第一章 直角三角形的边角关系（单元测试·提升卷）数学北师大版九年级下册

命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章直角三角形的边角关系·能力提升（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 题号 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A D C B A D 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.5 12.2 13.3.5 14.16 15.9 16.√2或32 三、解答题（第17,18,19,20题，每题6分；第21,22,23题；每题8分；第24,25题，每题12分； 共9小题，共72分) 17. 【详解】解：(1)4sin30°-2cos30°+tan60 原式=4x}-2x5+5 2 2 =2-5+5 = 23分 (2):ou为锐角，且tan(a+l5)=√3， a+15°=60°， 故a=45L, .原式=2sin245☐+cos245☐-√3tan45日 -V5x1 `22 子56分 1/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 18. 【详解】(1)证明：：AC是线段BD的垂直平分线， .0B=OD,AC⊥BD, :点O是线段AC的中点， ∴.0A=0C, .四边形ABCD是菱形：3分 (2)解：如图所示，令EC=x,则BE=3x, B D E 由(1)得AC⊥BD, .∠B0E+∠C0E=90°， OE⊥BC, .∠BE0=∠0EC=90°， .∠B0E+∠0BE=90°， .∴.∠OBE=∠COE, ∴△BOEAOCE, OE BE ·ECOE ∴OE2=BE·EC=3x2, .OE=√5x,(负值已舍去) .tan∠OBE= OE√3 BE 3 .∠0BE=30°， :四边形ABCD是菱形； .:.∠ADC=∠ABC=2∠OBE=60°， 1 cos∠10C=os60°=26分 19. 【详解】(1)解：过A点作AH⊥BC,垂足为H, 2/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 :BC=6,S4Bc=6V5, >C H cH-6AH=65. .S.4BC= 2 :AH =23, sin B=AH AB=AH、25 =4;3分 sin B sin60° (2)解：过点C作CE⊥AD,垂足为E, CD=2, H D E .BD=BC-CD=6-2=4, .BD AB :∠B=60°， △ABD是等边三角形， :∠ADB=∠B=60°，AD=AB=4, ∠CDE=∠ADB=60°， ∠DCE=90°-60°=30°， DE=CD=1 cos∠DCE= CE CD CE=CD·cos∠DCE=V, :AE AD DE=5, tan∠CAD=CE-V3 AE5·6分 20. 3/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)解：在Rt△CDE中，∠DEC=90°，∠DCE=30°，CD=30m, DE=CD.sin.∠DCE=30sin30°=l5(m; 答：DE的长为15m;2分 (2)解：①在Rt DCE中，cos∠DCE=EC CD EC=CD.cos∠DCE=30.cos30°=15V3(m. 在Rs8C1中，m<8C1=2想4=-么∠8C4=45, CA=AB tan456=hm. EA=CA+EC=(h+155)m.即EA的长为h+155)m.4分 ②如图，过点D作DF⊥AB,垂足为F. B -127° -F h3045° E C 根据题意，∠AED=∠FAE=∠DFA=90°， :四边形DEAF是矩形， :DF=EA=(h+15v3m),FA=DE =15m. :BF AB-FA=(h-15m. 在R△8DF中，am<BDF-8F∠B0F=2, :BF DF.tan/BDF, .h-15=h+15V3tan27°. :h=15+155,an27°≈15+15x17x0.5=56m. 1-tan27° 1-0.5 答：塔AB的高度约为56m.6分 21. 【详解】(I)证明：如图，过点A作AE⊥BC于点E. 4/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 C b sin B=AE ,sinC=AE c B a D .AE csin B,AE=bsin C, .csin Bb sin C, b sin B sinC ·2分 (2)解： BC AC sin A sin B' BC 160 sin67°sin53o' BC≈180米， :∠A+∠B+∠C=180°， :∠C=180°-∠A-∠B=60°， 如图，过点A作AF⊥BC于点F, A 67P sinC=4F AC 53o .AF=ACsin C=160×sin60°=80√5米， Sc=号8C-4r=号×180x805=7205平方米， 答：这片区域的面积约为7200√5平方米.5分 (3)解：根据题干可得CD=bsin A,CD=asin B, S号4B-CD=besin或Sx-aesin: 2 2 根据(1)可得AE=csin B,AE=bsinC, 5.C 1 2 aesinB或S.4ac=2 absin C； 同速，5-方bsnc暖8ac=cm4.…8分 1 22. 【详解】(1)解：如图1，过点B作BF1AC于点F, 5/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D B 图1 :∠BAC=60°， ·sin∠BAC=BF-BF-V5 AB102 ∴.BF=5V3cm 答：B到直线AC的距离为5√3cm4分 (2)如图2，过点E作EM⊥BF于点M, D M中E 图2 ∠BAC=60°， .∠ABF=90°-60°=30°， ∠ABE=46.1°， .∠EBF=46.1°-30°=16.1°， co0s16.1°=BM=B40.96, BE 7 ∴.BM≈6.72 .MF BF BM =53-6.72 2.0cm 答：E到直线AC的距离为2.0cm8分 23. 【详解】(1)证明：过点C作CE⊥AB于点E, E 6/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 .在Rt△AEC中，AE=AC×cosA=bcos A,CE=ACsin A=bsinA, .BE AB-AE c-bcosA, 在Rt△BCE中，由勾股定理得CE2+BE2=BC2, :(bsin A)+(c-bcos A)=a2, .b2 sin2 A+c2-2bc cos A+b2 cos2 A=a2, .b2(sin2 A+cos2A)-2bccos A+c2=a2, .b2-2bc cos A+c2=a2, :.a2=b2+c2-2bccos A ;....... (2)解：：0=6 sin A sin B sinC' sinC c sin Aa .2sin C =3sin A, sinc_3c sinA 2 a .2c=3a, c=a+2, .a=4,c=6, b=a+1=5, 由(1)得co94=+c2-d-25+36-16_3 2bc 2×5×64 过点C作CE⊥AB于点E, SB :AE=ACcosA=5× 315 441 CE-c 1655.155,5分 ·S.4Bc=c.CE=5×6x 2 44 (3)解：过点D作DF⊥AB于点F, 7/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 D AD=CD, AD=1b=5 2 ÷DF=4Dsin4=5xV7_5V 2x48 ，AF=ADc0s4=x3-15 248 ·BF=AB-4AF=6-15_33 88 ·DB=VDF2+BF-7四 2 8分 24. 【详解】(1)解：LEDF=45°， ·∠EDB+∠BDF=45°， :∠CDF+∠BDF=45°， .∠EDB=∠CDF, :四边形ABCD为正方形，BD,AC为对角线， LEBD=LFCD=45°， ∴△DBE∽△DCF, :四边形ABCD为正方形，BD,AC为对角线， ∠BDC=45°， CD=BDc0s45°， BD=√2CD, :△DBE∽△DCF, BE BD2CD=, CF DC CD 故答案为：√2；5分 (2)解：连接BD交AC于点O, 8/11 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A D AB=6,BC=8, B 图2 AC=BD=V62+82=10, :在矩形ABCD中，AC=BD, .0D=0C, ∠0DC=∠0CD, AB I CD ·∠ABD=∠ODC, .∠ABD=∠OCD, tan ZBDC= CD3,tan∠EDF=4 BC 4 :ZEDF ZBDC :ZEDF ZEDB+ZBDF,ZBDC=ZBDF+ZFDC ∴.∠EDB=∠FDC, △DBE∽△DCF, BE BD 10 5 CF DC 63' BE=4, CF=2.4.12分 25. 【详解】解：(I):BD1AP,AC⊥BP, .∠DAE+∠DEA=90°，∠CBE+∠BEC=90°， 又：∠DEA=∠BEC, ∠DAE=∠CBE, 又：LACP=∠BCE=90°， △ACP∽△BCE, AP=AC 4 BEBC3·4分 (2)如图，过点F作FG∥BP,交AC于点H, 9/11 命学科网·上好课 www.ZX×k.com 上好每一堂课 :BA=BP, .∠BAP=∠P, FG∥BP, LP=LAGF,∠GFA=∠B, ∠AGF=∠GAF, .FG=FA. FD⊥AG, AD-DG-4G AC⊥BP,GF∥BP, AH⊥GF. P G C D E A F 根据(1)可得： AD 1 AG 1 AH 1 EF=2 EF=FH=2tn/AFH -2 tan= 208分 (3)如图，延长DE交AB于点F, D C E :DAC=。∠ABC,LEFA+LDAC+∠EAF=LCAB+∠ABC=90的 F ∴.∠DAC=∠EFA, :CD∥AB, 、EFAE =k, DE EC 设DE=a,则EF=ka, ∠DAC=∠EFA,∠ADE=LFDA=90°， .△ADE∽△FDA, 0 ,即AD2=DEDF, .AD=Vk+1·a, 10/11 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直角三角形的边角关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 3．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 4．如图，在中，， ，，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．10.5 D．21 5．有个大小相同的小正方形（边长均为）恰好放置在如图所示的中，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．锐角三角函数的历史发展可以追溯到古埃及和巴比伦，他们在记录天文现象时就已经开始使用三角函数概念．已知是的一个锐角，下列关于说法正确的是（   ） A．的值等于边和的比值 B．当时， C．的值与的形状无关 D．当越大，越小 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 8．下表是小林填写的实践活动报告的部分内容：根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（   ）（结果精确到，参考数据：，） 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 ，，， A． B． C． D． 9．如图，在中，， D， E分别为边上一点，且满足．连接，将沿翻折，点B的对应点F 恰好落在边上，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 10．如图，在四边形中，，，点E在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点F处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，，则的长为 ． 12．如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段与交于点E，则 ． 13．甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是 ．（精确到，参考数据：） 14．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 15．如图，，，点为上一点，且．过点作交于点，交延长线于点，的值为 ． 16．四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算： （2）已知为锐角，且，求的值． 18．如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 19．在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 20．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 21．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 22．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 23．如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c． (1)求证：； (2)若，，且，求的面积； (3)在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 24．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 25．【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 1 / 9 学科网（北京）股份有限公 学科网（北京）股份有限公司 $………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直角三角形的边角关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 3．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 4．如图，在中，， ，，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．10.5 D．21 5．有个大小相同的小正方形（边长均为）恰好放置在如图所示的中，则的值等于（   ） A． B． C． D． 6．锐角三角函数的历史发展可以追溯到古埃及和巴比伦，他们在记录天文现象时就已经开始使用三角函数概念．已知是的一个锐角，下列关于说法正确的是（   ） A．的值等于边和的比值 B．当时， C．的值与的形状无关 D．当越大，越小 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 8．下表是小林填写的实践活动报告的部分内容：根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（   ）（结果精确到，参考数据：，） 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 ，，， A． B． C． D． 9．如图，在中，， D， E分别为边上一点，且满足．连接，将沿翻折，点B的对应点F 恰好落在边上，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 10．如图，在四边形中，，，点E在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点F处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，，则的长为 ． 12．如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段与交于点E，则 ． 13．甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是 ．（精确到，参考数据：） 14．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 15．如图，，，点为上一点，且．过点作交于点，交延长线于点，的值为 ． 16．四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 三、解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算： （2）已知为锐角，且，求的值． 18．如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 19．在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 20．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 21．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 22．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 23．如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c． (1)求证：； (2)若，，且，求的面积； (3)在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 24．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 25．【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第一章 直角三角形的边角关系·能力提升 建议用时：120分钟，满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．若，则锐角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值．直接利用特殊角的三角函数值得出即可． 【详解】解：∵，． ∴， 故选：B 2．如图，河坝横断面迎水坡的坡度，坝高，则坡面的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角函数的应用，勾股定理，熟练掌握三角函数是解题关键． 根据题意，可求得，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：在中，，， ， ． 故选：D． 3．若，则（　　） A．是直角三角形 B．是等边三角形 C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形 【答案】A 【分析】由已知可得，，从而可得，进而可得的形状． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴是直角三角形． 故选：A． 【点睛】本题考查平方的非负性，绝对值的非负性，直角三角形的判定，特殊角的三角函数值． 4．如图，在中，， ，，则的面积为（   ） A．14 B．12 C．10.5 D．21 【答案】C 【分析】本题考查了解直角三角形，解题的关键是正确构造直角三角形． 过点作于点D，先解，再解，求出即可． 【详解】解：过点作于点D， ∵，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 5．有个大小相同的小正方形（边长均为）恰好放置在如图所示的中，则的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三角函数和勾股定理，根据平行可得，在中，利用勾股定理可求得三边长，再根据即可求解. 【详解】解：如图． 由题可得，， 在中， ， ； 故选：． 6．锐角三角函数的历史发展可以追溯到古埃及和巴比伦，他们在记录天文现象时就已经开始使用三角函数概念．已知是的一个锐角，下列关于说法正确的是（   ） A．的值等于边和的比值 B．当时， C．的值与的形状无关 D．当越大，越小 【答案】C 【分析】本题考查了正弦三角函数，特殊三角函数值，解题关键是熟悉正弦三角函数，特殊三角函数值． 根据正弦三角函数的定义式，可判断A；根据的正弦值可判断B；根据的意义可判断C；根据正弦三角函数的定义式，可判断D． 【详解】解：是的一个锐角，并没有告诉哪一个角是直角，所以不能说的值等于边和的比值，故A错误； 当时，，故B错误； 的值与的形状无关，故C正确； 当越大，越大，故D错误， 故选：C． 7．如图，在平面直角坐标系中，四边形是菱形，，且点落在函数的图象上，则四边形的周长是（    ） A．12 B．16 C．20 D．28 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，菱形的性质、勾股定理．作轴，垂足为，设点坐标为，根据条件列出关于的方程，解出值，再利用勾股定理求出，根据菱形性质求出菱形的周长即可． 【详解】解：如图，作轴，垂足为， 设点坐标为， ， ∴，整理得， 解得或（舍去）， ， ， ∴四边形的周长为， 故选：C． 8．下表是小林填写的实践活动报告的部分内容：根据以上信息，可求出孔子像的高度约为（   ）（结果精确到，参考数据：，） 题目 测量孔子像的高度 测量目标及其示意图 相关数据 ，，， A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．根据三角函数的概念，在中，求得的值，根据题意得到的值，在中，求得的值，从而得出的值． 【详解】解：在中，， ∴． ∴． 在中，， ∴． ∴， 故选：B． 9．如图，在中，， D， E分别为边上一点，且满足．连接，将沿翻折，点B的对应点F 恰好落在边上，则的长度为（    ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查的是轴对称的性质，勾股定理的应用，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键． 如图，过作于 根据已知条件先求解： 再利用的三角函数求解 由对折得到： 再利用勾股定理求解 从而由可得答案． 【详解】解：如图，过作于 ，，， 同理： 由对折可得： 故选：A 10．如图，在四边形中，，，点E在上，将沿直线折叠，使点A恰好落在上的点F处，连接，分别与矩形的两条对角线交于点M和点G，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据折叠的性质和矩形的性质可判定A选项；根据折叠的性质以及相似三角形的判定与性质可得判定B选项；根据平行线等分线段定理可判定C选项；如图，过点作于点，再求得、，然后运用正弦的定义即可解答． 解：∵将沿直线折叠， ， ， ，故选项A正确，不符合题意； ， ， ∵将沿直线折叠， ，，， ， ， ， ，故选项B正确，不符合题意； ， ，， ，， ， ，故选项C正确，不符合题意； 如图，过点作于点， ，， ， ，，， ， ， ， ， ，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．如图，在中，，，，则的长为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了利用正弦函数求线段长，掌握正弦的定义是解题的关键． 根据三角函数正弦函数的定义列方程求解即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，即，解得：． 故答案为5． 12．如图所示正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，线段与交于点E，则 ． 【答案】2 【分析】先证明四边形是平行四边形，从而可得出，再利用平行线的性质与对顶角的性质得出，再利用正切的定义式求解． 【详解】解：连接，，，， ∵，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，，， ， ∴是直角三角形，其中， ． 故答案为：2． 13．甲乙两人约好一起去江边垂钓．如图，钓鱼竿的长为，露在水面上的鱼线的长为，把鱼竿逆时针转动到的位置，此时露在水面上的鱼线的长度是 ．（精确到，参考数据：） 【答案】 【分析】本题考查了解直角三角形——特殊角的三角函数的应用，解题关键是能利用三角函数值求出角，以及利用特殊角的三角函数值求出线段的长． 先求出，在求出，最后利用特殊角的三角函数值直接求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 14．如图，某数学兴趣小组决定测量建筑物的高度．他们首先在点B处测得建筑物最高点A的仰角为，然后沿方向前进12米到达C处，又测得点A的仰角为．请你计算建筑物的高度约为 米．(结果精确到1米，参考数据) 【答案】16 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题意可得：，米，然后设米，则米，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算即可解答，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得：，米， 设米， 米， 在中，， 米， 在中，， （米， ， 解得：， （米， 建筑物的高度约为16米， 故答案为：16． 15．如图，，，点为上一点，且．过点作交于点，交延长线于点，的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示，在中，，设，则，证明，在中，，设，则，进而得，，证明，在中，，则，由此得，据此即可得出的值．熟练掌握锐角三角函数的定义，正确地添加辅助线构造直角三角形是解决问题的关键． 【详解】解：过点作于点，过点作，交的延长线于点，如图所示： ， ， 在中，， 设， 在中，由勾股定理得， ， ， ， ， ， 在中，， 设， 在中，由勾股定理得， ∴，， ， 在中，， 在中，， 又， ， ， 在中，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 16．四边形是正方形，对角线与相交于点O，点P在上，若，，则的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了正方形的性质，解直角三角形，解题的关键是熟练掌握正方形的性质． 先根据正方形的性质得到，然后解求出，再分两种情况讨论，根据正切的定义求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， 当点在线段上时，， ∴， ∴； 当点在线段延长线上时，同理可得， ∴的长为或． 故答案为：或． 3、 解答题（第17，18，19，20题，每题6分；第21，22，23题；每题8分；第24，25题，每题12分；共9小题，共72分） 17．（1）计算： （2）已知为锐角，且，求的值． 【答案】（1）2  ；（2） 【分析】本题考查实数的混合运算、特殊角三角函数值，掌握实数的混合运算、特殊角三角函数值是解题的关键． （1）先计算特殊三角函数值，再进行实数加减运算即可； （2）先由是锐角，且，得出，再计算特殊三角函数值，再进行实数加减运算即可． 【详解】解：（1） 原式 （2）∵为锐角，且， ∴， 故， ∴原式 . 18．如图，在四边形中，是线段的垂直平分线，且点O是线段的中点． (1)求证：四边形是菱形； (2)过点O作于点E，若，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）利用线段垂直平分线的性质得出相等的线段和垂线，利用线段中点的性质得出相等的线段，根据对角线互相平分且垂直的四边形是菱形即可得出结论； （2）令，则，根据条件证明，得出，然后利用锐角三角函数得出，再利用菱形的性质和锐角三角函数求解即可． 【详解】（1）证明：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵点O是线段的中点， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：如图所示，令，则， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，（负值已舍去） ∴， ∴， ∵四边形是菱形； ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段中点的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数比等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 19．在中，． (1)求的长； (2)在边上取一点D，使，连接，求的正切值． 【答案】(1)4 (2) 【分析】本题考查了三角函数，等边三角形的性质和判定，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过A点作，先根据面积求出，再根据三角函数求解即可； （2）过点C作，先根据三角函数求出，再证明是等边三角形，根据含30度角的直角三角形的性质求出，再根据三角函数求出，再根据正切的定义求解即可． 【详解】（1）解：过A点作，垂足为H， ， ， ， ， ； （2）解：过点C作，垂足为E， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ， ． 20．综合与实践活动中，要利用测角仪测量塔的高度，如图，塔前有一座高为的观景台，已知，，点E，C，A在同一条水平直线上．某学习小组在观景台C处测得塔顶部B的仰角为，在观景台D处测得塔顶部B的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为h（单位：）； ①用含有h的式子表示线段的长（结果保留根号）； ②求塔的高度（取，取，结果取整数）． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查解直角三角形的应用，矩形的性质与判定，熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键． （1）直接解即可得到答案； （2）①分别在和中求出和的长，即可求解；②过点作，垂足为．则四边形是矩形．得出，可得．在中， 利用，列式求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴； 答：的长为； （2）解：①在中，， ． 在中，， ∴． ．即的长为． ②如图，过点作，垂足为． 根据题意，， 四边形是矩形． ． ∴． 在中，， ， ∴． ． 答：塔的高度约为． 21．阅读下列材料：如图1，在中，，，的对边分别为，，．求证：． 证明：过点作于点． ，， ，， ，． 根据上面的材料解决下列问题： (1)如图2，在中，，，的对边分别为，，．求证：． (2)为了促进旅游业的发展，聊城市积极优化旅游环境．如图3，规划中的一片三角形区域需美化，已知，，米，求这片区域的面积．（结果保留根号．参考数据：，） (3)你能直接写出图2中的面积吗？（用，，及角的锐角三角比表示） 【答案】(1)见解析 (2)这片区域的面积约为平方米 (3)见详解 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角关系，即锐角三角函数的定义是解决问题的前提． （1）过点作于点，利用三角函数表示后，即可建立关联并求解； （2）先根据题干结论求出，根据三角形内角和定理求出，过点作于点，解直角三角形即可． （3）根据题干和（1）中，结合三角形面积公式即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点． ， ， ， ． （2）解：∵， ， 米， ， ， 如图，过点作于点， ， 米， 平方米， 答：这片区域的面积约为平方米． （3）解：根据题干可得，， ∴或； 根据（1）可得， ∴或； 同理，或． 22．一场突如其来的病毒，让我们的寒假变得不平凡，在这关键时刻，教育部门决定采取“停课不停学”的网络授课，为了更方便的使用手机听课，有的家长给孩子们购买手机支架．图1是一种手机支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图2是其侧面结构示意图，量得托板长，底座长，托板固定在支撑板顶端点处，托板可绕点转动，支撑板可绕点转动． (1)为了观看舒适，把绕点逆时针旋转，使，如图2，求到直线的距离． (2)在（1）的条件下，再将绕点顺时针旋转，使，求到直线的距离．（结果保留1位小数）（参考数据：） 【答案】(1)到直线的距离为 (2)到直线的距离为 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是通过作高构造直角三角形，利用旋转前后边长不变和角度变化，结合三角函数求解距离． （1）过点 B 作 于点 F，在 中，由已知条件可得 ，利用三角函数关系，代入数据计算得，即点 B 到直线 的距离为 （2）过 作于 M，此时 ，在 中，利用 ，得 ，进一步求得即可． 【详解】（1）解：如图1，过点作于点， ∵， ∴， ∴ 答：到直线的距离为. （2）如图2，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴ 答：到直线的距离为. 23．如图，在中，已知为锐角，、、所对的边分别为a、b、c． (1)求证：； (2)若，，且，求的面积； (3)在（2）的条件下，若，求的长．（参考公式：） 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理，涉及“正弦定理，余弦定理”，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点作于点，解得到，则，再在中运用勾股定理求解即可； （2）结合参考公式求出，，由（1）得，代入数据求出，过点作于点，解求出，再由面积公式求解即可； （3）过点作于点，先解求出，再在中运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：过点作于点， ∴在中，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， 过点作于点， ∴， ∴， ∴， （3）解：过点作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴． 24．【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 25．【基础巩固】 （1）如图1，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长恰好过点，，求的值； 【尝试应用】 （2）如图2，等腰，垂足为点，点为上一点，，延长交于点，，求的值； 【拓展提高】 （3）如图3，四边形中，．点在上，，若，求的值（用含有的代数式表示）． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）证明，根据边长成比例即可求解； （2）过点作即可转化为和（1）完全相同的问题； （3）延长交于点．由，可得，设，则．证明，再证，得到比例，即；由（2）可知即可得到答案． 本题考查等腰三角形，三角形相似，直线平行的性质，正切，能够找到各小问之间的相同之处是解题关键． 【详解】解：（1）， ， 又∵， ， 又∵， ， ． （2）如图，过点作，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴，， ， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 根据（1）可得： ． （3）如图，延长交于点， ，， ， ， ， 设，则， ∵，， ∴， ∴，即， ， 由（2）可知． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $