专题02 对数函数十七大题型汇总（压轴题专项训练）数学人教B版2019必修第二册

专题02对数函数十七大题型汇总 目录 专题02 对数函数十七大题型汇总 类型一、指对混合运算 类型二、对数的换底公式 类型三、对数的概念与求值 类型四、对数函数的解析式 类型五、对数函数过定点 类型六、对数函数的图像 类型七、对数比较大小 类型八、解对数方程或不等式 类型九、对数模型的实际应用 类型十、 对数函数的单调性 类型十一、已知对数函数的单调性求参数 类型十二、对数函数的值域 类型十三、已知对数函数的值域求参数 类型十四、对数函数的最值 类型十五、已知对数函数的最值求参数 类型十六、对数函数的奇偶性 类型十七、恒成立与存在问题 压轴专练 类型一、指对混合运算 1、对数计算公式 (1)同底对数加减运算: (2)底数和真数是乘方数时: (3)对数恒等式: (4)倒数式: 2、对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并 (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算 (3)指对互化: ,(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 例1．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)17. 【分析】（1）（2）（3）（4）应用对数的运算性质及指对数的关系化简求值. 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4） . 变式1-1．已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 【答案】 【分析】将指数式化成对数式，结合条件和换底公式代入运算得解. 【详解】由题意得，设（且）， 则，，， 又，即，即，则， 即，即，则， 故. 变式1-2．求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. （2）根据对数的运算法则，直接化简，即可求出结果. （3）根据对数的运算法则、换底公式，直接化简，即可求出结果. 【详解】（1）原式. （2）原式. （3）原式. 变式1-3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2)或 (3)或 (4) 【分析】（1）（2）（3）利用对数运算性质可得结果； （4）分和两种情况解方程，综合可得原方程的解． 【详解】（1）由得解得． （2），等价于，即， 即，解得或，所以或． （3）由得，所以， 令，则，解得或，所以或． （4）当，即时，原方程即为，即，可得， 又，所以此时方程无解； 当，即时，原方程即为，可得，解得． 综上，原方程的解为． 类型二、对数的换底公式 换底公式： 例2．(24-25高一下·广东茂名七校联盟·)已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 【答案】B 【分析】根据指对互化，结合换底公式，即可求解. 【详解】由可得， 由 ， 故，故，由于，故， 故选；B 变式2-1．（多选）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 【答案】ABC 【分析】对于A，利用换底公式得到，故；对于B，C，即可判断；对于D，，解方程即可判断. 【详解】列表解析  直观解疑惑 选项 正误 原因 A √ 时，， 故，所以， 即． B √ 同A中分析，可得， 则． 若，则． C √ D × 由B中分析知，若， 则，则或． 一题多解  多方法解题 利用换底公式的一个推论：，可得若， 则，． A（√）若，则． B（√）． C（√）若，则． D（×）若，则，则或． 故选:ABC. 变式2-2．(24-25高一上·天津弘毅中学·)，则用和表示的结果为 【答案】 【分析】根据给定条件，利用指数式与对数式互化关系、对数的换底公式及对数运算法则求解. 【详解】由，得，而， 所以. 故答案为： 变式2-3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知（），则 . 【答案】16 【分析】换元令，可得，运算求解即可. 【详解】因为，且， 令，则， 可得，整理可得，解得或（舍去）， 即，所以. 故答案为：16. 类型三、对数的概念与求值 例3．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对数的意义建立不等式组求解即可. 【详解】要使式子有意义， 则，即， 解得或， 所以x的取值范围是. 故选：D 变式3-1．（多选）设表示不超过的最大整数，如，，给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则可由解得的范围为 D．定义在上的奇函数的值域为则函数的值域为 【答案】BCD 【解析】A. 取判断；B. 利用对数值和的含义求解判断；C.由，得到，再根据的含义求解判判断； D.分， ， ，再根据的含义求解判判断. 【详解】A. 当时，，故错误； B. 因为，，所以，故正确； C.当时，，，则，所以，解得，所以的范围为，故正确； D.因为定义在上的奇函数的值域为，所以的值域为，当时，，则，所以，当时，，则，所以，当时，，则，所以，所以的值域为，故正确； 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：本题关键是对的含义的理解，要分讨论求解应用. 变式3-2．(22-23高二上·上海新川中学·期末)定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 【答案】4107 【分析】根据已知结合对数函数的性质得出规律，即可得出答案. 【详解】 根据已知可得： ， ， ， ，共4个， ，共8个（由之间含多少个奇数决定）， ，共16个， ，共32个， ，共64个， ，共128个， ，共256个， ， 则， 故答案为：4107. 变式3-3．已知，试比较x，y，z的大小． 【答案】． 【分析】对于形如的方程，由外向内逐层求解，即逐步脱去对数符号，从而建立关于的方程，求出的值，即可得到、、，再根据幂函数的性质判断可得； 【详解】解：由， 得，，即； 同理，． ∵，， ∴． 又，， ∴，∴． 类型四、对数函数的解析式 例4．(24-25高一上·云南曲靖会泽县·期末)已知，且，， ，对于任意正整数n．且，记，求 ． 【答案】 2 4050 【分析】先由，得到，从而得到，进而得到，然后得到进而求解. 【详解】因为，且，， 所以，则， 所以，， 所以； 所以 ， 所以. 故答案为：2；4050. 变式4-1．(24-25高一上·江西上饶弋阳县第一中学·月考)已知函数（且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)若，求实数的值. 【答案】(1) (2)或16 【分析】（1）代入图象上的两个点，求a，b，即可求解函数的解析式； （2）首先求解，再代入（1）的结果，解对数方程. 【详解】（1）由题知，解得，； 故. （2）由，. 解得或3， 所以或， 所以或16. 变式4-2．(22-23高一上·上海第二中学·期末)设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由奇偶性的定义，再解方程得出a的值； （2）由，再解对数方程得出交点坐标. 【详解】（1）因为为奇函数，所以对定义域内的任意都成立， 所以，即， 整理得，求解并验证得或（舍）. （2）由得，整理得，解得，则交点纵坐标y = -2， 即与两个函数图像的交点坐标为.. 变式4-3．(22-23高一下·云南玉溪第一中学·期中)已知函数，，若，. (1)求，的解析式； (2)若，试比较的大小. 【答案】(1)，； (2)答案见解析 【分析】（1）列方程组求出，由对数的运算即可求解； （2）对分类讨论，由对数的运算及性质比较大小即可. 【详解】（1）由，解得：， 即 ，； （2）由，得； 当时，有，所以，此时； 当时，因为， 所以，所以，此时； 当时，因为， 所以，所以，此时. 类型五、对数函数过定点 1.对数函数过定点（1,0），即时，y 2.函数 例5．（多选）(24-25高一下·四川成都石室天府中学·期中)下列说法正确的有（    ） A．函数关于点对称 B．函数的图象过定点 C．方程在区间上有且只有1个实数解 D．若，则在时取到最小值 【答案】ACD 【分析】对于A选项：分离常数，结合反比例函数即可判断；对于B选项：由对数型函数的定点知识即可判断；对于C选项：结合零点存在定理即可判断；对于D选项：利用基本不等式计算即可. 【详解】对于A选项：， 该函数可由反比例函数先向左平移1个单位， 再向上平移1个单位，故的图象关于对称，故选项A正确； 对于B选项：由， 令，即，则， 故函数的图象过定点，故选项B错误； 对于C选项：由，得，令， 易知在上单调递增且图象连续不断， 因为，，所以， 所以方程在区间上有且只有1个实数解，故选项C正确； 对于D选项：因为，所以， 所以， 当且仅当时，即，有最小值为. 故选项D正确； 故选：ACD. 变式5-1．(22-23高一下·云南昭通一中教研联盟·期末)已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由对数函数性质确定定点坐标，再结合基本不等式即可求解. 【详解】由函数（，）可知定点， 又因为点A在一次函数上，所以， 所以， 当且仅当，时等号成立. 故答案为： 变式5-2．(23-24高一上·广东深圳南山区·期末)已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 【答案】 【分析】先根据函数过定点求出；再根据分式不等式的解法即可求解. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以. 则不等式为，等价于， 解得：. 所以不等式的解集为. 故答案为： 变式5-3．(23-24高一上·天津河东区第五十四中学·月考)已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 【答案】/ 【分析】根据对数函数性质确定，代入计算得到答案. 【详解】，当时，，故， ，解得. 故答案为：. 类型六、对数函数的图像 方法技巧:对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当a>1时，对数函数的图像呈上升趋势;当0<a<1时，对数函数的图像呈下降趋势. 例6．(24-25高一上·湖北·期末)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出函数的定义域，分析该函数的奇偶性及在上的函数值符号，以及与的大小关系，结合排除法可得出合适的选项. 【详解】易知函数的定义域为， 因为，所以，函数为奇函数，排除D. 又当时，，则，排除C. 又，排除B. 故选：A. 变式6-1．(24-25高一上·湖南岳阳·期末)若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据函数的图象确定的范围，再根据指数函数的图象即可得解. 【详解】由函数的图象知， 则， 所以函数为增函数， 且函数的图象是由函数向上平大于零小于个单位， 所以函数的大致图象是C选项. 故选：C. 变式6-2．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由函数的图象可推得，，且，可得函数的图象递减，且，从而可判断答案. 【详解】由函数的图象为减函数可知，， 再由图象的平移变换知，的图象由向左平移不超过一个单位，可知， 故函数的图象递减，且，则符合题意的只有B中图象 故选：B. 变式6-3．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据和分类讨论然后结合二次函数的性质可得. 【详解】当时，在区间上单调递增， 此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故A、B均不满足；当时，在区间上单调递减， 此时的对称轴为，且对应方程的判别式，故C满足．D不满足. 故选：C. 类型七、对数比较大小 1、常规法:比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法 2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1 例1: 和 (倍数一致) =1+; =1+，由图像可知 例2: 和 (差一致) 1+号; 由图像可知 例7．已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将已知条件变形得到，再通过作商法比较的大小，最后利用对数函数的性质即可求解. 【详解】 ， ， 则，故， 又，，故， ，． 故选：D. 变式7-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据的单调性，分别得出，，又，故可以得出大小关系. 【详解】由于， 所以，又， ，所以． 故选：C. 变式7-2．(24-25高一上·山东潍坊寿光第一中学·期末)若，则，，大小关系为 . 【答案】 【分析】先由可得，，，由，得，，在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，结合图象可得结果. 【详解】由，得当时，，当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得当时，，则， 由，得，， 因此为和图象交点的横坐标，为和图象交点的横坐标， 在同一个平面直角坐标系作出，和的图象，如图所示， 由图得，所以. 故答案为： 变式7-3．已知函数（且），且． (1)求实数的值； (2)设，，，当时，试比较大小． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据题设等量关系列方程求参数值即可； （2）由（1）得、，法一：根据二次函数、指对数函数的性质确定的大小；法二：画出函数图象，数形结合判断大小关系． 【详解】（1）由，得，即解得； （2）由，得，． 法一：在上单调递减，故， 由对数函数在上单调递增，可知， 由指数函数在上单调递增，可得， 所以； 法二：在同一平面直角坐标系中画出的图象如下，    由图，在上. 类型八、解对数方程或不等式 1.对于形如的形式，利用转化;对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. 2.解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可. 例8．(25-26高一上·山东实验中学·)已知函数，若恰有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据，可得只有两个正整数，对分类讨论应用数形结合列式计算求参即可. 【详解】由，可得， 即不等式的解集中只有两个正整数， 当，原不等式即为，不满足题意； 当时，二次函数在上单调递减，且恒成立，不满足题意； 当时，二次函数在上单调递增，且恒成立， 当时，， 所以只有和满足， 所以，解得， 即实数的取值范围为. 故答案为：. 变式8-1．已知函数的定义域为，，对任意的，，当时，有．若，则实数a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】将变形为，令，可得函数在上单调递减，将化为，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】当时，有， 则，即， 令，则， 即函数在上单调递减， 又，，即， 则，即，解得， 所以实数a的取值范围是． 故答案为：. 变式8-2．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 【答案】{或} 【分析】由对数型复合函数的单调性构造不等式求解即可. 【详解】因为函数的定义域且单调递增， 若， 则， 解得或. 故答案为：{或}. 变式8-3． (24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)方程的解集为 . 【答案】 【分析】先确定的范围，再利用对数的运算性质对方程合理变形，结合对数函数单调性转化为，求解出但不在范围内，最后得到原方程解集为即可. 【详解】由题意得，解得，，解得， 因为， 所以， 则， 由对数函数性质得 在上单调递增， 可得，解得，不在范围内，故原方程的解集为. 故答案为： 变式8-4．(24-25高一下·贵州贵阳第一中学·)已知正实数满足：，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用对数运算进行变形，然后构造函数，利用函数单调性求解即可. 【详解】，故，即，故， 且，即，设，则， 是增函数，故，所以， 故选：B． 变式8-5．（多选）(24-25高一下·广西桂林第五中学等校·)已知实数m，n满足等式：，．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】构造函数，结合单调性即可求解. 【详解】因为，即， 得，而化简得， 即， 构造函数， 由于在都为增函数， 所以在为单调递增函数， 又知，所以， 解得，，所以，. 故选：BD. 类型九、对数模型的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义. 例9．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)任何一个正实数N可以表示成 的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 【答案】B 【分析】计算的值，由此确定的位数. 【详解】， 是610位数. 故选：B. 变式9-1．(25-26高一上·江苏南通海门实验学校·)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 【答案】C 【分析】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和，根据条件算出的值，然后可得答案. 【详解】设里氏9.0级和8.0级地震的能量分别是和， 由题意：， . 于是， 所以. 故选：C. 变式9-2．(24-25高一下·四川南充高级中学·月考)春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 【答案】A 【分析】分别将和代入，利用对数的运算法则，求出对应的值，作差即可得到答案. 【详解】静止时，即时，， 时，， 所以， 故选：A. 变式9-3．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)一种药在病人血液中的量低于1000mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在 h内再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h，参考数据：）. 【答案】4.8 【详解】设最迟应在小时内再向病人的血液补充这种药， 依题意，可得， 整理，得， 又因为， ∴最迟应在4.8h内再向病人的血液补充这种药． 类型十、对数函数的单调性 对数型复合函数的单调问题 1、模板解决思路:判断复合函数单调性的原则是“同增异减” 2、模板解决步骤 第一步:求函数的定义域 第二步:将函数分解成内层函数和外层函数 第三步:判断内层函数和外层函数的单调性，第四步:根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性 例10．(24-25高一上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·月考)函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由函数解析式求得其定义域，根据二次函数与对数函数的单调性，结合复合函数的单调性，可得答案. 【详解】由，则，分解因式可得， 解得，所以函数的定义域为， 由函数在上单调递增，在上单调递减， 且函数在上单调递减， 则函数的增区间为. 故选：D. 变式10-1．(24-25高一下·辽宁葫芦岛兴城七校协作体·)函数的单调递减区间是 . 【答案】/ 【分析】先求出函数的定义域，令，则，再根据复合函数的单调性，求出单调区间，即得结果. 【详解】由，得，则函数的定义域为， 令，，则， 函数的对称轴为， 在区间上单调递增，在区间上单调递减， 因为为增函数，根据复合函数同增异减， 要使函数单调递减，则需函数单调递减， 所以原函数的单调递减区间为. 故答案为： 变式10-2．求函数的单调区间. 【答案】单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】分别判断函数和的单调性，结合“同增异减”原则判断复合函数单调性． 【详解】令，，则在上递减. 在上递减，在上递增， 根据复合函数单调性“同增异减”原则，当时，由，得，可得其减区间， 当时，由，得，可得其增区间， 所以函数的单调递减区间是，单调递增区间是. 变式10-3．(24-25高一下·山西青桐鸣·期中)已知函数. (1)求的定义域； (2)研究函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)单调递增区间为，单调递减区间为 (3) 【分析】（1）根据对数的真数大于得到不等式，即可得解； （2）根据对数型复合函数的单调性判断即可； （3）根据函数的单调性得到，即可得解. 【详解】（1）对于函数，令，即， 解得或， 所以的定义域为. （2）因为在上单调递增，在上单调递减， 又在定义域上单调递增， 所以在上单调递增，在上单调递减， 即的单调递增区间为，单调递减区间为； （3）因为， 又在上单调递增， 不等式等价于， 即或， 解得或， 所以实数的取值范围为. 类型十一、已知对数函数的单调性求参数 例11．(24-25高一上·贵州遵义第二中学·月考)已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据复合函数的单调性及对数函数的单调性和定义域求解即可. 【详解】因为函数在上单调递减， 所以在上单调递减，且在上恒成立， 则，解得， 故选：B 变式11-1．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据复合函数的单调性、二次函数的单调性结合对数函数定义域列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】根据复合函数的单调性法则、二次函数的单调性结合已知条件可知，二次函数在区间上单调递减， 所以有. 根据对数函数的定义域可知，应有在区间上恒成立， 则只需要，即，所以. 综上所述，. 故选：D. 变式11-2．设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的单调性结合分段函数的单调性列不等式组计算求参. 【详解】因为函数（且）在上是增函数， 所以，解得． 故答案为： 变式11-3．(24-25高一上·天津弘毅中学·)已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）代入，由，利用对数型复合函数单调性求值域； （2）将条件转化为在上恒成立，利用计算即可； （3）根据对数型复合函数的单调性进行判断计算. 【详解】（1）当时，， 令，则， 对数函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. （2）若的定义域为，则在上恒成立， 所以. 所以实数的取值范围是. （3）二次函数开口向上，对称轴为， 对数函数在上单调递增， 若在上单调递增， 则. 所以实数的取值范围是. 类型十二、对数函数的值域 对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 例12．(24-25高一上·福建泉州第七中学·月考)已知函数，，则函数的值域为 ． 【答案】 【分析】先求出函数的定义域，由对数函数和二次函数的性质即可求解． 【详解】，， 的定义域为，解得， 所以函数的定义域为， ， 又 ，又， ，即函数的值域为. 故答案为：. 变式12-1．(24-25高一下·陕西西安高新第一中学·月考)函数，其中表示不超过a的最大整数，则函数的定义域为 ．若，则函数的的值域为 ． 【答案】 【分析】①可由对数函数的定义域取整的概念即可直接求得答案； ②可得 ，再令，则，通过分析可得，则答案可求. 【详解】①：由题意可得，所以， 解得或，即的定义域为； ②：由题意得，， 令，则， ，， 而， 因为函数在单调递增，由于， 所以，因此， 故答案为：；. 变式12-2．(24-25高一上·山东日照第一中学·月考)已知函数的定义域是，函数. (1)求； (2)设的定义域为，函数的值域为，求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用函数的解析式结合对数运算可求得的值； （2）求出集合、，利用补集和交集的定义可求得集合. 【详解】（1）因为，且， 所以，. （2）因为函数的定义域为，则，所以，， 所以，函数的定义域为， 当时，则，则， 当时，，则， 所以，函数的值域为，则， 因此，. 变式12-3．(24-25高一下·四川德阳第五中学·月考)已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据奇偶性定义列式整理可得； （2）分和去掉绝对值符号，结合对数函数性质可解. 【详解】（1）因为函数为奇函数，为偶函数， 所以．                   即， 整理可得 即； （2）①当，即，即时， ， 由于，则； ②当，即，即时， ， 由于，则； 综合上述可知的值域为 类型十三、已知对数函数的值域求参数 例13．(24-25高一上·四川眉山·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】令，设的值域为集合，利用对数函数的图象与性质，得到，从而有，即可求解. 【详解】令，设的值域为集合， 因为函数的值域为，所以， 则，解得或， 故答案为：. 变式13-1．(24-25高一上·浙江金华十校·期末)已知函数 (1)当时，若，求x的值; (2)若的值域为R，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，令，当时，令求解； （2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上取遍，令，分和时求解； 【详解】（1）解：当时，令，得，满足； 当时，令， 所以，解得或，不符合，舍去. 故x的值为 （2）当时，因为， 所以要使值域为R，只需在上取遍， 当时，令， ①当时，当，即时， 在上取遍 ②当时，在上是增函数，则，不成立; 变式13-2．(23-24高一上·四川德阳德阳中学校·月考)已知函数（且）的定义域为或，. (1)求实数m的值： (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若函数在区间上的值域为，求的值. 【答案】(1)； (2)证明见解析 (3)或. 【分析】（1）根据对数函数定义域要求，结合一元二次不等式即可求解， （2）根据对数的运算，结合单调性的定义即可求解, （3）根据函数的单调性，即可求解值域作答. 【详解】（1）由已知，即：的解集为或， ∴. （2）当时，在区间上为增函数；当时，在区间上为减函数； 证明：任取，，且，∵ ∴ ， ∵，∴，∴， ∴当时，，即，∴在区间上为增函数， 当时，，即，∴在区间上为减函数. （3），由（2）可知 ①若，在上单调递增 ∴，又， ∴， ∴，或（舍去） ∴； ②若，在上单调递减 ∴ ∴，， ∴，∴. 综上所示，或. 变式13-3．(23-24高一上·山东跨地多校·模拟)已知函数的图象经过点，函数． (1)求n的值； (2)求的定义域； (3)若，在区间上的值域为，求的取值范围． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】（1）直接代入计算可得； （2）根据对数函数的真数大于，结合指数函数的性质计算可得； （3）首先判断的单调性，依题意可得则，令，则关于的方程在上有两个不等实数根，原方程化简可得，结合二次函数根的分布问题得到不等式组，解得即可. 【详解】（1）因为的图象经过点，所以，解得． （2）由（1）可得， 令，因为，所以，解得． 故的定义域为． （3）因为，． 因为在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 又函数在定义域上单调递增， 所以在上单调递减． 因为在区间上的值域为， 所以，则，即 令，则关于的方程在上有两个不等实数根， 原方程化简可得． 令函数， 则，解得． 故的取值范围是． 类型十四、对数函数的最值 例14．(24-25高一上·吉林长春十一高中·)已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求函数的定义域，然后利用换元法将其化成二次函数，求其值域即可. 【详解】因，，对于函数， 由，解得，即函数的定义域为， ， 设，则由可得， 而在区间上单调递减， 故当时，取得最小值为. 故选：A. 变式14-1．(24-25高一上·北京第二中学·期末)设函数，则 ；若，则的最大值为 . 【答案】 【分析】借助分段函数性质计算即可得空一；分及计算可得的范围，结合函数的单调性即可得解. 【详解】； 若，则，即，即； 若，，即； 故或，则， 由在定义域内单调递减， 故的最大值为. 故答案为：；. 变式14-2．(24-25高一上·四川南充白塔中学·月考)已知函数，设. (1)当时，解关于的不等式； (2)对任意的，恒成立，求正数a的范围； (3)设函数.当时，求的最大值. 【答案】(1)； (2),； (3). 【分析】（1）利用对数函数单调生解不等式. （2）求出的解析式，等价转化不等式，再结合对数函数单调性，二次函数的性质进行求解. （3）由（2）的结论，化简函数，利用对数函数单调性，结合基本不等式求出最大值. 【详解】（1）当时，，由，得， 则，解得，所以原不等式的解集为． （2）依题意，，， ，不等式， 依题意，，不等式恒成立， 则，即在恒成立， 设，则，即， 整理得，即，解得，而，则， 所以正数a的范围是,. （3）由（2）知，当，时，，则， 则， 设，则，则 ，当且仅当，即时取等号， 因此， 所以当时，取得最大值. 变式14-3．设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）根据结合对数运算，即可求得a的值；根据函数解析式列不等式组，即可求得函数定义域； （2）判断函数在给定区间上的单调性，即可求得答案. 【详解】（1）由题意知，且， 故，则， 而，故， 由，可得， 故的定义域为； （2）由（1）可得 而， 在上单调递增，在上单调递减， 故当时，取到最大值4， 函数为其定义域上的增函数， 故在上单调递增，在上单调递减， 故在区间上的最大值为. 类型十五、已对数函数的最值求参数 例15．(24-25高一上·四川绵阳·期末)已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为 . 【答案】8 【分析】根据对数型函数的图象，结合函数的单调性进行求解即可. 【详解】函数的图象如下图所示： 当时，，因此有， 由， 于是当，即当时，因为， 所以，由函数图象可知， ，， 因为， 所以，所以， 因为函数在上的最大值与最小值之差为2， 所以， 因此， 故答案为：    【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用数形结合思想得到，再根据函数的单调性进行求解. 变式15-1．(24-25高一下·广东衡水联考·月考)已知函数． (1)用定义法证明在上的单调性； (2)若函数，且在区间上的最小值为，求． 【答案】(1)证明见详解； (2)或． 【分析】（1）任取且，然后利用作差法比较的大小即可判断函数的单调性； （2）由已知，对的取值进行分类讨论，结合复合函数的单调性，判断函数的最小值，得到关于的方程，解出即可. 【详解】（1）在上单调递减，证明如下： 任取且，所以，，， 则 ， 所以，即， 所以在上单调递减. （2）当时，在上单调递减， 由（1）可知在上单调递减，所以函数在上单调递增， 所以时，函数取得最小值，即，解得； 当时，在上单调递增， 由（1）可知在上单调递减，所以函数在上单调递减， 所以时，函数取得最小值，即，解得； 综上所述，在区间上的最小值为，则的取值为或． 变式15-2．(22-23高一上·广东湛江四校·)已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 【答案】(1)或 (2)答案见解析 【分析】（1）已知函数在区间上的最大值与最小值之差为1，根据对数函数的单调性，列出绝对值方程求解即可； （2）利用对数函数的定义域及单调性，列出不等式组，讨论参数a的范围，即可得到解集. 【详解】（1）因为在上为单调函数， 且函数在区间上的最大值与最小值之差为1， 所以，即或， 解得或. （2）因为函数是上的减函数， 所以，即， 当时，，原不等式解集为； 当时，，原不等式解集为. 综上可得：当时，不等式解集为；当时，不等式解集为. 变式15-3．(24-25高一上·江苏常州高级中学·月考)已知函数，其中，a为常数，且. (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求实数的值. 【答案】(1)当时，取最小值；当时，取最大值42 (2) 【分析】（1）根据二次函数的性质可求原函数的最值； （2）根据利用配方法可求函数的最值，从而可求的值. 【详解】（1）令， 当时，，设， 因为时，所以. 因此，当即时，取最小值； 当即时，取最大值42； （2）设，， 当时，， 当时，，从而当，取最小值. 又因为的最小值为，所以，即， 而，，则； 当时，，又，则，， 故即，与的最小值为矛盾； 综上所述，. 类型十六、对数函数的奇偶性问题 常见指对型函数奇偶模型 1. 2. ；；; 奇 3. 或奇 4. 奇 5. ; 例16．(24-25高一上·河北沧州泊头第一中学·月考)已知偶函数满足，当时，，则（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由及可得，则可得，再将代入计算即可得. 【详解】由为偶函数，则有，又，所以， 即，所以， 又，当时，. 则. 故选：C 变式16-1．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知是偶函数，则 ，若存在，使得，则的最大值为 . 【答案】 / 【分析】根据偶函数的性质，结合对数的运算性质可得，分离参数，将问题转化为，根据对勾函数的单调性求解最值即可求解. 【详解】由于是偶函数， 故， 根据可得， ，解得， 由可得， 故， 因此， 由于，故，令， 则在单调递减，在单调递增，且当和时，，， 故， 因此， 故的最大值为， 故答案为：；. 变式16-2．(24-25高二下·江苏锡山高级中学锡西分校·)函数是R上的奇函数，则实数a的值为 ，函数，若对恒成立，则m的取值范围为 . 【答案】 【分析】根据奇函数的性质列方程，解方程求得的值，并检验；根据在区间上的单调性求得其最大值，根据分段函数的性质，求得在区间上的最小值，由此求得关于m的不等式，进而求得m的取值范围. 【详解】因为是R上的奇函数，所以， 即，解得，此时， 此时， 为奇函数，符合题意； 又奇函数，所以在上是减函数， 则在上的最大值为， 又，所以在上是增函数，在上是减函数， 则的最小值为和中的较小的一个. 因为，， 所以. 因为对恒成立，所以. 解得. 故的取值范围为. 变式16-3．(24-25高一下·贵州黔南州·期末)已知函数． (1)求函数的定义域M； (2)判断函数的奇偶性，若，求的值． 【答案】(1)函数的定义域为； (2). 【分析】（1）根据函数解析式，得，解出不等式，取交集即可； （2）通过计算，并与比较，即可判断奇偶性，根据奇偶性，即可求得. 【详解】（1）由题意，， 由，解得， 则函数的定义域为． （2）由（1）知函数的定义域关于原点对称． 又， 所以函数为奇函数， 又，所以． 类型十七、恒成立与存在问题 1、对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法 (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决: (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 例17．(24-25高一下·山西太原山西大学附属中学校·开学考)已知函数． (1)证明函数为奇函数； (2)设函数，若，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先求得函数的定义域，然后根据函数奇偶性的定义来证得结论成立. （2）根据的单调性求得在区间上的最小值，利用换元法求得在区间上的最小值，由此列不等式来求得的取值范围. 【详解】（1）由，得，解得， 即的定义域为，关于原点对称， ， 所以函数为奇函数. （2）由题意得，， ， 由为上恒为正且为增函数，在上为增函数， 可得在上单调递增，故， 对于，， 令，则，故， 其对称轴为，所以当，即时，， 由题意得， 解得，即实数的取值范围为. 变式17-1．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； (2)解不等式； (3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，函数是定义域上的增函数 (2) (3) 【分析】（1）由奇函数的性质可得出，可求出的值，然后利用函数奇偶性的定义证明即可，然后利用指数函数的单调性可判断出函数在其定义域上的单调性； （2）利用函数的单调性结合奇偶性可将不等式变形为，利用指数函数的单调性解之即可； （3）分析可知，函数的值域为函数在上的值域的子集，可得出关于实数的不等式组，解之即可. 【详解】（1）对任意的，， 所以，的定义域为且函数为奇函数， 所以，则， 因为， 所以是奇函数，符合题意，故成立； ，是定义域上的增函数，理由如下： 对任意的、且，则， 所以， ，即， 所以，函数为上的增函数. （2）因为函数是实数集上的增函数又是奇函数， 所以由可得， 所以，，可得，即， 因为，则，解得， 所以不等式的解集为. （3）因为函数，显然，所以有 可得，则，则， 因为 ， 令，当时，， 设，所以，， 于是当时，， 对，总，使得成立， 所以，函数的值域为函数在上的值域的子集，即， 所以有，解得，即实数的取值范围为. 变式17-2．(24-25高一上·浙江杭州第十四中学凤起校区·期末)已知定义在上的函数为偶函数且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）应用偶函数的性质求参数，即可得解析式； （2）根据对数函数性质直接判断的单调性，利用单调性及换元法有在上恒成立，即求参数范围； （3）问题化为，上，应用分类讨论求参数范围. 【详解】（1）由题意，则， 所以恒成立，故， 所以； （2）由（1）得， 又在R上单调递增，故在R上单调递增， 由，即恒成立， 所以，令，即在上恒成立， 所以，可得. （3）上，， 又对任意的，存在，使得， 只需， 对于，函数图象开口向上且对称轴， 当时，上，得，则； 当时，上恒成立，则； 当时，上，得，则； 综上. 变式17-3．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知定义在R上的奇函数，其中. (1)求的值，并用定义证明函数的单调性； (2)求不等式的解集； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）根据求出，验证其满足为奇函数，故，定义法证明函数单调性步骤：取点，作差，变形判号，下结论； （2）变形得到，令，解得，故，解得，不等式解集为； （3）在上的值域包含在上的值域，在（2）基础上，得到，并求出，不合要求，当时，由的单调性得到，从而根据包含关系得到不等式，求出实数的取值范围. 【详解】（1）为定义在R上的奇函数， 故，解得， 故， 由于，满足为奇函数， 综上，， 单调递增，理由如下： 任取，且， ， 因为，在R上单调递增，故， 故，， 所以为R上的单调递增； （2）， 化简得， 令，故， 即，解得， 故，解得， 不等式解集为； （3）对任意的，总存在，使得成立， 故在上的值域包含在上的值域， 由（2）知，在上单调递增， 故， ，若，则， 此时， 不能满足在上的值域包含在上的值域，舍去； 当时，在上单调递增， 故， 由得， 解得， 故实数的取值范围为. 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江宁波九校·期末)“函数在上单调”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意结合复合函数的单调性，求出在上单调时的范围，结合选项找出该范围的一个充分不必要条件，即得答案. 【详解】因为函数在不可能单调递减， 所以在上单调等价于： ①在上单调递增，②， 所以，解得， 结合选项可知是的充分不必要条件， 故选：B. 2．(24-25高一上·云南保山·期末)已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用对数函数的性质比较大小. 【详解】依题意，， 则，而，则， 所以的大小关系是. 故选：C 3．(24-25高一下·陕西西安西安高新第一中学·期中)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项均利用奇函数的定义证明奇函数，举反例判断其不是增函数；D选项利用奇函数的定义证明奇函数，利用定义法证明其为增函数. 【详解】A，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故A错误； B，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故B错误； C，定义域为，，则为奇函数， 因，，则不是增函数，故C错误； D，因，则，故定义域为， ，则为奇函数， 且， 则 因，则， 又，， 则 ， 则，即， 则，即， 则是上的增函数，故D正确. 故选：D 4．(23-24高一下·广东深圳科学高中·期中)已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据对称性求出的周期，再利用奇函数的性质以及周期性即可求得. 【详解】因为奇函数，则， 又，则， 于是，即4是函数的一个周期， 而，则，， 则， 又当时，，则， 所以． 故选：A 5．(24-25高一下·云南“美美与共”民族中学联盟·)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对数函数的性质判断的范围，根据指数函数的性质判断的范围，再化简分析判断. 【详解】因为在上递增，且， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 因为，所以， 所以， 故选：C. 6．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出函数图象，数形结合得到，得到答案. 【详解】画出的图象， 显然当时，方程恰有三个不同的实数解，B正确，ACD错误. 故选：B 7．(24-25高一下·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】应用分段函数的单调性结合对数函数单调性列式求解即可. 【详解】因为当时，为减函数，且时，. 又因为在上为单调函数，所以只能为单调递减函数， 所以解得， 故选:D. 8．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 【答案】B 【分析】计算可得，再利用对数运算法则可得，则有，即可得解. 【详解】由，， 则 ， 又，则， 故， 则. 故选：B. 二、多选题 9．(24-25高一下·云南宣威部分学校·)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】对于AC：根据偶函数的定义结合函数单调性分析判断；对于BD：举反例说明即可. 【详解】对于A，设函数，则其定义域为， 且，可知为偶函数， 根据二次函数的性质可知，在上单调递增，故A正确； 对于B，设函数，则，， 可得，可知不是增函数，故B错误； 对于C，设函数，其定义域为， 且 ，可知为偶函数， 当时，在上单调递增，故C正确； 对于D，令函数，则， 因为，可知不为偶函数，故D错误. 故选：AC. 10．(24-25高一下·广东多校·期中)已知实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 【答案】AB 【分析】利用基本不等式判断A，由题可得，再利用乘“1”法及基本不等式判断B，结合对数的运算性质及A判断C，求出的最大值，即可判断D. 【详解】对于A：因为，，，所以，即， 解得（当时取等号），故A正确； 对于B：由，得， 所以 （当，时取等号），故B正确； 对于C：（当时取等号），故C错误； 因为，又， 所以，所以（当时取等号），故D错误． 故选：AB 11．下列命题中为真命题的是（   ） A．命题，有，则的否定：，有 B．若，则 C．已知，且，则1 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【分析】根据全称量词命题的否定的概念，可判断A的正误；根据对数的运算性质，可判断B的正误；代入数据，求得a值，可判断C的正误；根据抽象函数的定义域的求法，可判断D的正误，即可得答案. 【详解】选项A：命题的否定：，有，故A正确； 选项B：若，则，故B错误； 选项C：∵，且， ∴令，解得， ∴，解得，故C正确； 选项D：∵函数的定义域为， 令，解得， 所以定义域为，故D正确. 故选：ACD 三、填空题 12．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)计算： ． 【答案】3 【分析】根据指数及对数运算律计算求解. 【详解】． 故答案为：. 13．(24-25高一下·上海育才中学·期中)已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】需要分别分析函数在不同区间上的情况，通过比较确定的取值范围. 【详解】分析时函数的最小值： 对于函数，将其进行配方可得. 因为，所以当时，取得最小值，此时在这个区间内取得最小值.   分析时函数存在最小值的条件： 当时，. 因为函数有最小值，且时最小值为，所以当时，的最小值要大于等于. 又因为对数函数在上单调递增，所以. 要使存在最小值，则，即，解得.   故答案为：. 14．已知函数，则三者的大小关系为 【答案】 【分析】计算得，结合函数单调性即可比较大小. 【详解】因为，所以. 因为是R上的减函数，所以． 故答案为：. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02对数函数十七大题型汇总 目录 专题02 对数函数十七大题型汇总 类型一、指对混合运算 类型二、对数的换底公式 类型三、对数的概念与求值 类型四、对数函数的解析式 类型五、对数函数过定点 类型六、对数函数的图像 类型七、对数比较大小 类型八、解对数方程或不等式 类型九、对数模型的实际应用 类型十、 对数函数的单调性 类型十一、已知对数函数的单调性求参数 类型十二、对数函数的值域 类型十三、已知对数函数的值域求参数 类型十四、对数函数的最值 类型十五、已知对数函数的最值求参数 类型十六、对数函数的奇偶性 类型十七、恒成立与存在问题 压轴专练 类型一、指对混合运算 1、对数计算公式 (1)同底对数加减运算: (2)底数和真数是乘方数时: (3)对数恒等式: (4)倒数式: 2、对数运算的常用技巧 (1)在对数运算中，先利用幂的运算把底数或真数进行变形，化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后用对数运算法则化简合并 (2)先将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂再运算 (3)指对互化: ,(a>0，且a≠1)是解决有关指数、对数问题的有效方法，在运算中应注意互化. 例1．计算下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4)化简：． 变式1-1．已知均为正实数，均为大于0且不等于1的实数，若且，求的值． 变式1-2．求下列各式的值； (1)； (2)； (3)． 变式1-3．解下列方程： (1)； (2)； (3)； (4)． 类型二、对数的换底公式 换底公式： 例2．(24-25高一下·广东茂名七校联盟·)已知，且，则（   ） A． B． C． D．12 变式2-1．（多选）已知，若，则下列说法正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则 D．若，则 变式2-2．(24-25高一上·天津弘毅中学·)，则用和表示的结果为 变式2-3．(24-25高一上·山西晋中·期末)已知（），则 . 类型三、对数的概念与求值 例3．使式子有意义的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式3-1．（多选）设表示不超过的最大整数，如，，给出以下命题，其中正确的是（    ） A．若，则 B． C．若，则可由解得的范围为 D．定义在上的奇函数的值域为则函数的值域为 变式3-2．(22-23高二上·上海新川中学·期末)定义为不超过实数的最大整数，例如：，，已知函数，则 变式3-3．已知，试比较x，y，z的大小． 类型四、对数函数的解析式 例4．(24-25高一上·云南曲靖会泽县·期末)已知，且，， ，对于任意正整数n．且，记，求 ． 变式4-1．(24-25高一上·江西上饶弋阳县第一中学·月考)已知函数（且）的图象经过点和. (1)求的解析式； (2)若，求实数的值. 变式4-2．(22-23高一上·上海第二中学·期末)设为奇函数，a为常数． (1)求a的值； (2)若函数，求与两个函数图像的交点坐标． 变式4-3．(22-23高一下·云南玉溪第一中学·期中)已知函数，，若，. (1)求，的解析式； (2)若，试比较的大小. 类型五、对数函数过定点 1.对数函数过定点（1,0），即时，y 2.函数 例5．（多选）(24-25高一下·四川成都石室天府中学·期中)下列说法正确的有（    ） A．函数关于点对称 B．函数的图象过定点 C．方程在区间上有且只有1个实数解 D．若，则在时取到最小值 变式5-1．(22-23高一下·云南昭通一中教研联盟·期末)已知函数（，）的图象恒过定点A，若点A在一次函数的图象上，其中，，则的最小值是 . 变式5-2．(23-24高一上·广东深圳南山区·期末)已知当时，函数的图象恒过定点，其中为常数，则不等式的解集为 . 变式5-3．(23-24高一上·天津河东区第五十四中学·月考)已知函数的图象恒过定点，若点也在函数的图象上，则 类型六、对数函数的图像 方法技巧:对于有关对数型函数的图象问题，一般是从最基本的对数函数的图象入手，通过伸缩、平移、对称等变换得到，当a>1时，对数函数的图像呈上升趋势;当0<a<1时，对数函数的图像呈下降趋势. 例6．(24-25高一上·湖北·期末)函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．(24-25高一上·湖南岳阳·期末)若如图是函数（且，）的大致图象，则函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 变式6-2．若函数的大致图象如图，其中为常数，则函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 变式6-3．函数，且)与函数在同一直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 类型七、对数比较大小 1、常规法:比较大小问题，常利用函数的单调性及中间值法 2、当底数和真数的差或倍数一样时，可以考虑拆出一个1 例1: 和 (倍数一致) =1+; =1+，由图像可知 例2: 和 (差一致) 1+号; 由图像可知 例7．已知均为大于1的数，且，则（    ） A． B． C． D． 变式7-1．已知，则（    ） A． B． C． D． 变式7-2．(24-25高一上·山东潍坊寿光第一中学·期末)若，则，，大小关系为 . 变式7-3．已知函数（且），且． (1)求实数的值； (2)设，，，当时，试比较大小． 类型八、解对数方程或不等式 1.对于形如的形式，利用转化;对于形如的形式，可借助换元法转化为二次方程求解. 2.解对数不等式，也是利用对数函数的单调性将不等式转化为比较真数之间的不等式，再解这个不等式即可. 例8．(25-26高一上·山东实验中学·)已知函数，若恰有两个正整数满足，则实数的取值范围是 . 变式8-1．已知函数的定义域为，，对任意的，，当时，有．若，则实数a的取值范围是 ． 变式8-2．已知函数，若，则实数的取值范围是 . 变式8-3． (24-25高二下·上海浦东新区上海南汇中学·期末)方程的解集为 . 变式8-4．(24-25高一下·贵州贵阳第一中学·)已知正实数满足：，则的值是（    ） A． B． C． D． 变式8-5．（多选）(24-25高一下·广西桂林第五中学等校·)已知实数m，n满足等式：，．下列选项正确的是（    ） A． B． C． D． 类型九、对数模型的实际应用 对数函数应用题的基本类型和求解策略 (1)基本类型:有关对数函数的应用题一般都会给出函数的解析 式，然后根据实际问题求解. (2)求解策略:首先根据实际情况求出函数解析式中的参数，或给出具体情境，从中提炼出数据，代入解析式求值，然后根据数值回答其实际意义. 例9．(24-25高一上·江苏南通海门区·期末)任何一个正实数N可以表示成 的形式，这便是科学记数法，若N两边取常用对数，则有，当时，N是n＋1位数，则的位数为（参考数据：）（   ） A．611 B．610 C．609 D．608 变式9-1．(25-26高一上·江苏南通海门实验学校·)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2011年3月11日，日本东北部海域发生里氏9.0级地震，它所释放出来的能量是2008年5月12日我国汶川发生里氏8.0级地震的多少倍（精确到1）?（    ）（注：，） A．30 B．31 C．32 D．33 变式9-2．(24-25高一下·四川南充高级中学·月考)春天正值蝌蚪成长期，研究蝌蚪的科学家发现当蝌蚪成年变成青蛙后的游速（单位：）可以表示为，其中表示青蛙的耗氧量的单位数．当一只青蛙以的速度游动时，它的耗氧量比静止时多出的单位数为（    ） A．2600 B．2700 C．2800 D．2900 变式9-3．(24-25高一上·湖北武汉江岸区、江汉区·期末)一种药在病人血液中的量低于1000mg，病人就有危险.现给某病人的静脉注射了这种药3000mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，那么最迟应在 h内再向病人的血液补充这种药（精确到0.1h，参考数据：）. 类型十、对数函数的单调性 对数型复合函数的单调问题 1、模板解决思路:判断复合函数单调性的原则是“同增异减” 2、模板解决步骤 第一步:求函数的定义域 第二步:将函数分解成内层函数和外层函数 第三步:判断内层函数和外层函数的单调性，第四步:根据“同增异减”的原则确定复合函数的单调性 例10．(24-25高一上·辽宁沈阳浑南区广全实验学校·月考)函数的增区间为（   ） A． B． C． D． 变式10-1．(24-25高一下·辽宁葫芦岛兴城七校协作体·)函数的单调递减区间是 . 变式10-2．求函数的单调区间. 变式10-3．(24-25高一下·山西青桐鸣·期中)已知函数. (1)求的定义域； (2)研究函数的单调性； (3)若，求实数的取值范围. 类型十一、已知对数函数的单调性求参数 例11．(24-25高一上·贵州遵义第二中学·月考)已知关于的函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式11-1．(24-25高一下·湖北荆荆襄宜四地七校考试联盟·期中)已知函数在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式11-2．设函数（且）在上是增函数，则实数的取值范围为 ． 变式11-3．(24-25高一上·天津弘毅中学·)已知函数． (1)当时，求函数的值域； (2)若的定义域为，求实数的取值范围； (3)若在上单调递增，求实数的取值范围. 类型十二、对数函数的值域 对数(型)函数的值域和单调性问题的解题策略 利用对数函数的性质，求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三方面的问题:一是定义域，所有问题都必须在定义域内讨论;二是底数与1的大小关系;三是复合函数的构成，即它是由哪些基本初等函数复合而成的.另外，解题时要注意数形结合、分类讨论、转化与化归思想的应用. 例12．(24-25高一上·福建泉州第七中学·月考)已知函数，，则函数的值域为 ． 变式12-1．(24-25高一下·陕西西安高新第一中学·月考)函数，其中表示不超过a的最大整数，则函数的定义域为 ．若，则函数的的值域为 ． 变式12-2．(24-25高一上·山东日照第一中学·月考)已知函数的定义域是，函数. (1)求； (2)设的定义域为，函数的值域为，求． 变式12-3．(24-25高一下·四川德阳第五中学·月考)已知函数为奇函数，为偶函数，且满足为偶函数，为奇函数． (1)求函数的解析式； (2)求函数的值域. 类型十三、已知对数函数的值域求参数 例13．(24-25高一上·四川眉山·期末)若函数的值域为，则实数的取值范围为 . 变式13-1．(24-25高一上·浙江金华十校·期末)已知函数 (1)当时，若，求x的值; (2)若的值域为R，求实数a的取值范围. 变式13-2．(23-24高一上·四川德阳德阳中学校·月考)已知函数（且）的定义域为或，. (1)求实数m的值： (2)判断在区间上的单调性，并用定义法证明； (3)若函数在区间上的值域为，求的值. 变式13-3．(23-24高一上·山东跨地多校·模拟)已知函数的图象经过点，函数． (1)求n的值； (2)求的定义域； (3)若，在区间上的值域为，求的取值范围． 类型十四、对数函数的最值 例14．(24-25高一上·吉林长春十一高中·)已知函数，，则函数的最小值为（   ） A． B． C． D． 变式14-1．(24-25高一上·北京第二中学·期末)设函数，则 ；若，则的最大值为 . 变式14-2．(24-25高一上·四川南充白塔中学·月考)已知函数，设. (1)当时，解关于的不等式； (2)对任意的，恒成立，求正数a的范围； (3)设函数.当时，求的最大值. 变式14-3．设，且． (1)求的值及的定义域； (2)求在区间上的最大值． 类型十五、已对数函数的最值求参数 例15．(24-25高一上·四川绵阳·期末)已知函数，当时，，且函数在上的最大值与最小值之差为2，则的值为 . 变式15-1．(24-25高一下·广东衡水联考·月考)已知函数． (1)用定义法证明在上的单调性； (2)若函数，且在区间上的最小值为，求． 变式15-2．(22-23高一上·广东湛江四校·)已知函数（且）. (1)若在区间上的最大值与最小值之差为1，求的值； (2)解关于的不等式. 变式15-3．(24-25高一上·江苏常州高级中学·月考)已知函数，其中，a为常数，且. (1)当时，求在区间上的最值及取最值时的值； (2)若的最小值为，求实数的值. 类型十六、对数函数的奇偶性问题 常见指对型函数奇偶模型 1. 2. ；；; 奇 3. 或奇 4. 奇 5. ; 例16．(24-25高一上·河北沧州泊头第一中学·月考)已知偶函数满足，当时，，则（   ）． A． B． C． D． 变式16-1．(24-25高一上·江苏徐州·期末)已知是偶函数，则 ，若存在，使得，则的最大值为 . 变式16-2．(24-25高二下·江苏锡山高级中学锡西分校·)函数是R上的奇函数，则实数a的值为 ，函数，若对恒成立，则m的取值范围为 . 变式16-3．(24-25高一下·贵州黔南州·期末)已知函数． (1)求函数的定义域M； (2)判断函数的奇偶性，若，求的值． 类型十七、恒成立与存在问题 1、对数函数常与其他函数形成复合函数问题，解题时要清楚复合的层次，外层是对数函数还是内层是对数函数，其次如果涉及到定义域、值域、奇偶性、单调性等问题，则要按复合函数的性质规律求解. 2、已知不等式能恒成立求参数值(取值范围)问题常用的方法 (1)函数法:讨论参数范围，通常借助函数单调性求解; (2)分离参数法:首先将参数分离，转化成求函数的最值或值域问题加以解决: (3)数形结合法:先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，再利用数形结合的方法来解决 例17．(24-25高一下·山西太原山西大学附属中学校·开学考)已知函数． (1)证明函数为奇函数； (2)设函数，若，使得，求实数的取值范围． 变式17-1．(24-25高一上·辽宁葫芦岛·期末)已知函数为奇函数. (1)求实数的值，并判断函数的单调性（不必说明理由）； (2)解不等式； (3)设函数，若对，总，使得成立，求实数的取值范围. 变式17-2．(24-25高一上·浙江杭州第十四中学凤起校区·期末)已知定义在上的函数为偶函数且，. (1)求的解析式； (2)若不等式恒成立，求实数a取值范围； (3)设，若对任意的，存在，使得，求实数m取值范围. 变式17-3．(24-25高一上·重庆九龙坡区·)已知定义在R上的奇函数，其中. (1)求的值，并用定义证明函数的单调性； (2)求不等式的解集； (3)设，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围. 压轴专练 一、单选题 1．(24-25高一上·浙江宁波九校·期末)“函数在上单调”的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一上·云南保山·期末)已知，，，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·陕西西安西安高新第一中学·期中)下列函数中，在定义域内既是奇函数又是增函数的是（    ） A． B． C． D． 4．(23-24高一下·广东深圳科学高中·期中)已知定义在上的奇函数满足，当时，，则（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·云南“美美与共”民族中学联盟·)若，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．(24-25高一下·湖南湘潭第一中学·期中)已知函数，方程恰有三个不同的实数解，则可能的值是（   ） A． B． C． D． 7．(24-25高一下·云南昆明禄劝彝族苗族自治县民族中学·期中)已知是上的单调函数，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．(24-25高一上·湖北部分恩施高中、襄阳五中、郧阳中学等学校·)设函数（a，b为实数），已知，则的值为（   ） A． B．4 C．5 D．与a，b的取值有关 二、多选题 9．(24-25高一下·云南宣威部分学校·)下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 10．(24-25高一下·广东多校·期中)已知实数满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．的最小值为 D．的最大值为 11．下列命题中为真命题的是（   ） A．命题，有，则的否定：，有 B．若，则 C．已知，且，则1 D．函数的定义域为，则函数的定义域为 三、填空题 12．(24-25高一下·湖南名校联考联合体·期中)计算： ． 13．(24-25高一下·上海育才中学·期中)已知函数有最小值，则实数的取值范围为 ． 14．已知函数，则三者的大小关系为 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $