第一章 直角三角形的边角关系（必备知识+5大易错+易错训练）（知识清单）数学北师大版九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA= ；余弦：cosA= ；正切：tanA= ． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有 的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系： ； （2）两锐角关系： ； （3）边与角关系： ， ， ； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做 ． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做 ． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的 （或 ），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做 ，记作α，i=tanα． ， ， ． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做 (或 )． 易错01　网格中求某个角的三角函数值 解题技巧 1. 构造直角三角形：在网格中，以目标角为其一锐角，利用网格线作垂直边，构造直角三角形，确定对边、邻边、斜边长度（可通过勾股定理计算）。 2. 利用等角转换：若目标角所在三角形非直角三角形，通过网格中的平行线、全等/相似三角形，将其转化为易求的等角的三角函数值。 易错总结 1. 边长计算错误：忽略网格单位长度，或勾股定理计算斜边时，错算直角边长度（如混淆横纵格数）。 2. 三角函数定义混淆：误将对边、邻边搞反，尤其在非标准位置的直角三角形中，错用正弦、余弦、正切的边的比例关系。 例题：（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 易错02　解直角三角形中的多解问题 解题技巧 1. 分析已知条件的不确定性：当已知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b，需考虑b是直角边或斜边），或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2. 结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 易错总结 1. 漏解：忽略已知条件的多种可能性，如已知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情况。 2. 错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。例题：（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 易错03　解直角三角形应用方位角问题 解题技巧 1. 明确方位基准：以观测点为中心，建立“上北下南，左西右东”的方位坐标系，将方位角转化为坐标系内的角度（如北偏东30°对应从北向东转30°）。 2. 构造直角三角形：根据方位角确定已知角，结合实际距离（如船的航行路程）作为边长，拆分复杂图形为直角三角形，利用三角函数求解。 易错总结 1. 方位基准混淆：误将观测点搞反（如把“B在A的北偏东”当成“A在B的北偏东”），导致角度方向错误。 2. 角度转换错误：将方位角与直角三角形内角混淆（如北偏东60°，误将直角三角形内角直接取60°，实际应为30°）。 例题：今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 易错04　解直角三角形应用仰俯角与坡度坡比综合问题 解题技巧 1. 拆分图形找直角：将仰俯角、坡度的综合图形，按水平线、铅垂线拆分，明确仰俯角对应直角三角形的锐角，坡度（i=对边/邻边）转化为直角边比例。 2. 统一单位列关系：先统一长度单位，利用仰俯角的三角函数、坡度与坡角的关系（i=tanα），结合公共边或相等线段建立等式求解。 易错总结 1. 坡度概念混淆：误将坡度（对边/邻边）当作坡角的正弦或余弦，或忽略坡度的单位一致性（如米与千米混用）。 2. 仰俯角对应错误：未以水平线为基准，错把仰俯角与铅垂线的夹角当作目标角，导致三角函数关系用反。 例题：（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 易错05　解直角三角形应用与几何图形的综合问题 解题技巧 1. 拆解图形建直角：将多边形（如四边形、梯形）沿高线、对角线拆分，转化为1-2个直角三角形，关联已知边、角与所求量。 2. 巧用几何性质搭桥：利用矩形对边相等、等腰三角形三线合一等性质，传递边长或角度，再结合三角函数列等式求解。 易错总结 1. 拆分图形失误：拆分时未保留关键已知条件，或拆分后的直角三角形无有效已知量，导致无法计算。 2. 忽略图形隐含条件：遗漏等腰、平行等几何性质，未充分利用公共边、相等角，造成解题思路中断或结果错误。 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，，则斜边上的高等于（   ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 3．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 6．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 三、解答题 7．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 8．（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 9．（2025·江西·二模）图（1）是某公司定制的奖杯，图（2）是其抽象示意图，奖杯上镶嵌了一个正五角星，正五角星的顶点A与奖杯的顶点F一样高，点B，P，E，F在一条直线上，点A，Q，C在一条直线上，点A，P，D在一条直线上．已知， ，底座的高． (1)求 和 的度数； (2)求奖杯的总高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 10．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 直角三角形的边角关系 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 易错01　网格中求某个角的三角函数值 解题技巧 1. 构造直角三角形：在网格中，以目标角为其一锐角，利用网格线作垂直边，构造直角三角形，确定对边、邻边、斜边长度（可通过勾股定理计算）。 2. 利用等角转换：若目标角所在三角形非直角三角形，通过网格中的平行线、全等/相似三角形，将其转化为易求的等角的三角函数值。 易错总结 1. 边长计算错误：忽略网格单位长度，或勾股定理计算斜边时，错算直角边长度（如混淆横纵格数）。 2. 三角函数定义混淆：误将对边、邻边搞反，尤其在非标准位置的直角三角形中，错用正弦、余弦、正切的边的比例关系。 例题：（25-26九年级上·山东·阶段练习）如图，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，点A，B，C都在格点上，连接，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了求角的正切值，勾股定理及其逆定理，利用勾股定理求出的三边的长，再利用勾股定理的逆定理证明，最后根据正切的定义求解即可． 【详解】解：如图所示，连接， 由网格的特点和勾股定理可得， ， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 易错02　解直角三角形中的多解问题 解题技巧 1. 分析已知条件的不确定性：当已知“两边”但未明确是直角边还是斜边（如已知两边为a、b，需考虑b是直角边或斜边），或已知“一边+锐角”但未明确三角形形状，需分情况讨论。 2. 结合图形限制验证：根据实际图形的边长、角度范围（如边长为正、角度为锐角），排除不合理的解。 易错总结 1. 漏解：忽略已知条件的多种可能性，如已知两边为5和12，直接默认12为直角边，漏掉12为斜边的情况。 2. 错解验证：未结合直角三角形的边角约束（如锐角和为90°），保留了边长为负、角度超范围的错误解。例题：（25-26九年级上·上海·阶段练习）如图，在矩形中，．点是边上的一个动点，将沿折叠，点落在点处，连接，，若是等腰三角形，则的值为 ． 【答案】或 【分析】由题意知，分三种情况求解：①若，如图2，过点F作于H，HF的延长线交AB于点G，则，，在中，由勾股定理得求出的值，根据求出的值，证明，则，根据求解即可；②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交CD的延长线于点N，，在中，，，计算求解即可；③若，由，可判断该情况不成立；进而可得所有可能情况的正切值． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴，，， 由题意知，分三种情况求解：①若，如图，过点F作于H，的延长线交于点G， ∴， ∵矩形中，， ∴， ∵翻折， ∴，，，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②若，如图3，过点F作于M，过点F作，交的延长线于点N， ∴四边形是矩形， ∵，， ∴， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴ ③若， ∵点E是边AB上的一个动点，， ∴， ∴不合题意，舍去； 综上所述，的值为或， 故答案为：或． 易错03　解直角三角形应用方位角问题 解题技巧 1. 明确方位基准：以观测点为中心，建立“上北下南，左西右东”的方位坐标系，将方位角转化为坐标系内的角度（如北偏东30°对应从北向东转30°）。 2. 构造直角三角形：根据方位角确定已知角，结合实际距离（如船的航行路程）作为边长，拆分复杂图形为直角三角形，利用三角函数求解。 易错总结 1. 方位基准混淆：误将观测点搞反（如把“B在A的北偏东”当成“A在B的北偏东”），导致角度方向错误。 2. 角度转换错误：将方位角与直角三角形内角混淆（如北偏东60°，误将直角三角形内角直接取60°，实际应为30°）。 例题：今年暑假，妈妈带着明明去草原骑马，如图，妈妈位于游客中心A的正北方向的B处，其中，明明位于游客中心A的西北方向的C处．烈日当空，妈妈准备把包里的太阳帽给明明送去，于是，妈妈向正西方向匀速步行，同时明明骑马向南偏东方向缓慢前进．15分钟后，他们再游客中心A的北偏西方向的点D处相遇．    (1)求妈妈步行的速度； (2)求明明从C处到D处的距离． 【答案】(1)妈妈步行的速度为 (2)明明从C处到D处的距离约为 【知识点】方位角问题(解直角三角形的应用) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形，掌握方向角定义． （1）根据正切函数求出的长，即路程，则速度=路程÷时间，代入计算即可； （2）过点C作交延长线于点E，设，过点D作于点F，得矩形，可得，表示出，，进而得出结论． 【详解】（1）解：根据题意可知：， ∴， ∴， 答：妈妈步行的速度为； （2）解：如图，过点C作交延长线于点E，    ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设， 过点D作于点F，得矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 答：明明从C处到D处的距离约为． 易错04　解直角三角形应用仰俯角与坡度坡比综合问题 解题技巧 1. 拆分图形找直角：将仰俯角、坡度的综合图形，按水平线、铅垂线拆分，明确仰俯角对应直角三角形的锐角，坡度（i=对边/邻边）转化为直角边比例。 2. 统一单位列关系：先统一长度单位，利用仰俯角的三角函数、坡度与坡角的关系（i=tanα），结合公共边或相等线段建立等式求解。 易错总结 1. 坡度概念混淆：误将坡度（对边/邻边）当作坡角的正弦或余弦，或忽略坡度的单位一致性（如米与千米混用）。 2. 仰俯角对应错误：未以水平线为基准，错把仰俯角与铅垂线的夹角当作目标角，导致三角函数关系用反。 例题：（2024·山西长治·模拟预测）“畅游山西，逛代县边靖楼”成为今年山西旅游新特色，某数学兴趣小组用无人机测量边靖楼的高度，测量方案如图：在坡底D处测得塔顶A的仰角为，沿坡比为的斜坡前行26米到达平台C处，在C处测得塔顶A的仰角为． (1)求坡顶C到地面的距离； (2)计算边靖楼的高度． 【答案】(1)坡顶C到地面的距离为10米； (2)边靖楼AB的高度为米． 【知识点】仰角俯角问题(解直角三角形的应用)、坡度坡比问题(解直角三角形的应用）、解直角三角形的相关计算、根据矩形的性质与判定求线段长 【分析】本题主要考查了解直角三角形应用——坡比，仰角、俯角问题．熟练掌握等腰直角三角形性质，锐角三角函数解直角三角形，矩形的判定和性质，是解决问题的关键． （1）延长交于点E，过点C作于点F，证明四边形是矩形，根据坡比设，则，在中，由勾股定理求得，即得坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米，中，求得，得到，；根据等腰直角三角形性质得到，解得， 即得边靖楼的高度为米． 【详解】（1）解：延长交于点E，过点C作，垂足为点F， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴设， 则， ∵在中，米，， ∴， 解得，（负值舍去）， ∴， 即坡顶C到地面的距离为10米． （2）设米， ∵， ∴在中，， 由（1）知，，， ∴，； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴， 即边靖楼的高度为米． 易错05　解直角三角形应用与几何图形的综合问题 解题技巧 1. 拆解图形建直角：将多边形（如四边形、梯形）沿高线、对角线拆分，转化为1-2个直角三角形，关联已知边、角与所求量。 2. 巧用几何性质搭桥：利用矩形对边相等、等腰三角形三线合一等性质，传递边长或角度，再结合三角函数列等式求解。 易错总结 1. 拆分图形失误：拆分时未保留关键已知条件，或拆分后的直角三角形无有效已知量，导致无法计算。 2. 忽略图形隐含条件：遗漏等腰、平行等几何性质，未充分利用公共边、相等角，造成解题思路中断或结果错误。 例题：图1是某长征主题公园的雕塑，将其抽象成如图2所示的示意图，已知，A，D，H，G四点在同一直线上，测得．（结果保留小数点后一位） (1)求证：四边形为平行四边形； (2)求雕塑的高（即点G到的距离）． （参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)雕塑的高为7.5m，详见解析 【分析】（1）根据平行四边形的定义可得结论； （2）过点G作GP⊥AB于P，计算AG的长，利用 ∠A的正弦可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴∠CDG＝∠A， ∵∠FEC＝∠A， ∴ ∠FEC＝∠CDG， ∴EF∥DG， ∵FG∥CD， ∴四边形DEFG为平行四边形； （2）如图，过点G作GP⊥AB于P， ∵四边形DEFG为平行四边形， ∴DG＝EF＝6.2， ∵AD＝1.6， ∴AG＝DG+AD＝6.2+1.6＝7.8， 在Rt△APG中，sinA= ， ∴=0.96， ∴PG=7.8×0.96＝7.488≈7.5． 答：雕塑的高为7.5m. 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·课后作业）在Rt中，，则斜边上的高等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在中，由与的值，求出的长，根据勾股定理求出的长，最后根据面积法求出斜边上的高. 【详解】在中，， 解得斜边上的高． 故选：C. 【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数定义，勾股定理，以及三角形的面积求法，熟练掌握定理及法则是解本题的关键． 2．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，的顶点都在格点上，则图中的余弦值是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理，锐角三角函数的定义；一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方；其逆定理为如果三角形两条边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形就是直角三角形，最长边所对的角为直角；利用格点分别求出、、，可判断出是直角三角形，进而求出的余弦值. 【详解】解：∵由图可知，，，， ∴是直角三角形，且， ∵， ∴ 故选：D． 3．（23-24九年级上·浙江·阶段练习）综合实践活动中，某小组用木板自制了一个测高仪测量树高，测高仪为正方形，，顶点处挂了一个铅锤．如图是测量树高的示意图，测高仪上的点，与树顶在一条直线上，铅垂线交于点．经测量，点距地面，到树的距离，．则树的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形的应用，得到是解决问题的关键． 由题意可知，，，解直角三角形即可得到结论． 【详解】解：由题意可知，，， 则， ， ，， 则， ， ， 则， ， ． 故树的高度为， 故选：C． 二、填空题 4．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）在正方形网格中，的位置如图所示，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理、正切的定义、等面积法等知识点，灵活借助等面积法求线段的长度是解题的关键． 如图：分别过点A和点C作和的垂线，利用面积法求出垂线段的长，再利用正切的定义求解即可． 【详解】解：分别过点A和点C作和的垂线，垂足分别为M和N， 设正方形网格的边长为1，则， ∵， ∴，即， 在中，， ∴． 故答案为：． 5．（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 先根据正方形的性质得到，然后解求出，再分两种情况讨论，根据正切的定义求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，同理可得， ∴的长为或． 故答案为：或． 6．（2025·河南·模拟预测）在等腰直角中，，，D在直线上，且，连接，将线段绕点D按顺时针方向旋转得线段，连接．则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，三角函数，旋转的性质．分两种情况讨论：过点E作于点M，求出，即可． 【详解】解：如图，当D在的延长线上时，过点E作于点M，连接， 由旋转，得，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∴； 当D在的延长线上时，过点E作于点M，如图，连接， 同理可得：， ∴，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：或． 三、解答题 7．（2025·安徽·模拟预测）小杰要用自己学过的知识，测量自家居住的居民楼高度．在居民楼前方有一斜坡，坡长米，斜坡的坡比，小杰在C点处测得楼顶端A的仰角为，在D点处测得楼顶端A的仰角为，求楼高．（点A，B，C，D在同一平面内，结果精确到， 【答案】居民楼的高度约为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用－仰角俯角问题，坡度坡角问题，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，设，则，在中，由勾股定理求得，求得，据此得出，过点作，垂足为，根据题意可得：，然后设，则，分别在 和中，利用锐角三角函数定义求出和的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， ∵斜坡的坡比， ， 设，则， 在中，， ， ， 解得：， ， 过点作，垂足为， 由题意得：， 设， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ∴居民楼的高度约为． 8．（2024·江苏宿迁·三模）某小区为了方便业主，新建一个电动自行车车棚(如图)，其侧面的示意图如图所示，测得主立柱的一段，支柱的底端到的距离，顶棚处到支柱底端的水平距离，在处分别测得处的仰角为，处的仰角为．      (1)求支柱的高； (2)求顶棚处离地面的高度．(参考数据：，，，，，，结果精确到) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足为，在中，求出即可解决问题； （2）延长交与点，可得，在中，求出即可解决问题． 【详解】（1）解：过点作，垂足为，    由题意可知，四边形是矩形， ，， 在中， ， ， ， 支柱的高为． （2）延长交与点，可得，    由题意可知，四边形是矩形， ， ． ， 在中， ， ， ， 顶棚处离地面的高度约为． 9．（2025·江西·二模）图（1）是某公司定制的奖杯，图（2）是其抽象示意图，奖杯上镶嵌了一个正五角星，正五角星的顶点A与奖杯的顶点F一样高，点B，P，E，F在一条直线上，点A，Q，C在一条直线上，点A，P，D在一条直线上．已知， ，底座的高． (1)求 和 的度数； (2)求奖杯的总高度．（结果保留一位小数．参考数据：，，，，，） 【答案】(1) (2)约为厘米 【分析】（1）根据正五角星的特征和，结合等腰三角形和三角形内角和定理得出，根据，得出，根据，得出． （2）如图，过点作垂足为，根据（1）中角度和四边形内角和求出，则，在中，解直角三角形求出，再根据奖杯的总高度，求解即可． 【详解】（1）解：∵正五角星的各个顶角都相等，各条边都相等，， ∴， 又∵，， ． （2）解：如图，过点作垂足为， ， ， ∴， 在中，，， ， ∵， ∴奖杯的总高度， 答：奖杯的总高度约为． 【点睛】该题考查了解直角三角形的应用，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，四边形内角和等知识点，解题的关键是正确理解题意，掌握以上知识点． 10．（2025·山东青岛·模拟预测）【问题呈现】 如图①，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和和相交于点．求的值． 【方法归纳】 利用网格将线段平移得到线段，连接，得到格点，且，则就变换成中的． 【问题解决】 （1）图①中的值为___________． （2）如图②，在边长为1的正方形网格中，分别连接格点和与交于点，求的值． 【思维拓展】 （3）如图③，，垂足为，点在上，且，连接交的延长线于点，利用网格求的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）由题意可得，则，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （2）过点A作，连接，证明，在中，由锐角三角函数的定义可得出答案． （3）以为边长构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上，证明，再由锐角三角函数的定义可得出答案． 【详解】解：（1）由勾股定理得： ． ∴， ∴， ∵， ． 故答案为． （2）如图①，过点作， 连接，由图可知点在格点上， 由勾股定理得， ∴， ∴， ． （3）如图②，构造网格，过点作，连接，由图可知点在格点上， 同理可得：， 由勾股定理可得：， ． 【点睛】本题考查三角形综合题、平行线的性质、勾股定理及其逆定理的应用，二次根式的除法运算，锐角三角形函数的应用等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $