第十七章因式分解单元提升训练-2025-2026学年人教版数学八年级上册

2025-2026学年人教版八年级上册数学第十七章 因式分解单元提升训练 满分:120分 考试时间:120分钟 一、单选题（共30分） 1．（本题3分）下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（本题3分）将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）多项式分解因式为，其中a，m，n为整数，则a的取值有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（本题3分）分解因式的结果是（   ） A． B． C． D． 5．（本题3分）多项式可分解因式为，那么等于（　　） A． B． C． D． 6．（本题3分）多项式可以因式分解成，，为整数，则的值是（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）计算后的结果是（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）小友在练习因式分解时，发现多项式被污染了，翻看答案，因式分解的结果是，则□中的数字是（   ） A．6 B． C．36 D． 9．（本题3分）一个多项式分解因式的结果是，那么这个多项式是（    ） A． B． C． D． 10．（本题3分）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（共24分） 11．（本题3分）因式分解的结果是 ． 12．（本题3分）多项式分解因式的结果是 ． 13．（本题3分）若多项式可分解为则 ， ． 14．（本题3分）若，则的值是 ． 15．（本题3分）若能用完全平方公式因式分解，则n的值为 ． 16．（本题3分）已知a、b、c是的三边的长，且满足，则此三角形的形状为 ． 17．（本题3分）若关于x的二次三项式可以用完全平方公式因式分解，则m的值为 ． 18．（本题3分）小明抄在作业本上的式子（“”表示漏抄的指数），不小心漏抄了x的指数，他只知道该数为不大于5的正整数，并且能利用平方差公式分解因式，请你帮小明写出该整式分解因式的所有可能结果： ． 三、解答题（共66分） 19．（本题8分）因式分解 (1) (2) 20．（本题6分）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 21．（本题9分）已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 22．（本题9分）由 可知多项式有一个因式为，我们把代入多项式，发现使多项式 的值为0． (1)若是多项式的一个因式，求k的值． (2)若和是多项式的两个因式，试求m，n的值，并将该多项式因式分解． 23．（本题11分）阅读材料，并解答问题． 例题：求多项式的最小值． 解：， ，， 多项式的最小值是． (1)请写出例题解答过程中因式分解运用的公式是________； 当取最小值时，______，______． (2)求多项式的最大值． 24．（本题11分）如图是一个长为、宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图）．    (1)图中的阴影部分的面积为 ； (2)观察图请你写出、、之间的等量关系是 ； (3)根据（）中的结论，若，，则 ； (4)实际上通过计算图形的面积可以对整式进行因式分解．如图，因式分解： ． 25．（本题12分）常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但有一部分多项式只单纯用上述方法就无法分解，如．我们细心观察这个式子，会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合，再应用平方差公式进行分解． 过程如下： ． 这种分解因式的方法叫分组分解法． 利用这种分组的思想方法解决下列问题： (1)分解因式：． (2)已知、、分别是三边的边长且满足，请判断的形状，并说明理由． 第2页，共4页 第1页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D B D C A D B B 1．C 【分析】本题考查了因式分解的理解，根据其定义及理解即可解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，符合题意； D、右边不是积的形式，不符合题意． 故答案为：C ． 2．C 【分析】本题考查了公因式，熟练掌握公因式的定义及确定公因式的方法是解题的关键：公因式的定义：多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式；需要注意：①公因式必须是每一项中都含有的因式；②公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式；③某个或某些项中含有，而其他项中没有的因数或因式不能成为公因式的一部分；确定公因式的方法：①定系数，即确定各项系数的最大公因数；②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）；③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 根据公因式的定义及确定公因式的方法即可直接得出答案． 【详解】解：将用提公因式法分解因式，应提取的公因式是， 故选：C． 3．D 【分析】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，理解题意， 整理得，即，结合a，m，n为整数，再进行分类讨论，即可作答． 【详解】解：∵多项式分解因式为， ∴， 则， ∵a，m，n为整数， ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； ∴当时，则，即； 则a的取值有4个， 故选：D． 4．B 【分析】本题考查了提取公因式法，直接利用提取公因式法分解因式得出答案． 【详解】解： = 故选： B． 5．D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 6．C 【分析】本题考查因式分解，先将多项式提取公因式得，然后与对照，即可求出，的值，再代入计算即可．对多项式提取公因式是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵多项式可以因式分解成，，为整数， ∴， ∴，， ∴， 即的值是． 故选：C． 7．A 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是掌握熟练掌握因式分解的方法． 根据乘方的意义进行拆解，然后利用提公因式法进行因式分解，再进行求解即可． 【详解】解：， 故选：A． 8．D 【分析】本题考查了因式分解以及平方差公式的知识点，掌握平方差公式最关键． 本题根据平方差公式，将因式分解的结果展开，得到与原式相对应的形式，进而确定“”中的数字，即可解决求多项式中被污染系数的问题． 【详解】解：∵， ∴， 即是． 故选：D． 9．B 【分析】本题主要考查平方差公式，熟练掌握平方差公式进行因式分解是解题的关键；因此此题可根据“平方差公式”进行求解即可． 【详解】解：； 故选B． 10．B 【分析】本题考查的是求解代数式的值，利用完全平方公式分解因式，把原式化为，再把代入计算即可. 【详解】解：∵， ∴ ； 故选：B 11． 【分析】本题主要考查因式分解，掌握提取公因式及完全平方公式法是解题的关键． 先提取，再根据完全平方公式因式分解即可． 【详解】原式 ． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了提公因式法进行因式分解，关键是找到公因式．先把变形为，然后提取公因式进行因式分解． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 13． 【分析】本题考查了因式分解的相关知识，注意是解答本题的关键． 根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：多项式可以被分解为， ， ，， 故答案为： ，． 14．6 【分析】本题考查了因式分解的应用中的整体思想，提公因式，出现两个整体、是关键，代入数据计算即可． 利用提公因式法，把原式中公因式提出，代入数据计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：6． 15．或 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出的值． 【详解】∵能用完全平方公式因式分解为， ∴， 解得：或． 故答案为：或 16．等边三角形 【分析】本题考查因式分解的应用及三角形形状的判定，解题的关键是将已知等式通过配方转化为完全平方式的和，利用非负数的性质得出三边关系． 将已知等式进行整理，通过配方转化为两个完全平方式的和，根据非负数的性质得出三边相等，从而判定三角形形状． 【详解】解：整理，得， ， 即， ， 为等边三角形， 故答案为：等边三角形． 17． 【分析】本题考查因式分解，熟知完全平方式为是解答的关键．根据完全平方式结构特征求解即可． 【详解】解：由题意，， ∴， 故答案为：． 18．或 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握利用平方差公式分解因式是解题关键． 根据平方差公式分解因式有两种情况：①当的值为2时，②当的值为4时，利用平方差公式分解因式即可得． 【详解】解：①当的值为2时，则； ②当的值为4时，则； 故答案为：或． 19．(1) (2) 【分析】本题考查了综合提公因式法与公式法，分组分解法因式分解，熟练掌握相关运算方法为解题关键． （1）先提取公因式，再利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先利用完全平方公式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2） ． 20．另一个因式为， 【分析】本题考查了整式的乘法与因式分解，合并同类项等知识，熟练掌握以上知识是解题关键． 设另一个因式为，整理后对比等式左右两边各项系数即可解决问题． 【详解】设另一个因式为，根据题意得： ， ， 解得， 另一个因式为，． 21．(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，因式分解的含义， （1）先根据完全平方公式求出，再进一步即可得到答案． （2）先根据完全平方公式求出，再进一步即可得到答案． （3）根据条件可得，再代入计算可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴． （3）解：∵， ∴ ． 22．(1) (2)， 【分析】本题考查因式分解的特殊方法，阅读相关材料能够举一反三是解题的关键． （1）根据材料把代入多项式中使多项式值为零，解方程即可求出k值； （2）把和分别代入式子中使原式值为零，解方程组即可求出m，n值，再提取，接着因式分解即可． 【详解】（1）解：∵是多项式的一个因式， ∴时，， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵和是多项式的两个因式， ∴和时，， ， 解得， ． 23．(1)完全平方公式，， (2)16 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，熟练掌握完全平方公式以及完全平方数的非负性是解题的关键． （1）观察例题分解过程，确定用到的公式，再根据完全平方数的非负性求出、的值； （2）通过配方法将多项式转化为含有完全平方的形式，再根据完全平方数的非负性求最大值． 【详解】（1）解：过程中使用了完全平方公式． 故答案为：完全平方公式． 原式， 当，时，式子取到最小值， 此时，，，； （2）解：原式 ， ，， ， 即所求最大值为，当且仅当时取到最大值． 24．(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了完全平方公式和因式分解，解题的关键是认真观察题中给出的图示，用不同的形式去表示面积，熟练掌握完全平方公式，并能进行变式． （）根据阴影部分为一个正方形，其边长为，即可求出面积； （）利用完全平方公式、、之间的等量关系即可； （）由（）得，将，代入即可求出所求式子的值； （）可利用长方形面积的两种表示法列出等式即可． 【详解】（1）解：图中阴影部分边长为，面积为， 故答案为：； （2）解：图中阴影部分面积为， 故答案为：； （3）解：由（）得， ∵，， ∴， ∴； 故答案为：； （4）解：由图可知，， 故答案为：． 25．(1) (2)等边三角形，理由见解析 【分析】本题考查了等边三角形的判定，因式分解，用分组分解法对超过3项的多项式进行因式分解，平方差公式及完全平方公式，合理分组是解题的关键，综合运用因式分解的几种方法是解题关键． （1）认真阅读题例的思想方法，观察所给多项式的结构特点，合理分组运用完全平方公式后再整体运用平方差公式进行分解； （2）等式左边的多项式拆开分组，构造成两个完全平方式的和等于0的形式，利用非负数的性质求出a、b、c的关系即可． 【详解】（1） （2）等边三角形，理由如下： ， ， ， 根据两个非负数互为相反数，只能都同时等于0才成立， ， ． 的形状是等边三角形． 答案第2页，共11页 答案第1页，共11页 学科网（北京）股份有限公司 $第十七章因式分解单元提升训练 答题卡 姓 名： 准考证号： 贴条形码区 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，学号填写清楚，并认真核准条形 考生禁填： 缺考标记 码上的姓名、学号，在规定位置贴好条形码。 违纪标记 吕 2.选择题必须用2B铅笔填涂：非选择题必须用0.5m黑色签字笔 以上标志由监考人员用2B铅笔填涂 答题，不得用铅笔或圆珠笔答题：字体工整、笔迹清晰。 3.请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案 选择题填涂样例： 无效：在草稿纸、试题卷上答题无效。 正确填涂■ 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 错误填涂[×]【][/1 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ “、 单选题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共30分） 1.[A][B][C][D]2.[A][B][C][D3.[A]B][C][ D 4.[A][B][C][D]5.[A][B][C][D]6.[A][B][C][ D] 7.[A][B][C][D]8.[A][B][C][D]9.[A][B][C][ D 10.[A][B][C][D] 二、填空题（请用2B铅笔填涂，每题3分，共24分) 11 12. 13 16. 17 18 三、解答题（共66分) (56￥)‘[乙 (59￥)‘07 6-9+q℃-D() x81+xI-x(I) 携平图(：8Ψ)6L ■ (华[I业)乙 (书6￥)乙 ■ (IL￥)忆 ■ (乙L￥)S ■