精品解析：四川省内江市威远中学校2025-2026学年高二上学期期中考试数学试题

威远中学校2027届高二上期期中考试 数学 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 在直三棱柱中，若，，，则（    ） A. B. C. D. 2. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 3. 一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 4. 若 ，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 7. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法中错误的是（ ） A. 有水的部分始终是棱柱形； B. 水面所在四边形面积为定值； C. 棱始终与水面平行； D. 当时，是定值． 8. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求）． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 直线与平面垂直，在平面内存在无数条直线与直线相交 C. 直线与平面相交，平面内存在无数条直线和直线异面 D. 平面与平面垂直，若直线与平面垂直，则直线与平面平行 10. 在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，CD，的中点，则（ ） A. B. 平面EFG截正方体所得到的截面面积是 C. 直线AB和直线与平面EFG所成的角相等 D. 点E到平面BFG的距离为 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 平面 D. 三棱锥的体积为 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 13. 如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则__________． 14. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为______. 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 16. 如图，在正三棱柱中，⊥平面ABC，D、E分别为AC、的中点，. （1）求异面直线DE与所成角的余弦值； （2）求与平面夹角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． （1）求证：为线段中点； （2）若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 18. 如图，在三棱锥中，，底面是等腰直角三角形，且． （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且． （1）求证：； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 威远中学校2027届高二上期期中考试 数学 数学试题共4页.满分150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 第Ⅰ卷(选择题，共58分) 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）． 1. 在直三棱柱中，若，，，则（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用棱柱的结构特征及向量的加减法则，应用空间向量的基本定理，用基底表示向量即可. 【详解】根据棱柱的结构特征及向量的加减法则知. 故选：B 2. 如图，平行四边形是水平放置的四边形的直观图，，，则四边形的面积（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出平行四边形的面积，再根据直接求解. 【详解】因为四边形是平行四边形，且，， 所以平行四边形面积 根据直观图与原图面积关系， 所以. 故选： 3. 一个正四棱锥的高是2，底面边长也为2，则正四棱锥的侧面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用正四棱锥的性质及勾股定理即可求出侧面积. 【详解】 由正四棱锥顶点在底面的投影是底面正方形的中心， 所以根据题意，可知， 在直角三角形中，有， 所以三角形的面积为， 即正四棱锥的侧面积是， 故选：C. 4. 若 ，是不同的直线，，是不同的平面，则下列命题中，错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】C 【解析】 【分析】充分利用线面平行、线面垂直、面面垂直的性质定理对四个选项分别分析即可判断． 【详解】解：对于A，若，，根据线面垂直的性质容易得到，故A正确； 对于B，若，，由面面平行的性质，可以得到，故B正确； 对于C，若，，则与可能平行、相交或者异面，故C错误； 对于D，若，，，根据线面平行的性质定理和判定定理，可以判断，故D正确； 故选：C． 5. 已知直三棱柱的顶点均在球面上，且，则该球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理求得外接圆的半径，利用勾股定理求得外接球的半径，可求表面积. 【详解】在中，， 利用正弦定理可得外接圆的半径， 又，所以直三棱柱的外接球的半径为， 所以该球的表面积为. 故选：A. 6. 在正方体中，，P、Q分别为棱，BC的中点，则从点P出发，沿正方体表面到达点Q的最短路径的长度为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】将正方体沿着不同的方向展开，得到展开图，化曲（折）为直，再利用勾股定理计算可得. 【详解】如图，在正方体中，P、Q分别为棱，BC的中点， 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，； 按照下列方式展开，. 综上所述，最短路径. 故选：D. 7. 如图，在透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，将容器底面一边固定于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列四个说法中错误的是（ ） A. 有水的部分始终是棱柱形； B. 水面所在四边形面积为定值； C. 棱始终与水面平行； D. 当时，是定值． 【答案】B 【解析】 【分析】从棱柱的特征平面可判断A；由水面四边形EFGH的面积是改变的可判断B；由∥∥∥，利用线面平行的判定定理可判断C；由水的体积是定值，高为定值，则底面积ABFE为定值，可判断D. 【详解】对于A：根据面面平行性质定理，可得BC固定时，在倾斜的过程中，始终有∥∥∥， 且平面∥平面DHGC，故有水的部分始终是棱柱形，故A正确； 对于B：因为平面，平面，则， 且//，则，即EFGH为矩形， 又因为水面EFGH所在四边形的面积，从图中可以发现，边长不变，而另外一条长随着倾斜程度变化而变化， 所以EFGH所在四边形的面积是变化的，故B错误； 对于C：因为∥∥∥，水面EFGH，水面EFGH， 所以∥水面EFGH，故C正确； 对于选项D：由于水的体积是定值，高不变，所以底面ABFE面积为定值， 此时ABFE的面积为定值，可得是定值， 即当时，是定值，故D正确. 故选：B． 8. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中错误的是（ ） A. 直线与直线所成的角为 B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】D 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直判断A；求出平面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值判断B；由法向量与相等，证明平面可判断C；由点到平面距离的向量法可求得点到平面的距离可判断D. 【详解】在正方体中，， 以为原点，分别为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以，所以， 所以，所以直线与直线所成的角为，故A正确； 又， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以， 所以直线与平面所成角的余弦值为，故B正确； 因为，所以平面，故C正确； 点到平面的距离为，故D错误. 故选：D. 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有两项或两项以上符合题目要求）． 9. 下列命题正确的有（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 直线与平面垂直，在平面内存在无数条直线与直线相交 C. 直线与平面相交，平面内存在无数条直线和直线异面 D. 平面与平面垂直，若直线与平面垂直，则直线与平面平行 【答案】BC 【解析】 【分析】根据平面的性质及线线、线面、面面间的位置关系对各个选项逐一分析判断即可． 【详解】对于A，当点在直线外时，直线与该点可确定一个平面，当点在直线上时，直线与该点不能确定一个平面，故A错误； 对于B，平面内所有过垂足的直线均与相交于，这样的直线有无数条，B正确； 对于C，设直线与平面的交点为，平面内所有不经过点的直线都与直线异面，这样的直线有无数条，故C正确； 对于D，直线还有可能在平面内，D错误. 故选：BC. 10. 在棱长为2的正方体中，E，F，G分别为棱，CD，的中点，则（ ） A. B. 平面EFG截正方体所得到的截面面积是 C. 直线AB和直线与平面EFG所成的角相等 D. 点E到平面BFG的距离为 【答案】AC 【解析】 【分析】对于A，可用几何法直接证明；对于B，画出截面，求面积即可；对于C 和D，建系求法向量，进而求得线面角和点到面的距离. 【详解】以点为坐标原点，、、分别为轴、轴、轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， 对于A，因为正方体中E，F分别为棱，CD的中点，所以，， 所以四边形为平行四边形，， 又，所以，故A正确； 对于B，由平面的基本性质，平面EFG截正方体所得到的截面如图所示为正六边形， 正六边形边长为，面积为，故B错误； 对于C，设平面EFG的一个法向量为，则，， 取，则，而，， ，， 所以直线AB和直线与平面EFG所成的角相等，故C正确； 对于D，，设平面BFG的一个法向量为， 则，，取，则， 点E到平面BFG的距离为，故D错误. 故选：AC. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，分别是棱，，，的中点，则（ ） A. ，，，四点共面 B. C. 平面 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用平面基本性质判断A，根据异面直线垂直的概念判断B，结合反证法根据线面平行的性质定理判断C，根据等体积求解判断D. 【详解】对于A，取的中点，的中点，连接， 因为分别是棱的中点， 所以，所以四点共面， 又，所以四点共面， 又因为过不共线的三点的平面具有唯一性， 所以，，，，，六点共面，故A正确； 对于B，因为，而，所以，故B正确； 对于C，平面与平面的交线为， 若平面，平面,则，这显然不成立，故C错误； 对于D，，故D正确. 故选：ABD 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题（本大共3小题 ，每小题5分，满分15分）． 12. 若一个圆台的上、下底面圆的半径分别为3和8．母线长为13，则该圆台的体积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出圆台的高，再由圆台的体积公式求解即可． 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为3和8，母线为13， 所以圆台的高为：， 由圆台的体积公式， 求得圆台体积为：． 故答案为： 13. 如图所示，和的对应顶点的连线，，交于同一点，且，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先证明平面平面，即可得到三棱锥和三棱锥高之比为，再由，即可得到其底面积之比，从而得解. 【详解】因为，所以，，， 又平面，平面，所以平面， 同理可证平面， 又，平面，所以平面平面， 且三棱锥和三棱锥高之比也为， 由等角定理得，， 所以， 由， 可得， 所以. 故答案为：. 14. 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称为鳖臑.已知在鳖臑中，，平面，当该整臑的外接球的表面积为时，则它的内切球的半径为______. 【答案】 【解析】 【分析】利用已知条件将三棱锥放入长方体中可求出三棱锥的高，再利用等体积法即可求解. 【详解】根据已知条件可以将三棱锥放在长方体中，如图， ∴三棱锥A－BCD的外接球即为长方体的外接球， 设三棱锥A－BCD的外接球的半径为R，内切球的半径为r， ∵三棱锥A－BCD的外接球的表面积为， ∵BC＝CD＝4，∴，解得AB＝4， ∴， ∵AB＝BC＝CD＝4，∴AC＝BD＝， ∴三棱锥的表面积为， 又∵，∴. 故答案为： 四、解答题（本题共计5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）. 15. 如图，在四棱锥中，底面是菱形，侧棱底面是的中点，是的中点． （1）证明：平面； （2）证明：平面． 【答案】（1）证明：如图，连，，， 平面平面，平面 （2）证明：平面平面，， 菱形为菱形的对角线，， 平面， 平面． 【解析】 【分析】（1）利用线面平行判定定理进行证明； （2）利用线面垂直的判定定理进行证明； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 16. 如图，在正三棱柱中，⊥平面ABC，D、E分别为AC、的中点，. （1）求异面直线DE与所成角的余弦值； （2）求与平面夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由为三角形的中位线得到，从而得到为异面直线DE与直线所成角或补角，求出和的长度，在中利用余弦定理求出 ，即可得异面直线DE与直线所成角的余弦值. （2）过点作的垂线，垂足为F，由题中条件得到为的中点和平面，从而得到为在平面的射影，则即为所求角，求出、、的长度，在中利用余弦定理求出，即为与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 证明：∵点D、E分别为AC、的中点， ∴为三角形的中位线，即， 为异面直线DE与所成角或补角， 在中，，，， . 异面直线DE与所成角的余弦值. 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为F，连结， 是正三棱柱，是正三角形，为的中点. 平面平面，且平面平面，平面 ，所以平面， 所以为在平面的射影，即为所求角， ，，， 所以， 即与平面夹角的余弦值. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，为等边三角形，底面是平行四边形，点为的中点，点分别在上，且平面平面． （1）求证：为线段中点； （2）若点在棱上，猜想：当为何值时，有平面平面，并证明你的猜想． 【答案】（1）证明:依题意平面平面， 由于平面平面，平面平面， 所以，由于底面是平行四边形，点为的中点， 所以为线段中点. （2）当时，有平面平面 【解析】 【分析】（1）根据面面平行的性质定理证得，由此证得为线段中点. （2）当为中点时，由面面垂直上可得平面，进而可得平面，可得结论. 【小问1详解】 l略； 【小问2详解】 存在，，即为中点时，平面平面， 证明如下：连接交于点，连接． 因为，所以四边形为平行四边形， 所以是的中点．又因为为中点，所以． 因为为等边三角形，点为的中点，所以， 因为平面平面，平面平面， 所以平面，又，所以平面， 又平面，所以平面平面． 当时，有平面平面． 18. 如图，在三棱锥中，，底面是等腰直角三角形，且． （1）若，证明：平面平面； （2）若与平面所成的角为，求二面角的余弦值． 【答案】（1） 如图，取的中点，连接，， 因为，所以， 且，又， 所以，则． 因为，所以，则， 因为平面， 所以直线平面， 又直线平面， 所以平面平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，利用面面垂直判定定理证明平面即可； （2）方法一：过点作的垂线，垂足为，取的中点，利用线面垂直可得到直线与平面所成的角为，解三角形得到的值，进而根据线线垂直可得为二面角的平面角，利用余弦定理即可求解；方法二：以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系，利用二面角的向量计算公式即得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过点作的垂线，垂足为. 由于，且，所以平面， 又平面，， 又由且， 所以直线平面， 则与平面所成的角为． 方法一：几何法：由于，故为等边三角形，则． 取的中点． 由于，故． 故为二面角的平面角． 由于，故． 故， 也即二面角的余弦值为． 方法二：建系法：如图，以为原点，为轴，为轴，过作平面的垂线为轴，建立空间直角坐标系. 则． 设平面的法向量为，平面的法向量为． 由于． 故，取，则； ，取，则． 则． 设二面角大小为，由图可知， 也即二面角的余弦值为． 19. 如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面平面，且． （1）求证：； （2）当时，求点到平面的距离； （3）当时，求二面角的正切值的取值范围． 【答案】（1） 由，得，则， 而平面平面，平面平面，平面， 所以平面，而平面，则， 又，则， 又，平面，因此平面， 又平面， 所以. （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用面面垂直的性质，线面垂直的判定和性质推理得证. （2）证明平面，再利用面面垂直的性质求出点到平面的距离即可. （3）作出二面角的平面角，利用几何法求出该角正切的函数关系，进而求出范围. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在中，平面，平面，则平面， 于是点到平面的距离等于点到平面的距离， 在平面内过作于， 由（1）知，平面， 在中，， 则，， 所以点到平面的距离为. 【小问3详解】 在平面内过作于M，作于N，连接， 由（1）得平面平面，平面平面，则平面， 又平面，则， 又平面，则平面， 又平面，因此， 则即为二面角的平面角， 设，，由（1）得， 则， 在中，由，得， 在中，由，得， 在中，， 因此， 由，得，则， 所以二面角的正切值的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $