精品解析：陕西省部分学校2025-2026学年高一上学期10月月考数学试题

高一年级考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 4. “故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 6. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 7. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，则“不等式成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若，则的取值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 3 10. 关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 方程的解集是 11. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 0 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则有最________（填“大”或“小”）值，该值为______． 13. 若，则______． 14. 关于的方程有两个实根，且，则_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若，且“”是“”的充分条件，求的取值集合． 16. 已知． （1）求的最小值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 17. 某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． （1）要使生产该产品获得的利润为7200元，求． （2）要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 18. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值集合． 19. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求； （3）若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一年级考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系以及集合间的基本关系逐项分析即可． 【详解】对于A，0不属于空集，故A错误； 对于B，不是自然数，故B错误； 对于C，空集是任何集合的子集，故C正确； 对于D，成立，但当两者作为集合中的元素时，也即和时，并不是的子集，故D错误． 故选：C． 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定是存在量词命题即可求解． 【详解】命题“”的否定是“”. 故选：D 3. 已知集合，则的真子集的个数为（ ） A. 16 B. 15 C. 8 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合中元素的个数，求出集合真子集的个数即可. 【详解】由，可得或或或， 解得， 集合中有4个元素，所以其真子集的个数为． 故选：B. 4. “故不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”这句来自战国时期荀子的《劝学》里的名言.此名言中“成江海”是“积小流”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分必要条件的要求进行顺向和逆向两个方向判断能否推出即得. 【详解】由名言可知其意为如果不“积小流”，便不能“成江海”，即“积小流”是“成江海”的必要条件，而非充分条件， 荀子的名言表明“成江海”一定是从“积小流”开始的，而“积小流”未必一定能“成江海”，故“成江海”是“积小流”的充分不必要条件. 故选：A. 5. 已知集合，则（ ） A. B. 或 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】解出绝对值不等式与分式不等式得到集合、后，由并集定义即可得. 【详解】由，得，即，则， 由，即，得或，即或， 则或. 故选：D. 6. 若，则的取值集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将表示为的线性和的形式，再根据不等式的性质求得正确答案. 【详解】令，则，解得. 因为，，所以， 即的取值集合为． 故选：D 7. 对于实数，规定表示不小于的最小整数，例如：，则“不等式成立”的一个必要不充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先解出关于的不等式，再根据的含义得出的范围，最后由充分必要条件的定义即可得出答案. 【详解】由，解得． 由定义可知，可取，0，1，则， 故“不等式成立”的一个必要不充分条件是． 故选：C 8. 关于的方程有两个不相等的实数根，若，则实数的取值范围是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】按照、和分类讨论，按照二次方程根的分布列不等式组求解即可. 【详解】当时，方程只有一个根，显然不符合题意； 当时，则，解得； 当时，则，解得， 故或． 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，若，则的取值可能是（ ） A. B. 0 C. D. 3 【答案】ABC 【解析】 【分析】按照和分类讨论，利用集合关系列方程求解即可. 【详解】，，当时，，符合题意； 当时，因为，，所以或，得或． 故选：ABC 10. 关于的不等式的解集是，则（ ） A. B. C. 不等式的解集是 D. 方程的解集是 【答案】BC 【解析】 【分析】根据三个“二次”的关系即可判断各选项. 【详解】由题意可知，所以，故A不正确，B正确； 不等式可化为，即， 所以解集为，故C正确； 方程可化为，即， 所以方程的解集是，故D不正确． 故选：BC. 11. 已知关于的不等式对任意恒成立，则的取值可能是（ ） A. B. C. D. 0 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据一元二次不等式恒成立，分、讨论求解即可. 【详解】当时，不等式为，显然成立； 当时，则，解得. 综上所述，． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则有最________（填“大”或“小”）值，该值为______． 【答案】 ①. 大； ②. -3 【解析】 【分析】根据基本不等式的性质进行求解即可. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时，等号成立，此时有最大值，该值为-3. 故答案为：①大；②-3. 13. 若，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】结合集合元素的互异性，利用集合相等得，然后将和分别代入检验，即可求解. 【详解】由元素的互异性可得，故，故， 故，则或. 当时，； 当时，，，符合题意. 所以． 故答案为： 14. 关于的方程有两个实根，且，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用根的判别式确定的取值范围，再由根与系数的关系结合已知条件，计算即得的值. 【详解】依题意，可得，解得， 由韦达定理，，， 则， 解得或. 因，则． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合． （1）求； （2）若，求的取值范围； （3）若，且“”是“”的充分条件，求的取值集合． 【答案】（1）或． （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）解不等式得集合A，由补集的定义求； （2）若，列不等式求的取值范围； （3）由题意有，结合列不等式的取值范围． 【小问1详解】 因为， 所以或． 【小问2详解】 若，则，得， 所以的取值范围． 【小问3详解】 若“”是“”的充分条件，则． 因为，所以，由得． 故的取值集合为． 16. 已知． （1）求的最小值； （2）求的最大值； （3）求的最小值． 【答案】（1）； （2）4； （3）． 【解析】 【分析】（1）根据“1”的妙用，结合基本不等式求解即可； （2）利用基本不等式，，再对平方计算即可； （3）先化简，再由，则，结合基本不等式求最值即可． 【小问1详解】 因为， 所以． 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即的最小值为． 【小问2详解】 因为，所以， 当且仅当时，等号成立． 因为， 所以，所以的最大值为4． 【小问3详解】 因为，所以． 因为， 所以． 因为，所以， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为， 故的最小值为． 17. 某厂以的速度匀速生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得的利润是元． （1）要使生产该产品获得的利润为7200元，求． （2）要使生产该产品获得的利润最大，该厂应该选取何种生产速度？并求利润的最大值． 【答案】（1） （2），最大值为730000元 【解析】 【分析】（1）由题意可得，解出即可得； （2）借助二次函数性质计算即可得. 【小问1详解】 由， 得， 解得或，因为，所以； 【小问2详解】 生产该产品获得的利润为，． 令，则， 所以当时，利润取得最大值，最大值为730000， 故该厂以的生产速度生产时，利润有最大值，最大值为730000元． 18. 已知集合． （1）若，求； （2）若，求的取值集合． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据交集定义求解即可； （2）对a分、、、、五种情况讨论符合的取值范围即可． 【小问1详解】 因为，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 ， 当时，，符合； 当时，，若，则，得； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，若，则，得． 综上所述，的取值集合为． 19. 已知实数集，定义． （1）若，求； （2）若，求； （3）若中的元素个数为7，求的元素个数的最小值． 【答案】（1） （2）或． （3）9 【解析】 【分析】（1）根据集合的新定义直接求解即可； （2）根据给定定义可得，再按中4个非零元素，符号为一负三正或者一正三负分类讨论列式计算； （3）按中没有负数和中至少有一个负数两种情况分类讨论求解. 【小问1详解】 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以． 因为中除0外还有6个元素，所以中除0外至少还有4个元素． 因为中除0外有3个负数，3个正数，所以中除0外的4个数是1负3正或1正3负． ①若中除0外的4个数是1负3正，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． ②若中除0外的4个数是1正3负，设，其中． 由，可得． 由，可得， 所以，从而，即． 综上所述，或． 【小问3详解】 因为将中的所有元素均变为原来的相反数时，不变， 所以不妨设中正数个数不少于负数个数． ①当中没有负数时，设，其中， 则． 上式从小到大的数共有个，它们都是的元素，说明最少有10个元素． ②当中至少有一个负数时，设是中的全部负元素，是中的全部非负元素， 不妨设，其中为正整数，． 因为，其中从小到大的数共有个， 所以中至少有6个非正元素． 因为，所以中至少有3个正元素， 所以中至少有9个元素．综上所述，中至少有9个元素． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $