精品解析：湖南省岳阳市湘阴县城南四校2025-2026学年九年级上学期10月联考数学试题

2025年下学期九年级数学第一次月考试卷 注意事项： 1. 本试卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，填在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 1. 下列函数中，变量是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 函数的图象经过点（2，-2），那么函数图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过 B. 图象在第三、四象限 C. 随的增大而减小 D. 时，随的增大而减小 4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ） A. （x＋3）2＝3 B. （x﹣3）2＝3 C. （x＋3）2＝12 D. （x﹣3）2＝12 7. 不解方程，判定方程的根的情况是 A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等实数根 D. 只有一个实数根 8. 已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ） A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c 9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与（k为常数，k≠0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程的常数项是______． 12. 已知某市的耕地面积约为375 km2，人均占有的土地面积S(单位：km2/人)，随全市人口n(单位：人)的变化而变化，则S与n的函数关系式是__________． 13. 为方程的解，则的值为__________． 14. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 15. 在正数范围内定义运算“*”，其规则为a*b=a+b2，则方程x*（x+1）=5的解是_________________． 16. 如果直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为(3，2)，则它们的另一个交点B的坐标为___________． 17. 如图所示，为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为____________． 18. 反比例函数为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：；四边形的面积不变；当点是的中点时，则点是的中点，其中正确结论是______． 三、解答题 （本大题共8小题，共66分.） 19. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 20. 已知反比例函数，为常数，． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 21. 已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a＝1，c＝4，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 22. 已知：关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根． 23. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当R=10Ω时，求电流I（A）． 24. 如如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点．求： （1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 25. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 26. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△COE的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年下学期九年级数学第一次月考试卷 注意事项： 1. 本试卷共4页，满分120分，考试时间为120分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求直接把答案填写在答题卡上，填在试卷上的答案无效． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分.） 1. 下列函数中，变量是的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】判断一个函数是否是反比例函数，首先看两个变量是否具有反比例关系，然后根据反比例函数的意义去判断，其形式为y＝（k为常数，k≠0）或y=kx-1（k为常数，k≠0）． 【详解】解：A、，符合反比例函数的定义，故本选项正确． B、是一次函数，故本选项错误； C、，y与x-1成反比例函数，故本选项错误； D、，自变量的次数为2，故本选项错误； 故选A． 【点睛】本题考查反比例函数的定义，解题关键是熟练掌握反比例函数的形式为y＝（k为常数，k≠0）或y=kx-1（k为常数，k≠0），属于基础题，比较容易解答． 2. 函数的图象经过点（2，-2），那么函数图象在（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第三、四象限 D. 第二、三象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数的图象经过点（2，-2），可以求得m的值，再根据反比例函数的性质即可解答本题． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点（2，-2）， ∴，得：m=-4， ∴该函数图象在第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答． 3. 对于反比例函数，下列说法正确的是（ ） A. 图象经过 B. 图象在第三、四象限 C. 随的增大而减小 D. 时，随的增大而减小 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可直接作出判断． 【详解】解：A、把x=2代入得，y=3，则（2，-3）不在图象上，选项错误； B、∵6＞0，则图象位于第一、三象限，选项错误； C、当x＜0时或x＞0时，y随x的增大而减小，选项错误； D、当x＜0时，y随x的增大而减小，选项正确； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质：（1）反比例函数（k≠0）的图象是双曲线；（2）当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；（3）当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大． 4. 下列方程中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. （为常数） 【答案】C 【解析】 【分析】一元二次方程就是含有两个未知数，且未知数的最高次数是2的整式方程，依据定义即可作出判断． 【详解】解：A. 是分式方程，不是整式方程，故选项错误； B. 可变形为3x-2=0，是一元一次方程； C. 符合一元二次方程的定义，故选项正确； D. （为常数），当a=0时，不是一元二次方程，故选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程必须满足两个条件：（1）方程是整式方程；（2）只含有一个未知数，且未知数的最高次数是2，以上两个条件必须同时具备． 5. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用因式分解法求解即可． 【详解】解： 则， ∴x-1=0或x+4=0， ∴x1=1，x2=-4． 故选A． 【点睛】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 6. 一元二次方程x2﹣6x＝3，用配方法变形可得（ ） A. （x＋3）2＝3 B. （x﹣3）2＝3 C. （x＋3）2＝12 D. （x﹣3）2＝12 【答案】D 【解析】 【分析】把方程两边加上9，然后把方程左边写成完全平方的形式即可． 【详解】解：x2﹣6x＝3， 方程两边加上9得：x2﹣6x＋9＝12， 写成平方得形式：（x﹣3）2＝12. 故选：D． 【点睛】本题考查了解一元二次方程，配方法：将一元二次方程配成(x+m) 2=n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法. 7. 不解方程，判定方程的根的情况是 A. 无实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有两个相等实数根 D. 只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【详解】解：方程整理得：，∵△=，∴方程无实数根，故选A． 8. 已知点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上，则a、b、c的大小关系是（ ） A. a＜b＜c B. c＜b＜a C. c＜a＜b D. b＜a＜c 【答案】C 【解析】 【分析】将点的坐标代入函数解析式计算即可． 【详解】解：∵点A(-2，a)，B(-1，b)，C(3，c)都在函数的图象上， ∴，，， ∴c＜a＜b 故选：C． 【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键是理解函数图象上的点的坐标能够函数解析式成立． 9. 在同一平面直角坐标系中，函数y=x+k与（k为常数，k≠0）的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】选项A中，由一次函数y=x+k的图象知k<0，由反比例函数y=的图象知k>0，矛盾，所以选项A错误；选项B中，由一次函数y=x+k的图象知k>0，由反比例函数y=的图象知k>0，正确，所以选项B正确；由一次函数y=x+k的图象知，函数图象从左到右上升，所以选项C、D错误． 故选B. 10. 如图，直线与双曲线交于点P和点Q，点M在x轴上，且，若的面积为，则k的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，根据题意可得，利用三角形的面积建立关于x的方程，求出点P坐标即可得到k值． 【详解】解：设， 则， ∵点M在x轴上，且， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得（舍去） ∴． ∵P点在反比例函数图象上， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数图象的对称性，直角三角形的性质，勾股定理，三角形面积公式，熟练掌握图象的对称性，勾股定理是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 一元二次方程的常数项是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般式，把方程整理成一般式即可求解，掌握一元二次方程的一般式是解题的关键． 【详解】解：方程整理成一般式为， ∴一元二次方程的常数项是， 故答案为：． 12. 已知某市的耕地面积约为375 km2，人均占有的土地面积S(单位：km2/人)，随全市人口n(单位：人)的变化而变化，则S与n的函数关系式是__________． 【答案】. 【解析】 【分析】利用耕地总面积以及总人数,进而表示出人均占有的土地面积. 【详解】解:晋江市的耕地面积约为375km2,人均占有的土地面积S(单位: km2/人),随全市人口n(单位:人)的变化而变化, .S与n的函数关系式是: 故答案为:S=. 【点睛】此题主要考查了根据实际问题列反比例函数关系式,得出正确等量关系是解题关键. 13. 为方程的解，则的值为__________． 【答案】6 【解析】 【分析】把x=a代入已知方程，可以求得（a2+a）的值，然后将其整体代入所求的代数式进行求值． 【详解】解：依题意得：a2+a-5=0， 解得a2+a=5， 所以a2+a+1=5+1=6． 故答案是：6． 【点睛】此题主要考查了方程解的定义，此类题型的特点是：利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值． 14. 已知x=2是关于x的一元二次方程kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0的一个根，则k的值为_____． 【答案】﹣3 【解析】 【分析】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0，再解关于k的方程，然后根据一元二次方程的定义确定k的值即可． 【详解】把x=2代入kx2+（k2﹣2）x+2k+4=0得4k+2k2﹣4+2k+4=0， 整理得k2+3k=0，解得k1=0，k2=﹣3， 因为k≠0， 所以k的值为﹣3． 故答案为﹣3． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解． 15. 在正数范围内定义运算“*”，其规则为a*b=a+b2，则方程x*（x+1）=5的解是_________________． 【答案】x=1 【解析】 【详解】∵x*（x+1）=5， ∴x+（x+1）2=5， 整理得x2+3x-4=0， （x+4）（x-1）=0， 所以x1=-4（舍去），x2=1， 即x=1 【点睛】根据新定义得到x+（x+1）2=5，整理得x2+3x-4=0，再利用因式分解法解方程得到x1=-4（舍去），x2=1，然后根据新定义的条件确定x的值． 16. 如果直线y＝mx与双曲线y＝的一个交点A的坐标为(3，2)，则它们的另一个交点B的坐标为___________． 【答案】（﹣3，﹣2） 【解析】 【详解】因为直线y=mx过原点,双曲线y=的两个分支关于原点对称， 所以其交点坐标关于原点对称,A的坐标为(3,2),另一个交点B的坐标为(−3,−2). 故答案为(-3,-2 ). 17. 如图所示，为反比例函数图象上一点，垂直轴，垂足为点，若，则的值为____________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义， 根据反比例函数中k的几何意义可知，再结合图象所在的象限求解即可. 【详解】解：在反比例函数中，， 解得. ∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴. 故答案为：6. 18. 反比例函数为常数）和在第一象限内的图象如图所示，点在的图象上，轴于点，交的图象于点，轴于点，交的图象于点，当点在的图象上运动时，以下结论：；四边形的面积不变；当点是的中点时，则点是的中点，其中正确结论是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数中的几何意义，即过反比例函数图象上任意一点引轴、轴垂线，所得矩形面积为，解答本题的关键是正确理解的几何意义． 由反比例系数的几何意义可得答案； 由四边形的面积矩形的面积（三角形的面积三角形的面积），解答即可求解； 连接，点是的中点可得和的面积相等，根据的面积的面积、与的面积相等解答即可求解． 【详解】解：由于、在同一反比例函数图象上， 则与的面积相等，都为，正确； ， 又矩形、三角形、三角形为定值， 则四边形的面积不会变化，正确； 连接，点是的中点， 则和的面积相等， 的面积的面积，与的面积相等， 与的面积相等， 与的面积相等， 点一定是的中点，正确； 故答案为：． 三、解答题 （本大题共8小题，共66分.） 19. 选择适当的方法解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，熟知步骤是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法进行因式分解，从而求得方程的解； （2）先移项再提取公因式进行因式分解，从而求得方程的解． 【小问1详解】 解：， ， 或， 即，． 【小问2详解】 解：， ， ， ， 或或或y， 即，． 20. 已知反比例函数，为常数，． （1）若点在这个函数的图象上，求的值； （2）若，试判断点，是否在这个函数的图象上，并说明理由． 【答案】（1）； （2）点在这个函数的图象上，点不在这个函数的图象上，理由： 当时，反比例函数解析式为， ∴当时，， 故在这个函数的图象上， ∴当时，， 故不在这个函数的图象上． 【解析】 【分析】（）根据待定系数法即可求出反比例函数解析式； （）把点逐一代入解析式即可判断； 本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵点在这个函数的图象上， ∴， 解得：； 【小问2详解】 略 21. 已知a、b、c分别是△ABC的三边，其中a＝1，c＝4，且关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状． 【答案】△ABC为等腰三角形 【解析】 【分析】根据题意可知，方程根的判别式值为0，则b值可求，进而问题可解. 【详解】解：∵方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根 ∴△＝（﹣4）2﹣4b＝0 ∴b＝4 ∵c＝4 ∴b＝c＝4 ∴△ABC为等腰三角形． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式和等腰三角形的判定方法，解答关键是根据根的判别式构造方程求解. 22. 已知：关于x的方程，求证：方程有两个不相等的实数根． 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据题意，求出该方程根的判别式，即可解答． 【详解】证明：， ∵无论k取何值，， ∴，即， ∴方程有两个不相等的实数根． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握要说明一个含字母系数的一元二次方程的根的情况，只需求出该方程根的判别式，分析其正、负情况，即可得出结论．当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根． 23. 蓄电池的电压为定值，使用此电源时，电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，其图象如图所示． （1）求这个反比例函数的表达式； （2）当R=10Ω时，求电流I（A）． 【答案】（1）；（2）3.6A． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可得出答案； （2）把R=10代入函数解析式即可求出电流I的值． 【详解】解：（1）由电流I（A）是电阻R（Ω）的反比例函数，设（k≠0）， 把（4，9）代入得：k=4×9=36， ∴． （2） 当R=10Ω时，=3.6A． 【点睛】本题主要考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，设出函数解析式，然后代入点的坐标是解决此题的关键． 24. 如如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于A、B两点．求： （1）根据图象写出A、B两点的坐标并分别求出反比例函数和一次函数的解析式； （2）根据图象写出：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值． 【答案】（1）、；反比例函数解析式为，一次函数解析式为 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）将点代入到反比例函数中，解得，即可求出反比例函数解析式为； 将点、点代入到一次函数中，计算k和b的值，即可得到一次函数的解析式； （2）根据图象找到一次函数图象在反比例函数图象的上方时，x的取值范围即可． 【详解】解：（1）由图象可知：、， 将点代入到反比例函数中， 可得，解得， 则反比例函数解析式为； 将点、点代入到一次函数中， 可得 ，解得， 则一次函数解析式为； （2）由图象，知当或时，一次函数值大于反比例函数值． 25. 心理学家研究发现，一般情况下，一节课40分钟中，学生的注意力随教师讲课的变化而变化．开始上课时，学生的注意力逐步增强，中间有一段时间学生的注意力保持较为理想的稳定状态，随后学生的注意力开始分散．经过实验分析可知，学生的注意力指数y随时间x（分钟）的变化规律如下图所示（其中AB、BC分别为线段，CD为双曲线的一部分）： （1）求出线段AB，曲线CD的解析式，并写出自变量的取值范围； （2）开始上课后第五分钟时与第三十分钟时相比较，何时学生的注意力更集中？ （3）一道数学竞赛题，需要讲19分钟，为了效果较好，要求学生的注意力指数最低达到36，那么经过适当安排，老师能否在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目？ 【答案】（1）AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）；曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）；（2）第30分钟注意力更集中．（3）经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法分别求出AB和CD的函数表达式，进而得出答案； （2）利用（1）中所求解析式，计算出第五分钟和第三十分钟的注意力指数，最后比较判断； （3）分别求出注意力指数为36时的两个时间，再将两时间之差和19比较，大于19则能讲完，否则不能． 【详解】（1）设线段AB所在的直线的解析式为y1=k1x+20， 把B（10，40）代入得，k1=2， ∴AB解析式为：y1=2x+20（0≤x≤10）． 设C、D所在双曲线的解析式为y2=， 把C（25，40）代入得，k2=1000， ∴曲线CD的解析式为：y2=（x≥25）； （2）当x1=5时，y1=2×5+20=30， 当x2=30时，y2=， ∴y1＜y2， ∴第30分钟注意力更集中． （3）令y1=36， ∴36=2x+20， ∴x1=8， 令y2=36， ∴36=， ∴x2=≈27.8， ∵27.8－8=19.8＞19， ∴经过适当安排，老师能在学生注意力达到所需的状态下讲解完这道题目． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，解题的关键是根据图像求出函数关系式，并从中找到对应的自变量的取值范围． 26. 如图，反比例函数y=的图象与一次函数y=ax﹢b的图象交于C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点．且一次函数图象交y轴于点A． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）求△COE的面积； （3）点M在x轴上移动，是否存在点M使△OCM为等腰三角形？若存在，请你直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）一次函数的解析式为y=﹣x+1． （2）S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5． （3）点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）． 【解析】 【详解】试题分析：（1）点C（4，﹣3）坐标代入反比例函数y=即可求出k，C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点坐标代入y=ax+b解方程组即可求出a、b．由此即可解决问题． （2）先求出点A坐标，根据S△COE=S△AOE+S△AOC计算即可． （3）分三种情形①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）．②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解方程即可． 试题解析：（1）∵反比例函数y=的图象经过点C（4，﹣3）， ∴﹣3=，∴k=﹣12，∴反比例函数解析式为y=﹣， ∵y=ax+b的图象经过C（4，﹣3），E（﹣3，4）两点， ∴，解得，∴一次函数的解析式为y=﹣x+1． （2）∵一次函数的解析式为y=﹣x+1与y轴交于点A（0，1），∴S△COE=S△AOE+S△AOC=×1×3+×1×4=3.5． （3）如图，∵C（4，﹣3），∴OC==5， ①当CM=OC时，可得M1（8，0）．②当OC=OM时，可得M2（5，0），M3（﹣5，0）． ②当MC=MO时，设M4（x，0），则有x2=（x﹣4）2+32，解得x=，∴M4（，0）． 综上所述，点M坐标为M1（8，0）或M2（5，0）或M3（﹣5，0）或M4（，0）． 考点：反比例函数综合题、一次函数的应用、三角形的面积、勾股定理、等腰三角形的判定和性质 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $