第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷-2025-2026学年人教版九年级上册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破

第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次函数的识别．根据一元二次函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A：是一次函数，不符合题意； B：是二次函数，符合题意； C：含有分式，不是二次函数，不符合题意； D：当时，不是二次函数，不符合题意． 故选：B． 2．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与一元二次方程，令，由二次函数的图像与轴的交点横坐标是对应方程的解，判断当时，的图像与轴有一个交点，即可求解． 【详解】解：令， 当时，， 当时，， 当时，的图像与轴有一个交点， 方程有一个解的范围是． 故选：C． 3．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由二次函数，则它的对称轴为，开口向上， 则图象上的点离对称轴越远则的值越大， ∵，，， ∴， ∴， 故选：． 4．在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次函数与一次函数图象的综合判断，根据一次函数和二次函数的图象和性质，进行判断即可． 【详解】解： A、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意； B、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，对称轴在轴右侧，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，不符合题意； C、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，不符合题意； D、由一次函数的图象可知，，则：，由二次函数的图象可知，，当时，抛物线的对称轴为，在轴左侧，符合题意； 故选D． 5．若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线为， 平移后的顶点坐标为，根据题意可得， 解得， ∴的取值范围是． 故选：B． 6．在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用，则足球最大的飞行高度是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，求二次函数图象的顶点坐标是解题的关键． 根据题意，设关于的函数解析式为，当时，，当时，，运用待定系数法可求出解析式，再运用顶点坐标公式即可求解． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 依题可知：当时，，当时，， ∴， 解得， ∴， ∴顶点坐标的横坐标为：，纵坐标为， ∴该函数的顶点坐标为， ∴足球最大的飞行高度是， 故选：． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 【答案】D 【详解】解：由题意可得：方程的两根异号， ∴， 解得， ∴二次项系数，开口向上，故A不符合题意； ∵的对称轴为直线， ∴当时，y随x增大而增大，故B不符合题意； ∵当时，， ∴最小值为，故C不符合题意； 当时，， ∵， ∴此时，故D符合题意； 故选：D 8．如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①，②，③；④y有最大值是3，其中正确的有（　　）个．（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：由图易知抛物线与x轴有两个交点，即有两个实数根，因此，故①错误； 由图可知抛物线的对称轴为，因此，所以，故②正确； 由抛物线与x轴的交点A在点和之间，可知抛物线与x轴的另一个交点在点和之间，因此当时，，故③正确； 由抛物线的顶点为，可知y的最大值是3，故④正确； 综上可知，正确的有②③④，共3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查根据二次函数判断式子的符号，属于中等题型，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 9．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   【答案】A 【详解】解：当时，向右平移，此时重合部分是一个等腰直角三角形，重合面积为，这是一个二次函数，图象开口向上，对称轴为轴； 当时，重合部分是一个四边形，面积等于的面积减去右侧小等腰直角三角形的面积，即：，这是一个二次函数，图象开口向下，对称轴为． 综上，选项A的图象符合题意， 故选：A． 10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 【答案】B 【分析】根据二次函数的图象开口向上，与轴相交于下半轴，对称轴为直线，可得，，，即可判断；由抛物线的对称轴为直线，可得，当时，，得，即可判断；由，是抛物线上的两点，抛物线的对称性可知：，当时，，即可判断；由，到对称轴的距离为，当抛物线的顶点到轴的距离不小于时，在轴下方的抛物线上存在点，使得，即，可得，所以，即可判断；抛物线与轴的另外一个交点坐标为，得，若方程，即方程的两根为，，则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标，因为，所以，即可判断． 【详解】解：由图象可知：，，， ，故正确； 抛物线的对称轴为直线， ， ， 当时，， ， ，故错误； ，是抛物线上的两点， 由抛物线的对称性可知：， 当时，， 故正确； 由题意可知：，到对称轴的距离为， 当抛物线的顶点到轴的距离不小于时， 在轴下方的抛物线上存在点，使得， 即， ， ， ， ， 解得：，故④正确； ∵对称轴为，抛物线过点 ∴抛物线与轴的另外一个交点坐标为， 若方程， 即方程的两根为，， 则、为抛物线与直线的两个交点的横坐标， ， ，故错误； 故选：C． 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 12．已知二次函数经过，，二次函数经过，，则 ． 【答案】 【分析】先根据，且在的图象上，求出对称轴，则可求出的值，再由二次函数经过，求出，，代入即可求解． 【详解】解：∵，且在的图象上， ∴，， ∴， ∵二次函数经过，， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 13．如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握其性质并能正确求出二次函数解析式是解决此题的关键．先由题意得出抛物线的解析式为，然后将点A的纵坐标代入解析式得到两点的坐标，进而即可得解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， ∵抛物线经过坐标原点O， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， ∵点A的纵坐标是， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴矩形的周长， 故答案为： ． 14．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 【答案】14万元 【详解】解：设投资A产品a万元，投资B产品万元，利润为W万元， 则 ； ∴当时，能获得的最大利润； 故最大利润为14万元． 故答案为：14万元． 15．如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．      【答案】4 【详解】解：根据题意，设点运动的距离，则点运动的距离， ， ， ， ， ， 抛物线开口向下，当时，的面积最大，即当时，的面积最大， 故答案为：4． 三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式，利用函数图象解不等式． （1）设交点式，然后把C点坐标代入，求出即可； （2）结合函数图象，写出抛物线在x轴下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】（1）设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 即； （2）由图像可得当时，自变量x的取值范围为或． 17．已知二次函数． (1)画出这个二次函数的图象； (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了画二次函数的图象，二次函数的图象与性质，掌握相关知识点即可； （1）列表、描点、连线即可作图； （2）由图象可知：当时，函数在顶点处取得最大值3，在时取得最小值；即可求解； 【详解】（1）解：列表： 画出二次函数的图象如下： （2）解：由图象可知：当时，函数在顶点处取得最大值3，在时取得最小值； ∴y的取值范围是． 故答案为：． 18．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求出的面积． 【答案】(1) (2) (3)6 【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为， ∴， ∴， ∴， 又抛物线经过， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴； （3）解：对于， 当，则， 解得，， ∴， ∴． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨度为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到中点O的距离），为7.2m，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为． (1)结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01） (2)当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点C到水面的距离只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 【答案】(1)抛物线的解析式为； (2)需要采取紧急措施，理由见解析 【详解】（1）解：由已知可得，抛物线顶点， ∵， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵，， ∴， 在中，令， 得：， 解得，， ∴， ∵， 故需要采取紧急措施． 20．如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为　 　米． （3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积． 【答案】（1）y＝﹣2x2+8x+64；（2）4；（3）当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米 【详解】（1）y＝（8﹣x）（8+2x）＝﹣2x2+8x+64， 故答案为：y＝﹣2x2+8x+64； （2）根据题意可得：﹣2x2+8x+64＝64， 解得：x1＝4，x2＝0（不合题意，舍去）， 答：BE的长为4米； 故答案为：4； （3）解析式变形为：y＝﹣2（x﹣2）2+72， 所以当x＝2时，y有最大值， ∴当x为2时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积，最大面积为72平方米． 21．如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为、4，直线与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若函数的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有________个． 【答案】(1) (2)6 (3)4 【详解】（1）解：把代入，得：，， ∴， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴； （2）∵， ∴当时，， ∴， ∴， ∴的面积； （3）如图，过的中点作的平行线，与抛物线的交点满足题意，再作该直线关于直线的对称直线，与抛物线的交点也满足题意； 即符合题意的点有4个； 故答案为：4． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若该抛物线与y轴交于点C，求的面积； (3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，求的最小值，并求出对应的m的值． 【答案】(1) (2) (3)时，有最小值为 【详解】（1）解：已知抛物线经过点和点, , 解得：， 该抛物线的解析式为； （2）解：时， ， ， ； （3）解：当时， 时，此函数的最大值为， 时，此函数的最小值为， ， 时，的最小值为， 当时， 时，此函数的最大值为， 时，此函数的最小值为， ， 时，的最小值为， 综上所述： ， 时，有最小值为． 23．如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点P的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法计算即可得解； （2）求出，从而即可求出直线的表达式为， 设点，则，，表示出，．再根据，得出方程，求解即可； （3）设点，分两种情况：当时，；当时，过点C作于点H，则有，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线过点，点， ∴， 解得． ∴该抛物线的表达为； （2）解：由（1）得：抛物线的表达式为． 当时，，解得，， ∴， 设直线的表达式为， 代入和，得． 解得． ∴直线的表达式为， 设点，则，． ∴，． ∵， ∴， 整理，得，解得，（舍去）． 当时，． ∴点P的坐标为； （3）解：∵，， ∴． ∴． ∵轴， ∴轴． ∴． 由（2）知直线的表达式为， 设点． 如答图1．当时，． ∴，即，解得，（舍去）． ∴此时； 如答图2，当时，过点C作于点H，则有， ∴，解得，（舍去）． ∴此时． 综上，点P的坐标为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十二章《二次函数》同步单元基础与培优高分必刷卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 姓名：__________________ 班级：______________ 得分：_________________ 一：选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．下列函数中，一定是二次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解的范围是（   ） x 3.23 3.24 3.25 3.26 0.03 0.09 A． B． C． D． 3．若点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（　　） A． B． C． D． 4．在同一平面直角坐标系中，函数和函数的图象可能是（   ） A．B．C． D． 5．若抛物线向右平移2个单位，所得的抛物线的顶点在第一象限，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．在一次足球比赛中，小明将在地面上的足球对着球门踢出，足球的飞行高度与飞行时间满足二次函数关系，其函数图象如图所示．若不考虑空气阻力，足球飞出时，足球的飞行高度是，足球从飞出到落地共用，则足球最大的飞行高度是（　　） A． B． C． D． 7．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴有两个交点，且这两个交点分别位于轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是（    ） A．图象的开口向下 B．当时，的值随值的增大而增大 C．函数的最小值小于 D．当时， 8．如图所示，抛物线的顶点为，与x轴的交点A在点和之间，以下结论：①，②，③；④y有最大值是3，其中正确的有（　　）个．（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．如图，在中，，，正方形的边与在同一条直线上，，将沿平移，当点F与点C重合时，停止平移．设点B平移的距离为x，与正方形重合部分的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（    ）    A．  B．  C．   D．   10．如图，二次函数的图象过点，对称轴为直线．有以下结论： ①；②；③若，是抛物线上的两点，当时，；④点，是抛物线与轴的两个交点，若在轴下方的抛物线上存在一点，使得，则的取值范围为；⑤若方程的两根为，，且，则 其中正确结论的序号是（   ） A．①②④ B．①③④ C．①③⑤ D．①②③⑤ 二：填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11．已知抛物线与x轴的一个交点为，则 ． 12．已知二次函数经过，，二次函数经过，，则 ． 13．如图，抛物线经过坐标原点O，顶点，矩形的顶点A，D在抛物线上，B，C在x轴的正半轴上，点A的纵坐标是，则矩形的周长为 ． 14．某企业有效做好常态化防控，有序推进复工复产，扩大内需，经市场调研发现：如果单独投资A种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在一次函数关系：；如果单独投资B种产品，则所获利润（万元）与投资金额x（万元）之间存在二次函数关系：，如果企业同时对A、B两种产品共投资20万元，能获得的最大利润 ． 15．如图，中，为中点，是边上的动点，从出发向运动，同时以相同的速度从出发向运动，运动到停止，当为 时，的面积最大．      三、解答题（一）（本大题共3小题，第16题10分，第17 18小题各7分，共24分） 16．如图，抛物线分别经过点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)直接根据图象写出当时，自变量x的取值范围． 17．已知二次函数． (1)画出这个二次函数的图象； (2)根据表格图象可知，当时，y的取值范围是______． 18．如图，对称轴为的抛物线与轴相交于、两点，其中点的坐标为． (1)求抛物线的解析式； (2)求直线的解析式； (3)求出的面积． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题9分，共27分） 19．隋朝李春设计建造的赵州石拱桥，距今已有1400多年的历史，其石拱的横截面形状近似抛物线，测得它的跨度为37.4m，拱高（抛物线的最高点C到中点O的距离），为7.2m，以所在直线为x轴，所在直线为y轴建立平面直角坐标系，设二次函数的解析式为． (1)结合计算器提供的信息，求抛物线的解析式．（a值精确到0.01） (2)当雨季来临时，水位上涨，若水面宽度不大于21m时，要采取紧急措施保护桥梁的安全，当测量员测得点C到水面的距离只有2m时，是否需要采取紧急措施？请说明理由． 20．如图，ABCD是一块边长为8米的正方形苗圃，园林部门拟将其改造为矩形AEFG的形状，其中点E在AB边上，点G在AD的延长线上，DG＝2BE，设BE的长为x米，改造后苗圃AEFG的面积为y平方米． （1）求y与x之间的函数关系式（不需写自变量的取值范围）； （2）若改造后的矩形苗圃AEFG的面积与原正方形苗圃ABCD的面积相等，此时BE的长为　 　米． （3）当x为何值时改造后的矩形苗圃AEFG的最大面积？并求出最大面积． 21．如图，点A、B在的图象上．已知A、B的横坐标分别为、4，直线与y轴交于点C，连接． (1)求直线的函数表达式； (2)求的面积； (3)若函数的图象上存在点P，使的面积等于的面积的一半，则这样的点P共有________个． 五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 22．已知抛物线经过点和点． (1)求该抛物线的解析式； (2)若该抛物线与y轴交于点C，求的面积； (3)当自变量x满足时，此函数的最大值为p，最小值为q，求的最小值，并求出对应的m的值． 23．如图，抛物线（b，c为常数）与x轴交于，B两点，与y轴交于点，作直线．若点P在线段上运动（点P不与点B，C重合），过点P作x轴的垂线，分别交抛物线于点E，交x轴于点F．      (1)求该抛物线的表达式； (2)若，求此时点P的坐标； (3)连接，若是等腰直角三角形，求点P的坐标． 2 学科网（北京）股份有限公司 $