精品解析：甘肃省武威市凉州区凉州区长城、吴家井中学2025-2026学年九年级上学期10月期中数学试题

2025-2026学年第一学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 或 D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 4. 某商品原价148元，连续两次降价后售价为120元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ） A. B. 1 C. D. 2或 7. 若二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列四个结论中错误的是（    ） A. B. C. D. 8. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 10. 如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 二、填空题（共24分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 12. 已知关于x的方程的两根为，，则方程的两根之和为______． 13. 已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为___________． 14. 抛物线的对称轴为直线________． 15. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则______． 16. 如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 17. 如图，把绕着点顺时针旋转，得到，若，则_____． 18. 点与点关于原点对称，则________． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． （2）写出点、的坐标． 20. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 21. 某服装店将进货价为66元的服装以110元售出，平均每天可售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 23. 已知二次函数 （为常数)． （1）若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数． 24. 若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 25. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形（点、、的对应点分别是点、、），使得点落在边上，的延长线与交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的长度是否相等，并说明理由． 26. 如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 27. 如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由： （3）求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级数学期中考试试卷 一、选择题（共30分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（   ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，掌握相关知识是解决问题的关键．轴对称图形是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线称为对称轴．轴对称图形的关键特点是沿对称轴折叠后，两侧的部分能够完全重合．而中心对称图形则是指在平面内把一个图形绕着某个点旋转180°后，能够与原来的图形重合的图形，这个点称为对称中心．中心对称图形的关键特点是绕对称中心旋转180°后，图形的形状和大小不变，只是位置发生了变化． 【详解】解：A、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是中心对称图形但不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； D、是轴对称图形也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 2. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，代数式求值，根据题意得出，代入代数式即可求解． 【详解】解：∵是方程的根， ∴． ∴． ∴． 故选：A． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系式解答本题的关键．当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根． 根据一元二次方程根的判别式判断即可． 【详解】解：对于方程 ，，，， ， 当  时，方程有两个相等的实数根． 故选：B． 4. 某商品原价148元，连续两次降价后售价为120元，下列所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，由商品原价148元，降价后售价为，再降价后售价为，即可列出方程，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：根据题意可得： 所列方程为：， 故选C． 5. 将抛物线的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到的抛物线的顶点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的平移，二次函数的性质，熟知“上加下减，左加右减”的平移法则是解题的关键． 根据“上加下减，左加右减”的平移法则得到平移后的函数解析式，再由顶点式二次函数解析式写出顶点坐标即可解决问题． 【详解】解：由题知， 则将抛物线的图象向右平移1个单位后，再将所得抛物线向下平移2个单位后，所得抛物线的解析式为， 此时抛物线的顶点坐标为． 故选：C． 6. 已知开口向下的抛物线经过坐标原点，那么a等于（ ） A. B. 1 C. D. 2或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象性质．将代入抛物线解析式，再结合抛物线开口方向即可得到a的值． 【详解】解：∵过， ∴， 又∵抛物线开口向下， ∴， ∴， 故选：C． 7. 若二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，则下列四个结论中错误的是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．关键是熟记二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．分别根据抛物线与y轴的交点位置、抛物线的对称轴及其变形、当时，图象所显示的函数值及抛物线与x轴的交点个数与对应的一元二次方程的判别式的关系来求解即可． 【详解】解：∵图象与y轴交于负半轴， ∴，故A选项错误； ∵抛物线与x轴有两个交点， ∴，故选项B正确； ∵对称轴为直线， ∴，故C选项正确； 当时，，故D选项正确． 故选： A． 8. 如图，抛物线与y轴交于点A，与x轴交于点B，线段在抛物线的对称轴上移动（点C在点D下方），且．当四边形的周长最小时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】四边形中，线段和的长度是确定的，将四边形周长的最小值转化为两条线段和的最小值，可通过平移点B关于抛物线对称轴的对称点构造平行四边形确定点D的位置，求出直线的解析式即可求出点D的坐标； 本题主要考查了抛物线的对称性和两点之间线段最短等知识点，利用抛物线的对称性构造平行四边形是解题的关键． 【详解】解：抛物线与x轴的另一个交点为E点，把E点向上平移3个单位得到F点， 连接交对称轴于D点，如图， ，， 四边形为平行四边形， ， ， ， 四边形的周长， 此时四边形的周长最小； 当时，， 解得， ， 抛物线的对称轴为直线，， 当时，， ， 设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ． 故选：D． 9. 如图，将纸片绕点顺时针旋转得到，连接，若，则的度数为（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理等知识，熟练掌握旋转的性质是本题的关键．设与交于点，根据旋转角，求得，，根据等边对等角求得的度数，根据三角形内角和定理即可得答案． 【详解】解：设与交于点， ∵将纸片绕点顺时针旋转得到， ∴，， ∴ ∵ ∴， ∴ 故选：B． 10. 如图，是二次函数的图象的一部分，其对称轴为直线，且过点，现有下列说法：；④若，是抛物线上两点，则，其中说法正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①②④ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据抛物线开口方向、对称轴的位置，抛物线与轴的交点即可对①进行判断；根据抛物线的对称轴得，则，则可对②进行判断；由于当时，，则得到，则可对③进行判断；通过点和点离对称轴的远近对④进行判断． 【详解】解： 抛物线开口向上， ， ， ， 抛物线与轴的交点在轴下方， ， ，所以①正确； 抛物线对称轴为直线， ， ，所以②正确； 对称轴是直线，且过点， 图象与轴的另一个交点为， 抛物线开口向上， ∴当时，， ，所以③错误； 点离对称轴的距离比点离对称轴的距离大， ，所以④正确． 综上，正确的有①②④， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数的图象性质，二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时（即），对称轴在轴左；当与异号时（即），对称轴在轴右．（简称：左同右异）．抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数：时，抛物线与轴有2个交点；时，抛物线与轴有1个交点；时，抛物线与轴没有交点． 二、填空题（共24分） 11. 已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 12. 已知关于x的方程的两根为，，则方程的两根之和为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整体换元的思想；把方程看作是关于的一元二次方程，则利用方程的两根为，，得到或，可求出的两根，然后得到两根之和. 【详解】解：把方程看作是关于的一元二次方程， ∵关于x的方程的两根为，， ∴或， 解得，， ∴. 故答案为：. 13. 已知两个连续整数的积为132，则这两个整数的和为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查用一元二次方程解决数字问题，正确表示两个连续整数并列出方程是解题的关键 设较小的整数为，则较大的整数为，根据积为132建立一元二次方程，求解即可． 【详解】解：设较小的整数为，则较大的整数为 ， 解得：，或． 当时，，和为 当时，，和为． 故答案为： 或． 14. 抛物线的对称轴为直线________． 【答案】1 【解析】 【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴． 【详解】解：， 抛物线的对称轴为直线． 15. 已知抛物线与x轴的一个交点为，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，代数式求值，正确理解题意是解题的关键． 把代入得，再利用整体代入的方法，即可求得结果． 【详解】解：抛物线与轴的一个交点为， ， ， ， 故答案为：． 16. 如图，已知二次函数图象与x轴交于点A，与y轴交于点B，在对称轴上存在一点P，使以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形，写出此时点P的坐标______． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，平行四边形的性质． 根据二次函数的性质求出，，设，根据平行四边形的性可知，即，即可求出点P的坐标． 【详解】解：当时，，则， 当时，， 解得：， ∴， 设， ∵以P，A，O，B为顶点的四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， 即或． 故答案为：或． 17. 如图，把绕着点顺时针旋转，得到，若，则_____． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．根据旋转的性质可得，，根据，即可求解． 【详解】解：∵绕着点顺时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， 故答案为：． 18. 点与点关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标，关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数． 根据关于原点对称的点的坐标特征求出a，b的值，进而代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（共66分） 19. 如图，在的正方形网格中（每个小正方形的边长都为1个单位），的三个顶点都在格点上．建立如图所示的直角坐标系． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出旋转后的图形． （2）写出点、的坐标． 【答案】（1） 如图，即为所求， （2） 【解析】 【分析】此题考查了旋转的作图、坐标系中的图形的变换，正确作图是关键． （1）找到绕点逆时针旋转的对应点，画出旋转后的图形即可； （2）根据（1）中的图形写出答案即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由图可知，点、的坐标分别为． 20. 用适当的方法解下列一元二次方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程，熟练掌握运用一元二次方程的解法是解答本题的关键． （1）方程运用公式法求解即可； （2）方程运用配方法求解即可． 【小问1详解】 解：， 这里， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， ， 。 ， ∴，． 21. 某服装店将进货价为66元的服装以110元售出，平均每天可售出20件，在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多售5件．如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元？ 【答案】每件应降价4元 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，根据等量关系列出方程，是解题的关键．设每件应降价x元，根据每天要盈利1600元，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设每件应降价x元，根据题意得： ， 解得：，， ∵每件降价幅度不超过10元， ， ∴不符合题意，舍去． ∴， 答：每件应降价4元． 22. 已知关于x的一元二次方程． （1）如果方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围； （2）若的斜边边长，另两边长a，b恰好是这个方程的两个根，求k值及此三角形的面积． 【答案】（1） （2）的值为4，三角形的面积为6． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，以及直角三角形的勾股定理和面积计算，解题的关键是掌握“方程有两个不相等实数根则判别式”的条件，熟练运用韦达定理表示根与系数的关系，并结合勾股定理将边长关系转化为方程系数的关系，同时注意边长为正数的隐含条件． （1）根据一元二次方程有两个不相等实数根的条件，确定方程中、、，代入判别式公式，解不等式求出的取值范围； （2）先由根与系数的关系得、，再根据直角三角形勾股定理，将变形为，代入计算值；验证是否满足方程有实根的条件，最后用计算三角形面积． 【小问1详解】 解：对于一元二次方程，其中，，， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴． 代入得， 即， 化简得， 解得． 【小问2详解】 解：∵、是方程的两个根，由根与系数的关系得，， ∵中，斜边， ∴由勾股定理得 又∵，代入得， 即， 化简得， 解得． 验证：当时，，方程有两个实根，符合题意． 此时，三角形面积． ∴的值为4，三角形的面积为6． 23. 已知二次函数 （为常数)． （1）若点在二次函数的图象上，求二次函数的表达式； （2）求二次函数的图象与x轴的公共点的个数． 【答案】（1） （2）二次函数的图象与轴有2个公共点 【解析】 【分析】本题考查抛物线与轴交点问题，待定系数法求抛物线解析式．熟练掌握二次函数与一元二次方程的关系和待定系数法求抛物线解析式是解题的关键． （1）用待定系数法求出抛物线解析式即可； （2）令，则，利用根的判别式判定一元二次方程根的情况，即可得出结论． 【小问1详解】 解：将点代入中得， ， 解得：， 二次函数的表达式为． 【小问2详解】 解：令，则， 由题意知：，，， ， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， 二次函数的图象与轴有2个公共点． 24. 若二次函数图像的顶点为，经过点． （1）求、、的值； （2）向上或向下平移抛物线，使得平移后的抛物线经过原点，求平移后的抛物线的函数表达式． 【答案】（1），， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质以及二次函数图象的平移． （1）由题意设二次函数的顶点式，再把点代入求得的值，最后把二次函数的顶点式化为一般式，即可求出、、的值； （2）由题意先设平移后的抛物线的解析式，再把原点代入求解即可． 【小问1详解】 解：二次函数图象的顶点为， 设顶点式， 代入，得，解得， 二次函数的解析式为， 展开得，故，，． 【小问2详解】 解：向上或向下平移抛物线， 设平移后的抛物线为， 代入，得，解得， 平移后的抛物线的表达式为． 25. 如图，将矩形绕点顺时针旋转得到矩形（点、、的对应点分别是点、、），使得点落在边上，的延长线与交于点，连接． （1）求证：平分； （2）试判断与的长度是否相等，并说明理由． 【答案】（1） 证明：根据旋转得， ∴. ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2） 与的长度相等 将矩形旋转得到矩形， ∴， ∴， ∴， ∴. 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的性质和判定， 对于（1），先根据等边对等角得，再根据矩形的性质得，此题可证； 对于（2），根据矩形的性质得，进而得，即可证明，则此题可证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 26. 如图，抛物线经过点，其对称轴为直线，抛物线与直线交于点和． （1）求抛物线的解析式； （2）求点与点的坐标． 【答案】（1） （2），． 【解析】 【分析】本题考查了求二次函数解析式，二次函数与一次函数的交点问题，解一元二次方程，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）利用抛物线的对称轴求出，再利用抛物线经过点，求出，即可得到抛物线的解析式； （2）联立抛物线和直线解析式，即可求出交点坐标． 【小问1详解】 解：抛物线对称轴为直线， ， 解得， 抛物线经过点， ， 解得：， 抛物线的解析式； 【小问2详解】 解：抛物线与直线交于点和， 联立，整理得：， 解得：或， 当时，； 当时，； 点在第三象限，点在第一象限， ，． 27. 如图，顶点为的抛物线分别与轴相交于点，（点在点的右侧）与轴相交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）判断是否为直角三角形，并说明理由： （3）求四边形的面积． 【答案】（1） （2）是直角三角形 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数综合，勾股定理及其逆定理，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）把点C坐标代入解析式中计算求解即可； （2）根据（1）所求可求出B、M的坐标，再利用两点距离计算公式可推出，则由勾股定理的逆定理可得结论； （3）根据可知，只需要求出的面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵抛物线与轴相交于点， ∴， ∴， ∴抛物线解析式为； 【小问2详解】 解；是直角三角形，理由如下： ∵抛物线解析式为， ∴抛物线的顶点M的坐标为， 在中，当时，或， ∴， ∴，， ， ∴， ∴是直角三角形； 【小问3详解】 解：由（2）可得是直角三角形，且，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $