第15章 综合与实践 最短路径问题-【木牍中考•课时A计划】2026-2027学年八年级上册数学配套课件（人教版·新教材）

该初中数学课件聚焦“最短路径问题”，以“将军饮马”历史典故及古诗导入，从实际问题抽象出数学模型，通过先研究异侧两点简化问题，再用轴对称转化同侧问题，搭建层层递进的学习支架。 其亮点在于以情境激发数学眼光，通过轴对称转化培养推理能力，多样化训练（如牧民饮马、造桥选址）发展模型意识。例如任务3用对称点转化问题，任务6结合平移应用，助力学生提升问题解决能力，也为教师提供结构化教学资源。

RJ 数 学 8年级 上册 题目好 分册好 服务好 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 第十五章　轴对称 15.3　等腰三角形 综合与实践　最短路径问题 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 1.【发现问题】 唐朝诗人李颀的《古从军行》中开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马.传说早在古罗马时代，亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦.一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题：将军每天从军营出发，先到河边饮马，然后再去河岸同侧的另一军营，应该怎样走才能使路程最短？据说海伦略加思索就解决了它.从此以后，这个被称为“将军饮马”的问题便流传至今. -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 【分析问题】 任务1　问题抽象 小明：从上述问题中抽象出数学问题：已知点A，B在直线l的同侧，在直线上找一点C，使得　 　最小.  图1 　AC＋CB　 【提出问题】 如图1，将军每天从山脚下的军营A出发，到达河岸l上的点C处饮马后再回到军营B，他怎样走才能使他走的路程之和最短呢？ -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 图2 作法：连接AB，与直线l的交点即为点C，图略. 任务2　问题简化 小红：由于点A，B在直线l的同侧，导致各路线(折线)难以直接比较长短，可以先研究简单情况：如图2，如果点A，B是直线l异侧的两个点，如何在直线l上找一点C，使得AC与CB的和最小？ 请在图2中作出点C， 依据是　 　.  　两点之间，线段最短　 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 【解决问题】 任务3　问题转化 小亮：既然点A，B在直线l的异侧时问题容易解决，可以考虑利用轴对称将点A，B在直线l的同侧问题转化为点A，B在直线l的异侧问题.如图3， 作点B关于直线l的对称点B’，连接 AB'与直线l交于点C，点C就是饮马 的地方，此时所走的路程就是最短的. 图3 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 小红：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图4，在直线l上另取任一点C'，连接AC'，BC'，B'C'，只要证明AC＋CB＜AC'＋C'B即可. 请你帮小亮写出具体的证明过程. 图4 由题意可知CB＝CB'，C'B＝C'B'， ∴AC＋CB＝AC＋CB'＝AB'，AC'＋C'B＝AC'＋C'B'， ∵AB'＜AC'＋C'B'，∴AC＋CB＜AC'＋C'B， ∴作点B关于直线l的对称点B'，连接AB'与直线l交于点C，点C就是饮马的地方. -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 【发散问题】 任务4　如图5，将军牵马从军营P处出发，到河边OA饮马，再到草地OB吃草，最后回到P处，试分别在边OA和OB上各找一点E，F，使得走过的路程最短.(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线) 图5 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 如图所示，分别作点P关于OA，OB的对称点C，D，连接CD分别交OA，OB于点E，F，则路径PE－EF－FP最短. 答案图 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 任务5　如图6，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请你画出最短路径.(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线) 图6 如图所示，AC－CD－DB即为最短路径. 答案图 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 任务6　如图7，两条湖岸的一侧各设计了生态景观带(生态景观带两侧是平行的直线)，通过绿植美化环境.现需在景观带上各建造一座廊道CD，廊道PQ，以及建造小桥PD.如果两座廊道均垂直于生态景观带，那么廊道建在何处可使从酒店R到酒店S的路径RC—CD—DP—PQ—QS最短？请在图8中画出最短路径.(保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线) 图7 图8 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 如图所示，平移酒店R至酒店R'处，使得RR' CD，平移酒店S至酒店S'处，使得SS' PQ，连接R'S'，分别交湖岸l1，l2于点D，P，连接CD，PQ，RC，QS，此时可使从酒店R到酒店S的路径RC－CD－DP－PQ－QS最短. -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 A.4 cm B.4.5 cm C.6 cm D.5 cm 【针对训练】 类型1　牧民饮马类问题 1.如图，在△ABC中，AB＝AC，D为底边BC的中点，BC＝4 cm，S△ABC＝12 cm2，AB的垂直平分线交AB于点M，交AC于点N，O为线段MN上一点，则OB＋OD的最小值为( ) C 1 2 3 4 5 6 7 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 2.如图，在△ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使△ENF的周长最小.(要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹) 解：如图所示，点F即为所求. 1 2 3 4 5 6 7 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 类型2　牧民饮马类问题的拓展 3.如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，∠C＝55°，M，N分别是边BC，CD上的动点.当△AMN的周长最小时，∠MAN＝　 　°.  　70　 1 2 3 4 5 6 7 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 4.如图，C，D分别是∠AOB的两边OA，OB上的定点，∠AOB＝20°，OC＝OD＝4，E，F分别是边OB，OA上的动点，则CE＋EF＋FD的最小值是　 　.  　4　 1 2 3 4 5 6 7 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 5.［新课标－情境题］某中学八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示的两直排(图中的OA，OB)，OA桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短. 1 2 3 4 5 6 7 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 解：如图所示. ①作点C关于OA的对称点C1，作点D关于OB的对称点D1；②连接C1D1，分别交OA，OB于点P，Q.小明沿C→P→Q→D的路线行走，所走的总路程最短. -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 6.如图，∠AOB＝30°，M，N分别为射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一定点，连接PM，PN，MN，OP.当△PMN的周长取得最小值时，求∠MPN的度数. 解：作点P关于OA的对称点E，关于OB的对称点F，连接EP，EO，EM，NF，PF，OF. 当E，M，N，F四点共线时，△PMN的周长最小，此时∠MPN＝120°. 1 2 3 4 5 6 7 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 类型3　造桥选址类问题 7.如图，直线l1，l2表示一条河的两岸，且l1∥l2，现要在这条河上建一座桥，桥必须与河岸垂直.那么桥建在何处才能使从村庄A经过桥到村庄B的路线最短？画出示意图，并说明理由. 略 1 2 3 4 5 6 7 -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 温馨提示 本课件由安徽木牍教育图书有限公司出品，仅限教学使用。 本课件所有权和著作权归本公司所有， 任何人不得以非法形式进行销售或传播，违者必究！ -‹#›- 综合与实践　最短路径问题 $