第一章 直角三角形的边角关系（必备知识+8大题型+分层训练）（复习讲义）数学北师大版九年级下册

第一章 直角三角形的边角关系（复习讲义） 1. 了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，体会直角三角形边角之间的整体联系。 2. 能熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并准确运用。 3. 理解解直角三角形的方法：已知斜边求直边用正、余弦；已知直边求直边用正切；已知两边求边用勾股定理、求角用函数关系；已知锐角求另一锐角用互余关系；已知直边求斜边用正、余弦。 4. 能用三角函数解决实际问题，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含义并用于分析实际情境。 一、锐角三角函数的定义 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b， 正弦：sinA=；余弦：cosA=；正切：tanA=． 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 α sinα cosα tanα 30° 45° 1 60° 三、解直角三角形 1．在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形． 2．解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C=90°，则： （1）三边关系：a2+b2=c2； （2）两锐角关系：∠A+∠B=90°； （3）边与角关系：sinA=cosB=，cosA=sinB=，tanA=； （4）sin2A+cos2A=1． 3．科学选择解直角三角形的方法口诀： 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便；已知直边求直边，理所当然用正切； 已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求斜边，用除还需正余弦. 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角． 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角． 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作i=． 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作α，i=tanα．坡度越大，α角越大，坡面越陡． 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角(或方位角)． 题型一　正弦、余弦、正切的概念辨析 【例1】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，下列选项中的关系式正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边．熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据三角函数的定义即可作出判断． 【详解】解：在中，， ∴，，，，故A、B、C错误， ，故D正确， 故选：D． 【变式1-1】（24-25九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，a，b，c分别为的对边，下列各式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查求角的三角函数值，根据锐角三角函数的定义，进行判断即可． 【详解】解：∵，a，b，c分别为的对边， ∴； 故成立的是选项B； 故选B． 【变式1-2】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习）如图，在中，于点，下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正切的概念辨析、余弦的概念辨析、正弦的概念辨析 【分析】本题考查锐角三角函数，根据锐角三角函数的定义，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ∴，故A选项错误； ，故B选项错误； ，故C选项正确； ，故D选项错误； 故选C． 【变式1-3】（2025·天津红桥·一模）如图，在中，，为边上一点，过点作，垂足为，则下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦的概念辨析、余弦的概念辨析、正切的概念辨析 【分析】本题考查解直角三角形，关键是掌握锐角三角函数定义．由锐角的三角函数定义，即可判断． 【详解】解：， ， 、，故不符合题意； 、结论正确，故符合题意； 、，故不符合题意； 、，故不符合题意． 故选：B． 题型二　求角的正弦值、余弦值、正切值 【例2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，，则的值为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的正弦值 【分析】本题主要考查勾股定理和锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义．首先由勾股定理求出的值，再由锐角三角函数的定义求出即可． 【详解】在中，， 且，， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， ． 【答案】 【知识点】三线合一、圆周角定理、求角的正弦值 【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、坐标与图形、正弦的定义等知识点，正确如图：作的外接圆，将求转换为求成为解题的关键． 如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆，由圆周角定理可得，再根据等腰三角形的性质可得，进而得到，然后根据勾股定理结合网格可得、，最后根据正弦的定义求得即可． 【详解】解：如图：先分别作的垂直平分线确定的外接圆， 由圆周角定理可得：， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【变式2-2】（24-25九年级上·山东淄博·期中）如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A，B，C，D都在这些小正方形的顶点上，相交于点P，则的值是 ． 【答案】 【知识点】在网格中判断直角三角形、求角的余弦值 【分析】本题考查了勾股定理和解直角三角形，连接和，通过证明四边形是平行四边形，得到，进一步证明，再根据勾股定理逆定理证明三角形是直角三角形，即可得到答案． 【详解】解：如下图所示，连接和， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴ 设小正方形的边长为1， 则,，， ∴， ∴三角形是直角三角形，且， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·上海·期中）如图，将矩形绕点C顺时针旋转，点A、B、D分别落在点、、处，如果，，那么的正切值是 ． 【答案】7 【知识点】根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解、求角的正切值 【分析】本题考查了矩形的性质和判定，三角函数，旋转的性质，解题的关键是正确的作出辅助线，综合运用以上知识；连接，延长交于E，证明四边形是矩形，根据矩形的性质分别求出，，再根据正切的定义求值即可． 【详解】解：如图，连接，延长交于E， 将矩形绕点C顺时针旋转， ，，，， 四边形是矩形， ，，， ，， 的正切值为， 故答案为：7． 题型三　已知正弦值、余弦值、正切值求边长 【例3】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，在中，，则的长度为 ． 【答案】6 【知识点】已知余弦求边长 【分析】本题主要考查了解直角三角形，根据余弦的定义可得据此计算求解即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 故答案为：6． 【变式3-1】（24-25九年级上·上海闵行·期中）在中，，如果，，那么 ． 【答案】4 【知识点】已知正切值求边长 【分析】本题考查锐角三角函数的定义，利用正切的定义计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 【变式3-2】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）如图，在矩形中，，垂足为点E．若，，则的长为 ． 【答案】5 【知识点】利用矩形的性质证明、已知正弦值求边长 【分析】本题考查矩形的性质、正弦的定义、同角的余角相等．根据同角的余角相等，得到，再根据正弦定义即可解得的长． 【详解】解：在矩形中，， ， ， ， ， ， 故答案为：5． 【变式3-3】（24-25九年级上·黑龙江哈尔滨·期中）在中，，，点为直线上一点，若，，则的面积为 ． 【答案】3或21 【知识点】根据等角对等边求边长、用勾股定理解三角形、已知正弦值求边长 【分析】本题考查了解直角三角形，等腰三角形的判定，勾股定理等知识，掌握正弦定义是关键；画出图，由，设，由勾股定理求得；分点D在线段上与点D在线段的延长线上两种情况，利用等腰三角形的判定及勾股定理求得x的值，即可求得，则可计算的面积． 【详解】解：∵，， ∴设， 则由勾股定理求得； 当点D在线段上时，如左图； ∵，， ∴， ∴； ∴由勾股定理得； ∵， ∴， 即， ∴，， ∴， ∴； 当点D在线段的延长线上时，如右图； 同理得：， ∴，， ∴， ∴； 综上，的面积为3或21； 故答案为：3或21． 题型四　特殊角的三角函数值的混合运算 【例4】（24-25九年级上·山东聊城·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数的混合运算，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键， （1）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案； （2）直接利用特殊角的三角函数值代入，进而计算得出答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式4-1】（24-25九年级上·山东潍坊·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【知识点】特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题考查特殊角的三角函数值的混合运算，熟记特殊三角函数的值是解答本题的关键． （1）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答； （2）把特殊角的三角函数值代入进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式4-2】（24-25九年级上·山东聊城·阶段练习）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】实数的混合运算、零指数幂、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了特殊角的三角函数值的混合运算，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． （1）将特殊角的三角函数值代入进行计算即可； （2）根据零指数幂运算法则，绝对值意义，特殊角的三角函数值进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东淄博·阶段练习）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2） 【知识点】零指数幂、负整数指数幂、二次根式的混合运算、特殊角三角函数值的混合运算 【分析】本题主要考查了含特殊角的三角函数值、算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、化简绝对值等知知识，熟练掌握相关运算法则是解题关键． （1）首先进行特殊角的三角形函数值运算、算术平方根运算、零指数幂运算，再进行乘方和乘法运算，然后相加减即可； （2）首先进行负整数指数幂运算、特殊角的三角形函数值运算以及化简绝对值，再进行乘法运算，然后相加减即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 题型五　由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例5】（2025·四川自贡·一模）在中，若满足，则是 三角形． 【答案】等边/正 【知识点】绝对值非负性、等边三角形的判定、由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值；非负数的性质，等边三角形的判定．熟知特殊角的三角函数值是关键．先根据非负数的性质及特殊角的三角函数值和，即可作出判断． 【详解】解：根据题意得：且， 则， ∴， ∴是等边三角形． 故答案为：等边． 【变式5-1】（23-24九年级上·山东威海·阶段练习）在中，若，，都是锐角，则的形状是 ． 【答案】钝角三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的形状是钝角三角形； 故答案为钝角三角形． 【点睛】本题主要考查特殊三角函数值，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 【变式5-2】在中，若，则是 ． 【答案】等腰直角三角形 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据题意可得，．据此即可求得答案． 【详解】根据题意，得 ，． 可得 ，． 则 ． 所以，． 所以，为等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角三角形． 【点睛】本题主要考查锐角三角函数、等腰三角形的判定，牢记，，的锐角三角函数值是解题的关键． 【变式5-3】在中，、都是锐角，且，则的形状是 三角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）． 【答案】直角 【知识点】由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【分析】根据绝对值和偶次幂的非负性，结合特殊角的三角函数值求得、的度数，从而作出判断． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， ∴、， ∴在中，， ∴是直角三角形， 故答案为：直角． 题型六　解直角三角形的相关计算 【例6】（24-25九年级上·上海杨浦·期中）如图，在中，，，，求的长． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，过点A作，交的延长线于点H，则，先求出，进而求出，设，则，列方程求出x值，即可求出结论． 【详解】解：如图，过点A作，交的延长线于点H，则． ， ， ， ∵， 设，则， ， ， 设，则， ， ∵． ∴， 解得：， ， ． 【变式6-1】（24-25九年级上·上海崇明·期中）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、求角的余弦值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查直角三角形，解题的关键是熟练运用勾股定理以及锐角三角函数的定义． （1）根据锐角三角函数的定义即可求出答案； （2）根据勾股定理求出，然后根据余弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，，， ∴，即 ∴； （2）∵，， ∴ ∴． 【变式6-2】（24-25九年级上·上海·期中）如图，在中，．点D在边上，． (1)求的长； (2)求的正切值． 【答案】(1)5 (2) 【知识点】用勾股定理解三角形、相似三角形的判定与性质综合、求角的正切值、解直角三角形的相关计算 【分析】本题考查解直角三角形及相似三角形的性质与判定． （1）过D作于点E，由等腰三角形的性质可得，再结合求出，，最后根据求解即可； （2）过点B作于点F，则，得到，求出，，再证明，得到，最后根据求解． 【详解】（1）解：如图，过D作于点E， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴，， ∵， ∴； （2）解：如图，过点B作于点F， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（24-25九年级上·上海虹口·期中）已知：，，，设． (1)求的长； (2)求的值； (3)设，求的值． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形、解直角三角形的相关计算 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，角平分线的性质，理解三角函数的定义和作出辅助线是解题关键． （1）直接利用正弦函数的定义求解即可； （2）利用勾股定理求得的长，利用正切函数的定义求解即可； （3）作的平分线，作于点，证明，求得，，设，则，在中，由勾股定理得列式计算求得，再利用正切函数的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴； （3）解：作的平分线，作于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，即， ∵， ∴， ∴． 题型七　利用三角函数解决实际应用问题 【例7】（25-26九年级上·山东·阶段练习）为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图①所示是一辆自行车的实物图，车架档与垂直且，，座杆的长为，点、、在同一条直线上，且，，如图②． (1)求车架档的长； (2)求车座点到车架档的距离．（结果保留根号） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形的应用：先从实物图中抽象出几何图形，然后构造出直角三角形，利用勾股定理和锐角三角函数的定义进行计算求出未知的线段与角； （1）由得到，在中，，，然后根据勾股定理即可计算出； （2）过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点作，在中求出、，在中求出，然后求出，在中求出，最后利用求出的长． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 又∵ ∴， ∴， 即车架档的长为. （2）解：过点作于点，则的长度即为车座点到车架档的距离，过A点作，过C点，如图所示， ∵在中，，， ∴， 又∵由（1）得：， ∴在中，， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∴在中， ∵，， ∴， ∴ ∴ 又∵， ∴， ∴ 故车座点到车架档的距离为． 【变式7-1】（25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试）如图，大楼上悬挂一条幅，小颖在坡面处测得条幅顶部的仰角为，沿坡面向下走到坡脚处，然后向大楼方向继续行走米来到处，测得条幅的底部的仰角为，此时小颖距大楼底端处米．已知坡面米，山坡的坡度即且、、、、、、在同一平面内，、、在同一条直线上． (1)求点距水平面的高度？保留根号 (2)求条幅的长度？结果精确到1米参考数据： 【答案】(1)米 (2)米 【分析】此题是解直角三角形的应用—仰角，俯角问题，主要考查了仰角、坡度的定义，能够正确地构建出直角三角形，将实际问题化归为解直角三角形的问题是解答此类题的关键． （1）利用坡度和直接求出点距水平面的高度； （2）借助（1）得出的结论，可求出的长，在直角三角形中，可求出的长，进而可求出的长，在直角三角形中可求出的长，利用计算即可． 【详解】（1）如图，过点作于， 在中，坡面米，山坡的坡度， ， ， 米，米； 点距水平面的高度为米． （2）如图，过点作于， 由（1）知，米，则米， 米，， 米， 米， ， 米， 米， 答：条幅的长度是米． 【变式7-2】（25-26九年级上·重庆·阶段练习）为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展，张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点在张老师学校点的正北方200米处，王老师学校点在点的正东方600米处，点在点的东北方向，点在点的正东方，总校点在点的正北方，点在点的北偏东方向（参考数据：， (1)求的长度；（结果精确到1米） (2)张老师的路线是从点步行至点再乘坐公交车前往点，假设张老师步行的平均速度为80米/分，公交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略不计），王老师全程步行，他从点经过点买水（买水时间忽略不计）再前往点，假设王老师步行平均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点呢？说明理由． 【答案】(1)的长度为283米 (2)王老师先到总校点，理由见解析 【分析】本题主要考查了方位角、等腰直角三角形、解直角三角形、勾股定理等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键， （1）如图：过点作交于点，由题意得：米，米，易得是等腰直角三角形，则米，再利用勾股定理求解即可； （2）由题意可得米，再求得，然后解直角三角形可得（米）、（米）；再根据时间、路程、速度的关系求得张老师、王老师所用的时间，然后再比较即可解答． 【详解】（1）解：如图：过点作交于点， 由题意得：米，米， ， 是等腰直角三角形， 米， （米）． 答：的长度为283米． （2）解：， 米， 点在点的北偏东方向， ， （米），（米）， 张老师花费时间 王老师花费时间（分） 王老师花费时间更少 答：王老师先到总校点． 【变式7-3】（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）图（1）是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其侧面可抽象成图（），支架连接靠背和小桌板，点是杯托处，此时靠背垂直于地面，小桌板平行于地面，测得，．(参考数据：，，，) (1)图（2）中，___________°； (2)靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置，如图（），杯托处凹陷深度为，若此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点）． ①； ②求乘客水杯的最大高度． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题主要考查了解直角三角形的相关应用，平行线的性质等知识． （1）过点作，由平行线的性质得出，由已知条件得出，进而可求出． （2）①根据题意可知代入计算即可． ②过点作的垂线交于点F，通过解，求出，再加上即可求出答案． 【详解】（1）解：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． （2）解：①当靠背可以绕点旋转至与小桌板支架重合的位置， 由（1）知， ∴， 故答案为：． ②如图，过点作的垂线交于点F， 在中， ． 答：乘客水杯的最大高度约为． 题型八　利用三角函数解决特殊四边形中的综合问题 【例8】（2025·宁夏·模拟预测）在平行四边形中，连接，，将沿着对角线翻折，使点D落在处，连接，与交于E，连接． (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)若平行四边形的周长为32，，求四边形的面积． 【答案】(1)矩形，理由见解析 (2)48 【分析】本题考查了矩形的判定与性质，平行四边形的性质，勾股定理，解直角三角形的性质，折叠性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由折叠的性质得，；根据平行四边形的性质得，再证明四边形是平行四边形，运用有一个角是直角的平行四边形是矩形进行解答即可． （2）根据平行四边形的性质得，，则，再运用勾股定理得，得出，，即可算出四边形的面积． 【详解】（1）解：四边形是矩形．理由如下： 根据折叠性质，得，； ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2）解：∵平行四边形的周长为32， ∴，， ∵， ∴ 设，， 则， ∴， ∴， ∴，， 由（1）得出四边形是矩形． 四边形的面积为． 【变式8-1】（2025·浙江温州·三模）如图，在平行四边形中，连结，点是上一点，连结，，已知． (1)求证：四边形为菱形． (2)记菱形的面积为，四边形的面积为．若，，．求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质和判定、全等三角形，勾股定理；灵活利用题干条件，根据面积公式、三角函数定义确定线段间的数量关系是解题的关键． （1）设交于点，根据，得出，即可得证； （2）根据，得出，进而求得，根据得出，勾股定理求得，则，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，设交于点， ∵四边形是平行四边形， ∴ 又∵ ∴ ∵是上一点， ∴， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∵ ∴ ∴ 设， ∵，则 ∴ 解得：，即 中， ∴ ∴ 中， ∴，解得 ∴ ∴中，． 【变式8-2】（2025·北京房山·二模）如图，在平行四边形中，点是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：四边形是矩形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质与判定，正切的定义，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键； （1）先证明，进而得出，根据平行四边形的性质可得，根据等腰三角形的性质可得，进而证明四边形是矩形； （2）根据正切的定义得出，进而在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， 点是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形． （2）解：， ． ． 四边形是矩形， ． ， ． 在中，， 【变式8-3】（2025·湖北·三模）如图1，是矩形的对角线，作交于点F，交于点E． (1)求证：； (2)如图2，点G是矩形边上一点，连接，过点D作交于点E，，若，探究的值； (3)【拓展探究】如图3，将上述“矩形”改为“平行四边形”，作交于点E，，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据同角的余角相等得出，即可证明； （2）设，，，根据得出，即可求解； （3）过点B作交于点G，设，，得；先证出得；再证得出，，再结合勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：设，，， 由（1）知， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍）， ∴； （3）解：过点B作交于点G， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 设，， 由勾股定理得， ∵， ∴， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即，， ∴，， 由勾股定理得，， ∴， 解得， ∴． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（25-26九年级上·吉林长春·阶段练习）在中，，若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了解直角三角形，掌握其相关知识点是解题的关键．根据正切的定义先表示出，，再根据勾股定理求出，然后根据正弦的定义解答即可． 【详解】解：如图，在中，，， 设，，根据勾股定理得： ， 故选：B． 2．（24-25九年级上·辽宁大连·阶段练习）在中，，则下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义和勾股定理．先利用勾股定理计算出，然后根据三角函数的定义对各选项进行判断． 【详解】解：∵， ∴， ∴，，， ． 故选项D符合题意． 故选：D． 3．（2025·江苏南通·中考真题）在中，，则的长为（   ） A．1 B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据直角三角形中正切函数的定义，结合已知条件求出的长．本题主要考查直角三角形中锐角三角函数的定义，熟练掌握正切函数的定义（为锐角，对边是，邻边是 ）是解题的关键． 【详解】解：在中，， ，， ∴ ． ∴ ． 故选：． 4．（24-25九年级下·福建莆田·阶段练习）若中，所对的边是c，所对的边是b，满足，则是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【分析】本题考查了等边三角形的判定，非负数的性质，特殊角的三角函数值，先根据非负数的性质得，且，进而得，且，，据此可得出的形状． 【详解】解：∵，，， ∴，且， ∴，且， ∴， ∴是等边三角形， 故选：C． 二、填空题 5．（2026九年级·河北·专题练习）在中，，则 ， ． 【答案】 【分析】此题主要考查了锐角三角函数，解题的关键是掌握余弦、正切的定义． 根据勾股定理计算出长，再根据余弦、正切定义可得答案． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴，． 故答案为：，． 6．（25-26九年级上·江苏无锡·阶段练习）如图，在中，，，，点是的中点，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了直角三角形的边角间关系及直角三角形斜边上的中线与斜边的关系．掌握直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，是解决本题的关键． 先根据锐角三角函数的边角间关系，求出的长，再根据直角三角形的斜边中线与斜边的关系得结论． 【详解】  解：在中，   ∵，，   ∴．   ∵M是的中点，   ∴， 故答案为3 7．（25-26九年级上·辽宁大连·期中）如图，平面直角坐标系中有一菱形，满足．一反比例函数经过点C且交线段于点P，那么 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求法、坐标与图形性质、菱形的性质、三角函数． 过作，设，则，可得点C的坐标，进而求出反比例函数解析式，设，根据的正切列方程求出m值即可解题． 【详解】解：如图，过作， ， ， 不妨设，则， ∴， ∴反比例函数解析式为， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 设， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，在中，，点D在边上，连接，若，，，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】过点B作，交的延长线与E，先证明，进而可得，则根据等角对等边可得，然后设，则有，再证明，利用相似三角形对应边的比相等的性质求解即可． 【详解】解：过点B作，交的延长线于E， ， ， ， ， 又， ， ； ，， ， ， ， ，即， ，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理的应用，等角对等边，解直角三角形等知识，难度适中，正确作出辅助线是解答本题的关键． 三、解答题 9．（25-26九年级上·山东威海·阶段练习）已知是锐角，且． 求的值． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数和实数的混合运算，熟知特殊角的三角函数值是解题的关键； 先根据是锐角和得出，再代入所求式子结合特殊角的三角函数值求解即可． 【详解】解：∵是锐角，且， ∴， ∴ ． 10．（25-26九年级上·山东东营·阶段练习）如图，在中，，是边上的中线，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理． （1）先利用勾股定理求出、，再利用线段的和差关系求出，最后利用线段中点求出； （2）先利用线段的和差关系求出，再利用勾股定理求出，最后利用直角三角形的边角间关系得结论． 【详解】（1）解：在中， ∵，， ∴． 在中， ∵， ∴， ∴． ∵是边上的中线， ∴； （2）解：在中， ∵， ∴， ∴． 11．（25-26九年级上·山东·阶段练习）现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成，A、B、C三点在同一直线上，图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线l平行，与l的夹角为，与l的夹角为．经测量：为，为，为，，． (1)填空： ， ； (2)已知点E到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】(1)64，53 (2)此时伸缩杆的长度约为 【分析】本题考查了直角三角形的应用，灵活运用锐角三角函数求解即可． （1）延长交于G点，延长交于H点，则，，利用三角形外角的性质求出，再利用平角的定义求出即可； （2）在中，利用三角函数求出，进而得出，再得到，再在中求解即可． 【详解】（1）解：如图，延长交于G点，延长交于H点， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：64，53； （2）解：∵，， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵， ∴， ∵在中，，， ∴， 答：此时伸缩杆的长度约为． 12．（2025·广东东莞·一模）如图，小明为测量宣传牌的高度，他站在距离建筑楼底部E处6米远的地面C处，测得宣传牌的底部B的仰角为．同时测得建筑楼窗户D处的仰角为（A、B、D、E在同一直线上）后，小明沿坡度为的斜坡从C走到F处，此时正好与地面平行，小明在F处又测得宣传牌顶部A的仰角为． (1)填空： ______度， ______度； (2)求F距离地面的高度（结果保留根号）； (3)求宣传牌的高度（结果保留根号）． 【答案】(1)， (2)米 (3)米 【分析】此题考查了解直角三角形的应用． （1）由题意，得，，则，，即可由，求解； （2）过点作于，先证明四边形是矩形，得，解，求出的长，即可求解； （3）解，求得米，再根据是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：由题意，得， ， ， 由题意，得， ， ； （2）如图，过点作于， 由题意得，， 四边形是矩形， ， 在中，米， 米， 答：距离地面的高度为米； （3）解：斜坡的坡度为， 在中，米， 米， 在中，， 米， 在中，米， 米． 答：宣传牌的高度约为米． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中， ，若，则的值为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查解直角三角形，根据正切的定义，设，，勾股定理得到，再根据正弦的定义，进行求解即可． 【详解】解：∵在中， ，， ∴， ∴设，， ∴， ∴； 故选：B． 2．（24-25九年级下·北京海淀·开学考试）如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼的高度（   ） A．m B．m C．m D．m 【答案】D 【分析】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 过点作，垂足为，根据题目中的数据和锐角三角函数，可以求得和的长从而可以得到的长． 【详解】解：过点作，垂足为，由题意可得， ∵， ， 在中，（m）， 在 中，（m）， ∴（m）， 故选：D． 3．（24-25九年级下·贵州黔东南·阶段练习）如图所示，如图，在中，，，，过点作，垂足为，连接，则　　 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，平行四边形的性质，勾股定理等知识，综合应用知识是解决本题的关键．根据， ，可得长度，已知，根据勾股定理可得，在中，可求，因为，可得题目所求． 【详解】解：，，， ， 在中， ，， ，， ， ． 故选：A． 4．（2025·广西来宾·三模）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，M、N均在反比例函数上，若点M的纵坐标为4，，，则k的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点M、N作，垂足为A，交y轴于点B．首先由得到，为等腰直角三角形，然后证明出，得到，点N的坐标为，进而求解即可． 【详解】过点M、N作，垂足为A，交y轴于点B． ∵，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴， ∴， ∵M、N在反比例函数上，由图像得， ∴， ∴点N的坐标为． ∴， 解得或（舍去）． 故选：C． 【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合，反比例函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质和判定，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 二、填空题 5．（2025·福建福州·模拟预测）如图，在中，，A，B，C分别为直线a，b，c上的点，且直线，与直线b交于点D，若，，，则直线a与直线b之间的距离是 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，熟练掌握相似三角形的判定与性质，灵活运用锐角三角函数定义及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 过B作直线b于点E，过A作直线b于点F，解得，，则，证明，在中，根据，设，，由勾股定理得，则，再证明和相似，利用相似三角形性质得，继而得，由此可得直线a与直线b之间的距离． 【详解】解：过点B作直线b于点E，过点A作直线b于点F，如图所示： 在中，，， ， ， 由勾股定理得：， ， ， ，直线b于点F， ，， ， ， 在中，， 设，， 由勾股定理得：， ， 直线b于点E，直线b于点F， ， ， ， 即， ， 解得：， ， 直线a与直线b之间的距离是 故答案为：． 6．（2025·江苏南通·模拟预测）如图，为安全起见，幼儿园打算加长滑梯，将其倾斜角由降至．已知滑梯的长为，点，，在同一水平地面上，那么加长后的滑梯的长是 m． 【答案】 【分析】先在含角的直角三角形中求出的长度，再在含角的直角三角形中利用角的性质求出的长度．本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义及角的直角三角形性质是解题的关键． 【详解】解：在中，，， ，， （）． 在中，， （）． 故答案为： ． 7．（2025·浙江·模拟预测）如图，，，，，点C在线段BD上且，，则CD的长为 ． 【答案】 【分析】在上找一点F，使，过A作于点G，根据相似三角形的判定得出∽，进而利用相似比求解即可． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形等内容，构造相似三角形是解题的关键． 【详解】解：如图，在上找一点F，使，过A作于点G， ，且， ， ， ，， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ∽， ，即， 解得， 故答案为： 8．（2025九年级上·上海·专题练习）如图1，是一幅椅子和花架相互转化的实物图．放置在水平地面上的椅子示意图如图2所示，在矩形中，点在上，点，在上，是的中点，隔板，分别交于点，，现将该椅子的左边部分绕着点顺时针旋转得到一个花架，如图3所示，此时点落在地面上的点处，点，的对应点分别为点，，已知，，，则点离地面的距离是 ；若点，，在同一直线上，，则隔板的长是 ． 【答案】 92 【分析】①根据点与点关于点成中心对称，知点到的距离等于点到的距离，从而得出点离地面的距离为，②连接交于点，过点作于点，利用，设中边上的高为，则边上高为，可得，再利用，得，再利用三角形中位线定理可得答案． 【详解】解：①将该椅子的左边部分绕着点顺时针旋转后点落在地面上的点处， 点与点关于点成中心对称， 点到的距离点到的距离， 四边形为矩形， 点到的距离等于的长， ， 点离地面的距离是， ②如图，连接交于点，过点作于点， 四边形为矩形， ，， ，， ， ， ， 四边形为矩形， ，， 在中，， ， ， ， ， 设中边上的高为，则中边上高为， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， 是的中点， ， ， ， ，， ， 故答案为：92；． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，中心对称图形的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数，三角形中位线定理等知识，读懂题意，作辅助线构造相似三角形是解题的关键． 三、解答题 9．（25-26九年级上·广东深圳·阶段练习）如图，在中，，，． (1)求的长； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查等腰三角形的三线合一的性质，解直角三角形的相关计算． （1）证明，根据求出，进一步可得． （2）求解，，进一步即可得出． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，，， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴． 10．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图，一艘轮船在处测得灯塔位于的北偏东方向上，轮船沿着正北方向航行20海里到达处，测得灯塔位于的北偏东方向上，测得港口位于的北偏东方向上．已知港口在灯塔的正北方向上．    (1)填空： 度， 度； (2)求灯塔到轮船航线的距离（结果保留根号）； (3)求港口与灯塔的距离（结果保留根号）． 【答案】(1)30，45 (2)灯塔到轮船航线的距离为海里 (3)港口与灯塔的距离为海里 【分析】（1）作交于，作交于，由三角形外角的定义与性质可得，再由平行线的性质可得，即可得解； （2）作交于，作交于，由（1）可得：，从而得到海里，再由进行计算即可； （3）作交于，作交于，证明四边形是矩形，得到海里，，由计算出的长度，证明是等腰直角三角形，得到海里，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，作交于，作交于，   ， ， 都是正北方向， ， ， ， 故答案为：30，45； （2）解：如图，作交于，作交于， 由（1）可得：， 海里， 在中，，海里， 海里； 灯塔到轮船航线的距离为海里； （3）解：如图，作交于，作交于， ，，、都是正北方向， 四边形是矩形， 海里，， 在中，，海里， 海里， 在中，， 是等腰直角三角形， 海里， 海里， 港口与灯塔的距离为海里． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义与性质，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线，构造直角三角形是解题的关键． 11．（25-26九年级上·山东淄博·阶段练习）如图．已知中，，是斜边上的中线，过点A作，分别与，相交于点H，E，． (1)求证：； (2)求的值； (3)如果 ，求的值． 【答案】(1)详见解析 (2) (3)3 【分析】（1）首先得到，求出，然后证明出，即可证明； （2）首先得到，，等量代换得到，然后利用勾股定理表示出，进而求解即可； （3）首先由得到，然后得到，设，则，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，是斜边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵， 由勾股定理得， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 设，则，则， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了直角三角形斜边中线的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，求角的正弦值等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 12．（2025·江苏常州·模拟预测）在平行四边形中，点，分别在边，上． 【尝试初探】（1）如图，若平行四边形是正方形，为的中点，，求的值； 【深入探究】（2）如图，，，，求的值； 【拓展延伸】（3）如图，与交于点，，，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】（1）证明，由为中点得到，则，得到，，即可得到答案； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，证明都是等腰直角三角形，则，证明，即可得到答案； （3）延长，交于点点，过点作于，过点作交延长线于，利用解直角三角形和相似三角形的判定和性质进行证明即可． 【详解】解：（1）∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）过点作于点，过点作交延长线于点，连，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴ ∵， ∴， ∵都是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）延长，交于点，过点作于，过点作交延长线于， ∵平行四边形， ∴， 不妨设，，则， 由，得， ∵， ∴， 设， 则由勾股定理得， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第一章直角三角形的边角关系（复习讲义） 单元目标聚焦·明核心 1.了解锐角三角函数（正弦、余弦、正切)的定义，体会直角三角形边角之间的整体联系。 2.能熟记30°、45°、60°特殊角的三角函数值，并准确运用。 3.理解解直角三角形的方法：已知斜边求直边用正、余弦；已知直边求直边用正切；已知两边求边用勾股 定理、求角用函数关系；已知锐角求另一锐角用互余关系；已知直边求斜边用正、余弦。 4.能用三角函数解决实际问题，掌握仰角、俯角、坡度、坡角、方向角（方位角）的含义并用于分析实际 情境。 知识图谱梳理·固基础 1.正弦 2余弦 锐角三角函数的定义 3.正切 30° 459 特殊角的三角函数值 600 直角三角形的边角关系 已知斜边求直边，正弦、余弦很方便：已知直边 求直边，理所当然用正切 已知两边求一边，勾股定理最方便：已知两边求 一角，函数关系要记牢 解直角三角形 已知锐角求锐角，互余关系不能少；已知直边求 斜边，用除还需正余弦 仰角和俯角 坡度和坡角 三角函数的应用 方向角（或方位角） 教材要点精析•夯重点 一、锐角三角函数的定义 1/17 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=C,BC=a,AC=b, 正弦：sinA= ∠A的对边=a ∠A的邻边b ;余弦：cos4= ;正切：tan4= ∠A的对边 斜边 斜边 c 邻边 b 根据定义求三角函数值时，一定根据题目图形来理解，严格按照三角函数的定义求解，有时需要通过辅助 线来构造直角三角形. 二、特殊角的三角函数值 sin a cos a tan a 30 5 2 2 3 45 √2 2 2 2 60 1 √ 2 2 三、解直角三角形 1.在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中除直角外的已知 元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形 2.解直角三角形的常用关系：在Rt△ABC中，∠C-90°，则： (1)三边关系：a2+b2=c2: (2)两锐角关系：∠A+∠B=90°； (3)边与角关系：sn4=cosB=,co4=mB=b,tan4=C b b (4)sin2A+cOS2A4=1. 3.科学选择解直角三角形的方法口诀： 己知斜边求直边，正弦、余弦很方便；己知直边求直边，理所当然用正切： 己知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要记牢； 已知锐角求锐角，互余关系不能少；己知直边求斜边，用除还需正余弦. 2/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 四、三角函数的应用 1.仰角和俯角 仰角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫做仰角. 俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的角叫做俯角. 2.坡度和坡角 坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的坡度（或坡比），记作 坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a,tana.坡度越大，a角越大，坡面越陡. 3.方向角（或方位角） 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90°的水平角叫做方向角（或方位角）. 北北偏东30度 309 北偏西70度 70 东 4550° 西南方向「南偏东50度 考点题型突破，拓思维 题型一正弦、余弦、正切的概念辨析 【例1】(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨期中)在ABC中，∠C=90°，下列选项中的关系式正确的是() A.sind=4C B.cosB= BC C.tanA= D.AC=AB.cosA AB BC AB 【变式1-1】(24-25九年级上·吉林长春阶段练习)在ABC中，∠C=90°，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的 对边，下列各式成立的是() A.sinB=a B.tan B=b C.cosA=4 C D.cos 【变式1-2】（23-24九年级上·贵州铜仁·阶段练习)如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于点D, 下列结论正确的是() B A.sinB=AC AB B.CosC=4 CD C.sinC=4B D.tanC=AD BD 3/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-3】(2025·天津红桥一模)如图，在RIAABC中，∠ABC=90°，D为边AB上一点，过点D作 DE1AC,垂足为E,则下列结论中正确的是() C E A D B A.sinA=BC B B.Cos4= AD C.tand=BC AD D.tand= BC 题型二求角的正弦值、余弦值、正切值 【例2】(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4,BC=3,则sin∠B的 值为」 【变式2-1】(2425九年级上·河北石家庄阶段练习)如图，A、B、C三点在正方形网格线的交点处， sin∠BAC= 6 5 4 3 2 C 可123456衣 【变式2-2】(24-25九年级上山东淄博·期中)如图，在边长相同的小正方形组成的网格中，点A,B,C, D都在这些小正方形的顶点上，AB,CD相交于点P,则cos∠BPC的值是 【变式2-3】(24-25九年级上·上海期中)如图，将矩形ABCD绕点C顺时针旋转90°，点A、B、D分别 落在点A、B、D处，如果AB=3,BC=4,那么∠AA,D,的正切值是 D 4/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 题型三己知正弦值、余弦值、正切值求边长 24-25九年级上黑龙江大庆阶段练习)如图，在R1△ABC中，∠C=90°，cosB=,AB 则BC的长度为_cm 【变式3-1】(24-25九年级上·上海闵行期中)在Rt△ABC中，∠C=90°，如果tanB=2,BC=2,那么 AC= 【变式3-2】(24-25九年级上·黑龙江哈尔滨阶段练习)如图，在矩形ABCD中，DE1AC,垂足为点E.若 如乙AD6,A0=4,则AC的长为二 D B 【变式33】(2425九年级上黑龙江哈尔滨期申)在R1△A8C中，∠C=90,simA=号，点D为直线 AC上一点，若∠BDC=45°，BD=6cm,则△ABD的面积为cm2. 题型四特殊角的三角函数值的混合运算 【例4】(24-25九年级上山东聊城期中)计算： (1)tan45°-cos45°； (2)c0s60°+- sin45°+tan30°.cos30°. 2 【变式4-1】(24-25九年级上山东潍坊期中)计算： (1)V8-2sin45°+2cos60° (2)2cos45°+4sin30°c0s30°-tan60° 【变式4-2】(24-25九年级上山东聊城阶段练习)计算： (1)2sin30°+4c0s30°.tan60°-c0s245 (2)-2)'-3tan30°+tan60°-2. 5/17 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式43】(24-25九年级上山东淄博阶段练习)(1)计算：sin245°-√27+×√5-2006°+6tan30°： 2 (2)计算： 3tan30°+V5-2: 题型五由特殊角的三角函数值判断三角形形状 【例5】(2025四川自页一模)在48C中，若乙A∠B满足sim4-+}cosB0,则4BC是 三角形. 【变式5-1】(23-24九年级上山东威海阶段练习)在ABC中，若sinA 22 ∠B都是锐角，则ABC的形状是 【变式5-2】在ABC中，若V2sinA-1 2 cosB=0,则ABC是_ 【变式5-3】在ABC中，∠A、∠B都是锐角，且2sinA-1+V3-tanB)=0,则ABC的形状是三 角形（填“等腰”、“等边”或“直角”）· 题型六解直角三角形的相关计算 【例6】(2425九年级上上海杨浦期中)如图，在ABC中，∠C=120°，8C=4,sinB= 5,求AC的 长 【变式61】(24-25九年级上上海崇明期中)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，4C=2,anB= B (1)求BC的长； (2)求c0sA的值. 6/17 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3 【变式6-2】(2425九年级上：上海期中)如图，在4BC中，4C=16,si∠BCA=亏点D在边BC上 CD=2BD,AD=CD B D (I)求BD的长； (2)求∠CAB的正切值 3】(2425九年级上上海虹口期中)已知：ABC,L4C8=90,sim∠ABC,设A B (1)求AB的长： (2)求tan ZABC的值； (3)设∠ABC=2a,求tana的值. 题型七利用三角函数解决实际应用问题 【例7】(25-26九年级上山东·阶段练习)为倡导“低碳生活”，人们常选择以自行车作为代步工具，如图① 一辆自行车的实物图，车架档4C与CD垂直且CD=64cm,sinD=,座杆CE的长为20cm 、 C、E在同一条直线上，且∠CAB=75°，∠B=45°，如图②. B 图① 图② (1)求车架档AC的长； (②)求车座点E到车架档AB的距离.（结果保留根号） 7117 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式7-1】(25-26九年级上·黑龙江大庆·开学考试)如图，大楼AN上悬挂一条幅AB,小颖在坡面D处 测得条幅顶部A的仰角为30，沿坡面向下走到坡脚E处，然后向大楼方向继续行走10米来到C处，测得条 幅的底部B的仰角为45，此时小颖距大楼底端N处20米.已知坡面DE=20米，山坡的坡度i=1:√3（即 tan∠DEM=I:V3),且D、M、E、C、N、B、A在同一平面内，E、C、N在同一条直线上， 大楼 D30°. 45o C (1)求D点距水平面EN的高度？（保留根号） (2)求条幅AB的长度？（结果精确到1米）（参考数据：√5≈1.73，√2≈1.41） 【变式7-2】(25-26九年级上·重庆阶段练习)为加强凤中教共体教师联合教研，促进教育优质均衡发展， 张老师和王老师从各自学校出发前往总校参加数学联合教研活动，经勘测，如图，公交站点C在张老师学 校点A的正北方200米处，王老师学校点B在点A的正东方600米处，点D在点B的东北方向，点D在点 C的正东方，总校点E在点D的正北方，点E在点C的北偏东60°方向（参考数据：√2≈1.414， √3≈1.732) 北 东 160° D 45% B (1)求BD的长度；（结果精确到1米） (②)张老师的路线是从点A步行至点C再乘坐公交车前往点E,假设张老师步行的平均速度为80米/分，公 交车匀速行驶且速度为250米/分，公交车行驶途中，上下客合计耗时2分钟（张老师上车和下车时间忽略 不计)，王老师全程步行，他从点B经过点D买水（买水时间忽略不计）再前往点E,假设王老师步行平 均速度为100米/分，请问张老师和王老师谁先到达总校点E呢？说明理由. 【变式7-3】(25-26九年级上·吉林长春阶段练习)图(1)是高铁座椅靠背及小桌板打开时的实物图，其 侧面可抽象成图(2)，支架BC连接靠背AB和小桌板CD,点E是杯托处，此时靠背AB垂直于地面，小 桌板CD平行于地面，测得CE=10cm,∠ABC=35°.（参考数据：tan35°≈0.70，tan55°≈1.43， sin35°≈0.57，sin55°=0.82) 8/17 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A C E D CE D B 图(1) 图(2) 图(3) (I)图(2)中，∠BCD= (2)靠背AB可以绕点B旋转至与小桌板支架CB重合的位置，如图（3)，杯托E处凹陷深度为0.7cm,若 此时乘客的水杯能竖直放在杯托处（点E)· ①∠ACD= ②求乘客水杯的最大高度. 题型八利用三角函数解决特殊四边形中的综合问题 【例8】(2025宁夏·模拟预测)在平行四边形ABCD中，连接AC，∠BAC=90°，将△ACD沿着对角线 AC翻折，使点D落在D处，连接AD',AD'与BC交于E,连接BD', B D' (I)试判断四边形ABD'C的形状，并说明理由； (2)若平行四边形ABCD的周长为32，sin/D=0.8,求四边形ABD'C的面积. 【变式8-1】(2025·浙江温州三模)如图，在平行四边形ABCD中，连结BD,点E是BD上一点，连结 AE,EC,己知AE=EC. C (1)求证：四边形ABCD为菱形 形ABCD的面积为S,四边形AECD的面积为S·若AE=V10,tan∠ABD=),、=3, 长. 9/17 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式8-2】(2025北京房山二模)如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC的中点，连接AE并延长交 BC的延长线于点F,连接BE,且BE=EF. D E C (I)求证：四边形ABCD是矩形： 2)若AD=6,an∠AFB,求F的长 【变式8-3】(2025湖北三模)如图1，AC是矩形ABCD的对角线，作DF1AC交AC于点F,交BC于 点E. B B 图1 图2 图3 (I)求证：△ABCn△ECD; (2)如图2，点G是矩形ABCD边BC上一点，连接AG,过点D作DF⊥AG交BC于点E,CG=EG,若 D号深究e的值， AB 4 DE 拓展探究】如图3，将上述矩形收为平行四边形，作DF上AC交BC于点E,C行=AB am∠ACB=6,求CE的长. 3 分层阶梯训练•提能力 基础巩固通关测 一、单选题 10/17