专题4.2.2 对数运算法则（高效培优讲义）数学人教B版2019高一必修第二册

专题4.2.2对数运算法则 教学目标 1.能复述3条对数运算性质及换底公式，明确运算成立的前提条件（所有对数有意义）。 2.会用运算性质化简对数式、计算对数值，能通过换底公式转化不同底数的对数。 3.会推导换底公式的3个重要结论，能灵活运用结论解决复杂对数运算问题。 教学重难点 重点：对数3条运算性质的记忆与直接应用；换底公式的结构及不同底数对数的转化 难点：判断对数运算是否有意义；换底公式重要结论的推导逻辑及灵活运用。 知识点01对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 【即学即练】 1．计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 2．计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 知识点02对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 【即学即练】 1．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．计算： ． 题型01对数的运算法则 【例1】对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（    ） A． B． C． D．2 【变式1-1】若与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】的值为 . 题型02对数的化简求值 【例3】 . 【例4】已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【变式2-1】 . 【变式2-2】已知，则 ． 【变式2-3】已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 题型03利用换底公式化简求值 【例5】求值： . 【例6】已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】 . 【变式3-2】已知正数满足，则 ；若满足，则 . 【变式3-3】已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 题型04解对数方程 【例7】方程的解为 . 【例8】甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【变式4-1】若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【变式4-2】记方程的根为，求的值． 【变式4-3】对于正数，且，可以定义运算，则方程的根落于区间（    ） A． B． C． D． 题型05用对数表示其他对数 【例9】若，，则 （用，表示）． 【例10】已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【变式5-1】已知，用含的代数式表示 ． 【变式5-2】已知，，试用，表示 ． 【变式5-3】已知，，用表示. 用对数表示其他对数，核心是巧用换底公式且和对数运算性质；先观察已知对数与目标对数的底数、真数，通过换底公式统一底数，再结合、等性质，将已知对数转化为目标对数的表达式，逐步推导即可。 题型06对数的实际应用 【例11】在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中为常数．在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ）. A．2 B．4 C．20 D．40 【例12】中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【变式6-1】研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（为常数）.若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【变式6-2】声强级（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：）.若某音源的声强由变为，其声强级由10.1提高到30.1，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】某水域每立方米中微生物含量约为，另一水域每立方米中同种微生物含量约为.则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A．0.3 B．10 C． D． 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 2．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 3．下列各数中与最接近的是（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D．36 5．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 6．已知，，，，则（    ） A．e B． C．1 D． 二、多选题 7．下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 8．已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 三、填空题 9． . 10．已知，则 ． 11．已知，，则 .（结果用表示） 四、解答题 12．计算：． 13．求值： (1)； (2)； (3)． 14．（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 15．已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.2.2对数运算法则 教学目标 1.能复述3条对数运算性质及换底公式，明确运算成立的前提条件（所有对数有意义）。 2.会用运算性质化简对数式、计算对数值，能通过换底公式转化不同底数的对数。 3.会推导换底公式的3个重要结论，能灵活运用结论解决复杂对数运算问题。 教学重难点 重点：对数3条运算性质的记忆与直接应用；换底公式的结构及不同底数对数的转化 难点：判断对数运算是否有意义；换底公式重要结论的推导逻辑及灵活运用。 知识点01对数运算性质 如果，且，那么： （1）；（2）；（3） 温馨提示：对数的这三条运算性质，都要注意只有当式子中所有的对数都有意义时，等式才成立． 例如，是错误的． 【即学即练】 1．计算：（   ） A．10 B．1 C．2 D． 【答案】B 【详解】原式. 故选：B. 2．计算式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】. 故选：A 知识点02对数换底公式 若，且，则(，且)． 由换底公式推导的重要结论 （1）（2）（3） 【即学即练】 1．（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】， 故选：A 2．计算： ． 【答案】1 【详解】 故答案为：1 题型01对数的运算法则 【例1】对于，，，，下列说法中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对于A，取，，， ，， 则，故A错误； 对于B，取，，， ，， 则，故B错误； 对于C，由对数的运算性质可知，，故C正确； 对于D，对数的底数不能为负数，则表示错误，故D错误； 故选：C. 【例2】（    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【详解】根据对数运算性质可知，，所以． 故选：C． 【变式1-1】若与互为相反数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意可知，则，. 故选：C. 【变式1-2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，所以. 故选：D 【变式1-3】的值为 . 【答案】4 【详解】. 故答案为：4. 题型02对数的化简求值 【例3】 . 【答案】3 【详解】， 故答案为：3 【例4】已知，则（    ） A．1 B．4 C．1或4 D．2 【答案】B 【详解】由已知得，整理得，得或． ，即， 则, 故选：B 【变式2-1】 . 【答案】 【详解】 故答案： 【变式2-2】已知，则 ． 【答案】 【详解】且，则， . 故答案为： 【变式2-3】已知，且，则（    ） A．2或8 B．或8 C．8 D．64 【答案】C 【详解】因为， ， 令， 所以，解得或（不符合题意舍去）， 所以，解得. 故选：C 题型03利用换底公式化简求值 【例5】求值： . 【答案】 【详解】 . . 故答案为：. 【例6】已知正数a，b满足，则的最大值为（   ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】因为正数a，b满足，所以（*）， 当且仅当时，即，时等号成立. 由（*）可得. 又， 当且仅当，时等号成立. 所以的最大值为1. 故选：D. 【变式3-1】 . 【答案】 【详解】原式 故答案为： 【变式3-2】已知正数满足，则 ；若满足，则 . 【答案】 【详解】由，得，，. 由，得，， 所以. 故答案为：，. 【变式3-3】已知，，，则（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】由可得，由可得， 所以. 故选：B 用换底公式应注意： （1）化成同底的对数时，要注意换底公式的正用、逆用以及变形应用． （2）题目中有指数式和对数式时，要注意将指数式与对数式统一成一种形式． 题型04解对数方程 【例7】方程的解为 . 【答案】 【详解】由，解得. ， 所以，整理得，解得或（舍去）， 所以原方程的解为. 故答案为： 【例8】甲、乙两人同时解关于x的方程：．甲写错了常数b，得两根为及；乙写错了常数c，得两根为及64，则这个方程的真正的根为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【详解】原方程两边同时乘以，可变形为， ∵甲写错了b，得到两根为及，∴， 又∵乙写错了常数c，得到两根为及64，∴， ∴原方程为，即， ∴或，∴或8. 故选：C. 【变式4-1】若方程的两根为、，则（    ） A． B． C．35 D． 【答案】D 【详解】，分解因式得到， 则，则. 解得或，所以. 故选：D. 【变式4-2】记方程的根为，求的值． 【答案】7 【详解】，即， 则，即， 故． 【变式4-3】对于正数，且，可以定义运算，则方程的根落于区间（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意，，即，即， 即，则，，， ，即，则. 故选：C 题型05用对数表示其他对数 【例9】若，，则 （用，表示）． 【答案】 【详解】由题设，， 所以，， 所以，，而， 所以. 故答案为： 【例10】已知，. (1)求的值； (2)用，表示. 【答案】(1)； (2). 【分析】 【详解】（1）由，，得. （2）由，，得， 所以. 【变式5-1】已知，用含的代数式表示 ． 【答案】 【详解】. 故答案为： 【变式5-2】已知，，试用，表示 ． 【答案】 【详解】因为，所以， 所以 ． 故答案为：． 【变式5-3】已知，，用表示. 【答案】 【详解】因为，又，， 所以. 用对数表示其他对数，核心是巧用换底公式且和对数运算性质；先观察已知对数与目标对数的底数、真数，通过换底公式统一底数，再结合、等性质，将已知对数转化为目标对数的表达式，逐步推导即可。 题型06对数的实际应用 【例11】在一定条件下，某人工智能大语言模型训练个单位的数据量所需要时间（单位：小时），其中为常数．在此条件下，已知训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加20小时；当训练数据量从个单位增加到个单位时，训练时间增加（单位：小时）（    ）. A．2 B．4 C．20 D．40 【答案】B 【详解】设N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为， 则由题意， ， ， 所以由题，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 【例12】中华人民共和国国家标准（GB11533-2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔画宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与，无关的常量.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，若此时，不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（参考数据：）（   ） A．4.8 B．4.9 C．5.0 D．5.1 【答案】B 【详解】由题意，得，小华在距离标准视力表4米处检测右眼的视力值，即，代入，得. 故选：B. 【变式6-1】研究表明地震释放的能量（单位：焦耳）与震级之间满足（为常数）.若5.5级地震所释放的能量为焦耳，8级地震所释放的能量为焦耳，则6级地震所释放的能量为（    ）（取） A．焦耳 B．焦耳 C．焦耳 D．焦耳 【答案】C 【详解】由题意可得，即，解得， 所以，当时，， 所以焦耳. 故选：C. 【变式6-2】声强级（单位：dB）由公式：给出，其中I为声强（单位：）.若某音源的声强由变为，其声强级由10.1提高到30.1，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】声强级由10.1提高到30.1，可知，， 故， 即，故，则，即， 故选：C 【变式6-3】某水域每立方米中微生物含量约为，另一水域每立方米中同种微生物含量约为.则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A．0.3 B．10 C． D． 【答案】D 【详解】依题意，，则， 而， 所以与最接近的是. 故选：D 一、单选题 1．（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】. 故选：C. 2．已知，计算（   ） A． B．1 C． D．2 【答案】A 【详解】由题可得：,所以 故选：A 3．下列各数中与最接近的是（   ）（参考数据：，） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，又， 所以， 所以， 因为指数与选项A、B、C、D的指数相比较，与的差的绝对值最小， 所以与最接近的是. 故选：C 4．已知，，若，则（    ） A． B． C． D．36 【答案】C 【详解】易知，所以， 所以. 故选：C 5．围棋是一种古老的智力游戏，相传是中国“五帝”之一的尧帝发明的，至今已有4000多年的历史.围棋最早被称为“弈”或“棋”后来，人们根据下棋时黑白双方总是互相攻击，互相包围的特点，称“下棋”是“围棋”这样，“围棋”作为一个专门名词就固定下来.南北朝时候，棋盘定型为现在的19道棋盘（即棋盘上有纵横各19条线段将棋盘分成361个交叉点）.根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为，则下列各数中与最接近的是（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意：，根据题设及指对数关系有， 所以，所以. 故选：A 6．已知，，，，则（    ） A．e B． C．1 D． 【答案】B 【详解】由，， 则，， 所以，则， 则，所以. 故选：B. 二、多选题 7．下列运算正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 8．已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 三、填空题 9． . 【答案】 【详解】. 故答案为： 10．已知，则 ． 【答案】/ 【详解】由题设，则. 故答案为： 11．已知，，则 .（结果用表示） 【答案】 【详解】因为，， 所以. 故答案为：. 四、解答题 12．计算：． 【答案】 【详解】解法一：原式． 解法二：原式 ． 13．求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)2 (3)2 【分析】 【详解】（1）原式． （2）方法一：原式． 方法二：原式 ． （3）原式． 14．（1）已知，试用表示； （2）已知，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】 【详解】（1）； （2） 即， ，即． ，即， 或． 符合题意，舍去， ． 15．已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 【答案】 【详解】由题意得，设（且）， 则，，， 又，即，即，则， 即，即，则， 故. 2/37 学科网（北京）股份有限公司 $