圆的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求的中点坐标，再由两点间距离公式计算，进而得半径，最后由圆的标准方程即可求解. 【详解】因为，，所以的中点坐标为， ，则所求圆的半径为， 则以线段为直径的圆的方程为. 故答案为：. 13. 已知点，，直线.若直线l与线段AB有公共点，则实数k的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】首先求出直线恒过定点，表示出直线的斜率，再结合图形即可求出参数的取值范围. 【详解】解：因为直线 所以 令解得故直线恒过点 直线的斜率为 则， 依题意直线与线段有公共点，由图可知或 解得或，即 故答案为： 【点睛】本题考查直线恒过定点问题以及直线的斜率的计算，属于中档题. 14. 如图，边长为4正方形中，、分别为、中点，将，沿、折起，使、两点重合于点，点在平面内，且，则直线与夹角余弦值的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件建立合适空间直角坐标系，设出点坐标，利用直线方向向量夹角的余弦值的计算方法结合点坐标满足的等式，利用三角换元法求解出直线与夹角余弦值的最大值． 【详解】取中点，连接，且延长线过点， 因为，，所以平面， 根据对称性可知在底面平面内的射影点必在上，记为点， 以为坐标原点，方向为轴，过点垂直于方向为轴，方向为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为，所以， 所以为等腰直角三角形，所以， 又因为，所以， 所以， 又因为，所以， 设，因为，所以，所以， 又因为，， 所以， 不妨设， 所以， 所以，取等号时， 所以直线PM与BF夹角余弦值的最大值为， 故答案为：． 【点睛】思路点睛：求动点引起的最值问题，建立空间直角坐标系，设出动点坐标，由动点满足的关系得出等式后消元，利用直线的方向向量夹角的余弦值的计算方法得到函数关系，再利用三角换元法解出直线与夹角余弦值的函数关系式，由三角函数的值域得到最大值. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C经过三点. （1）求圆C的方程； （2）求圆C的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设圆的方程为，代入点的坐标，列出方程组，求得的值，即可求解.（2）根据圆的面积公式求解即可. 【小问1详解】 设圆的方程为， 因为圆经过三点， 可得，解得， 所以所求圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）可得，圆的方程为.即. 因此圆的半径为5.因此圆的面积为. 16. 已知直线l过定点，且交x轴负半轴于点A、交y轴正半轴于点B．点O为坐标原点． （1）若的面积为4，求直线l的方程； （2）求的最小值，并求此时直线l的方程． 【答案】（1） （2）； 【解析】 【分析】（1）根据题意设直线方程为，分别令，，得到，，再由求解； （2）由，利用基本不等式求解. 【小问1详解】 解：由题意得：直线l的斜率存在，设为 ， 则直线方程为， 令，得；令，得， 所以， 解得， 此时直线方程为，即； 【小问2详解】 ， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，此时直线方程为， 即. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，，点在棱上，且直线与所成的角为． （1）证明：点为棱的中点； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1） 以为原点，的方向分别为轴的正方向，建立空间直角坐标系． 不妨设，则． 设，则， 可得， 由题意可得， 整理可得，解得， 所以点为棱的中点． （2） 【解析】 【分析】（1）建系标点，设，根据直线与的交点求得，即可得结果； （2）求平面的法向量，利用空间向量求线面夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：， 设平面的法向量为，则， 令，则，可得． 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 18. 如图，四棱锥中，底面，． （1）若． ①求证平面； ②求向量在向量上的投影向量的模． （2）是否存在点D，使得，且二面角的正弦值为，若存在，求出长，若不存在，说明理由． 【答案】（1） ①证明：由底面，面， 所以， 又，，面， 所以平面. ② 1 （2）存在， 【解析】 【分析】（1）①由线面垂直的判定定理即可证明；②根据投影向量的模的概念即可求得； （2）建立空间直角坐标系，设，求得平面ACP和CPD的法向量，根据向量夹角公式列式，即可求得AD的长. 【小问1详解】 ① 略 ②由平面，平面， 所以， 又，则有， 所以，且， 所以在上的投影向量的模为： . 【小问2详解】 如图，以为坐标原点，方向为z轴正方向，方向为轴正方向， 平面ABC内垂直方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 由（1）知，，又，故， 由题意可得，，设，则， ， 由，可得，即，① 设平面的一个法向量为， 则有即， 令，则，，则， 不妨取平面的一个法向量为， 设二面角的大小为， 则由题意有，故 则由 可得，②， 联立①②，可得或， 当时，，此时D与C重合，故舍去， 则，故. 19. 已知点到的距离是点到的距离的倍． （1）求点的轨迹方程； （2）若点与点关于点对称，求的轨迹； （3）若过的直线与第二问中的轨迹交于，两点，试问在轴上是否存在点，使恒为定值若存在，求出点的坐标和定值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆 （3）存在，，定值为 【解析】 【分析】（1）设点，代入即可得点的轨迹方程； （2）设，根据点与点坐标的关系求解； （3）当直线的斜率存在时，设直线的方程为，与的轨迹方程联立，结合韦达定理与向量的数量积运算求解；当直线的斜率不存在时，计算验证即可. 【小问1详解】 设点，由题意可得， 即， 化简可得， 则点的轨迹方程为． 【小问2详解】 设，由（1）得点满足的方程， 又点是线段的中点， 则，代入上式消去，可得， 即的轨迹方程为， 则的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 【小问3详解】 存在点，使得为定值． 当直线的斜率存在时，设其斜率为，则直线的方程为， 由，消去得，， 显然， 设，，则，， 又，， 则 要使上式恒为定值，需满足，解得， 此时，为定值． 当直线的斜率不存在时，，， 由可得，则． 所以存在点，使得为定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $