第二十一章一元二次方程重点回顾单元练习 -2025-2026学年人教版九年级数学上册

九上第二十一章重点回顾 单元练习 班级： 姓名： 一元二次方程 定义 解法 一元二次方程根的情况 根与系数的关系 实际问题 等号两边都是整式，只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 的整式方程，一般形式：ax2＋bx＋c=0（a，b，c为常数，a≠0） 配方法 公式法 因式分解法 ax2＋bx＋c=0（a，b，c为常数，a≠0） b2－4ac＞0，方程 b2－4ac＝0，方程 b2－4ac＜0，方程 x1＋x2＝ ，x1x2＝ 一 元 一 次 方 程 b2－4ac≥0时，x＝ 一般步骤：审、设、列、解、验、答 思想 思想 常见题型：传播问题、平均增长（降低）率问题、数字问题、单双循环问题、商品销售问题 参考答案 一个 2 降次 降次 有两个不相等的实数根 有两个相等的实数根 没有实数根 － 单元练习 一、单选题（本大题共10小题） 1．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1,则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 2．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（　　）. A．（32﹣2x）（20﹣x）=570 B．32x+2×20x=32×20﹣570 C．（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D．32x+2×20x﹣2x2=570 3．若关于x的一元二次方程x2+6x+c＝0配方后得到方程（x+3）2＝2c，则c的值为（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．9 4．一元二次方程（a-2）x2-2x+a2-4=0的一个根是0，则a的值是（　　） A．2 B．1 C．2或﹣2 D．﹣2 5．等腰三角形的两边长分别是方程x2-10x+21=0的两个根,则这个三角形的周长为 (　　) A．17或13 B．13或21 C．17 D．13 6．若关于的方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．关于x的方程有两个相等的实数根，若a，b，c是的三边长，则这个三角形一定是（    ）． A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰直角三角形 8．已知m，n是一元二次方程的两个根，则的值为（    ） A．0 B．－10 C．3 D．10 9．对于一个函数，自变量取时，函数值等于0，则称为这个函数的零点．若关于的二次函数有两个不相等的零点，关于的方程有两个不相等的非零实数根，则下列关系式一定正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在中，，：：，，是上一动点，过点作于，于，，则的长是（       ） A．定值 B．定值 C．不确定 D．定值 二、填空题（本大题共8小题） 11．已知关于的方程，当 时，方程为一元二次方程． 12．设,是方程的两个根，且，则______. 13．已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 14．关于的方程没有实数根，则的取值范围为 ． 15．已知，则 ． 16．已知关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根，且 ，则实数 ________． 17．关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ． 18．已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则________. 三、解答题（本大题共9小题） 19．解方程：． 20．解方程：. 21．解方程：. 22．解方程：． 23．某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 24．先化简，再求值： ，其中x满足 ． 25．长山群岛是黄海最大岛群，位于辽东半岛东侧的黄海北部海域，共由200多个海岛组成，所产海带销往全国各地．某超市以20元/袋的价格购进一批海带，经市场调查发现，这种海带的日销售量y（袋）与每袋售价x（元）之间满足一次函数关系，其图象如图所示． (1)求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）； (2)该超市销售这种海带每日的利润能否达到480元？如果能，求出每袋售价；如果不能，请说明理由． 26．已知关于x的方程 (1)求证：无论k取什么实数时，这个方程总有实数根； (2)若等腰三角形的边长，另两边的长b，c恰好是这个方程的两个根，求的周长． 27．例：对多项式分解因式时有一个因式为，求m的值及另一个因式． 解：由题意可知，当时，，代入原式，得， ∴原多项式即为对进行因式分解； 利用因式分解与整式乘法的关系，可得， 综上得：，另一个因式为． 以上求m的方法叫作“试根法”，该方法最先由数学家韦达发现并加以应用． 请你根据以上方法解决下列问题： (1)已知二次三项式有一个因式为，则______； (2)若分解因式后，有两个因式和，求的值； (3)无论k取何值，点满足方程恒成立，求关于x的不等式：的解集． 参考答案 1．【答案】C 【解析】由题意得，解得或（舍）.故选. 2．【答案】A 【分析】根据题意，观察图形，列出方程即可. 【详解】解：设道路的宽为xm，根据题意得(32−2x)(20−x)=570， 故选A. 3．【答案】C 【分析】先移项把方程化为，再配方可得，结合已知条件构建关于c的一元一次方程，从而可得答案． 【详解】解：x2+6x+c＝0， 移项得， 配方得，而（x+3）2＝2c， ， 解得， 故选C. 4．【答案】D 【分析】把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0，解得a1=2，a2=-2，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的a的值． 【详解】解：把x=0代入方程（a-2）x2-2x+a2-4=0得a2-4=0， 解得a1=2，a2=-2， 因为方程为一元二次方程， 所以a-2≠0， 所以a=-2． 故选：D． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了解一元二次方程． 5．【答案】C 【详解】解方程x2-10x+21=0得,x1=3,x2=7.∵3+3<7,∴等腰三角形的底边长为3,腰长为7,∴这个三角形的周长为3+7+7=17,故选C. 6．【答案】B 【分析】一元二次方程的根与有如下关系：①，方程有两个不相等的实数根，②，方程有两个相等的实数根，③，方程没有实数根，由题意得出，计算即可得出答案． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得， 故此题答案为B． 7．【答案】B 【分析】由关于x的方程有两个相等的实数根，可得，整理得，根据勾股定理逆定理判断的形状即可． 【详解】解：∵关于x的方程有两个相等的实数根， ∴，整理得， ∴是直角三角形， 故选B． 8．【答案】A 【分析】根据一元二次方程根与系数关系得出mn=－5，把x=m代入方程得m2+2m-5=0，即m2+2m=5，代入即可求解． 【详解】解：∵m，n是一元二次方程的两个根， ∴mn=－5，m2+2m-5=0， ∴m2+2m=5， ∴=5－5=0， 故此题答案为A． 9．【答案】A 【分析】 根据根与系数的关系可以求出，的值，用作差法比较的大小关系，的大小关系，根据可求出m的取值范围，结合的大小关系，的大小关系从而得出选项． 【详解】 解：∵是的两个不相等的零点 即是的两个不相等的实数根 ∴ ∵ 解得 ∵方程有两个不相等的非零实数根 ∴ ∵ 解得 ∴＞0 ∴ ∵， ∴ ∴ ∴ 而由题意知 解得 当时，，； 当时，，； 当m=-2时，无意义； 当时，， ∴取值范围不确定， 故选A． 【点睛】 本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于（a≠0）的两根为，则． 10．【答案】D 【分析】 设，则，进而得出，再用勾股定理求出，进而用勾股定理建立方程求出，最后用三角形的面积建立方程求解，即可求出答案． 【详解】 解：如图， 设，则， ， 在中，根据勾股定理得，， 在中，， 根据勾股定理得，， ， 舍去或， ， 连接，过点作于， ， ， 在中，根据勾股定理得，， ， ，， ， ， 故选：D． 【点睛】 此题主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，作出辅助线构造出直角三角形是解本题的关键． 11．【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义，即可求出答案． 【详解】解：∵若方程是一元二次方程， ∴， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，掌握二次项系数不等于0是解题的关键． 12．【答案】 【详解】,是方程的两个根，,，,解得,.当时，原方程为，此时原方程无解；当时，原方程为，此时原方程有解，的值为.故答案为. 13．【答案】且 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程（a≠0）的根的判别式是即可进行解答． 【详解】由关于的方程有两个不相等的实数根， 得， 解得， 则且． 【易错警示】注意． 14．【答案】/ 【分析】由一元二次方程没有实数根可知，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围． 【详解】∵关于x的方程没有实数根， ∴，即， 解得． 15．【答案】3． 【分析】 先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可． 【详解】 解：， 又∵， ∴， 则， 故答案为：3． 【点睛】 本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算． 16．【答案】3 【分析】利用一元二次方程 有两个不相等的实数根求出m的取值范围，由根与系数的关系得到 ，代入 ，解得 的值，根据求得的m的取值范围，确定m的值即可． 【详解】∵关于 的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得 ， ∵ ， ， ∴ ，解得 （不合题意，舍去），∴ ，故答案为3. 17．【答案】k＜1． 【分析】由方程有两个不等实数根可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论． 【详解】∵关于x的一元二次方程x2+2x+k=0有两个不相等的实数根， ∴△=， 解得：， 18．【答案】 【解析】由，得，.设.当时，；当时，.将代入，得，即，由，解得，的最大值为，最小值为.因此，，，则.故答案为. 【思路分析】 先将转化为，设，则，把化成关于的一元二次方程的形式，由一元二次方程有实数解，可得，得到关于的不等式，求得的取值范围，从而得到，的值，即可得解. 19．【答案】， 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：，． 20．【答案】，. 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， ， 或， ，. 【知识归纳】因式分解‌：把一个多项式化为几个最简整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫作分解因式. 要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否是完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 完全平方公式：． 平方差公式：(a + b)(a - b) = a² - b²． 21．【答案】 【解】原方程可化为， 或，，. …………（8分） 【易错警示】解一元二次方程时，可以通过计算 验证是否丢解. 【易错警示】解一元二次方程时，可以通过计算 验证是否丢解. 22．【答案】 , 【分析】根据求根公式进行解题. 【详解】解: a=1,b=-6,c=4 ∴△=36-16=20 ∴ ∴ , 23．【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为; (2)最少购进甲种商品40件. 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 24．【答案】 ；2 【分析】 先计算括号内的分式的减法运算，再把除法化为乘法运算，得到化简的结果，再整体代入计算即可． 【详解】 解： , ∵ ， ∴ ，其中 ， ∴原式 . 25．【答案】(1) (2)不能，理由见解析 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由题意建立一元二次方程，根据根的判别式判断方程的根的情况，即可判断每日的利润能否达到480元． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为， 将，代入得：， 解得：， ∴解析式为：； （2）解：不能，理由如下： 假如当每日利润为480元时，由题意得， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴超市销售这种海带每日的利润不能达到480元． 26．【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】（1）先把方程化为一般式：，要证明无论k取任何实数，方程总有两个实数根，即要证明； （2）先利用因式分解法求出两根：．再分为底边和为腰两种情况，分别确定b，c的值，最后求出三角形的周长即可． 【详解】（1）证明：方程化为一般形式为：， ∵， ∴， ∴无论k取任何实数，方程总有两个实数根． （2）解：， 整理得， ∴， 当为等腰的底边，则有， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴，解得， ∴三角形的三边长分别为：2，2，4， ∵， ∴不满足三角形三边的关系，应舍去； 当为等腰的腰， ∵b、c恰是这个方程的两根， ∴只能， ∴三角形三边长分别为：2，4，4， ∴三角形的周长为． 所以的周长为10． 27．【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意可得当时，，即当时，，据此求解即可； （2）根据题意可得当时，，当时，，则，解方程组即可得到答案； （3）根据题意得到，无论k取何值，点满足方程恒成立，则，据此求出m、n的值，再解不等式即可． 【详解】（1）解：∵二次三项式有一个因式为， ∴当时，， ∴当时，， ∴， ∴； （2）解：∵分解因式后，有两个因式和， ∴当时，， 当时，， ∴， ∴得， ∴； （3）解：∵， ∴， ∵无论k取何值，点满足方程恒成立， ∴， 解得， ∴不等式，即为不等式， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $