综合与实践 最短路径问题（大单元教学课件）数学人教版2024八年级上册

人教版 八年级上册 综合与实践 第十五章 轴对称 最短路径问题 情境引入 QING JING YIN RU 如图，一位将军从 A 地出发，到一条笔直的河边 l 饮马，然后到 B 地，将军到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？ 思考： 复习回顾 FU XI HUI GU 1. 如图，连接 A、B 两点的所有连线中，哪条最短？为什么？ A B ① ② ③ ②最短，因为两点之间，线段最短. 2. 如图，点 P 是直线 l 外一点，点 P 与该直线 l 上各点连接的所有线段中，哪条最短？为什么？ P l A B C D PC 最短，因为垂线段最短. 3. 三角形的三边关系是？ 三角形三边关系：两边之和大于第三边. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 A B l 数学问题 C ？ 如何把前面我们提到的“将军饮马”问题抽象成我们熟知的数学问题？ 将A，B 两地抽象为两个点 将河l 抽象为一条直线 问题转化为： 在直线l 上确定一点C，使得AC+BC最短. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 现在假设点 A，B 分别是直线 l 异侧的两个点，如何在 l 上找到一个点，使得这个点到点 A、点 B 的距离的和最短？ A l B C 根据“两点之间，线段最短”，可知这个交点 C 即为所求. 连接 AB，与直线 l 相交于点 C. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如果点 A，B 分别是直线 l 同侧的两个点，又应该如何解决？ 如果将点B“移”到 l 的另一侧 B′ 处，满足直线 l 上的任意一点 C，都保持 CB 与 CB′ 的长度相等，就可以了！ A B l 利用轴对称，作出点 B 关于直线 l 的对称点 B′. B ′ 能够借助异侧两点的思路来解决同侧问题？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU “将军饮马”问题解决思路 (1) 作点 B 关于直线 l 的对称点 B′； (2) 连接 AB′，与直线 l 相交于点 C． 则点 C 即为所求． A B l B′ C 如何证明？ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU “将军饮马”问题证明方法 证明：如图，在直线 l 上任取一点 C′ (与点 C 不重合)，连接 AC′，BC′，B′C′. 由轴对称的性质知 BC = B′C，BC′ = B′C′． ∴ AC + BC = AC + B′C = AB′， AC′ + BC′ = AC′ + B′C′． 在△AB′C′ 中，AB′＜AC′ + B′C′， ∴ AC + BC＜AC′ + BC′， 　 即 AC + BC 最短． A B l B′ C C′ 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 “将军饮马”问题解决过程中为什么要在直线l 上任取一点C′（与点C 不重合），证明AC +BC ＜AC′+BC′？这里的“C′”的作用是什么？ 若直线l 上任意一点（与点C 不重合）与A，B 两点的距离和都大于AC +BC，就说明AC + BC 最小． B · l A · B′ C C′ 你还有其他的方法吗？ (1) 作点 A 关于直线 l 的对称点 A′； (2) 连接 A′B，与直线 l 相交于点 C．则点 C 即为所求． A B l A′ C 典例精析 DIAN LI JING XI 例1 利用角的平分线构造全等三角形 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 . 等面积法求直角三角形斜边上的高 典例精析 DIAN LI JING XI 例2 . 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 转化为共线的情况. 典例精析 DIAN LI JING XI 例3 转化为共线的情况. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如图，A 和 B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥 MN. 桥造在何处可使从 A 到 B 的路径 AMNB 最短(假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直)？ A B N M 造桥选址问题 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 如何把“造桥选址”问题抽象成我们熟知的数学问题？ 如图所示：将河的两岸看成两条平行线a和b，N为直线b上的一个动点，MN垂直于直线b，交直线a于点M.当点N在什么位置的时候，AM+MN+NB的值最小？ A B a b ∙ ∙ M N 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 思考 B A ● ● ? N M N M N M 如图，假定任选位置造桥 MN，连接 AM 和 BN，从 A 到 B 的路径是 AM + MN + BN，那么怎样确定什么情况下最短呢？ 桥的宽度是 不变的... 新知探究 XIN ZHI TAN JIU A B a b ∙ ∙ M N 对的，其实我们只需要将桥的长度减出来，再进行计算就可以了. 假设桥的位置可以改变，比如将桥平移到A或者B. 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 由平移的性质知 AM＝A1N，AA1＝MN＝M1N1，AM1＝A1N1. 如图，平移 A 到 A1，使AA1 等于河宽，连接 A1B 交河岸于N，作桥 MN，此时路径 AM + MN + BN 最短. B A A1 M N 理由：另任作桥 M1N1，连接 AM1，BN1，A1N1. N1 M1 AM＋MN＋BN 转化为 AA1＋A1B，而 AM1＋M1N1＋BN1 转化为 AA1＋A1N1＋BN1. 在△A1N1B 中，∵ A1N1＋BN1＞A1B， ∴ AM1＋M1N1＋BN1＞AM＋MN＋BN. 同理，我们也能平移 A 到 A1， 使AA1 等于河宽，解决问题 新知探究 XIN ZHI TAN JIU 归纳总结 在解决最短路径问题时，我们通常利用轴对称、平移等变换，把未知问题转化为已解决的问题，从而作出最短路径的选择. B A A1 M N N1 M1 A B l A′ C 转化为四点共线的情况即可. 典例精析 DIAN LI JING XI 例4 如图，在∠AOB 内部有一点 P，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、P 三点组成的三角形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由. P O A B P' P'' E F 作法：过点P分别作关于直线OA,OB的对称点P'，P''，连接P'P''分别交直线OA,OB于点E,F，则点E,F即为所求. MN长度为定值. 典例精析 DIAN LI JING XI 例5 如图，在∠AOB 内部有两点 M、N，是否在 OA、OB 上分别存在点 E、F，使得 E、F、M、N 四点组成的四边形的周长最短，找出 E、F 两点，并说明理由． M' N' E F N O A B M 作法：过点M,N分别作关于直线OA,OB的对称点M' ,N' ，连接M' N' 分别交直线OA,OB于点E,F，则点E,F即为所求. 类比“将军饮马”问题 典例精析 DIAN LI JING XI 例6 如图，为了做好交通安全工作，某交警执勤小队从点A处出发，先到公路l1上设卡检查，再到公路l2上设卡检查，最后到点B处执行任务，他们应如何走才能使总路程最短？ ∙ A l1 l2 B ∙ （1）如图，作点A关于直线l1的对称点A′； （2）作点B关于直线l2的对称点B′； （3）连接A′B′，分别交直线l1，l2于点C，D，连接AC，BD.所以先到点C设卡检查，再到点D设卡检查，最后到点B处执行任务，按照这样的路线所走的路程最短. ∙ A l1 l2 B ∙ B′ A′ C D 造桥选址问题 典例精析 DIAN LI JING XI 例7 如图，荆州古城河在 CC′ 处直角转弯，河宽相同，从A 处到 B 处，须经两座桥：DD′，EE′ (桥宽不计)，设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使 ADD′E′EB 的路程最短？ 解：作 AF⊥CD，且 AF = 河宽，作 BG⊥CE， 且 BG = 河宽，连接 GF，与内河岸相交于 E′，D′. 过 E′，D′ 作河岸的垂线段 DD′，EE′ 即为桥. 理由：由平移的性质可知， AD∥FD′，AD = FD′. 同理，BE = GE′. 由两点之间线段最短可知，GF 最小. A D D′ C C′ E E′ B A D′ C C′ E E′ B F G D 典例精析 DIAN LI JING XI 例8 课堂小结 QING JING YIN RU 原理 最短路径问题 线段知识和垂线段最短 “将军饮马”问题 轴对称知识 + 线段知识 “造桥选址”问题 关键是将固定线段“桥”平移 当堂练习 QING JING YIN RU 1.如图，点A，B是直线l同侧不重合的两点，在直线l上求作一点C，使得AC+BC的长度最短.作法：①作点B关于直线l的对称点B′；②连接AB′，与直线l相交于点C，则点C为所求作的点.在解决这个问题时没有用到的知识或方法是（ ） A.转化思想 B.三角形两边之和大于第三边 C.两点之间，线段最短 D.三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角 ∙ ∙ A B l C B′ D 当堂练习 QING JING YIN RU 2.如图，已知点 D、点 E 分别是等边三角形 ABC 中 BC、AB 边的中点，AD = 5，点 F 是 AD 边上的动点，则 BF + EF 的最小值为（ ） A．7.5 B．5 C．4 D．不能确定 B 3.如图，在直角坐标系中，点 A，B 的坐标分别为 (1，4) 和 (3，0)，点 C 是 y 轴上的一个动点，且 A，B，C 三点不在同一条直线上，当△ABC 的周长最小时点 C 的坐标是（ ） A．(0，3) B．(0，2) C．(0，1) D．(0，0) B′ C′ E A 根据轴对称的性质作图即可求解． 当堂练习 QING JING YIN RU 5. C 当堂练习 QING JING YIN RU 6.如图，牧童在A处放牛，家在B处，A，B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD，若点A到河岸CD中点距离为600，求牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家的最短距离，并在图中作出饮水点E. A C D B 解：延长AC至点A′，使得A′C=AC， 连接A′B交CD于点E，连接AE. 则点E即为所求的点. A C D B E A′ 当堂练习 QING JING YIN RU 解：∵AC⊥CD，BD⊥CD， ∴∠ACD=∠BDC=∠A′CD=90°. ∵A′C=AC=BD， 在△A′CE和△BDE中， ∠A′CE=∠BDE， ∠A′EC=∠BED， A′C=BD， 则△A′CE≌△BDE（AAS），CE=DE，A′E=BE. ∴点E是CD的中点. ∴AE=600，则AE+BE=A′E+BE=1200. A C D B E A′ 当堂练习 QING JING YIN RU 7. 当堂练习 QING JING YIN RU 8. $$