精品解析： 福建省漳州第一中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

漳州一中分校2025-2026学年（上）九年级数学学科 10月份阶段适应性练习 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（40分） 1. 下列等式中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. ax2+bx+c＝0 B. C. 3（x+1）2＝2（x+1） D. x2+2x＝x2﹣1 2. 二次函数图象的顶点坐标是（　　） A. B. C. D. 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 5. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A B. C. D. 6. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，，则（ ） A B. 6 C. D. 8. 如图，在菱形中，，，则等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 9. 下列判断不正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形 10. 抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc﹤0；②b+2a＝0；③b2﹥4ac；④a-b≤n（an+b）；⑤13a﹣4b+c﹥0；⑥3a+2c﹤0，其中正确个数有（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 二、填空题（24分） 11. 已知，则______． 12. 若二次函数的图像与轴有两个交点，则m的取值范围是_____________． 13. 若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是_____． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则________ 15. 如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点A，B，C都在格点上，点O为边的中点，则线段的长为 __________________． 16. 已知m为方程的一个根，那么的值为_______． 三、解答题（本大题17题10分，18-22题每小题8分，23题10分，24题12分，25题14分共86分） 17. 解方程： （1） （2） 18. 已知关于x的方程的一个根为，求k的值和它的另一个根． 19. 如图，在正方形ABCD中，∠EBF=90°，BE=BF.求证：AE=CF. 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）求B、C两点的坐标． 21. 水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 22. 已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． （1）用圆规和无刻度直尺作出折痕； （2）分别连接，若，求四边形面积． 23. 阅读下面的例题， 范例：解方程， 解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． （2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是， 请参照例题解方程 24. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 25. 探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且． （1）如果将绕点顺时针方向旋转．请你画出图形（旋转后的辅助线）．你能够得出关于，，的一个结论是________． （2）如果点，分别运动到，的延长线上，如图，请你能够得出关于，，的一个结论是________． （3）变式：如图，将题目改为“在四边形中，，且，点，分别为边，上的动点，且”，请你猜想关于，，有什么关系？并验证你的猜想． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州一中分校2025-2026学年（上）九年级数学学科 10月份阶段适应性练习 满分：150分 考试时间：120分钟 一、选择题（40分） 1. 下列等式中是关于x的一元二次方程的是（　　） A. ax2+bx+c＝0 B. C. 3（x+1）2＝2（x+1） D. x2+2x＝x2﹣1 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义：只有一个未知数且未知数的最高次数为2的整式方程为一元二次方程，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、，当时，不是一元二次方程，故不符合题意； B、，不是整式方程，不是一元二次方程，故不符合题意； C、，是一元二次方程，故符合题意； D、即，不是一元二次方程，故不符合题意； 故选C． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键在于熟知定义． 2. 二次函数的图象的顶点坐标是（　　） A B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的顶点坐标，解题的关键是掌握二次函数顶点式的顶点坐标为． 根据二次函数的顶点式即可直接得出顶点坐标． 【详解】∵二次函数 ∴该函数图象的顶点坐标为． 故选：A． 3. 用配方法解方程x2-2x=2时，配方后正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果． 【详解】解：x2-2x=2， x2-2x+1=2+1，即（x-1）2=3． 故选：C． 【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 4. 把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律求解即可． 【详解】解：把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的表达式为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数的图象的平移规律，熟练掌握二次函数的图象的平移规律是解题的关键． 5. 根据下面表格中的对应值判断关于x的方程的一个解x的范围是（　　） x A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了估算一元二次方程的近似解，解题的关键是根据表中数据得到时，；时，，则取2.24到2.25之间的某一个数时，使，于是可判断关于的方程的一个解的范围是． 【详解】解：时，；时，， 关于的方程的一个解的范围是． 故选：B． 6. 临近春节的三个月，某干果店迎来了销售旺季，第一个月的销售额为8万元，第三个月的销售额为11.52万元，设这两个月销售额的月平均增长率为x，则根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元，即可得． 【详解】解：设这两个月销售额的月平均增长率为x，则第二个月的销售额是万元，第三个月的销售额为万元， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是能够求出第二个月的销售额和第三个月的销售额． 7. 如图，在矩形中，对角线相交于点O，点E、F分别是的中点，若，，则（ ） A. B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质，勾股定理得到，结合矩形的性质得到，再利用三角形中位线定理，得，解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【详解】解：∵在矩形中，对角线相交于点O， ∴，， ∵，， ∴， ∵点E、F分别是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 8. 如图，在菱形中，，，则等于（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质、30°角所对直角边是斜边的一半、勾股定理． 根据菱形的性质求出，根据30°角所对直角边是斜边的一半求出，再利用勾股定理即可得答案． 【详解】解：∵是菱形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 9. 下列判断不正确的是（ ） A. 四个角相等的四边形是矩形 B. 对角线垂直的平行四边形是菱形 C. 对角线相等的平行四边形是矩形 D. 对角线相等且垂直的四边形是菱形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形，菱形的判定，掌握矩形，菱形的判定方法是解本题的关键．根据矩形、菱形的判定条件逐一分析选项． 【详解】解：A. 四个角相等的四边形每个角均为90°，有三个角是直角的四边形是矩形，此选项命题正确，但不符合题意； B. 对角线垂直的平行四边形是菱形，此选项命题正确，但不符合题意； C. 对角线相等的平行四边形是矩形，此选项命题正确，但不符合题意； D. 对角线相等且垂直的四边形不一定是菱形．例如，若对角线相等且垂直但不对称分割，四边长度不等，此时四边形并非菱形，此选项命题不正确，但符合题意． 故选：D． 10. 抛物线y＝ax2+bx+c过点（1，0）且对称轴为直线x＝﹣1，部分图象如图所示，下列判断中：①abc﹤0；②b+2a＝0；③b2﹥4ac；④a-b≤n（an+b）；⑤13a﹣4b+c﹥0；⑥3a+2c﹤0，其中正确个数有（　　） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次函数的图象与性质即可求出答案． 【详解】解：①由图象可知：a＞0，c＜0， 由对称轴可知：−＜0， ∴b＞0， ∴abc＜0，故①正确； ②由对称轴可知：−=-1， ∴b-2a=0，故②错误； ③由图象可知：抛物线与x轴有两个交点， ∴△=b2-4ac＞0，故③正确； ④∵对称轴为直线x＝-1，开口向上， ∴当x=-1时，函数取最小值，即a-b+c， 当x=n时，y=an2+bn+c， 则有a-b+c≤an2+bn+c， 即a-b≤an2+bn， 即a-b≤n（an+b） 故④正确； ⑤∵抛物线经过（1，0）， ∴0=a+b+c， ∴c=-3a， 由于b=2a， ∴13a-4b+c =13a-8a-3a =2a＞0，故⑤正确； ⑥3a+2c =3a-6a =-3a＜0，故⑥正确； 故选：D． 【点睛】本题考查二次函数的图象，解题的关键是熟练运用二次函数的图象与性质，本题属于中等题型． 二、填空题（24分） 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平方根的定义解答即可． 本题考查了直接开平方法解方程，熟练掌握求平方根的方法是解题的关键． 【详解】解：，， 故， 故答案为：． 12. 若二次函数的图像与轴有两个交点，则m的取值范围是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴的交点问题；将问题转化为方程有个不等实数根，即，列出不等式即可解决问题． 【详解】解：依题意，当时，方程有个不等实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 若抛物线与轴分别交于、两点，、两点间的距离是_____． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴交点问题，熟悉掌握交点的运算方法是解题的关键． 代入求出两个交点后，即可得到两点间的距离． 【详解】解：、把代入得： 解得：或， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，且，，于点，则________ 【答案】4.8 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质以及勾股定理等知识，根据菱形的性质和勾股定理得出，进而利用菱形的面积公式解答即可． 【详解】解：四边形是菱形， ， ， ， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点A，B，C都在格点上，点O为边的中点，则线段的长为 __________________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、勾股定理的逆定理以及直角三角形斜边上的中线性质等知识，由勾股定理得，，，则，再由勾股定理的逆定理证明是直角三角形，然后由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ∴，， ∴是直角三角形，， ∵点O为边的中点， ∴， 故答案为：． 16. 已知m为方程的一个根，那么的值为_______． 【答案】0 【解析】 【分析】先根据一元二次方程解的定义得到，再用m表示得到，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：∵m为方程的一个根， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：0． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解的定义，求代数式的值，熟练掌握能使方程左右两边同时成立的未知数的值是方程的解是解题的关键． 三、解答题（本大题17题10分，18-22题每小题8分，23题10分，24题12分，25题14分共86分） 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 小问1详解】 解：， 因式分解得：， 故答案为：，． 【小问2详解】 解：， 整理得：， 因式分解得：， 故答案为：，． 18. 已知关于x的方程的一个根为，求k的值和它的另一个根． 【答案】k的值为3和它的另一个根为 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． 将代入方程得：，求出k的值，得到原方程为：，再根据根与系数的关系即可得出另一个根． 【详解】解：∵方程的一个根为， ∴ 解得， ∴原方程为：， 设另一个根为，则， ∴， ∴k的值为3和它的另一个根为． 19. 如图，正方形ABCD中，∠EBF=90°，BE=BF.求证：AE=CF. 【答案】见解析 【解析】 【详解】试题分析：根据SAS证明△ABE≌△CBF，再根据全等三角形的性质得AE=CF. 试题解析： ∵四边形ABCD是正方形 ∴AB=CB，∠ABC=90° 又∵∠EBF=90° ∴∠ABC-∠EBC=∠EBF-∠EBC 即∠ABE=∠CBF 又∵BE=BF ∴△ABE≌△CBF ∴AE=CF 20. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且点A的坐标为，顶点D的坐标为． （1）求该抛物线的表达式． （2）求B、C两点的坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，二次函数的顶点式，待定系数法求二次函数，二次函数与坐标轴的交点坐标，正确理解二次函数的性质是解题的关键． （1）设二次函数的解析式为，将代入求出值即可求解； （2）令可求点的坐标，令可求点的坐标． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点的坐标为， 设抛物线的解析式为， 将点代入上式，得， 解得，， 该抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 将代入得，， 解得，， 点的坐标为； 将代入，得， 点的坐标为， 综上，点的坐标为；点的坐标为． 21. 水果店张阿姨以每斤4元的价格购进某种水果若干斤，然后以每斤6元的价格出售，每天可售出150斤，通过调查发现，这种水果每斤的售价每降低元，每天可多售出30斤，为保证每天至少售出360斤，张阿姨决定降价销售． （1）若将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是 斤（用含x的代数式表示）； （2）销售这种水果要想每天盈利450元，张阿姨需将每斤的售价降低多少元？ 【答案】（1） （2）张阿姨需将每斤的售价降低1元． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）利用公式：销售量原来销售量下降销售量，即可解答； （2）设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤，根据题意列出方程，解方程求出x的值，再结合题意“每天至少售出360斤”，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将这种水果每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤； 故答案为：． 【小问2详解】 设将每斤的售价降低x元，则每天的销售量是斤， 依题意得，， 整理得，， 解得：，， 当时，每天的销售量是斤，符合题意； 当时，每天的销售量是斤，不符合题意，舍去； ． 答：张阿姨需将每斤的售价降低1元． 22. 已知，点、点分别在边、上，将矩形纸片沿着折叠，使得 点与点重合． （1）用圆规和无刻度的直尺作出折痕； （2）分别连接，若，求四边形的面积． 【答案】（1）见详解 （2）24 【解析】 【分析】（1）作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求． （2）设交于点O，得，，结合矩形的性质、菱形的判定可得四边形为菱形，则， ，则，可得四边形的面积为． 【小问1详解】 解：如图，作线段的垂直平分线，交于点E，交于点F，则即为所求： 【小问2详解】 解：设交于点O， 由（1）可得，，． ∵四边形为矩形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形， ∴ ∴ ∴， ∴四边形AFCE的面积为． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、勾股定理、菱形的判定与性质、矩形的性质、翻折变换（折叠问题），解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 23. 阅读下面的例题， 范例：解方程， 解：（1）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． （2）当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）． ∴原方程的根是， 请参照例题解方程 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是解一元二次方程，绝对值的意义，掌握因式分解法解方程式解题关键．参照例题，根据绝对值的意义分两种，利用因式分解法分别求解即可． 【详解】解： ①当时，此时， 原方程化为，即 解得：，（舍）； ②当时，此时， 原方程化为，即， 解得：，（舍）， ∴原方程的根是，． 24. 已知，抛物线经过点和． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使的周长最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由； （3）设点M在抛物线的对称轴上，当是直角三角形时，求点M的坐标． 【答案】（1）， （2）存在，点P坐标为 （3）当是直角三角形时，点M的坐标为或或或 【解析】 【分析】（1）由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再将抛物线的一般式转化为顶点式进而求出抛物线的顶点； （2）设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为，利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标，由点B、C的坐标利用待定系数法即可求出直线的解析式，利用抛物线顶点式可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P的坐标； （3）设点M的坐标为，则，，，分、、三种情况，利用勾股定理可得出关于m的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m的值，进而即可得出点M的坐标． 【小问1详解】 解：由题意知，将，代入中， 得，解得：， ∴抛物线的解析式为， 将抛物线的一般解析式转化为顶点式为， 当时，， ∴抛物线的顶点坐标为． 【小问2详解】 解：存在， 如图，设抛物线与x轴的另一个交点为点B，连接交抛物线对称轴于点P，此时的最小值为， 当时，有， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， 设直线的解析式为， 将、代入中， 得：，解得：， ∴直线的解析式为， ∵当时，， ∴当周长最小时，点P的坐标为． 【小问3详解】 解：如图，设点M坐标为， 由勾股定理得，， ， ， 此时分三种情况考虑： ①当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， ②当时，有，即， 解得：，， ∴点M的坐标为或， ③当时，有，即， 解得：， ∴点M的坐标为， 综上所述，当是直角三角形时，点M的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了抛物线的解析式求解、求抛物线的顶点坐标、动点最值问题求解对称轴上点的坐标、勾股定理及直角三角形的性质应用． 25. 探究：如图，在正方形中，点，分别为边，上的动点，且． （1）如果将绕点顺时针方向旋转．请你画出图形（旋转后的辅助线）．你能够得出关于，，的一个结论是________． （2）如果点，分别运动到，的延长线上，如图，请你能够得出关于，，的一个结论是________． （3）变式：如图，将题目改为“在四边形中，，且，点，分别为边，上的动点，且”，请你猜想关于，，有什么关系？并验证你的猜想． 【答案】（1）EF=BE+DF，画图如图所示；（2）BE= DF+EF；（3）EF=BE+DF，理由见解析 【解析】 【分析】（1）画出图形，证明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，根据EF′=BE+BF′=BE+DF得到结果； （2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，证明△AEF≌△AEF′，得到EF=EF′，从而可说明BE= DF+EF； （3）将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合，证明∠ABF′+∠ABE=180°，说明F′、B、E三点共线，再证明△AEF≌△AEF′，得出EF=EF′，从而可说明EF=BE+DF. 【详解】解：（1）画图如图所示，旋转后点F的对应点为F′，AD与AB重合， ∵∠EAF=45°， ∴∠EAF′=∠EAF=45°， 在△AEF和△AEF′中， , ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF=EF′， 又∵EF′=BE+BF′=BE+DF， ∴EF=BE+DF， 故答案为：EF=BE+DF； （2）将△ADF绕点A顺时针旋转90°，旋转后点F的对应点为F′，AD与AB重合， ∵∠EAF=45°， ∴∠F′AE=45°，AF=AF′， △AEF和△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF=EF′， 而DF=BF′， ∴BE=BF′+EF′=DF+EF， 故答案为：BE= DF+EF； （3）EF=BE+DF， 理由是：如图，将△ADF绕点A顺时针旋转，使AD与AB重合， 则△ADF≌△ABF′， ∴∠BAF′=∠DAF，AF=AF′，BF′=DF，∠ABF′=∠D， 又∵∠EAF=∠BAD， ∴∠EAF=∠DAF+∠BAE=∠BAE+∠BAF′， ∴∠EAF=∠EAF′， 又∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠ABF′+∠ABE=180°， ∴F′、B、E三点共线， 在△AEF和△AEF′中， ， ∴△AEF≌△AEF′（SAS）， ∴EF=EF′， 又∵EF′=BE+BF′=BE+DF， ∴EF=BE+DF. 【点睛】本题考查了四边形的综合题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，正确的作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $